专题12 新情景中的数学（选填题10种考法）（老师版）

专题12新情景中的数学（选填题10种考法）考法一集合与逻辑用语【例1-1】（2022浙江温州）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合B={x|一【答案】D故AnB={1,2,3}，故A八B的子集个数为8．故选【例1-2】（2022云南曲靖）杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神.”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】杜甫的诗句表明书读得越多，文章未必就写得越好，但不可否认的是，一般写作较好的人，他的阅读量一定不会少，而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛.因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要不充分条件.【例1-3】（2022秋·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考阶段练习）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|neZ}，k=0，1，2，3，4，给出如下四个结论：①2025e[3]；②一2e[2]；③Z=[0]u[1]u[2]u[3]u[4]u[5]；④整数a、b属于同一“类”的充要条件是“a一be[0]”.其中正确的结论个数为()【答案】B【解析】①2025=405x5+0e[0]，错误；③Z=[0]u[1]u[2]u[3]u[4]u[5]，对；每个整数除以5后的余数只有0,1,2,3,4，没有其他余数，故原命题成立.2eZ,（必要性）abe[0],:ab=5p,peZ即a,b除以5后余数相同，:a,b属于同一“类”故选：B考法二三角函数与解三角形【例2-1】（2022春·湖南怀化）明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进航海技术——“过洋牵星术”．简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位．其采用的主要工具是牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度．如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则tan2Q=()A.35B. 16C.37D.13【答案】Aa6【例2-2】（2022秋·全国·高三校联考阶段练习）秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》22(62+3222(62+32-52)212所以‘ABC中提出了已知三角形的三边求面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”以上文字用公式表示就是2a2-c2-b22，其中a，b，c分别是ΔABC的内角A，B，C的对边，S是ΔABC的面积，在ΔABC中，若a=3，b=5，c=6，则ΔABC的内切圆的面积为()7777π72【答案】C--(c2+a2-b2)2114||22设ΔABC的内切圆半径为r，由S‘ABC=lr，解得r=.7所以ΔABC的内切圆的面积为πr2=7【例2-3】（2022秋·广东肇庆·高三统考阶段练习）《周髀算经》是我国最早的数学典籍，书中记载：我国早在商代时期，数学家商高就发现了勾股定理，亦称商高定理三国时期数学家赵爽创制了如图1的“勾股圆方图”（以弦为边长得到的正方形ABCD是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成用数形结合法给出了勾股定理的详细证明.现将“勾股圆方图”中的四条股延长相同的长度得到图2.在图2中，若AF=6，BF=4，G，F两点间的距离为2，则“勾股圆方图”中小正方形的面积为()【答案】B在‘BFG中，由余弦定理得cosZGBF=BG2GF2=34=一，:cosZEBF=，1:BE=BF.cosZEBF1BFBF2BE2:EA=6,:“勾股圆方图”中小正方形的边长为EA一BE=2，:面积为4.故选：B【例2-4】（2022秋·安徽·高三合肥一六八中学校联考阶段练习）我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2f，3f，4f等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，一般不易单独听出来，所以我们听到的声音的函数为【答案】B子f(x)，故A不正确f(x)，故B正确；子f(x)，故C不正确；子f(x)，故D不正确；面上运动时留下的阴影，中间形如“水滴”部分的平面面积为()A.C.π-7 π-33【答案】A【解析】方程(x-cosθ)2+(y-sinθ)2=4中，令x=0，得cos2θ+y2-2ysinθ+sin2θ=4，所以2sinθ=y-，其中θE[0,π]，解得yE-,-1U,3，令y=0，得cos2θ+x2-2xcosθ+sin2θ=4，所以2cosθ=x-，其中θE[0,π]，由cosθE[-1,1]得x-E[-2,2]，所以点M(1,0)，点N(-1,0)；所以“水滴”图形是由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成，设半圆的面积为S1，弓形的面积为S2，等腰三角形的面积为S3；其面积是S=S1+2S2+S322(14π)122(14π)12-=-,考法三数列【例3-1】（2022秋·江苏淮安·高三校考阶段练习）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，ⅆ,以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为()A．壬午年B．辛丑年C．己亥年D．