中考数学专题复习《相似、锐角三角比、平面向量》测试卷-附带答案

第第页中考数学专题复习《相似、锐角三角比、平面向量》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一．平面向量1.（2024·上海奉贤二模15）如图，已知点、、在直线上，点在直线外，，，，那么______．（用向量、表示）2.（2024·上海虹口二模16）如图，在梯形中，，，点、分别是边、的中点，连接，设，，那么用向量、表示向量________．3.（2024·上海黄浦二模15）如图，D、E分别是边、上点，满足，．记，，那么向量________（用向量a、b表示）．4.（2024·上海金山二模15）如图，已知平行四边形中，，，为上一点，，那么用，表示_________．5.（2024·上海静安二模15）在中，点D、E、F分别是边的中点，设，那么向量用向量表示为______．6.（2024·上海闵行二模10）计算：________.7.（2024·上海浦东二模16）如图，已知中，中线、相交于点G，设，，那么向量用向量、表示为________．8.（2024·上海普陀二模16）如图，梯形中，，过点作分别交、于点、，，设，，那么向量用向量、表示为______．9.（2024·上海青浦二模15）如图，在中，中线相交于点F，设，那么向量用向量表示为_______．10.（2024·上海松江二模15）如图，已知梯形中，，，、交于点O．设，那么向量可用表示为_____．11.（2024·上海徐汇二模16）如图，梯形中，，，平分，如果，，，那么是_______（用向量、表示）．12.（2024·上海杨浦二模14）如图，在平行四边形中，E是边的中点，与对角线相交于点F，设向量，向量，那么向量______．（用含、的式子表示）13.（2024·上海嘉定二模15）如图，在中，线段是边上的中线，点是的中点，设向量，，那么向量____（结果用、表示）．14.（2024·上海长宁二模15）如图，在中，点D在边AB上，且，点E是AC的中点，联结DE，设向量，，如果用、表示，那么___________．图315.（2024·上海宝山二模15）如图3，正六边形ABCDEF，连接OE、OD，如果那么▲.图316.（2024·上海崇明二模15）如图，在梯形ABCD中，，，若，，用、表示▲．二．相似，锐角三角比1.（2024·上海奉贤二模17）如图，正方形的边长为，点在延长线上，连接，如果与相似，那么______．2.（2024·上海虹口二模17）如图，在中，，，．点在边上，，以点为圆心，为半径作．点在边上，以点为圆心，为半径作．如果和外切，那么的长为________．3.（2024·上海黄浦二模21）如图，D是边上点，已知，，．（1）求边的长；（2）如果（点A、C、D对应点C、B、D），求的度数．4.（2024·上海黄浦二模17）如图，由4个全等的直角三角形拼成一个大正方形，内部形成一个小正方形．如果正方形的面积是正方形面积的一半，那么．的正切值是________．5.（2024·上海静安二模16）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点，它们的夹角为．直线交x负半轴于点A，直线与x正半轴交于点，那么点A的坐标是______．6.（2024·上海闵行二模17）如图，在中，上的中线相交于点F，如果，那么的值为______．7.（2024·上海浦东二模15）小丽在大楼窗口测得校园内旗杆底部的俯角为度，窗口离地面高度（米），那么旗杆底部与大楼的距离________米（用的三角比和的式子表示）8.（2024·上海青浦二模14）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B的仰角为，看这栋楼底部C的俯角为，热气球A处与楼的水平距高为m米，那么这栋楼的高度为_______米．（用含的式子表示）9.（2024·上海徐汇二模14）小杰沿着坡比的斜坡，从坡底向上步行了米，那么他上升的高度是______米．10.（2024·上海长宁二模16）如图，正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD上（点F不与点C重合），且，那么的值为___________．11.（2024·上海长宁二模17）在中，，将绕着点C旋转，点A、点B的对应点分别是点D、点E，如果点A在DE的延长线上，且，那么的余弦值为___________．12.（2024·上海宝山二模17）如图5，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的一边在同一直线上，那么图中阴影三角形①和②的面积之比的比值为_______．