湘教版数学八年级上册期末复习 练习2

期末复习(一)分式

知识结构

'分式的定义

分式的概念」分式有意义与无意义

.分式的值为零

约分

分式的基本性质

通分

分式v整数指数塞

分式的运算＜

分式的乘除法,

分式的加减法》分式的混合运算

分式的乘方.

分式方程的解法

分式方程,

分式方程的应用

重难点突破

重难点1分式的概念

x+2

【例1】(1)当x丝时，分式口的值存在；

3x2—12

(2)当x=-2时，分式风房的值为零.

【方法归纳】分母中含有字母是分式的重要标志，分式的值存在的条件是分母不为0;分式的值为0的条件是分

子为0,分母不为0.

变式训练

1.下列各式：①(；②室；做息;④《三，其中是分式的有(B)

A.1个B.2个C.3个D.4个

x2-l

2.(毕节中考)若分式一的值为0,则x的值为(C)

X—1

A.0B.1C.-1D.±1

重难点2分式的基本性质

O—1O2—1R

【例2】票"=1=号，则A=(a+1)2,B=(a-1)2.

【方法归纳】运用分式的基本性质确定未知的分子时，看分母从左到右发生了什么变化，分子也发生相应的变化;

求分母时，看分子从左到右发生了什么变化，分母也发生相应的变化.

变式训练

3.将分式一厂中的x、y的值同时扩大到原来的2倍，则扩大后分式的值(C)

A.扩大到原来的2倍B.缩小到原来的2倍

C.保持不变D.无法确定

4.下列变形正确的是(D)

八0.lx-0.3yx—3yx—y1

C.-7"Z；—T；D.~2-；

0.2x+y2x+yx2-y2x+Iy

重难点3分式的运算

,x+lX—1.X

【例3】计算:x—1x+i•x2—r

【思路点拨】分式的混合运算应先算乘除，再算加减，有括号的先算括号内的.根据本题特点也可以先把除法转

化为乘法再运用分配律进行简便计算.

■52■eixzx+lx-L(x+1)(x—1)

【解答】原式=(-7—-二7)--------------------

X—1x-r1x

x+1(x+1)(x—1)x—1(x+1)(x—1)

-----•-------------------------•-------------------

X—1Xx+1X

(x+1)2(X—1)2

XX

x'+2x+1—x'+2x-1

x

_4x

X

=4.

Y1Y29Y~Y

【例4】先化简，再求值：(,—一)小不无不p其中X满足x2—X—1=0.

【思路点拨】先通分，计算括号里的，再把除法转化成乘法进行约分计算.最后根据化简的结果，可由x2-x-l

=0,求出x+l=x:再把x?=x+1的值代入计算即可

(X—1)(x+1)—x(x—2)(x+1)'

【解答】原式=

x(x+1)x(2x—1)

2x-1(x+1)“

x(x+1)x(2x—1)

x+1

=2-.

X

因为x2—x—1=0,

所以x2=x+l.

v—I—1

所以原式=—£=L

x+1

变式训练

1x2--2x+1

5.(成都中考)化简：—尸二

XX-X

械盾W/一1X--X(x+l)(X-1)X(X-1)

解：原式-X丁2-2x+l-X(X-1)2-AIL

-I—AoAo—0

6.(遵义中考)先化简:(匚工1一—)再从1,2,3中选取一个适当的数代入求值.

a-z2-aa-4

解：原式+"黄4a—2

a—/a2—4

(a+2)2a—2

a—2(a+2)(a—2)

_a+2

=^^2'

因为a—2W0,a+2W0,

所以a#±2.

所以可取a=l,原式=-3.

重难点4整数指数塞

【例51(1)(抚顺中考)若一粒米的质量约是0.000021kg,将数据0.000021用科学记数法表示为(C)

A.21X10-4B.2.1X10-6

C.2.1X10-5D.2.1X10-4

(2)下列计算正确的有(A)

①(—0.1)"=100；②—10'=]nnn；宏；®2a'~9^,

1uuu0乙。4a

A.1个B.2个

C.3个D.4个

【方法归纳】用科学记数法表示的数，关键是确定10的指数的大小；塞的负整数指数运算，要先把底数化成其

倒数，然后将负整数指数幕当成正的进行计算.

