2024【高中数学】学科公式总结

优能个性化产品研发中心高三数学公式大全一、乘法公式 3二、二次函数 3三、不等式 41、解一元二次不等式 42、含绝对值不等式 53、根式不等式 54、指数、对数不等式 55、分式不等式 66、基本不等式 6四、集合与常用逻辑用语 71、常用数集及其记法 72、集合间的基本关系 73、集合间的基本运算 84、四种命题及相互关系 85、充分条件和必要条件 86、简单的逻辑联结词 97、全称量词与特称量词 9五、函数与导数 101、幂的运算及指数的运算 102、对数的运算 103、指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 114、导数的运算 13六、三角函数与解三角形 141、弧度制（弧长及扇形面积） 142、任意角的正弦、余弦、正切的定义 143、同角三角函数的基本关系 144、诱导公式 155、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 156、正弦定理、余弦定理、面积公式 167、利用正弦、余弦定理解三角形 17七、数列 181、等差数列 182、等比数列 203、数列求通项 214、数列求和 21八、平面向量 231、公式法 231/41优能个性化产品研发中心2、三角形“五心”向量形式表示 24九、复数 251、复数的基本概念、复数相等的条件 252、复数代数形式的四则运算法则 253、常见的运算规律 26十、空间向量与立体几何 261、棱柱、棱锥、球的表面积和体积 262、空间向量的坐标计算 263、空间向量距离公式、中点公式、重心公式 274、利用空间向量解决立体几何问题 27十一、平面解析几何初步 291、直线的倾斜角、斜率、表达式 292、直线的位置关系 293、点点距离、点线距离、线线距离 304、圆的标准方程与一般方程 305、直线与圆、两圆的位置关系（d表示圆心到直线的距离） 31十二、圆锥曲线与方程 321、椭圆 322、双曲线 333、抛物线 34十三、统计 351、简单随机抽样 352、分层抽样和系统抽样 353、频率分布表，直方图，折线图，茎叶图 354、样本数据的数字特征 365、用样本的频率分布估计总体分布，用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征 36十四、排列、组合、二项式定理 371.排列组合 372.二项式定理 37十五、随机变量 391、古典概型、几何概型、条件概率 392、离散型随机变量的分布列 392/41优能个性化产品研发中心一、乘法公式必须记住的乘法公式（1）平方差公式a2b2=abab（2）完全平方公式ab2a22abb2（3）立方和公式a3b3=aba2abb2（4）立方差公式a3b3=aba2abb2（5）三数和平方公式abc2a2b2c22ab+bcac（6）两数和立方公式a+b3a3+3a2b3ab2+b3（7）两数差立方公式ab3a33a2b3ab2b3二、二次函数1、二次函数的表达式（1）一般式：fxax2bxca,b,c为常数，a0（2）顶点式fxaxh2ka0（3）零点式：fxaxx1xx2a02、一元二次方程的根与系数的关系ax2bxc=0a,b,cR，a0,0的两根是x1,x2,则x1x2baxxc 1 2 a3/41优能个性化产品研发中心三、不等式1、解一元二次不等式判别式b24ac000二次函数yax2bxca0的图象有两个相异实数根一元二次方程xb有两个相等实数根ax2bxc0a0的根1,22ax1x2b没有实数根x1x22abxx＜或一元二次不等式ax2bxc＞02axxRa0的解集b+2ax＞2abb+2bxc＜0一元二次不等式axx2a＜x＜2aa0的解集4/41优能个性化产品研发中心2、含绝对值不等式a0时，有xax2a2axa;ax2a2xa或xa.3、根式不等式fx0①fxgxgx0fxgxfx0x0②fxgxgxgx2ffx0③fxgxgx0xgx2f

fx0gx04、指数、对数不等式①当a1时，afxagxfxgxfx0logafxlogagxgx0fxgx②当0a1时，afxagxfxgxfx0logafxlogagxgx0fxgx5/41优能个性化产品研发中心5、分式不等式fx0fx0fx0fxgx0;①或gxgx0gx0fx0fx0fx0fxgx0;②或gxgx0gx0fxfxgx00③00gx0gx④fxafxagx0gxfxagx0.gxgx6、基本不等式①重要不等式如果a,bR，那么a2b22ab（当且仅当ab时取“=”）.②基本不等式如果a,bR，那么ab2ab（当且仅当ab时取“=”）.