戊戌年【答案】A【解析】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，综上：100年后的2122年为壬午年.【例3-2】（2022·四川宜宾·统考模拟预测）南宋数学家杨辉给出了著名的三角垛公式：66【答案】A故选：A. 2【例3-3】（2022·浙江嘉兴）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，【答案】C【解析】因为an能被3除余2且被7除余2，所以a6=21“苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号流行一时，被广泛应用于各始发车站的里程，如某处里程碑上刻着“〦○”代表距离始发车站的里程为60公里，已知每隔3公里摆放一个里程碑，若在A点处里程碑上刻着“δㄨ”,在B点处里程碑上刻着“攵〦”，则从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为()【答案】B【解析】由题意知，A点处里程碑刻着数字54，B点处里程碑刻着数字96，里程碑上的数字成等差数列，公差为3，则从A到B的所有里程碑个数为n=9654+1=15，所以从A到B的所有里程碑上的数字之和为15x54+x3=1125.考法四平面向量【例4-1】（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史㤵久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．如图甲是一个正八边形窗花隔断，图乙是从窗花图中抽象出的几何图形示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为2，M是正八边形ABC一DEFGH边上任意一点，则.的最大值为()【答案】D【解析】如图，取AB的中点O，连接MO，连接BE,OE，分别过点C，点D作BE的垂线，垂足分别为I,J，2222，当点M与点F或点E重合时，||取得最大值，易得四边形CDJI为矩形，ΔBCI,ΔDEJ为等腰直角三角形，则IJ=2，所以.的最大值为24+16，故选：D.【例4-2】（2022秋·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇拜的图腾．如图，AB是圆O的一条直径，且|AB|=4．C，D是圆O上的任意两点，|CD|=2，点P在线段CD上，则.的取值范围是()【答案】D22224---所以√3PO2，---240，故选：D.【例4-3】（2022·全国·高三校联考阶段练习）黄金分割〔GoldenSection〕是一种数学上的比例关系.黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值.应用时一般取0.618，就像圆周率在应用时取3.14一样.高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹.人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处.艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美.黄金矩形(GoldenRectangle)的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边1.618倍.黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦.在很多艺术品以及大自然中都能找到它.希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子，达.芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形.《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局.2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对 2~0.618.其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽没有古希腊的早，但它是我国数学家独立创造的.如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，BFLAC，DHLAC，AELBD，CGLBD,--- 2 1---5---3--- 1---5---3------【答案】D---(1)---5------2---5+------3------:BF---3------【例4-4】（2023·全国·高三专题练习）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且＝2-1.下列关系中正确的是()-----+1--------+1---------1---C．ES-AP=2BQ-------1---【答案】A【解析】在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且=2-1.故选：A.考法五空间几何【例5-1】（2023吉林四平）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，半正多面体是由两种或多种正多边形面组成，而又不属于正多面体的凸多面体．如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的．若被截正方体的棱长为40cm，则该阿基米德多面体的表面积为()4800+4800)cm2【答案】A【解析】由题意知：阿基米德多面体是由六个全等的正方形和八个全等的等边三角形构成，其中正方形边长和等边三角形的边长均为√202+202=20；:阿基米德多面体的表面积S=6x(20)2+8xx20x20x=4800+1600(cm2).故选：A.【例5-2】（2022秋·海南省直辖县级单位·其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3．