13.（2024·上海崇明二模16）如图，点G是的重心，BG的延长线交AC于点D，过点G作，交AC于点E，则▲．14.（2024·上海崇明二模17）已知在矩形ABCD中，，，将矩形ABCD绕点B旋转，AB的对应边与边CD相交于点E，联结，当点E是CD中点时，▲．三．解答题1.（2024·上海浦东二模21）如图，在中，是边上的高．已知，，．（1）求的长；（2）如果点E是边的中点，连接，求的值．2.（2024·上海闵行二模21）如图，在中，点在边上，点在边上，点、在边上，，，．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）求证：．3.（2024·上海普陀二模21）如图，在中，，点在边上，，．

（1）求的长；（2）求的值．4.（2024·上海松江二模21）如图，已知中，．点O在边上，以O为圆心，为半径的弧经过点A．（1）求的半径长；（2）P是上一点，，交于点D，联结．求的正切值．5.（2024·上海徐汇二模21）如图，和⊙相交于点、，连接、、，已知，，．（1）求的半径长；（2）试判断以为直径的是否经过点，并说明理由．6.（2024·上海杨浦二模21）如图，已知在中，，，点G是的重心，延长交边于点D，以G为圆心，为半径的圆分别交边、于点E、F．（1）求的长；（2）求的长．7.（2024·上海嘉定二模21）某东西方向的海岸线上有、两个码头，这两个码头相距千米（），有一艘船在这两个码头附近航行．（1）当船航行了某一刻时，由码头测得船在北偏东，由码头测得船在北偏西，如图，求码头与船的距离（的长），其结果保留位有效数字；（参考数据∶，，，）（2）当船继续航行了一段时间时，由码头测得船在北偏东，由码头测得船在北偏西，船到海岸线的距离是（即），如图，求的长，其结果保留根号．8.（2024·上海长宁二模21）（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，经过平行四边形ABCD的顶点B、C、D，点O在边AD上，．（1）求平行四边形ABCD的面积；（2）求的正弦值．参考答案一．平面向量1.（2024·上海奉贤二模15）如图，已知点、、在直线上，点在直线外，，，，那么______．（用向量、表示）【答案】##【分析】本题考查平面向量，在中，利用三角形法则求得；然后结合求得；最后在中，再次利用三角形法则求得答案．【详解】解：，，，，，故答案为：．2.（2024·上海虹口二模16）如图，在梯形中，，，点、分别是边、的中点，连接，设，，那么用向量、表示向量________．【答案】【分析】本题考查了平面向量的问题，熟练掌握三角形法则是解题的关键，根据梯形的中位线定理及向量的三角形法则解答即可．【详解】解：，，，，，,点、分别是边、的中点，，，，故答案为：．3.（2024·上海黄浦二模15）如图，D、E分别是边、上点，满足，．记，，那么向量________（用向量a、b表示）．【答案】【分析】本题主要考查了平行线的判定，相似三角形的判定以及性质，向量的知识．由判定出，由平行线的得出，再根据向量得知识即可得出．【详解】解：∵，∴，∴,∵，∴，∴，∴，∵，∴，故答案为：．4.（2024·上海金山二模15）如图，已知平行四边形中，，，为上一点，，那么用，表示_________．【答案】【分析】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用。利用三角形法则，可求得，由平行四边形的对边平行且相等和已知条件可以推知：，求得答案【详解】解：，，．，．在中，，，，．．．故答案为：．5.（2024·上海静安二模15）在中，点D、E、F分别是边的中点，设，那么向量用向量表示为______．【答案】【分析】首先利用三角形中位线定理求得，则；然后由三角形法则求得．代入求值即可．【详解】解：在中，点、分别是边、的中点，

是的中位线．．．，，．．故答案为：．6.（2024·上海闵行二模10）计算：________.【答案】【分析】向量的加减法计算．【详解】原式=故答案为：．7.（2024·上海浦东二模16）如图，已知中，中线、相交于点G，设，，那么向量用向量、表示为________．【答案】【分析】本题考查了三角形的重心，三角形法则等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．根据重心的性质可得，，利用三角形法则求出，进而可得结果．【详解】解：∵中线、交于点G，∴，，∴，∵，即，∴．故答案为：．8.（2024·上海普陀二模16）如图，梯形中，，过点作分别交、于点、，，设，，那么向量用向量、表示为______．【答案】【分析】本题考查了平行四边形的判定，相似三角形的性质与判定，平面向量的线性运算，先证明四边形是平行四边形，根据已知得出，进而证明得出，，进而根据三角形法则，进行计算即可求解．