质点力学理论力学

质点力学理论力学2一、基本概念质点有质量的几何点理想模型参照系、坐标系被选定的参考物体在参照系上建立坐标系常用坐标系：直角坐标系、平面极坐标系、自然坐标系等位置矢量第2页,共86页，2024年2月25日，星期天3位置矢量极轴第3页,共86页，2024年2月25日，星期天4二、运动方程与轨道运动方程质点位置与时间的关系式直角坐标极坐标轨道方程第4页,共86页，2024年2月25日，星期天5三、位移、速度、加速度位移注意：位移与路程的区别速度注意：(1)速度矢量(2)速率第5页,共86页，2024年2月25日，星期天6加速度速度和加速度的定义都是矢量求导，计算困难.解决方法：建立坐标系，把矢量导数的计算化为标量计算.根据实际问题运动特点，需采用适当的坐标系，可化简计算.第6页,共86页，2024年2月25日，星期天7§1.2速度、加速度的分量表示式一、直角坐标系

已知

初始条件第7页,共86页，2024年2月25日，星期天8二、极坐标系

推导

推导第8页,共86页，2024年2月25日，星期天9注意1.2.单位矢量求导第9页,共86页，2024年2月25日，星期天10推广长度恒定的矢量转动时，对时间的变化率以转动第10页,共86页，2024年2月25日，星期天11三、自然坐标系

随质点一起运动，建立在轨道曲线上的动系.

基矢：切向、主法向、负法线

从轨道上选取一个原点o，用沿轨道曲线的弧长

s描述质点的位置推导第11页,共86页，2024年2月25日，星期天12图ijk第12页,共86页，2024年2月25日，星期天13例题1

例题1：椭圆规尺AB的两端分别沿相互垂直的直线槽ox及oy滑动，已知B端以匀速c运动.求：规尺上M点的轨道方程，速度，加速度。第13页,共86页，2024年2月25日，星期天14例题2已知：运动方程b、c是常数求：速度、加速度例题3已知：质点的轨道方程

为切线与水平线夹角，s弧长.圆滚线方程证明：若为常数，加速度也为一常数.第14页,共86页，2024年2月25日，星期天15例题4证明质点在平面运动中其速度的大小可用下式表示

曲率半径，

为速度与水平线夹角第15页,共86页，2024年2月25日，星期天16一质点沿抛物线运动，速率为常量c.运动过程中质点的纵坐标y不断变小.试求出质点的速度和加速度.例题5第16页,共86页，2024年2月25日，星期天17§1.3平动参照系两参照系作平动的情况S系：oxy静系S’系：o’x’y’动系任一质点P：绝对速度＝相对速度＋牵连速度绝对加速度＝相对加速度＋牵连加速度特别：S’相对S作匀速直线运动第17页,共86页，2024年2月25日，星期天18例题1已知：小船M看成质点，被水冲走，用绳拉回A点。设水流速度c1，拉回速度c2。求：小船的轨迹第18页,共86页，2024年2月25日，星期天19§1.4质点运动定理一、牛顿运动定律

1.牛顿第一定律任何物体如果没有受到其它物体的作用，都将保持静止状态或匀速直线运动状态.惯性定律

2.牛顿第二定律3.牛顿第三定律第19页,共86页，2024年2月25日，星期天20二、相对性原理内容：一切惯性系中力学规律是相同的理解：（1）什么是惯性系？（2）非惯性系（3）相对惯性系作匀速直线运动的参照系都是惯性系可知：（1）惯性系有许多，知道一个惯性系中的物理定律，就可知其它惯性系中的物理定律.

（2）是用来判断学者们提出的物理学说正确与否的依据.第20页,共86页，2024年2月25日，星期天21例如证明牛顿第二定律满足相对性原理

S系：相对地球静止，惯性系

S’系与S系中牛顿第二定律形式相同，符合相对性原理S’系：作匀速直线运动，惯性系.第21页,共86页，2024年2月25日，星期天22§1.5质点运动微分方程本章宗旨：

解微分方程：（1）受力分析万有引力、弹性力、电磁场对电荷的作用力、摩擦力、介质阻力等.一、建立运动微分方程

1.自由质点第22页,共86页，2024年2月25日，星期天23（2）化为标量方程直角坐标系平面极坐标自然坐标第23页,共86页，2024年2月25日，星期天24（3）初始条件（4）求解运动方程非线性