③基本不等式的几种变形形式ab2a2b2a,bR;ab222aba2b2a,bR;ab1122abbaba2（a,b同号，当且仅当ab时取“=”）；a2b2c2abbccaa,b,cR.6/41优能个性化产品研发中心四、集合与常用逻辑用语1、常用数集及其记法常用数集一览表掌握打√常用数集简称记法☐全体非负整数组成的集合非负整数集(或自然数集)N☐所有正整数组成的集合正整数集N/N+☐全体整数组成的集合整数集Z☐全体有理数组成的集合有理数集Q☐全体实数组成的集合实数集R2、集合间的基本关系子集、真子集、集合相等名称子集真子集集合相等记号AB(或BA)AÜB(或BÝA)ABAB，且B中至少有一元A中的任一元素都属于意义A中的任一元素都属于BB，B中的任一元素都属素不属于A于A(1)AA(1)ÜA(A为非空集合)(2)A(2)若AÜB且BÜC,则(1)AB性质(3)若AB且BC,则AC(2)BA(4)若AB且BA,则ABAÜC示意图或7/41优能个性化产品研发中心3、集合间的基本运算名称交集并集补集记号ABABCUA意义x|xA,且xBx|xA，或xBx|xU，且xA(1)AAA(1)AAA(1)ACUA(2)A(2)AA性质(3)ABA(3)ABAACUAU(2)ABBABB示意图4、四种命题及相互关系(1)“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题①原命题：pq②逆命题：qp③否命题：pq④逆否命题：qp(2)四种命题的相互关系原命题互逆逆命题若p则q若q则p互否互否互为逆否互否否命题互逆逆否命题p则q若q则p5、充分条件和必要条件（1）充分条件：若pq，则p是q的充分条件（2）必要条件：若pq，则p是q的必要条件（3）充要条件：若pq，则p是q的充要条件8/41优能个性化产品研发中心6、简单的逻辑联结词（1）或：pq（2）且：pq（3）非：p（4）pq，pq的真假：pqpqpq真真真真真假真假假真真假假假假假（5）p的真假：pp真假假真7、全称量词与特称量词（1）全称量词：（2）全称命题：xM,px成立（3）存在量词：（4）特称命题：x0M,px0成立（5）全称命题的否定：p:xM,pxp:x0M,px0（6）特称命题的否定：p:x0M,px0p:xM,px9/41优能个性化产品研发中心五、函数与导数1、幂的运算及指数的运算arasarsa0,r,sQarasarsa0,r,sQarsarsa0,r,sQabrarbra0,b0,rQbrbra0,b0,rQaramanama0,m,nN,且n1nm11mnana0,m,nN,且n1namanana（a必须使na有意义，nN，且n1）a01a0,a1a,a11aa02、对数的运算（1）对数的性质：几何恒等式（a，N，b都是正数，且a，b1）alogaN NlogaNlogbN（换底公式）logbaloganbmmnlogabloga10（2）对数的运算法则（a0且a1,MlogaMNlogaMlogaN；logamMm1logaM（3）常用对数：log10NlgN

logaaNNlogab1logbalogaa1log 11aa0,N0，nN*且n2）MlogaMlogaNlogaMnnlogaMlogaNlogan1logaMMn自然对数：logeNlnN（e2.71828 ）10/41优能个性化产品研发中心3、指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（1）指数函数的图像与性质a10a1图象定义域：R性值域：0，+质过定点0,1，即x0时，y1在R上是增函数在R上是减函数x0,ax1;x0,0ax1;x0,0ax1x0,ax1（2）对数函数的图像与性质a10a111/41优能个性化产品研发中心图11象0101定义域：(0,)值域：R性过定点(1,0)，即x1时，y0质在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数x1,logax0；x1,logax0；0x1,logax00x1,logax0（3）幂函数的图像与性质①幂函数的图像与性质函yx1特数yx2yx3yx1性征质0,定义域xxR且x00,0,值域yyR且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇x0,时，增x0,时，减单调性增x,0时，减增增x,0时，减定点0,0,1,11,1②五种幂函数的图象比较12/41优能个性化产品研发中心4、导数的运算(1)基本初等函数的运算公式：公式1：若f(x)c，则f'(x)0公式2：若f(x)xn，则f'(x)nxn1公式3：若f(x)sinx，则f'(x)cosx公式4：若f(x)cosx，则f'(x)sinx公式5：若f(x)ax，则f'(x)axlna(a0且a1)公式6：若f(x)ex，则f'(x)ex公式7：若f(x)logax，则f'(x)xln1aa0且a1公式8：若f(x)lnx，则f'(x)1x(2)导数的运算法则：13/41优能个性化产品研发中心[f(x)g(x)]f(x)g(x)[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)f③(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)g2(x)g(x)Cf(x)Cf(x)(C为常数)fxfx(其中=(x))六、三角函数与解三角形1、弧度制（弧长及扇形面积）（1）弧度与角度互化：2rad360,rad180,1rad(180)5718',1(180)rad.