变式训练

7.(河南中考)某种细胞的直径是0.00000095米,将0.00000095用科学记数法表示为(A)

A.9.5X10-7B.9.5X1。-'

C.0.95X10-7D.95X10-5

8.计算：^4+(3.14-^)°-|-2+(”

解：原式=2+1—2+2

=3.

重难点5分式方程及应用

【例6】(云南中考)“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，

接着又用5000元购进第二批这种盒装花，已知第二批所购花的盒数是第一批所购花的盒数的2倍，且每盒花的进

价比第一批的进价少5元，求第一批盒装花每盒的进价是多少元.

【思路点拨】根据“第二批所购花的盒数是第一批所购花的盒数的2倍”列方程.

【解答】设第一批盒装花每盒的进价是x元，由题意，得

检验：当x=30时,x(x—5)#0,

所以x=30是方程的解.

答：第一批盒装花每盒的进价是30元.

【方法归纳】本题主要考查分式方程的应用，利用分式方程解应用题时，大多题目中会有两个相等关系，这时要

根据题目所要解决的问题，选择其中一个相等关系作为列方程的依据，另一个则用来列代数式.合理地建立等量关

系，列出方程.

变式训练

9.(内江中考)甲、乙两人同时分别从A,B两地沿同一条公路骑自行车到C地.已知A,C两地间的距离为110千米,

B,C两地间的距离为100千米.甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时.结果两人同时到达C地.求两人的平均速度,

为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时.由题意列出方程.其中正确的是(A)

110100110100

A----=---R---=----

*x+2x■xx+2

110100110100

D.

C，XT2=~xx—2

3x+3

10.(呼伦贝尔中考)解方程：告一滔=0.

解：方程的两边同乘(x-l)(x+l),得

3x+3—x-3=0,

解得x=0.

检验：当x=0时，(x-1)(x+l)=-1^0.

所以原方程的解为x=0.

11.(大连中考)A、B两地相距200千米，甲车从A地出发匀速开往B地，乙车同时从B地出发匀速开往A地，两车

相遇时距A地80千米.已知乙车每小时比甲车多行驶30千米，求甲、乙两车的速度.

解：设甲车的速度是x千米/时，乙车的速度为(x+30)千米/时.

80200-80

xx+30'

解得x=60.

经检验，x=60是分式方程的根，

则x+30=90,

答：甲车的速度是60千米/时，乙车的速度是90千米/时.

备考集训

一、选择题(每小题3分，共24分)

1.在\*~7T>；，m+1中，分式的个数有(B)

x3na+b4n

A.2个B.3个

C.4个I).5个

2.要使分式*有意义，则x的取值应满足(D)

A.x=-2B.xW2

C.x>-2D.xW—2

3.下列各式是最简分式的是(B)

x'一4y’

(x+2y)"x+y

八-2abx2+x

D--

9a

4.下列等式中正确的是(A)

a2aaa—1

A―=—B-b=b77T

b2b

aa+1aa

r——----D-b=?

bb+1

5.(葫芦岛中考)下列计算正确的是(A)

B.(—3°=0

A.a3-ra2=a

X1

W

C.(a)—a48-

6.化简(f——)•匕工的结果是(A)

a-za十2a

A.-4B.4

C.2aD.2a+4

2

7.已知a2—3a+l=0,则分式—的值是(D)

a十1

A.3B.-

J

1

C.7D.y

8.（眉山中考）甲、乙两地之间的高速公路全长200千米，比原来国道的长度减少了20千米，高速公路通车后，某

长途汽车的行驶速度提高了45千米/时，从甲地到乙地的行驶时间缩短了一半，设该长途汽车在原来国道上行驶的

速度为x千米/时，根据题意，下列方程正确的是（D）

8o121

Xoox220X

20X0-一-

-452B.2

2211221

1

c80X-00-2-0X-

X+452D.X+45X2

二、填空题（每小题3分，共24分）

9.（齐齐哈尔中考）某种病毒类似于球体，它的半径约为0.00000000495m,用科学记数法表示为4.95Xm.

v2-i

10.如果分式以点的值为0,那么x的值是1.

rQo9k

11.分式床不，77T3,7~7的最简公分母是24a2b

6ab8bc3ac------

VY---I

12.（衡阳中考）分式方程定=丁的解为x=1

13.从多项式4x~+4xy+y\2x+y,4x——y?中，任选两个，其中一个作分子，另一个作分母，组成一个分式，写出

化简后的结果工上一（答案不唯一）.