混沌第24页,共86页，2024年2月25日，星期天252.非自由质点解决方法：去掉约束，用约束反作用力代替

运动微分方程

解方程与自由质点一样

注意（1）一般未知，加约束方程（2）用自然坐标系很方便第25页,共86页，2024年2月25日，星期天26例题1力仅是时间的函数自由电子在沿x轴的振荡电场中运动：电子受力：第26页,共86页，2024年2月25日，星期天27例题2力是速度的函数

研究在有阻力的媒质中运动的抛射体。若求抛射体的轨道方程

第27页,共86页，2024年2月25日，星期天28例题3力是坐标的函数原子在晶体点阵中的运动第28页,共86页，2024年2月25日，星期天29利萨如图形第29页,共86页，2024年2月25日，星期天30受迫振动LRC电路第30页,共86页，2024年2月25日，星期天31例题4

质量为m的质点，在有阻力的空气中无初速地自离地面为h的地方竖直下落，如阻力与速度成正比（mkv），试求运动方程。第31页,共86页，2024年2月25日，星期天32例题5

小环的质量为m，套在一条光滑的钢索上，钢索的方程式为.试求小环自x=2a处自由滑至抛物线顶点时的速度及小环在此时所受到的约束反作用力。第32页,共86页，2024年2月25日，星期天33质点动力学问题解题总结受力分析写出运动微分方程矢量式建立适当的坐标系分解标量方程解微分方程讨论第33页,共86页，2024年2月25日，星期天34§1.6非惯性系动力学（1）一、加速平动参照系中运动微分方程

S系：oxy静系物理意义S’系：o’x’y’动系第34页,共86页，2024年2月25日，星期天35二、惯性力惯性力反映参照系不是惯性系惯性力不是物体间的相互作用，没有施力者，也不存在反作用力第35页,共86页，2024年2月25日，星期天36§1.7功与能一、功与功率功：元功：第36页,共86页，2024年2月25日，星期天37若功率：第37页,共86页，2024年2月25日，星期天38二、能

物体处在某一状态所具有的能量能是状态量，功是过程量，是能量变化的量度

物体相对位置发生变化V机械能第38页,共86页，2024年2月25日，星期天39三、保守力、非保守力与耗散力力场力仅是坐标的函数

保守力和非保守力耗散力做功与路径无关－－－－保守力第39页,共86页，2024年2月25日，星期天40四、势能1.定义：在保守力场中处的势能质点由势能的减少等于保守力所做的功是质点在第40页,共86页，2024年2月25日，星期天412.保守力的充要条件则为保守力即第41页,共86页，2024年2月25日，星期天42例题1设作用在质点上的力是求此质点沿螺旋线运行自时，力对质点所做的功.第42页,共86页，2024年2月25日，星期天43例题2接上题条件若可以证明做功与路径有关不存在势函数第43页,共86页，2024年2月25日，星期天44§1.8质点动力学的基本定理与基本守恒律一、动量定理与动量守恒1.动量适用范围更广，相对论中仍是此形式.2.动量定理第44页,共86页，2024年2月25日，星期天453.冲量力对时间的积累则但分量形式：若意义：质点不受外力作用时，动量保持不变.则若意义：质点动量的变化等于外力在这段时间内给予该质点的冲量.动量定理的积分形式.4.动量守恒定律第45页,共86页，2024年2月25日，星期天46二、动量矩定理与动量矩守恒律

对点的力矩对轴的力矩：对点的力矩再投影到轴上的大小右手螺旋的方向对A点的力矩力矩第46页,共86页，2024年2月25日，星期天47轴的力矩对x轴的力矩对y轴的力矩对z轴的力矩第47页,共86页，2024年2月25日，星期天482.动量矩定义第48页,共86页，2024年2月25日，星期天493.动量矩定理分量形式意义：质点动量矩的变化等于外力在该时间内给予该质点的冲量矩.积分形式

证明第49页,共86页，2024年2月25日，星期天504.动量矩守恒角动量守恒常量恒矢量第50页,共86页，2024年2月25日，星期天51例题

质点受力恒通过某一个定点，试证明质点必在某一平面上运动。证明：建极坐标系，O为坐标原点则r与F共线，得平面运动方程：角动量守恒：J为恒矢量第51页,共86页，2024年2月25日，星期天52三、动能定理与机械能守恒定理力是保守力机械能守恒积分形式证明意义：力对空间积累第52页,共86页，2024年2月25日，星期天53第一积分或初积分