（2）弧长，扇形面积公式：设扇形的弧长为l，圆心角大小为(rad)，半径为r，弧长公式：lr；扇形的面积公式：S12r2.2、任意角的正弦、余弦、正切的定义(1)设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点Px,y，那么：siny, cosx, tanxy(2)设点Ax,y为角终边上任意一点，那么：（设rx2y2）sinry，cosrx，tanxy3、同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2cos21，14/41优能个性化产品研发中心（2）商数关系：tan=cossin.（3）sinxcosx;sinxcosx;sinxcosx三个关系间的关系(sinxcosx)2(sinxcosx)24sinxcosx;(sinxcosx)2(sinxcosx)24sinxcosx;2sinxcosx(sinxcosx)211(sinxcosx)24、诱导公式诱导公式格式：k2(kZ)（1）可以为任意角，但是一般设为锐角.（2）诱导公式记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.①首先判断角所在象限；②其次根据角所在象限判断符号③奇变偶不变（k是奇数，变函数名，即sincos；k是偶数，不变函数名）（3）在角k2(kZ)中，若k2(kZ)不在[0,2)内，在计算时可以直接加上或者减去2的整数倍后在进行计算.5、两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）和角和差角公式sin()=sincossincoscos()=coscos sinsintan()=tantan1 tantanasinbcosa2b2sin()（2）二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2=2sincossin2=cos2sin2=2cos21=12sin2tan2=2tan1tan2（3）升幂公式15/41优能个性化产品研发中心1cos2cos221cos2sin221sin(sin22cos22)2（4）降幂公式sincos1sin22121cos22(1+cos2)6、正弦定理、余弦定理、面积公式（1）正弦定理①定理： a b c 2R，（R为△ABC外接圆半径）sinA sinB sinC2RsinA,b2RsinB,c2RsinC；sinA:sinB:sinCa:b:c；sinA2aR，sinB2bR，sinC2cR；sin2A+sin2B2sinAsinBcosCsin2Ca2b22abcosCc2；bcosC+ccosBasinBcosCsinCcosBsinA；bcsinBsinC等a2sin2A③解决的问题：已知两角和任一边，求其他两边和另一角；已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；16/41优能个性化产品研发中心（2）余弦定理①定理：a2=b2+c22bccosA；b2=a2+c22accosB;c2=a2+b22abcosC②定理变形：cosAb2c2a2bc2a2222=12bccosA=b+ca2bc2bccosBa2c2b2ac2b2222=12accosB=a+cb2ac2accosCa2b2c2ba2c2222=12abcosC=a+bc2ab2ba③解决的问题：已知三边求三角形的任意一角；已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两个角．7、利用正弦、余弦定理解三角形（1）解三角形中常用公式和结论ABCABC，BAC，CAB;sinAsin(BC);cosAcos(BC);tanAtan(BC)②在△ABC中（a,b,c分别为角A,B,C所对应的边）：abcABCsinAsinBsinC；a＞b＞cA＞B＞CsinA＞sinB＞sinC；a2+b2=c2角C为直角△ABC为直角三角形;；a2+b2＜c2角C为钝角△ABC为钝角三角形;a2+b2＞c2角C为锐角△ABC形状不确定;tanA+tanBtanCtanAtanBtanC;锐角△ABC满足：AB＞2,CB＞2,AC＞217/41优能个性化产品研发中心bc＞a,ac＞b;bc＜a,ca＜b,ab＜c.