【详解】解：∵，∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴∵，∴，∴，则，∵，，∴，∴故答案为：．9.（2024·上海青浦二模15）如图，在中，中线相交于点F，设，那么向量用向量表示为_______．【答案】【分析】根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质可得，利用三角形法则求出即可．【详解】解：连接，∵中线相交于点F，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，又∵点D是的中点，∴，故答案为：．10.（2024·上海松江二模15）如图，已知梯形中，，，、交于点O．设，那么向量可用表示为_____．【答案】【分析】本题考查向量的线性计算．熟练掌握三角形法则，是解题的关键．先证明，再利用三角形法则，进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；故答案为：11.（2024·上海徐汇二模16）如图，梯形中，，，平分，如果，，，那么是_______（用向量、表示）．【答案】【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，向量的运算，解题的关键是熟练掌握这些知识．根据角平分线的定义，平行线的性质，推出，结合，可得，最后根据，即可求解．【详解】解：设，平分，，，，，，，，，，故答案为：．12.（2024·上海杨浦二模14）如图，在平行四边形中，E是边的中点，与对角线相交于点F，设向量，向量，那么向量______．（用含、的式子表示）【答案】【分析】本题主要考查平面向量的知识，结合平行四边形性质，相似三角形的性质解题是关键．利用平行四边形的性质可先证明，然后用三角形法则表示出，即可得到．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，，，∴，，∵E是边的中点，∴，∴，∵，∴，故答案为：13.（2024·上海嘉定二模15）如图，在中，线段是边上的中线，点是的中点，设向量，，那么向量____（结果用、表示）．【答案】【分析】本题考查了平面向量的知识点，运用三角形法则是解题的关键．先用的线性组合表示，再表示即可．【详解】解：∵，线段是边上的中线，∴，∵点是的中点，∴，故答案为：．14.（2024·上海长宁二模15）如图，在中，点D在边AB上，且，点E是AC的中点，联结DE，设向量，，如果用、表示，那么___________．【答案】【分析】本题考查向量的运算，及三角形法则的应用，过程见详解【详解】由题意得15.（2024·上海宝山二模15）如图3，正六边形ABCDEF，连接OE、OD，如果那么▲.图3【答案】图3【分析】【详解】∵正六边形ABCDEF∴AB∥DE∴答案为16.（2024·上海崇明二模15）如图，在梯形ABCD中，，，若，，用、表示▲．【答案】【分析】本题考查向量的运算，及三角形法则的应用，过程见详解【详解】∵，∴∴所以答案为二．相似，锐角三角比1.（2024·上海奉贤二模17）如图，正方形的边长为，点在延长线上，连接，如果与相似，那么______．【答案】【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角函数，设，利用相似三角形的性质可得，即，求出，得到，再根据正切的定义计算即可求解，利用相似三角形的性质求得是解题的关键．【详解】解：设，则∵，与相似，∴，∴，∴，解得，（不合，舍去），∴，∴，故答案为：．2.（2024·上海虹口二模17）如图，在中，，，．点在边上，，以点为圆心，为半径作．点在边上，以点为圆心，为半径作．如果和外切，那么的长为________．【答案】##【分析】本题考查的是圆和圆的位置关系、解直角三角形的知识，作于点H，连接，先求出，设，在中，根据勾股定理列方程即可解决．【详解】解：作于点H，连接，，，，在中，，，，设，和外切，半径为2，，在中，，，解得：，故答案为：．3.（2024·上海黄浦二模21）如图，D是边上点，已知，，．（1）求边的长；（2）如果（点A、C、D对应点C、B、D），求的度数．【答案】（1）6（2）【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，勾股定理的逆定理等知识点．（1）证明，由相似的性质可得出，然后计算出，代入求值即可．（2）由得出，由勾股定理的逆定理得出，进一步得出，由等量代换即可求出，即的度数．【小问1详解】解：∵，，∴，∴，∴∵，，∴，∴，∴．