若曲侧面三棱柱的高为5，底面任意两顶点之间的距离为10，则其侧面积为()【答案】B【解析】S=x2πx10x3x5=50π.故选：B【例5-3】（2023·全国·高三专题练习）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型.如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖（如图2）.已知这个牟合方盖与正方体内切球的体釈之比为4:π,则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为()323C.83D.3【答案】C【解析】正方体的体积为238，其内切球的体积为，由条件可知牟合方盖的体积为，故正方体除去牟合方盖后剩余的部分体积为8 .【例5-4】（2023·全国·高三专题练习）公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，此即VkD3，欧几里得未给出k的值．17世纪日本数学家们对球的体积的方法还不了解，他们将体积公式VkD3中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱正方体也可利用公式VkD3求体积（在等边圆柱中，D表示底面圆的直 径；在正方体中，D表示棱长假设运用此体积公式求得球（直径为a等边圆柱（底面圆的直径为a正方体（棱长为a）的“玉积率”分别为k1、k2、k3，那么k1:k2:k3()【答案】D【解析】由题意得球的体积为V1R33a3k1；等边圆柱的体积为V2R2a2aa3k2；正方体的体积V3a3k31，所以k1:k2:k3::1，考法六函数与导数【例6-1】（2022北京海淀·高三北大附中校考阶段练习）成书于约两千多年前的我国古代数学典籍《九章算术》中记载了通过加减消元求解n元一次方程组的算法，直到拥有超强算力计算机的今天，这仍然是一种效率极高的算法.按照这种算法，求解n元一次方程组大约需要对实系数进行C.n3（C为给定常数）次计算.1949年，经济学家莱昂提夫为研究“投入产出模型”（该工作后来获得1973年诺贝尔经济学奖利用当时的计算机求解一个42元一次方程组，花了约56机时.事实上，他的原始模型包含500个未知数，受限于机器算力而不得不进行化简以减少未知数.如果不进行化简，根据未知数个数估计所需机时，结果最接近于()【答案】C【解析】设1机时能进行a次计算，则由题意得C.423~56a，原始模型包含500个未知数，如果不进行化简，设所需机时为t，5故结果最接近于105机时,故选:C【例6-2】（2022秋·河北邢台·高一邢台一中校考阶段练习）17世纪，苏格兰数学加皮纳尔在研究天文学过程中，为了简化大数运算，发明了对数，对数的思想方法即把乘方、乘法运算转化为乘法、加法运算，从而简化运算过程.数学家拉普朗斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”，现代物理学之父伽利略评价“给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙”.已知lg2~0.3010，则2100所在的区间31【答案】C【例6-3】（2022江苏盐城多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设xeR，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，也称f(x)的值域中有且仅有两个元素的x2一C．f(x)=log2x，xE【答案】ACD【解析】对A：当x<0时，f(x)E(-1,0]，f(x)E{-1,0}；当x>0时，f(x)E(0,1)，故y=f(x)的值域为{-1,0}，满足题意；又f=f(2)=,f(1)=2，故f(x)E2,，则y=f(x)E{2}，即y=f(x)的值域为{2}，不满足题意；下证f(x)=x+在,1单调递减：2>f(x2)，故f(x)=x+在,1上单调递减，同理f(x)在(1,2)单调递增；对C：y=log2x,xE,2，则log2xE(-log23,1)，故f(x)E[0,log23)，<2，故f(x)E{0,1}，即y=f(x)的值域为{0,1}，满足题意；xx2x2即y=f(x)的值域为(-1,1)，f(x)E{-1,0}，则y=f(x)的值域为{0,1}，满足题意.故选：ACD.考法七统计概率【例7-1】（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）张益唐是当代著名华人数学家，他在数论研究方面取得了年张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，或者81；可以这样描述，存在无穷多个素数p，使得p+2是素数，素数对p,p+2)称为孪生素数，在不超过12的素数中，随机选取两个不同的数，能够组成孪生素数的概率是()【答案】B【解析】不超过12的素数有2、3、5、7、11共5个，在其中任取两个数的基本事件为(2,3)、(2,5)、(2,7)、共2个，所以在不超过12的素数中，随机选取两个不同的数，能够组成孪生素数的概率为21【例7-2】（2023·全国·高三专题练习）我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法：筹算.筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的.据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当.