1.数理方程中典型方程和定解条件的推导

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数学物理方法一些典型方程和定解条件的推导第一章CalculationsofSomeTypicalEquationswithDefiniteConditions思路数学物理方程与特殊函数2

一.均匀弦的横振动方程的建立二.传输线方程(电报方程)的建立三.电磁场方程的建立四.热传导方程的建立

提要：五.举例3数学物理方程的建立：

从考察对象中任取一微元，寻找与之有关的力、热、声、光、电等物理关联——数学表述，并对其整理、简化，得到所研究问题的偏微分方程。——“一语道破！”适用范围：这是从事科学研究的基本方法与路径。4

5第一章一些典型方程和定解条件的推导§1.1基本方程（泛定方程）的建立

物理模型（现象、过程）

数学形式表述（建立偏微分方程并求解）目的：培养分析、归纳、综合、演绎、抽象、猜测、试探、估算的科学方法。步骤：(1）确定研究对象（物理量），建立合适的坐标系；（2）在系统内部，任取一微元，利用物理规律，分析其与相邻部分间的作用；（3）忽略次要因素，抓住主要矛盾；（4）化简整理，得到偏微分方程。

不含初始条件不含边界条件6物理状态描述:

设有一根均匀、柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，除受到重力外，不受其它外力影响，在铅直平面内作横向、微小振动。平衡位置任意截取一小段，并抽象性夸大。弦的振动：虽然经典，但极具启发性。一.均匀弦的横振动方程的建立7X1、建立坐标系选定微元uodsMNM'N’xx+dx2、微元ds的动力学方程（牛顿第二运动定律）TT’隔离物体法8X1、建立坐标系选定微元uodsMNM'N’xx+dx2、微元ds的动力学方程（牛顿第二运动定律）TT’(1)(2)9

马克思在《数学手稿》中指出：微分是“扬弃了的或消失了的差值”。哲学上的“扬弃”是指“既被克服又被保存”，是包含着肯定的否定。在导数定义中，分子Δy

和分母Δx

都被扬弃了，就是说，它们都消失为0，从而有限大小的Δx

和Δy

都被克服，差商

但是，它们的依赖关系（比值）却保存下来了。我们记扬弃了的（或消失了的）那末，导数就是导数10——从运动的观点看导数的定义导数关于函数的某种形式的极限（实质）函数在某点上的变化率（数学结构）某点上切线的斜率（几何意义）导数“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，并且也表明过程：运动。”

——摘恩格斯.《自然辩证法》113、忽略与近似(1)(2)dsTT’o①

对于小振动：所以有：123、忽略与近似(1)(2)①对于小振动：于是（1）式变为：代入（2）式变为：②一般说来，，将g略去，上式变为1314上式实际上可以明确表示为：令，于是有：一维波动方程4、整理化简15L＋二.传输线方程(电报方程)的建立

现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体,每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以R、L、C、G表示。

对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出,同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能被忽视，因而同一支路中电流呈现瞬态变化。16●●物理状态描述:

设如图传输线是分布参数电路，即传输线上电阻R、电感L、电容C和电导G是按单位长度计算其对应的物理量，并且在x+dx范围之内的所有元件无论布局如何，均认为其长度为dx.17电容元件：电感元件：换路定理:在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。电路准备知识18+–LLCC＋－+-●●与同学们商榷的几个问题：（P4-5）（1）设某时刻t，输入与输出端的对应关系是否合理?（2）电流作为初始条件，在流经电感时是否要变化？（3）按照图示，电容与电导两端的电压如何界定（注意P5.-1.5式）？”是否合理？“另外,由基尔霍夫第一定律,流入节点的电流应等于流出该节点的电流,即19梁昆淼先生的做法：

“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容，电漏分别记以R，L，C，G。于是亦即亦即将作用于第一式,作用于第二式,两结果相减,就消去了而得的方程同理,消去,得到的方程20