【小问2详解】∵，∴，∴，∵，即∴是直角三角形，且，∴，∴，∵，∴，即．4.（2024·上海黄浦二模17）如图，由4个全等的直角三角形拼成一个大正方形，内部形成一个小正方形．如果正方形的面积是正方形面积的一半，那么．的正切值是________．【答案】【分析】本题主要考查正方形的性质、勾股定理以及解直角三角形，设，，则，根据面积可列出，整理得，求得，即可解得答案．【详解】解：设，，则，∴，，∵，即整理得：，变形得：，令，则，∴原始，解得，，∴，∴（舍去），∴．5.（2024·上海静安二模16）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点，它们的夹角为．直线交x负半轴于点A，直线与x正半轴交于点，那么点A的坐标是______．【答案】【分析】本题考查了两直线相交的问题，点的坐标，相似三角形的判定与性质．根据已知条件证得，再根据相似三角形的性质即可求出的长，从而得出点的坐标．【详解】解：，，轴轴，，，，，，点，点，，，，，点在轴的负半轴，点的坐标是，故答案为：．6.（2024·上海闵行二模17）如图，在中，上的中线相交于点F，如果，那么的值为______．【答案】【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，先证明，再证明，则，证明，则，设，则，得到（负值舍去），进一步得到，则，即可得到答案．【详解】解：过点E作于点H，∴，∵上的中线相交于点F，∴，∴∴，∵∴∴∵，，∴∴∴设，则，∴，∴（负值舍去），∴∴，∴∴故答案为：7.（2024·上海浦东二模15）小丽在大楼窗口测得校园内旗杆底部的俯角为度，窗口离地面高度（米），那么旗杆底部与大楼的距离________米（用的三角比和的式子表示）【答案】【分析】根据题意可得，∠ACB=α，AB=h，然后利用三角函数求出BC的长度．【详解】在Rt△ABC中，∵∠ACB=α，AB=h，∴BC==．故答案．8.（2024·上海青浦二模14）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B的仰角为，看这栋楼底部C的俯角为，热气球A处与楼的水平距高为m米，那么这栋楼的高度为_______米．（用含的式子表示）【答案】【分析】本题考查了解直角三角形的仰角俯角问题，首先过点A作于点D，根据题意得，，米，然后利用三角函数求解即可求得答案．【详解】解：首先过点A作于点D，如下图所示，则，，米，在中，米，在中，米，∴米．故答案为：9.（2024·上海徐汇二模14）小杰沿着坡比的斜坡，从坡底向上步行了米，那么他上升的高度是______米．【答案】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握坡比的定义．设坡度的高为米，根据勾股定理列方程求解．【详解】解：设坡度的高为米，则水平距离为米，，解得：，故答案为：．10.（2024·上海长宁二模16）如图，正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD上（点F不与点C重合），且，那么的值为___________．【答案】【分析】本题主要考查正方形背景下的相似三角形的判定，及对应边成比例，进而求得比例线段的值【详解】∵正方形ABCD，得∠BAC=45°，又∠EAF=45°，∴∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAF=45°∴∠BAE=∠CAF∵∠ABD=∠ACF=45°∴△ABE∽△ACF∴∴的值为11.（2024·上海长宁二模17）在中，，将绕着点C旋转，点A、点B的对应点分别是点D、点E，如果点A在DE的延长线上，且，那么的余弦值为___________．【答案】【分析】本题主要考查图形的运动：旋转知识点。【详解】由旋转性质得CA=CD，CB=CE，∠A=∠D，∠DCE=∠ACB=90°∵CE∥AB，∴∠A=∠ACE，又∠ACE=∠CAE∴∠CED=2∠ACE∠CED+∠A=90°，即3∠A=90°，∠A=30°∴∠CAE=30°，的余弦值为12.（2024·上海宝山二模17）如图5，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的一边在同一直线上，那么图中阴影三角形①和②的面积之比的比值为_______．【答案】【分析】通过A型和X型，求解得出的比值【详解】由图设AD，BC交于点P，∵AB∥CD，由比例关系，经过计算得△①的底边长为，△②的底边长为，由面积比等于相似比的平方得13.（2024·上海崇明二模16）如图，点G是的重心，BG的延长线交AC于点D，过点G作，交AC于点E，则▲．