即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，如图所示，例如：-l"表示62，=T表示26，现有5根算筹，据此表示方式表示两位数（算筹不剩余且个位不为0则这个两位数大于40的概率为()A.13B. 2C.23D.35【答案】B第一类：4+1，即十位用4根算筹，个位用1根算筹，那十位可能是4或者8，个位为1，则两位数为41第二类：3+2，即十位用3根算筹，个位用2根算筹，那十位可能是3或者7，个位可能为2或者6，故两第三类：2+3，即十位用2根算筹，个位用3根算筹，那么十位可能是2或者6，个位可能为3或者7，故两位数可能是23，27，63，67；第四类：1+4，即十位用1根算筹，个位用4根算筹，那么十位为1，个位可能为4或者8，则该两位数为故这个两位数大于40的概率为【例7-3】（2023·全国·高三专题练习）花窗是一种在窗洞中用镂空图案进行装饰的建筑结构，这是中国古代建筑中常见的美化形式，既具备实用功能，又带有装饰效果．如图所示是一个花窗图案，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA上的三等分点；点P，M，N，O分别为EF，FG，GH，HE上的三等分点；同样，点Q，R，S，T分别为PM，MN，NO，OP上的三等分点．若在大正方形中随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为()81729【答案】C故=即S正方形PMNO=S正方形ABCD，36729SS 729SS=正方形ABCD即S正方形QRST=S正方形ABCD故S正BCD=S正方形A形QRST=.【例7-4】（2023·全国·高三专题练习）马林•梅森（MarinMersenne，1588-1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物．梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p-1作了大量的计算、验证工作．人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2p-1（其中p是素数）的素数，称为梅森素数（素数也称质数在不超过30的素数中，随机选取3个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是()【答案】A【解析】不超过30的素数，有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,一共有10个.其中梅森素数为：3,7，共有2个.不含梅森素数的概率为P==,则随机选取3个素数，至少有一个梅森素数的概率为P=1-=.故选：A.【例7-5】（2023·全国·高三专题练习）《三十六计》是中华民族珍贵的文化遗产之一，是一部传习久远的兵法奇书，与《孙子兵法》合称我国古代兵法谋略学的双壁.三十六计共分胜战计、敌战计、攻战计、混战计、并战计、败战计六套，每一套都包含六计，合三十六个计策，如果从这36个计策中任取2个计策，则这2个计策都来自同一套的概率为()【答案】C【解析】由已知从这36个计策中任取2个计策总共有C6种，其中2个计策都来自同一套的有6C种，考法八复数【例8-1】（2023·全国·高三专题练习）人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等．16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了i2=-1，17世纪法因数学家笛卡儿把i称为“虚数”，用a+bi(a、beR)表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平【答案】C【例8-2】（2023·全国·高三专是数学中的一个神奇公式．根据欧拉公式，复数z=ei在复平面上所对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】由欧拉公式，z=ei=cos1+isin1在复平面内对应点(cos1,sin1)在第一象限．故选：A.【例8-3】（2023·全国·高三专题练习）欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献．由《物理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式“eiπ+1=0”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的πi5πi公式”．其中，欧拉恒等式是欧拉公式：eiθ=cosθ+isinθ的一种特殊情况．根据欧拉公式，e3+eπi5πi【答案】C【例8-4】（2023·全国·高三专题练习）18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如z=OZ，也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离．已知复数z满足z=2，则z-3-4i的最大值为()【答案】C【解析】：z=2，:z对应的点Z(x,y)的轨迹为圆x2+y2=4；：z-3-4i的几何意义为点Z(x,y)到点(3,4)的距离，【例8-5】（2022春·辽宁·高一渤海大学附属高级中学校考阶段练习）欧拉公式（eiθ=cosθ+isinθ)被称为“上帝公式”、“最伟大的数学公式”、“数学家的宝藏”．尤其是当θ=π时，得到eiπ+1=0，将数学中几个重要的数字0，1，i，e，π联系在一起，美妙的无与伦比．利用欧拉公式化简z=，则在复平面内，复数z对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D2所以复数z对应的点,-位于第四象限，故选：D考法九不等式【例9-1】（2022北京丰台）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF」AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为()l【答案】C在RtΔOCF中，由勾股定理可得，∵CF≥OF，【例9-2】（2023四川成都）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确的是使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是()C．