如果方程对时间的一次微商就是牛顿运动微分方程，就称上式为牛顿运动方程的第一积分或初积分.数学上：二阶微分方程降为一阶物理上：力学量G是一个守恒量物理意义明显的初积分：动量守恒、动量矩守恒、能量守恒由初积分出发，问题的求解简化了一步优先使用守恒律第53页,共86页，2024年2月25日，星期天54例题1重锤轻杠固定o点在竖直平面内圆周运动自由落下用两种方法，求最低点的速度.第54页,共86页，2024年2月25日，星期天55势能曲线势垒势阱隧道效应第55页,共86页，2024年2月25日，星期天56一质量为m的质点，在保守力作用下作直线运动，其势能函数为：例题2a、c为常数试求：1）质点的稳定平衡点的位置

2）质点在稳定平衡位置附近作微小振动时的振动周期

第56页,共86页，2024年2月25日，星期天57图第57页,共86页，2024年2月25日，星期天58总结运动微分方程的初积分或第一积分三个守恒律第58页,共86页，2024年2月25日，星期天59§1.9有心力

方向：质点在运动中受力的方向总通过某固定点o力心大小：矢径r的函数

用两个坐标表示一、有心力的基本性质2.质点始终在一平面内运动1.有心力定义第59页,共86页，2024年2月25日，星期天603.基本方程分量形式第60页,共86页，2024年2月25日，星期天61方程（2）物理意义动量矩守恒（2）式：4.质点在有心力作用下，动量矩守恒5.有心力是保守力证明

机械能守恒第61页,共86页，2024年2月25日，星期天62已知可证明：由方程二、轨道微分方程（比耐公式）第62页,共86页，2024年2月25日，星期天63例题证明：质点受有心力作用做圆解：根据的运动，则第63页,共86页，2024年2月25日，星期天64三、平方反比引力－－－行星的运动1.用比耐公式求行星的轨道方程已知

由初始条件定方程解：由比耐公式：太阳（M）与行星(m)间的万有引力：第64页,共86页，2024年2月25日，星期天65轨道方程适当选取坐标原点可使双曲线抛物线椭圆讨论：圆锥曲线的标准方程第65页,共86页，2024年2月25日，星期天662.用能量守恒求轨道引力势能解：角动量守恒机械能守恒第66页,共86页，2024年2月25日，星期天67两种方法结果比较e的物理于意义初始能量决定说明：轨道的形状由总能量E决定，而E守恒，所以双曲线抛物线椭圆第67页,共86页，2024年2月25日，星期天68四、开普勒定律第一定律：行星绕太阳作椭圆运动，太阳位于椭圆的一个焦点上.第二定律：行星和太阳之间的联线（矢径），在相等时间所扫过面积相等.第三定律：行星公转的周期的平方和轨道半长轴的立方成正比.后来，牛顿发表了万有引力定律。从开普勒定律推出万有引力定律第68页,共86页，2024年2月25日，星期天691.由开普勒第二定律得出行星受有心力作用开普勒第二定律：所以：r必与F共线，行星必受有心力作用，太阳是力心行星有加速度，第69页,共86页，2024年2月25日，星期天702.由开普勒第一定律求行星受力量值第一定律：说明：行星受力是平方反比引力，但不能说就是万有引力，因h、p与行星有关，而万有引力中与行星无关.第70页,共86页，2024年2月25日，星期天713.由开普勒第三定律说明的意义扫过面积与行星无关.结论：h、p虽与行星有关，但开普勒第三定律：有由设行星运行周期第71页,共86页，2024年2月25日，星期天724.与万有引力比较行星运动周期第72页,共86页，2024年2月25日，星期天73五、宇宙速度与宇宙航行人造卫星运动轨道第73页,共86页，2024年2月25日，星期天74讨论1.当第二宇宙速度沿抛物线轨道飞出，脱离地球第一宇宙速度圆形轨道2.第74页,共86页，2024年2月25日，星期天753.当仿照地球：双曲线脱离太阳地球相对太阳的速度：行星脱离太阳的速度：还需克服地球引力：第三宇宙速度：第75页,共86页，2024年2月25日，星期天76六、粒子散射1911年，一个重要的实验，说明原子具有核式结构新西兰科学家E.卢瑟福和他的学生进行的原子核的发现第76页,共86页，2024年2月25日，星期天77卢瑟福散射实验1911理论计算与实验事实相符1909