【答案】【分析】本题考查重心的性质，三角形一边平行线的性质，面积比与边比的关系等【详解】∵点G是的重心∵14.（2024·上海崇明二模17）已知在矩形ABCD中，，，将矩形ABCD绕点B旋转，AB的对应边与边CD相交于点E，联结，当点E是CD中点时，▲．【答案】【分析】本题考查旋转性质及应用。通过解直角三角形求得正切值。【详解】解，由题意知CE=3，从而A’E=A’B-BE=AB-BE=6-5=1过A’作A’H⊥CE的延长线于点H，∵∠A’EH=∠CEB∴sin∠A’EH=sin∠CEB=∴∴A’G=EG=∴所以答案为三．解答题1.（2024·上海浦东二模21）如图，在中，是边上的高．已知，，．（1）求的长；（2）如果点E是边的中点，连接，求的值．【答案】（1）（2）【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握锐角三角函数的定义是解本题的关键；（1）由可设，则，则，，再利用勾股定理求解，从而可得答案；（2）如图，过作于，由（1）得：，，，利用等面积法求解，可得，可得，再结合余切的定义可得答案．【小问1详解】解：∵，∴，∴设，则，∴，∵，∴，∴，∵，是边上的高，∴，解得：（负根舍去），∴；【小问2详解】如图，过作于，∵由（1）得：，，，∴，∵为的中点，∴，，∴，，∴，∴．2.（2024·上海闵行二模21）如图，在中，点在边上，点在边上，点、在边上，，，．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）求证：．【答案】（1）见详解（2）见详解【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明四边形是平行四边形是解题关键．（1）首先证明，然后利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形即可；（2）首先由平行四边形的性质可得，，进而证明，由相似三角形的性质即可证明结论．【小问1详解】证明：∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴四边形是平行四边形；小问2详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴．3.（2024·上海普陀二模21）如图，在中，，点在边上，，．

（1）求的长；（2）求的值．【答案】（1）（2）【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，三角形的外角的性质；（1）利用三角形外角的性质，结合等角对等边即可解决问题．（2）过点作垂线构造出直角三角形即可解决问题．【小问1详解】解：，，又，．又，，．，，．【小问2详解】过点作的垂线，垂足为，，，．在中，，．4.（2024·上海松江二模21）如图，已知中，．点O在边上，以O为圆心，为半径的弧经过点A．（1）求的半径长；（2）P是上一点，，交于点D，联结．求的正切值．【答案】（1）5（2）【分析】本题主要考查了解直角三角形，圆的基本性质，勾股定理：（1）联结，设，在中，根据勾股定理，求出x的值，即可；（2）过点P作，垂足为H．根据锐角三角函数可得，，再由，可得，即可求解．【小问1详解】解：联结，设，∵，∴，∵，∴解得：，∴的半径长是5．【小问2详解】解：过点P作，垂足为H．∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，∴．5.（2024·上海徐汇二模21）如图，和⊙相交于点、，连接、、，已知，，．（1）求的半径长；（2）试判断以为直径的是否经过点，并说明理由．【答案】（1）（2）以为直径的经过点，见解析【分析】本题主要考查了圆的相关性质，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．（1）连接，设与的交点为，根据题意可得，，在中，根据勾股定理求出，进而求出，在中，根据勾股定理求出，即可求解；（2）根据题意并结合（1）可得，可证明，得到，取的中点，连接、，推出，结合垂直平分，即可求解．【小问1详解】解：连接，设与的交点为．和⊙相交于点、，，，，在中，，；，在中，，；即的半径长为；【小问2详解】以为直径的经过点．，，，又，，，取的中点，连接、，，又垂直平分，，以为直径的经过点．6.（2024·上海杨浦二模21）如图，已知在中，，，点G是的重心，延长交边于点D，以G为圆心，为半径的圆分别交边、于点E、F．（1）求的长；（2）求的长．【答案】（1）（2）【分析】（1）先证明，，，结合，可得，再利用勾股定理可得答案；（2）过作于，可得，证明，求解，可得，从而可得答案．【小问1详解】解：∵，点G是的重心，∴，，，∵，∴，∴，