若a＞b，则ac2>bc2【答案】D=bc2，所以选项C错误；ac22时，a>b，所以选项D正确.【例9-3】（2022·河北张家口）太极图被称为“中华第观的标记物；到中医、气功、武术及中国传统文化的书A.B.C.D.【答案】B2222【例9-4】（2023·江西）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OFlAB，设AC=a，BC=b，则该图形可以完成的无字证明为()22的距离d=OF2的距离d=OF22 a+<<aa222【答案】D 由勾股定理可得CF=由勾股定理可得CF=在Rt‘OCF中，由OF<CFaa222考法十解析几何【例10-1】（2023·全国·高三专题练习多选）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ产1)的点的轨迹是圆”．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，A(_1,0)，B(2,0)，点P满足PAPB=．点P的轨迹为曲线C，下列结论正确的是()PAPB B．曲线CB．曲线C被y轴截得的弦长为C．直线x+y_4=0与曲线C相切D．P是曲线C上任意一点，【答案】ABPAPB22PA=PB，所以可得【解析】对于选项A，设P(x,y)，由A(PAPB22PA=PB，所以可得 2士，曲线C被y轴截得的弦长为2，故选项B正确；对于选项C，因为(x+4)2+y2=18，所以圆心C(_4,0)，半径r=3，所以圆心C(_4,0)到直线x+y_4=0_4_422=4>3，所以直线x+y_4=0与曲线C相对于选项D，因为P是曲线C上任意一点，要使‘ABP的面积最大，则曲线C上的点到x轴的距离最大，即‘ABP的边AB上的高等于圆的半径3时，‘ABP的面积最大，此时点P的坐标为(-4,士3)，故选项D【例10-2】（2023·全国·高三专题练习）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为O1,O2,O3,O4,O5，若双曲线C以O1,O3为焦点、以直线O2O4为一条渐近线，则C的离心率为()A.290B.290C.D.5【答案】B【解析】依题意，以点O2为原点，直线O1O3为x轴建立平面直角坐标系，如图，点O4(-13,-11)，则有双曲线C的离心率为e=aa22a2a2290290【例10-3】（2023·全国·高三专题练习）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义mm进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线：当0<e<1mx22表示的曲线是双曲线，则m的取值范围为()【答案】B得m[x2+(y2)2]=(x3y+1)2，所以x22m,可得动点P(x,y)到这点(0,2)和定直线x一3y+1=0的距离比为常数12023天津）荀子日：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步”是“至千里”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意可得：“积跬步”未必能“至千里”，但要“至千里”必须“积跬步”，故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件.22022内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）材料一：已知三角形三边长分别为a,b,c，则三角形的面积为S=p(pa)(pb)(pc)，其中p=.这个公式被称为海伦一秦九韶公式.材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆.根据材料一或材料二解答：已知‘ABC中，BC=6,AB+AC=10，则‘ABC面积的最大值为()【答案】C32022·河南·高三校联考阶段练习）在计算机尚未普及的年代，人们在计算三角函数时常常需要查表得到正弦和余弦值，三角函数表的制作最早可追测到古希腊数学家托勒密．下面给出了正弦表的一部分，例如，通过查表可知2o12,的正弦值为0.0384，30o54,的正弦值为0.5135，等等.则根据该表，416．5°的余弦值为24'30'36'42'48'54'60'0°0.00000017003500520070008701050122014001570175017501920209022702440262027902970314033203492°03490366038404010419043604540471048805060523……30°0.5000501550305045506050755090510551205135515031°5150516551805195521052255240525552705284529932°5299531453295344535853735388540254175432544633°5446546154765490550555195534554855635577559234°55925606562156355650566456785693570757215736………………A．0.5461B．0.5519C．0.5505D．0.5736【答案】B42022·浙江·校联考模拟预测）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长l与太阳天顶距θ（0o<θ<180o）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l=htanθ.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为α,β,若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且tan(Q一β)=，则第二次的“晷影长”【答案】A【解析】由第一次的“晷影长”是“表高”的3倍得，tanQ=3，故第二次的“晷影长”是“表高”的1倍.