2x-y------------

hA

14.（毕节中考）若a?+5ab—y=0,则2号的值为耳

aD

15.下图是一个运算程序，若输入的数x=-l,则输出的值为5.

|ItKxmil

X为偶数

16.（达州中考）《庄子•天下篇》中写道：“一尺之梗，日取其半，万世不竭”意思是：一根一尺的木棍，如果每天

12"-1

截取它的一半，永远也取不完，如图所示.由图易得：1+^+^+-+

2'L22°

111

2,了

!•——三

三、解答题(共52分)

17.(15分)计算:

/、a,a-1

(1)~377+F7；

a十1a-1

解：原式=币+(a+1)(a—l)

=3+工

a+1a+1

a+1

a+1

=1.

a—1.a2—2a+1

⑵a-2-2a-4

解：原式

a-1_2(a-2)

a-2(a-1)2

2

a—1

⑶(x+*)+(2tx一1x+1),

x'一x+x2(x2-1)+x+l—x+1

解:原式一

X2—1(x+1)(x—1)

X,(x+1)(X—1)

(x+1)(x—1)2x‘

x

2,

2xx—2.x2—4x+4

18.（7分）先化简，再求值:其中X=1.

xJ—4x•x

x

解：原式二含——.9.

(x+2)(x—2)x(x—2)

_________2x_______1

(x+2)(x—2)x—2

_________2x_____________x+2______

(x+2)(x—2)(x+2)(x—2)

______2x-x-2

(x+2)(x—2)

________x-2

(x+2)(x—2)

]

=x+2,

当X=1时，原式=[_|_9=鼻・

iI乙«J

19.（10分）解下列方程:

/、5—x,1

（1）—7+^—=1；

X—44—x

解：方程的两边同乘（x—4）,得5—x—l=x—4.

解得x=4.

检验：当x=4时，x—4=0.

所以x=4是原方程的增根.

所以原方程无解.

（2）^-7—^T=0.

x—4x+2

解：方程两边同乘（x+2）（x—2）,得

2—（X—2）—0.解得x=4.

检验：当x=4时，（x+2）（x-2）¥0.

所以原方程的解为x=4.

20.（8分）关于x的分式方程」y+/-=1的解为正数，求m的取值范围.

X—11-X

解：方程两边同乘（X—1）,得m—3=X—1,

解得x=m-2.

所以m—2>0且x—1W0,

即m>2且mW3,

所以m>2且mW3.

21.（12分）（永州中考）某枇杷基地的枇杷成熟了，准备请专业摘果队帮忙摘果.现有甲、乙两支专业摘果队，若由甲

队单独摘果，预计6天才能完成，为了减少枇杷因气候变化等原因带来的损失，现决定由甲、乙两队同时摘果，则

2天可以完成，请问：

（1）若单独由乙队摘果，需要几天才能完成？

（2）若有三种摘果方案，方案1：单独请甲队；方案2：同时请甲、乙两队；方案3：单独请乙队.甲队每摘果一天，

需支付给甲队1000元工资，乙队每摘果一天，需支付给乙队1600元工资.你认为用哪种方案完成所有摘果任务

需支付给摘果队的总工资最低？最低总工资是多少元？

29

解：（1）设单独由乙队摘果，需要x天才能完成，根据题意，得&+-=1.

6x

解得X—3.

经检验，x=3是方程的解且符合题意.

答：单独由乙队摘果，需要3天才能完成.

（2）方案1的总工资：6X1000=6000（元）；

方案2的总工资：2X（1000+1600）=5200（元）；

方案3的总工资：3X1600=4800（元）.

因为6000>5200>4800,

所以方案3所付工资最少，最少是4800元.