设某时刻t，对应关系如下：左端：；右端:+–LLCC＋－+-输入端输出端参阅：丘关源主编《电路》P426-430，第十八章，均匀传输线。21+–LLCC＋－+-由基尔霍夫电压定律:由基尔霍夫电流定律:电容上的电流：电感上的电压：流入流出22+–LLCC＋－+-由基尔霍夫电流定律:电容上的电流：电感上的电压：整理后得到：相对于函数的变化率，略去无穷小量dx,得23由基尔霍夫电压定律:由基尔霍夫电流定律:(1.4)(1.5)2425基本电磁场量场的物质方程Maxwell方程电场强度磁场强度电感应强度磁感应强度介质的介电常数导磁率导电率传导电流的面密度电荷的体密度Vectordifferenceoperator三.电磁场方程的建立26目标:利用上述关系,分别解出、。由将代入上式，得对上式两边求旋度，得再将代入上式，得这是一个关于磁场强度的二阶微分方程方法之一27为进一步化简，利用Hamilton算子的运算性质磁场强度、磁感应强度的散度为零。如法炮制，可得关于电场强度的方程如果介质不导电（σ=0），上述方程简化为：三维波动方程将代入上式，得28目标:建立关于电位u的方程由电感应强度与电场强度的定义知：（电荷体密度）而电场强度与电位之间的关系，由下式确定由此可得：依据Hamilton算子的运算性质：这个非齐次方程称为泊松（Poisson）方程若静电场是无源的，即，上式又可写成这个齐次方程称为拉普拉斯（Laplace）方程上式可写成方法之二29数学准备知识303132

3334

35静电场方程——泊松(Poisson)方程方法之三36

37物理模型:均匀且各向同性的导热体,在传热过程中所满足的微分方程.研究对象:热场中任一闭曲面S,体积为V,热场V(体积)S(闭曲面)

t时刻,V内任一点M(x,y,z)处的温度为u(x,y,z,t).●M

曲面元ds的法向(从V内V外)

ds数学表述为：四.热传导方程的建立物理规律:由热学的(Fourier)实验可知:dt时间之内,流经面元ds的热量dQ,

与——时间dt成正比；曲面面积ds成正比；温度u沿曲面法方向的方向导数成正比。38

关于双侧曲面的侧与其边界曲线的方向作如下规定：设有人站在双曲面指定的一侧，沿其行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界线的正向；若沿其行走，指定的侧总在人的右方，则人前进的方向为边界线的负向，这个规定方法也称为右手法则，即当右手除拇指之外的四指按的正向弯曲时，竖起的拇指所指的方向与上法向量的指向相同，称如此规定了正向的边界曲线为曲面的正向边界曲线．如图所示．

小常识39●MdsV(体积)S(闭曲面)热场40●MdsV(体积)S(闭曲面)热场数学表述为：从t1t2,通过曲面元S,流入区域V的热量为必然等于V内各点所吸收的热量(热量守恒)

上式中的，在热学中的意义？

为何上式左边的“—”号又不见了？41数学处理：由于S为闭曲面，假设u(x,y,z)具有一阶连续偏导数,那么依据奥—高公式（高斯公式）因此有：42由于[t1,t2]以及区域V的任意性,且被积函数为连续,因此有若令:,那么上述方程可写为三维热传导方程43讨论:(1).若V内有热源,强度为F(x,y,z,t),则热传导方程为其中(2).若导热体为一根细杆,则(3).若导热体为一薄片,则44(4).若热场为一稳恒场(温度趋于平衡状态),则与之对应有稳恒温度场内的温度满足Laplace方程.(5).在研究气体的扩散、液体的渗透、半导体材料中杂质的扩散等物理过程时,若扩散系数为常量，那么所导出的扩散方程，形式上与热传导方程相同。即这里——扩散系数——浓度45一.均匀弦的横振动方程二.传输线方程(电报方程)——一维波动方程——高频传输线方程三.电磁场方程——三维波动方程四.热传导方程(场点t时刻的温度分布)——三维热传导方程(振幅)(电流、电压)46§1.2初始条件与边界条件上一节谈到：物理规律数学表述；我们还需要将