故选：A.52022秋·云南·高三校联考阶段练习）“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O是正八边形的中心，MN是圆O的一条直径，且正八边形ABCDEFGH内切圆的半径为2+2，AB=MN=4．若点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则.的取值范围是()A．2,4【答案】D2.因为正八边形ABCDEFGH内切圆的半径为上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.该图由法国数学家G-Monge（1746-1818）最先发现.若椭圆C的离心率为e，2D．以上答案均不正确【答案】B222，22m，所以2+22②22a2c2m72022·全国·高三专题练习）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为6，则图③中.的值为()【答案】A【解析】在图③中，以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，-------MP---MP---PN---PN由分形知PN//OM，所以=(,)，82022广东深圳·)享有“数学王子”称号的德国数学家高斯，是近代数学奠基者之一，y=[x]被称为“高斯【答案】B则存在唯一零点x0e(4,5)，使得f(x0)=0，由高斯函数的定义可知，[x0]=4.92023春·山西忻州）拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上的图象连续不间断，在开区间(a,b)内的导数为f'(x)，那么在区间(a,b)内至少存在一点c，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)成立，其中c叫做f(x)在[a,b]上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数f(x)=(x-2)lnx在[1,2]上的“拉格朗日中值点”的个数为()【答案】B【解析】f'(x)=1+lnx-，令x0为函数f(x)=(x-2)lnx在[1,2]上的“拉格朗日中值点”，102022湖北武汉）正整数1，2，3，ⅆ,n的倒数的和1+++…+已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式；当n很大时1+ ++…+为欧拉—马歇罗尼常数，y~0.577215664901…，至今为止都不确定y是有理数还是无理数.设[x]表示不超【答案】B:ln2022e(7.49,7.67)，:ln2022+ye(8.07,8.25)，112023·全国·高三专题练习）1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°,则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为()【答案】C【解析】：O，O3都为五角星的中心点，∴OO3平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为36°知：∠BAO3＝18°,过O3作x轴的平行线O3E，如下图，则∠OO3E=α≈16°,∴直线AB的倾斜角为18°-16°=2°.122023·全国·高三专题练习）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知ΔABC的顶点A(1，0)，B(0，2)，且AC＝BC，则ΔABC的欧拉线的方程为()A．4x＋2y＋3＝0B．2x－4y＋3＝0C．x－2y＋3＝0D．2x－y＋3＝0【答案】B【解析】因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线，又A(1，0)，B(0，2)，故AB的中点为(,1)，kA1(-1)故AB的中垂线方程为y－1＝2（|x2)1(-1)为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.甲同学是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，那么甲同学可以设置的不同密码个数为()【答案】A【解析】先把数字3，4，5，9四个数排列，共有A种排列方法，四个数排列产生5个空，把两个1插到5个空里，共有C种方法，根据乘法分步原理得共有AxC=240种.142023·全国·高三专题练习）“回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读．比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天．由此定义“回文数”，n为自然数，且n的各位数字反向排列所得自然数nI与n相等，这样的n称为“回文数”，如：1221，2413142．则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有()A．648个B．720个【答案】D【解析】根据“回文数”的特点，只需确定前3位即可，最高位即万位有9种排法，千位和百位各有10种排法，根据分步乘法计数原理，共有9x10x10=900种排法，其中各位数字相同的共有9种，则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有90故选：D.152023·全国·高三专题练习）大约公元前300年，欧几里得在他所著《几何原本》中证明了算术基本定理：每一个比1大的数（每个比1大的正整数）要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的，即任何一个大于1的自然数N（N不为素数）能唯一地写成N=p.p.L.p（其中pi是素数，ai是正整数，1<i<k，p1<p2<L<pk将上式称为自然数N的标准分解式，且N的标准分解式中有a1+a2+…+ak个素数．