期末复习(二)三角形

知识结构

'三角形的边、角、中线、高、角平分线等概念

三角形的

(三角形的三边

有关概念三角形的边角｛三角形的内角和

与性质、［三角形的外角

「定义

.命题的条件与结论

命题，真命题与假命题

命题与证明工

.互逆命题

基本事实、定理

三角形《

I证明

性质

等腰三角形

判定

|■性质

线段的垂直平分线(判定

〔画法

全等三［全等三角形的概念与性质

角形〔全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS

用尺规作三角形

重难点突破

重难点1三角形的边和角

【例1】已知三角形的三条边为互不相等的整数，且有两边长分别为7和9,另一条边长为偶数.

(1)请写出一个三角形，符合上述条件的第三边长；

(2)若符合上述条件的三角形共有a个，求a的值.

【思路点拨】根据三角形三边关系，得出第三边的取值范围，再在这个范围内取整数.

【解答】设第三边是x,则9-7。<7+9,即2Vx<16.

(1)第三边长是4.(答案不唯一)

(2)；2Vxe16,

；.x的值可取4,6,8,10,12,14共六个.

；.a=6.

【方法归纳】本题考查了三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边.在运用三角形三边关系判定三条线段能

否构成三角形时，并不需要把任意两边相加，然后判定其和是否大于第三边，只需选取较小的两边相加，判定其和

是否大于最大边即可.

【例2】如图，在△ABC中，/A：/ABC：NACB=3：4：5,BD,CE分别是边AC,AB上的高，BD,CE相交于H,

求NBHC的度数.

【思路点拨】根据三角形的内角和定理，结合已知条件可先求出NA,NABC,NACB的度数，因为NBHC在ABHC

中，则需先求出NDBC和NECB的度数.

【解答】依题意设NA=(3x)°,NABC=(4x)°,/ACB=(5x)°.

.•.3x+4x+5x=180.；.x=15.即NA=45°,ZABC=60°,ZACB=75°.VBD,CE分别是边AC,AB上的高,:.匕

BDC=/BEC=90°.；.NDBC=90°—75°=15°,NECB=90°—60°=30°.

在△BHC中，ZBHC=180°-15°-30°=135°.

【方法归纳】已知三角形三个内角的比例关系，可根据份数设未知数，再结合三角形内角和定理，可得到一个方

程，解方程即可求得三角形三个内角的度数.

变式训练

1.在AABC中，如果NA：ZB:ZC=1：1：2,那么AABC的形状是(D)

A.锐角三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

2.一个三角形的两边a=2,b=15,试确定第三边c的范围，当各边均为整数时，有几个三角形？有等腰三角形吗？

等腰三角形的各边长各是多少？

解：当一个三角形的两边为2,15时，第三边c的范围为15—2<«15+2,即13<c<17.又因为c为整数，所以第三

边可能为14,15,16,因此有3个三角形.有一个等腰三角形，当c=15时，这个三角形为等腰三角形，其各边长

分别为215,15.

重难点2命题与证明

【例3】(襄阳中考)下列命题错误的是(C)

A.所有的实数都可用数轴上的点表示

B.等角的补角相等

C.无理数包括正无理数，0,负无理数

D.两点之间，线段最短

【方法归纳】判断一个命题的真假，有两种最常用的方法：(1)将所给命题与已知的定理、基本事实、定义作比

较，如果一致，则命题正确，否则，命题错误；(2)从条件出发，举一个例子说明该命题不成立即可判定该命题错

误.

变式训练

3.把命题”等角的余角相等”写成''如果……，那么……”的形式为如果有两个角相等，那么这两个角的余角相等.

重难点3等腰三角形

【例4】如图，在等腰aABC中，AB=AC,AD=DE=EB,BD=BC,试求NA的度数.

；3

【思路点拨】设NA=x,把边相等转化为角相等，则有/AED=NA=x,ZEDB=ZEBD=-x,ZC=ZBDC=-x,

3

ZABC=ZC=-x,在AABC中，根据内角和定理建立关于x的方程求解即可.

【解答】设NA=x,

VAD=DE,AZAED=ZA=x.