（2）已知三角形两边a,b及A解的个数A90A90A90ab一个解一个解一个解ab无解无解一个解ababsinA两个解无解无解absinA一个解absinA无解七、数列1、等差数列（1）定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.定义表达式：anan1dnN*,n2；an1andnN*（2）等差数列的通项公式与变形ana1(n1)danam(nm)dd=an-amn-m（3）等差数列的常见性质：①等差中项：若a,A,b成等差数列，则A称为a,b的等差中项，即A=a+b；2③若{an}为等差数列，前n项和为Sn，则其中Sk，S2kSk，S3kS2k，…仍成等差数列18/41优能个性化产品研发中心④当项数为偶数时，设项数为2n的等差数列：S偶aa2nnnan1,S奇aa2n1nnan.则有S偶S奇nd,S偶an122S奇an⑤当项数为奇数时，设项数为2n1：S偶aa2n2n1n1an,S奇aa2n1nnan.则有S奇S偶an,S偶n122S奇n（4）等差数列前n和Sn：（倒序相加法）Snn(a1an)或Snna11n(n1)d2 2（5）等差数列前n项和的最值问题：d2d①利用二次函数求S的最值：Snnan．22n1②利用an取值的正负情况来研究数列和的变化情况：当a1an0求得n值；0,d0时，Sn有最大值，通过an10当a1an0求得n值．0,d0时，Sn有最小值，通过an10（6）对称设项法：①项数为奇数项可设：鬃,a2d,a-d,a,a+d,a+2d,鬃②项数为偶数项可设：鬃,a2d,a-d,a+d,a+2d,鬃（7）等差数列判断方法：①定义法：anan1常数（n2）②中项公式法：2anan1an1n2an为等差数列③通项公式法：anpnq（p、q为常数）an为等差数列④前n项和公式法：SnAn2Bn（A、B为常数）an为等差数列⑤说明：后两种方法主要适用于选择填空中的简单判断，而不能用来证明等差数列。19/41优能个性化产品研发中心2、等比数列（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示.定义的表达式：an q或an1q(q¹0)an1 an（2）等比数列的通项公式及求和公式ananSn

a1qn1a1q0．amqnm．na1(q1)aaqa(1qn)(q1)1q1q（3）等比数列的性质：①等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G 是a与b的等比中项a,G,b成等比数列G2ab．②若{an}为等比数列，mnpqm,n,p,qN，则amanapaq．③若{an}为等比数列，公比为q(q¹1)，前n和为Sn，则其中Sk，S2kSk，S3kS2k，…仍成等比数列.④若{an}为等比数列,an>0则{logaan}为等差数列，反之，若{logaan}为等差数列，则{an}为等比数列；（4）对称设项法：减少运算量：,a,a,aq,①项数为奇数可设：鬃鬃 鬃qa,a,aq,aq3②项数为偶数可设：鬃鬃 鬃q3 q（5）等比数列的判定及证明①定义法：an1q（nN,q0是常数） an 是等比数列；an②中项法：an21anan2（nN）且an0 an 是等比数列；20/41优能个性化产品研发中心③通项法：ancqncq0 an 是等比数列．若mnpqm,n,p,qN，则amanapaq．④前n项和公式法：Sn=kqn-k(q¹ 0)说明：后两种方法主要适用于选择题，填空题中的简单判断，而不能用来证明等比数列.3、数列求通项（1）公式法：{a}是等差数列，则aa(n1)d；{a}是等比数列，则anaqn1nn1n1S（n1)（2）an与Sn的关系：an1SnSn1(n2)（3）累加法求数列的通项：an1anf(n)an1anf(n)（4）累乘法求数列的通项：an1anf(n)an1f(n)an（5）构造等差、等比数列求通项：an1panq；an1panqn4、数列求和数列求和的常用方法：公式法；分组求和；裂项相消法；错位相减法；特殊数列求和．（1）公式法：①等差数列求和公式：Snnann1dna1an122②等比数列求和公式：Sna11qn,q11qq1na1,（2）分组求和：21/41优能个性化产品研发中心①差比分组：an为等差数列，bn为等比数列，cnanbn，则cn前n项和Snc1c2c3cn1cn采用差比分组求和为：Sna1a2an+b1b2bn.②奇偶分组：a,n为奇数c2c3cn1cn采用奇若an等差数列，bn等差数列，cnn，则cn前n项和Snc1bn,n为偶数偶分组求和：SnS奇+S偶.③错位相减法：若an为等差数列，bn为等比数列，cnanbn或cnan，则cn前n项和用错位相减法.bn④裂项相消法：cn1111andanan1danan1111变形：mm111n(n1)nn1nnkknnk11112(求和要注意)nn2n2n2111132n12n322n12n3111114；21(2n1)(2n1)22n14n2n1类型二：①an2n(2nA)(2n1A)②an3n(3nA)(3n1A)类型三：①an(1)n4n(2n1)(2n1)