从120的标准分解式中任取3个素数，则一共可以组成不同的三位数的个数为()【答案】B【解析】根据N的标准分解式可得120=23x3x5，故从2，2，2，3，5这5个素数中任取3个组成三位数，有下列三种情况：①选取3个2，可以组成1个三位数；②选取2个2后，再从3或5中选一个，可以组成CxC=6个不同的三位数；③选取2，3，5，可以组成A=6个不同的三位数．所以从120的标准分解式中任取3个素数，一共可以组成1+6+6=13个不同的三位数.162023·北京·高三专题练习）众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形x2+y2=4.其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题:①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是；②当a=时，直线y=ax+2a与白色部分有公共点；③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点(x,y)，则x+y的最大值为+1；④若点P(0,1)，MN为圆x2+y2=4过点P的直径，线段AB是圆x2+y2=4所有过点P的弦中最短的弦，则.的值为12.其中所有正确结论的序号是()A.①③B.③④【答案】C【解析】对于①,设黑色部分区域的面积为S1，整个圆的面积为S，由对称性可知，S1=S，所以，在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率为P==，故①正确；3232+22下方白色小圆的方程为x2+(y+1)2=1，圆心为(0,-1)，半径为1，4 44 4由图可知，直线y=-x-3与与白色部分无公共点，故②错误；对于③,黑色阴影部分小圆的方程为x2+(y-1)2=1，设z=x+y，如下图所示：1相切时，z取得最大值，对于④,由于MN是圆x2+y2=4中过点P(0,1)的直径，则M、N为圆x2+y2=4与y轴的两个交点，可设,3，所以，172023·四川成都·成都七中校考模拟预测）算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65．若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为()A.38B.34C.23D. 2【答案】B【解析】依题意得所拨数字共有CC=24种可能.要使所拨数字大于200，则若上珠拨的是千位档或百位档，则所拨数字一定大于200，若上珠拨的是个位档或十位档，则下珠一定要拨千位，再从个、十、百里选一个下珠，则所拨数字大于200的概率为=，182023秋·内蒙古赤峰·高二统考期末）希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）.在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为()A.35B. C. D.25【答案】B【解析】设大正三角形面积为1，则黑色区域面积为一xx3=所以落在黑色区域的概率为 19（2022·全国·专题练习）据记载，欧拉公式eix=cosx+isinx(xeR)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当x=π时，得到一个令人着迷的优美恒等式eπi+1=0，将数学中五个重要的数（自然对数的底e，圆周率π,虚数单位i，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”.根据欧拉公式，复数z=ei的虚部()【答案】D202022·课时练习）欧拉公式eix=cosx+isinx(i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，ei表示的复数位于复平面中的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A故选：A.212021秋·上海杨浦·高二上海市控江中学校考期末）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C:x2=1+|x|y就是“心形”曲线．给出以下列两个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；则正确的判断是()A.①正确②错误B.①错误②正确C.①②都错误D.①②都正确【答案】D用(-x,y)替换曲线方程中的(x,y)，方程不变，所以曲线C关于y轴对称，22x+y222x+y2再根据对称性可知，曲线还经过点(-1,0),(-1,1)，故曲线恰好经过6个整点，所以①正确；,即曲线C右侧部分的点到原点的距离都不超过，再根据曲线C的对称性可知，曲线C上任意一点到原点的距离都不超过，所以②正确；故选:D.222022秋·江苏南通·高三江苏省如皋中学统考阶段练习）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间[0,1]平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间[0,]和[,1]；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：[0,]，[,]，[,]，[,1]；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历n步构造后，不属于剩下的闭区间，则n的最小值是().【答案】A【解析】不属于剩下的闭区间，属于去掉的开区间经历第1步，剩下的最后一个区间为[,1]，经历第2步，剩下的最后一个区间为,1，ⅆⅆ,经历第n步，剩下的最后一个区间为1-nn化简得故选:A -1(-1)232022上海奉贤）古希腊时期，人们把宽与长之比为 -1(-1)个比值称为黄金分割比例.