1

VDE=BE,AZEDB=ZEBD=-x.

又・.,BD=BC,

3

・•・ZC=ZBDC=ZA+ZEBD=-x.

3

VAB=AC,AZABC=ZC=2X-

在AABC中，ZA+ZABC+ZACB=4x=180°,

AZA=x=45°.

【方法归纳】题中给出了多组相等的边，求角的度数，往往可由边相等关系转化为角相等关系，结合三角形内角

和定理利用方程求解.

变式训练

4.如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE,ZBAD=ZBCE,AD与CE相交于点F,试判断△AFC的

形状，并说明理由.

解：4AFC是等腰三角形.

理由如下：在ABAD与ABCE中，

2B=NB,

<ZBAD=ZBCE,

.BD=BE,

.'.△BAD四△BCE(AAS).

.,.BA=BC

AZBAC=ZBCA.

ZBAC-/BAD=/BCA—/BCE,

即NFAC=NFCA.

AAF-CF..-.AAFC是等腰三角形.

重难点4线段的垂直平分线

【例5】如图，在aABC中，DM,EN分别垂直平分AB和AC,交BC于点D,E,若aADE的周长为24cm,求BC

的长度.

A

BDEC

【思路点拨】因为DM,EN分别垂直平分AB和AC,根据线段垂直平分线的性质，则有AD=BD,AE=CE,因此线

段BC上BD的长可以转化为AD的长，CE的长可以转化为AE的长，即线段BC的长可转化为4ADE的周长.

【解答】VDM,EN分别垂直平分AB和AC,

；.AD=BD,AE=CE.

；.BC=BD+DE+CE=AD+DE+AE.

又「△ADE的周长为AD+DE+AE=24cm,

，BC=24cm.

【方法归纳】当题目中出现线段垂直平分线求某些线段或周长的值时，往往要考虑对相等的线段进行适当的转化.

变式训练

5.如图，在aABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,点D为线段CE的中点，ZCAD=20°,ZACB

的外角等于110°.求证：BE=AC.

证明：连接AE.

；EF是AB的垂直平分线，

.•,AE=BE.

VZCAD=20°,/ACB的外角等于110°,

AZADC=90°.

又：D为线段CE的中点，

；.AD垂直平分CE.

.•.AE=AC.

ABE=AC.

重难点5全等三角形

【例6】（苏州中考）如图，在RtZ\ABC中，NACB=90°,点D,F分别在AB,AC上，CF=CB.连接CD,将线段CD

绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE,连接EF.

（1）求证：ABCD^AFCE；

⑵若EF〃CD,求NBDC的度数.

【思路点拨】（1）根据条件可以知道CB=CF,ZBCD-ZFCE,CD=CE,即可根据“SAS”判定4BCD与4FCE全等;

（2）由（1）得NBDC=NE,再根据平行线的性质，即可确定NBDC的度数.

【解答】（1）证明：：CD绕点C顺时针方向旋转90°得CE,

ACD=CE,ZDCE=90°.

VZACB=90°,

AZBCD=90°-ZACD=ZFCE.

在aBCD和AFCE中，

CB=CF,

<ZBCD=ZFCE,

、CD=CE,

.,.△BCD^AFCE（SAS）.

⑵；EF〃CD,/DCE=90°,

；.NE=180°-ZDCE=90°.

又「△BCD丝Z\FCE,...NBDC=NE.

.*.ZBDC=90o.

【方法归纳】（1）要证三角形全等，至少要有一组“边”的条件，所以一般情况下，我们一般先找对应边；（2）在

有一组对应边相等的前提下，我们通常找任意两组对应角相等即可；在有两组对应边分别相等的前提下，可以求第

三组对应边相等，或者求两组对应边的夹角相等，注意必须是夹角；若有三组对应边分别相等，则可以直接根据边

边边(SSS)求解.

变式训练

6.已知：如图，在aABC、Z\ADE中，ZBAC=ZDAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C、D、E三点在同一直线上，连接

BD.

(1)求证：4BAD丝aCAE；

(2)试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明.

解：(1)证明：VZBAC-ZDAE=900,

ZBAC+ZCAD=ZDAE+CAD,即ZBAD=ZCAE.