具体条件数学表述出来。

所提出的具体条件，应该恰如其分地说明系统的初始状态，以及边界上的物理情况，不能提出过多的条件，也不能提出过少的条件。

从物理的角度来说，只要确定了系统的初始状态、边界上的物理情况，那末其后的发展，也必是确定的了；换言之，其相应的数学问题，应该有唯一的解。

一、初始条件——系统内部描述与时间有关的初始状态的数学表述。（1）弦振动47（2）热传导

特别说明：Poisson方程，Laplace方程，都是描述稳恒状态的，与初始条件无关，可不提初始条件。

列出初始条件，一般都不至于感到困难，不过有一点必须强调：初始条件应当说明整个系统的初始状态，而不是系统中个别地点的初始状态！48

二、边界条件——具体物理问题的边界约束状态。以弦振动为例，弦振动时，其端点（以x=a表示这个端点）所受到的约束情况，通常有以下三类●右端点在振动过程中始终保持不动。（1）固定端（右端）（2）自由端（右端）右端点在振动过程中不受u方向的外力，从而这个端点在位移方向上的张力为0。49（3）弹性支承端50又如热传导问题：V(体积)S(闭曲面)●Mds515253本课程内容，只涉及线性边界条件，且仅包括以下三类。第一类边界条件：物理条件直接规定了u在边界上的值，如第二类边界条件：物理条件并不直接规定了u在边界上的值，而是规定了u的法向微商在边界上的值，如第三类边界条件：物理条件规定了u与un

在边界上值之间的某个线性关系，如54§1.3定解问题的提法1.二阶线性偏微分方程的解二阶线性偏微分方程的最一般形式为（n个自变量）对于只有两个自变量的情况，上式则变化为（1.33）（1.34）线性偏微分方程（1.33）的重要特征之一，就是从本身的形式上，将叠加原理表现得淋漓尽致。5556结论：如果一个函数u，具有某个偏微分方程中所要求的各阶连续偏导数，并代入该方程，使其变成为恒等式，则此函数被称为该方程的解（古典解）。2.几个名词简介573.定解问题的稳定性与适定性物理问题“翻译”为数学问题，是否符合客观实际，尚须加以验证！（1）解的存在性——定解问题是否有解。（2）解的唯一性——是否只有一个解。（3）解的稳定性——定解条件发生微小变化，解亦只有微小变化。方法：试算+实验本书所涉及的定解问题，都是古典的，适定的。“+”——拟合上述：解的存在性、唯一性、稳定性，被通称为适定性。585960为什么?61为什么?

小技巧!微分性质的不变性.626364方法之二6566设有空间两点，若以M1为始点，另一点M2为终点的线段称为有向线段.通过原点作一与其平行且同向的有向线段.将与Ox,Oy,Oz三个坐标轴正向的夹角,分别记作α,β,γ.这三个角α,β,γ称为有向线段的方向角.则其方向角也是唯一确定的。其中,0≤α≤π,0≤β≤π,0≤γ≤π.若有向线段的方向确定了，方向角的余弦称为有向线段或相应的有向线段的方向余弦。67等温线或等温面●68等温线或等温面●69等温线或等温面●70例.

设长为的均匀细弦，两端固定，初始位移为0。开始时，在处受到冲量为的作用，试写出其定解问题。解：建立坐标系，并选取研究对象如图示。

其一维波动方程为：泛定方程（1）由两端固定，知：边界条件（2）为了导出初始条件，考虑：由初始位移为0，知由开初时，在处受到冲量的作用知上的动量改变，即为冲量，于是有对于点周围足够小的，弦段71为了导出初始条件，考虑：由初始位移为0，知由开初时，在处受到冲量的作用知上的动量改变，即为冲量，于是有质量速度冲量：力的时间作用效应。动量定理：动量的改变=冲量的作用。受冲击时的初位移受冲击时的初速度动量：质量与速度的乘积。对于点周围足够小的，弦段由此可见：初始条件为初始条件（3）72最后可得定解问题泛定方程（1）边界条件（2）初始条件（3）7374解：建立坐标系，并选取研究对象如图示。

其一维波动方程为：泛定方程（1）由两端固定，知：边界条件（2）为了导出初始条件，考虑：由初始位移为0，知由开初时，在处受到冲量的作用知上的动量改变，即为冲量，于是有对于点周围足够小的