11；(2nA)(2n1A)1[11]2nA)(3n1A)(3(1)n(11)2n12n122/41优能个性化产品研发中心②an(1)n2AnBC(1)n(11)(BC)(AnB)(AnC)AnBAnC1类型四：n1nnn1类型五：对数式裂项：logan1logaloga(a0,a0)cacn1cnnn1n注：裂项相消就是把式子裂成两项相加减,最后求和的式子有加有减能相消,达到化简式子的目的.八、平面向量1、公式法（1）向量加减法运算：三角形法则①向量的加法：求两个向量的和平行四边形法则 ②向量的减法：一个向量减去另一个向量，相当于加上这个向量的相反数，即aba(b)．CBabBbabbabAbOBAOAaaaABBCACOAOBOCABOBOA注：向量加减法满足交换律和结合律律：交换律：abba结合律：(ab)ca(bc)．③平面向量的数乘ba．④平面向量坐标的加减、数乘运算：a(x1,y1)，b(x2,y2)，ab(x1x2,y1y2)．a(x1,y1)．23/41优能个性化产品研发中心（2）数量积的计算①ab|a||b|cosa,b．②已知a(x1,y1)，b(x2,y2)，则abx1x2y1y2．（3）向量模的计算x2y2①若已知平面向量的坐标a(x,y)，则|a|．m2②|manb||manb|2|a|22mn|a||b|n2|b|2（4）向量夹角的计算①两向量夹角的定义及范围：[0,]．x1x2y1y2②两向量间夹角的计算：cosab(为两向量夹角)|a||b|x12y12x22y22（5）向量的投影计算①投影的定义：|b|cos为b在a方向上的投影．x1x2y1y2ab②两向量间夹角的计算|b|cos=．x2y2|a|11（6）两个向量平行和垂直的判定x1y1①两个平行向量的判定：a//b(b0)R,使得abxyxy0()．1221x2y20yy0②两个垂直向量的判定：abcosa,b90ab0xx22112、三角形“五心”向量形式表示（1）O为 ABC的外心OA2OB2OC2（2）O为 ABC的重心OA+OB+OC=024/41优能个性化产品研发中心（3）O为 ABC的垂心OAOB=OBOC=OAOC（4）O为 ABC的内心aOAbOBcOC0（5）O为 ABC的的旁心aOA=bOBcOC九、复数1、复数的基本概念、复数相等的条件（1）虚数单位：i，i2=1（2）定义：形如zabia,bR的数叫做复数，其中a,b分别是它的实部和虚部.b0时，za为实数；当b0时，zabi为虚数；当a0且b0时，zbi为纯虚数.（3）①两个轴：实轴：x轴；虚轴：y轴.②实轴上的点都表示实数；③除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数.（4）复数相等：abi=cdiac,bda,b,c,dR.（5）复数的模及共轭复数①模：向量OZ的模r叫做复数zabia,bR的模，记作z或abi，由模的定义可知：z=abi=ra2b2（显然r0，rR）②共轭复数：设zabi，z的共轭复数记为z，则zabi,zza2b2,zza2b2.（6）复数的几何意义：复数zabia,bR对应复平面上的点Za,b，对应的向量是OZ=a,b2、复数代数形式的四则运算法则（1）加法：abi+cdiacbdi；（2）减法：abicdiacbdi；（3）乘法：abicdiacbdbcadi；25/41优能个性化产品研发中心abiabicdiacbdbcadiacbdbcad（4）除法：=i.cdicdicdic2d2c2d2c2d23、常见的运算规律zz;zz2a;zz2bi;zzz2z2a2b2；zzR;i4n1i;i4n21;i4n3i;i4n41；十、空间向量与立体几何1、棱柱、棱锥、球的表面积和体积名称面积体积圆柱S侧2rhVShr2h圆锥S侧rlV锥体1Sh3圆台1S侧r1r2lV台体S上S上S下S下h3直棱柱S侧ChVSh正棱锥1为斜高1S侧V3Sh2Chh正棱台11S侧h为斜高V台体S上S上S下S下h32CCh球S球4R2V4R332、空间向量的坐标计算ax1,y1,z1,bx2,y2,z2，则①abx1x2,y1y2,z1z2;②abx1x2,y1y2,z1z2;26/41优能个性化产品研发中心ax1,y1,z1R;abx1x2y1y2z1z2.