如图为希腊的一座古建筑，其中图中的矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，若M与K间的距离超过1.5米，C与F间的距离小于11米，则该古建筑中A与B间的距离可能是参考数据：0.6182~0.382，0.6183~0.236，0.6184~0.146，0.6185~0.090，0.6186~0.056，0.6187~0.034）6xA．30.3米B．30.1米【答案】D因为矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，GJ4,=ax,JK5,=ax,KM又因为M与K间的距离超过1.5米，C与F间的距离小于11米，2比较各选项可知该古建筑中A与B间的距离可能是27.4米.242022·全国·高三专题练习）高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的称号，以他名字命名的“高斯函数”是数学界非常重要的函数．“高斯函数”为f(x)=[x]，其中xeR,[x]表示不超过x的最大整数．例如【答案】D【解析】设f(x)=-=-，|a|a所以所以所以exex:0<4ex一<一<=R，则实数a的取值范围是()【答案】Cx1>262023广东）如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是()C．对任意实数a和b，有a2+b22ab，当且仅当a=b时等号成立【答案】C【解析】可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为c(c2=a2+b2)，则外围的正方形的面积为c2，也就是a2+b2，四个阴影面积之和刚好为2ab，对任意正实数a和b，有a2+b22ab，当且仅当a=b时等号成立.272023福建省）意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，*)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2020项的和为()【答案】C【解析】由题意可得：若an=0，等价于F(n)为偶数，若an=1，等价于F(n)为奇数，24562354242+423m13m3m+2一*，28（2023·江西上饶·统考一模）蹴鞠，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知半径为3的某鞠（球）的表面上有四个点A，B，C，P，ACLBC，AC=BC=4，PC=6，则该鞠（球）被平面PAB所截的截面圆面积为()2325【答案】D所以PC为外接球的直径，如图，将三棱锥P一ABC放入如图所示的长方体，则AC=BC=4，设长方体的另一棱长为a，2设外接球的球心为O，所以PA=PB==2取‘PAB的外接圆的半径为r，2.PA.AB2x2x452.PA.AB2x2x45所以该鞠（球）被平面PAB所截的截面圆面积：S=πr2=π2=π.故选：D.292022·广西南宁·统考模拟预测）“割圆术”是我国古代计算圆周率π的一种方法．在公元263年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明．其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求π.根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率π,则π的近似值是精确到0.01参考数据sin15。~0.2588）【答案】C【解析】设圆的半径为r，以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形，302022·青海海东·校考模拟预测）掷铁饼是一项体育竞技活动．如图，这是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”．经测量，此时两手掌心之间的弧长是，“弓”所在圆的半径为1.05米，则这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为（参考数据：~1.414， A．1.819米B．1.485米D．1.945米【答案】A【解析】根据题意作图如下，由题意知：的长为，D为的中点，3故选：A.~1.819，即所求距离约为1.819米.31（2022·河南驻马店·河南省驻马店高级中学校考模拟预测）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算法》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2022这2022个数中，能被5除余1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为()【答案】A23n}是以1为首项，35为公差的等差数列.解得1<n<58，ne**，所以此数列的项数为58项.故选:A.312022·河南洛阳·新安县第一高级中学校考模拟预测）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的，明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》提出了十二平均律的理论十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M，插入11个数后这13个数之和为N，则依此规则，下列说法错误的是()A．插入的第8个数为B．插入的第5个数是插入的第1个数的倍【答案】D【解析】设该等比数列为{an},公比为q,则a1=1,a13=2,故q125=46>2成立，故C正确；因为1263故D错误.322022·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）刘徽构造的几何模型“牟合方盖”中说：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸．规之为圆困，径二寸，高二寸．又复横规之，则其形有似牟合方盖矣.ℽ牟合方盖是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作