⑤设Ax1,y1,z1,Bx2,y2,z2,则BAOAOBx1x2,y1y2,z1z2.3、空间向量距离公式、中点公式、重心公式①设点Ax1,y1,z1，Bx2,，则；y2,z2ABx1x22y1y22z1z22②设点Ax1,y1,z1，Bx2,y2,z2，Cx3,y3,z3，xxyy2zz2则线段AB的中点坐标为,,.222xxxyyyzzz则ABC的重心坐标为,,3334、利用空间向量解决立体几何问题（1）平行①线线平行：a//ba//bab；②线面平行：a//amam0；③面面平行：//m//nmn。（2）垂直①线线垂直：ababab0；②线面垂直：aa//mam；③面面垂直：mnmn0。（3）角度|ab|①线线角：cos|cos|(为向量a,b夹角[0,]，为两直线a,b夹角[0,])；2|a||b|27/41优能个性化产品研发中心|am|(为直线a与平面的所成的角[0,②线面角：sin])；2|a||m||mn|cos,为二面角[0,2]|m||n|。③面面角：|mn|cos,为二面角[,]|m||n|2（4）距离①点面距：P平面的法向量为n，P是平面外一点，点M为平面内n任一点，则P到平面的距离d就是MP在向量nM方向上射影的绝对值：d|nMP|；|n|E②线线距：aa,b是两异面直线，n是a,b的法向量，点Ea,Fb则异面直线a,b之间的距离是：EF；dnbFn3线面距：平面∥直线l，的法向量为n，P直线l，点M为平面内l PnM

一点，则直线l与平面的距离d就是MP在向 n方向上射影的绝对值：d|nMP||n|4面面距：P平面//平面，平面的法向量为n，点M为平面内一点，n点P为平面内一点，则平面与平面的距离d就是MP在向量M|nMP|n方向上射影的绝对值：d。|n|28/41优能个性化产品研发中心十一、平面解析几何初步1、直线的倾斜角、斜率、表达式(1)直线的倾斜角：0,180．(2)直线的斜率①当倾斜角2时，ktan；②过两点的斜率：ky2y1x1x2，Ax1,y1,Bx2,y2.xx21(3)直线的方程表达式①斜截式：ykxb②点斜式：yy0k(xx0)xx0③两点式：yy1xx1x1x2,y1y2yyxx2121④截距式：axby1ab0⑤一般式：AxByC0A，B不全为02、直线的位置关系（1）斜截式形式：l1:yk1xb1，l2:yk2xb2①l1//l2kk12b1b2；l1和l2相交k1k2；③l1和l2kk重合12b1=b2；29/41优能个性化产品研发中心l1l2k1k21（2）一般式形式：l1:A1xB1yC10；l2:A2xB2yC201l1//l2AB=AB1221；A1C2A2C1或B1C2B2C1l1和l2相交A1B2A2B1③l1和l2AB=AB重合1221A1C2=A2C1或B1C2=B2C1l1l2A1A2B1B203、点点距离、点线距离、线线距离（1）两点间距离：设A(x1,y1)，B（x2,y2）|AB| (x1x2)2(y1y2)2（2）点到直线距离：设点Px0,y0，直线l:AxByC0d Ax0By0CA2B2（3）两平行线间的距离：设l:AxByC0；l:AxByC0CC211221dC1C2A2B24、圆的标准方程与一般方程（1）圆的标准方程xa2yb2r2，其中圆心a,b，半径为r；（2）一般方程：x2y2DxEyF0（隐含条件：D2E24F0D,E）其中圆心，221半径rD2E24F230/41优能个性化产品研发中心（3）以A(x1,y1)，B(x2,y2)为直径的圆的方程可以设为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)05、直线与圆、两圆的位置关系（d表示圆心到直线的距离）（1）直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种：dr相离0dr相切0dr相交0；弦长公式l2r2d2（2）两圆的位置关系：圆心距O1O2d，R＞r①外离：dRr②外切：d=Rr③相交：Rr＜d＜Rrh④内切：d=Rr⑤内含：d＜Rr31/41优能个性化产品研发中心十二、圆锥曲线与方程1、椭圆焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形x2y2y2x2标准方程abab第一定义到两定点F1、F2的距离之和等于常数2a，即|MF1||MF2|2a（2a|F1F2|）第二定义MFe(0e1)与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即d范围axa且bybbxb且aya顶点A1a,0、A2a,0A10,a、A20,aB10,b、B20,bB1b,0、B2b,0轴长长轴的长2a短轴的长2b对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称焦点F1c,0、F2c,0F10,c、F20,c焦距FF2c(c2a2b2)12c离心率ec2a2b21b2(0e1)aa2a2a2xa2ya2准线方程cc焦半径左焦半径：MF1aex0下焦半径：MF1aey0M(x0,y0)右焦半径：MF2aex0上焦半径：MF2aey0焦点三角形面积SMFFb2tan(F1MF2)212通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：HH2b2A(x1,y1),B(x2,y2)，（焦点）弦长公式AB1k2x1x21k2(x1x2)24x1x232/41优能个性化产品研发中心2、双曲线焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形x2y2y2x2标准方程abab第一定义到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数2a，即|MF1||MF2|2a（02a|F1F2|）第二定义MFe(e1)与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即d范围xa或xa，yRya或ya，xR顶点1a,0、2a,010,a、20,a轴长实轴的长2a虚轴的长2b对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称焦点F1c,0、F2c,0F10,c、F20,c焦距FF2c(c2a2b2)cc2a2b2b2(e1)离心率aa21aa2ya2准线方程ccba渐近线方程ab左焦：MFexa左焦：MFeyaM在右支MF2ex0aM在上支MF2ey0a焦半径右焦：右焦：M(x0,y0)MFexaMFeya左焦：左焦：0M在左支MF2ex0aM在下支MF2ey0a右焦：右焦：焦点三角形面积SMFFb2cot(F1MF2)2通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：HHb233/41优能个性化产品研发中心3、抛物线图形标准方程p0y22pxx22pyx22pyy22pxp0p0p0定义与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)顶点0,0离心率e1对称轴x轴y轴范围x0x0y0y0pppp焦点F,0F,0F0,F0,2222准线方程xpxpypyp2222焦半径ppppM(x0,y0)MFxMFxMFyMFy通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：HH2p焦点弦长ABx1x2p公式参数p的几参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔何意义设AB为过抛物线y22px(p0)焦点的弦，A(x,y)、B(x,y)，直线AB的倾斜角为，则1122⑴xxp2,yyp2;⑵AB2p;12412sin2⑶以AB为直径的圆与准线相切；⑷焦点F对A、B在准线上射影的张角为2⑸112.|FA||FB|P34/41一对一&一对六 产品研发中心十三、统计1、简单随机抽样（1）定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回的抽取n个个体作为样本(nN)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。（2）最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.2、分层抽样和系统抽样（1）系统抽样的步骤：假设要从容量为的总体中抽取容量为的样本.①编号：先将总体的N个个体编号；②分段：确定分段间隔k，对编号进行分段，当Nn（n是样本容量）是整数时，取kNn；③定首个个体：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号1(1k)；④获取样本：按照一定的规则抽取样本，通常是将1加上间隔k得到第2个个体编号1k，再加k得到第3个个体编号12k，一次进行下去，直到获取整个样本.（2）分层抽样①定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合起来一起作为样本，这种方法叫做分层抽样.②分层抽样的范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样.③分层抽样的步骤a.分层：将总体按某种特征分成若干部分；b.确定比例：计算各层的个体数和总体的个体数的比c.确定各层抽取的样本容量.d.在每一层进行抽样（各层分别按照简单随机抽样的方法进行抽取），综合每层抽样，组成样本.3、频率分布表，直方图，折线图，茎叶图（1）频率直方图：通常我们对总体作出的估体数一般分成两种：一种是用样本的频率分布估计总体的分布；另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征.（2）作频率分布直方图的步骤①求极差（即一组数据中最大值和最小值的差）②决定组距和组数③将数据分组④列频率分布表⑤画频率分布直方图（3）在频率分布直方图中，纵轴表示频率/组距，数据落在各小组内的频率用各小组的长方形面积表示，各长方形的面积总和等于1.（4）频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图35/41一对一&一对六 产品研发中心（5）总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越接近光滑曲线，即总体密度曲线.（6）茎叶图的两个突出的有点①统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；②茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录和表示4、样本数据的数字特征（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数（2）中位数：将一组数据按照大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或者最中间两个数据的平均数）叫做这组数据中的中位数.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等.（3）平均数：样本数据的算数平均数，即；x1n(x1x2...xn)（4）样本方差：s21n((x1x)2(x2x)2...(xnx)2)；标准差s1n((x1x)2(x2x)2...(xnx)2)，其中xn是样本数据的第n项，n是样本容量，是平均数，标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方，通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差5、用样本的频率分布估计总体分布，用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征（1）中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等，由此可以估计中位数值（2）平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底面中点横坐标之和（3）众数：最高矩形的中点横坐标（4）直方图和条形图的区别：不要把直方图错当成条形图，两者的区别在于条形图是离散随机变量，纵坐标的刻度为频数或者频率，直方图是连续随机变量，纵坐标的刻度为频率/组距，这是密度，连续随机变量在某一点上是没有频率的；（5）平均数、众数、中位数①平均数与每一个样本数据有关，所，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是中位数、众数都不具有的性质；②众数考察各数据出现的频率，其大小只与这组数据中的部分数据有关，众数可以有多个；③某些数据的变动对中位数可能没有影响，中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当中间是两个数据的时候，中位数为这两个数的平均值，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势.36/41一对一&一对六 产品研发中心十四、排列、组合、二项式定理1.排列组合（1）排列数公式mnn1n2nm1n!①Annm!Annn!，规定0!1.（2）组合数公式①Cmnn1n2nm1n!；m!nm!nm!②CmCnm，规定C01.nnnn（3）排列与组合的区别:排列有顺序，组合无顺序（4）排列与组合的联系:AmCmAm，即排列就是先组合再全排列nnmCmAnmnn1n2nm1n!mnm!nm!nAmmmm121（5）排列与组合的两个性质:排列Anm1AnmmAnm1；组合Cnm1CnmCnm12.二项式定理（1）二项式定理:abnCn0anCn1an1bCn2an2b2 Cnranrbr CnnbnnN.（2）二项展开式的通项公式:Tr1Cnranrbr0rn,rN,nN（3）项的系数与二项式系数项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为