又：AB=AC,AD=AE,

.,.△BAD^ACAE(SAS).

(2)BD、CE特殊位置关系为BDJLCE.

证明：由(1)知4BAD丝2\CAE,.\ZADB=ZE.

VZDAE=90°,.,.NE+/ADE=90°.

.\ZADB+ZADE=90°,即NBDE=90°.

；.BD、CE特殊位置关系为BD_LCE.

备考集训

一、选择题(每小题3分，共24分)

1.如图，AABC中，NA=40°,点D为延长线上一点，且NCBD=120°,则/C=(C)

A.40°

C.80°D.100°

2.(怀化中考)等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm,则它的周长为(C)

A.16cmB.17cm

C.20cmD.16cm或20cm

3.命题“两条直线相交只有一个交点”的条件是(D)

A.两条直线B.相交

C.只有一个交点D.两条直线相交

4.如图，AB=AC,BD=BC,若NA=40°,则NABD的度数是(B)

A.20°B.30°

C.35°D.40°

5.(黔西南中考)如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB〃ED,AC〃FD,那么添加下列一个条件后，仍无法判定△

ABC丝Z\DEF的是(C)

A

A.AB=DEB.AC=DF

C.ZA=ZDD.BF=EC

6.如图，己知等边AABC中，BD=CE,AD与BE相交于点P,则NAPE的度数为(B)

A.45°B.60°

C.55°1）.75°

7.（黄石中考）如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D,ZA=50°,贝iJ/BDC=（B）

A.50°B.100°C.120°D.130°

8.（河北中考）如图，ZA0B-1200,0P平分/A0B,且0P=2.若点M,N分别在0A,0B±,且4PMN为等边三角形,

则满足上述条件的△PMN有（D）

二、填空题（每小题3分，共24分）

9.把“全等三角形的对应角相等”改写成“如果……,那么……”的形式是如果两个三角形全等，那么它们的对应

角相等.

10.等腰三角形的一个外角是60°,则它的顶角的度数是120。.

11.当三角形中一个内角a是另一个内角8的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中a称为“半角”.如

果一个“半角三角形”的“半角”为20。，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为120。.

12.如图，若△OADZ^OBC,且N0=65°,ZC=20°,则N0AD=95°.

13.命题“两个锐角的和一定是钝角”是假命题，我们可以举一反例：两个锐角的度数分别为20°和30°,但它们

的和不是钝角（和是50°）.

7.

BD

14.（牡丹江中考）如图，AD和CB相交于点E,BE-DE,请添加一个条件，使△ABEgZ\CDE（只添一个即可），你所添

加的条件是答案不唯一，如AE=CE.

15.（长春中考）如图，在aABC中，AB>AC,按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径

作圆弧，两弧相交于点M和点N,作直线MN交AB于点D；连接CD.若AB=6,AC=4,则aACD的周长为口.

16.如图，已知AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=50°,B、D、E在同一直线上，则NBEC的度数为50°.

三、解答题（共52分）

17.（8分）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4,求这个等腰三角形顶角的度数.

解：设两内角的度数为分别x°,（4x）°.

当等腰三角形的顶角为X。时，有

x+4x+4x=180.解得x=20；

当等腰三角形的顶角为（4x）°时，有

4x+x+x=180.解得x=30,4x=120.

因此等腰三角形的顶角度数为20°或120。.

18.（10分）如图所示，ZABC=50°,AD垂直平分线段BC交BC于D,NABD的平分线BE交AD于E,连接EC,求N

AEC的度数.

解：；AD垂直平分BC,

ABE=EC,ZEDC=90°.

.\ZEBC=ZDCE.

XVZABC=50°,BE为NABC的平分线,

.•.NEBC=g/ABC=25°.

；.NDCE=25°.

AZAEC=ZC+ZEDC=250+90°=115°.

19.（10分）如图，点DE分别在AC,AB±.

（1）已知I：BD=CE,CD=BE,求证：AB=AC；

（2）分别将“BD=CE”记为①，"CD=BE”记为②，“AB=AC”记为③.以①、③为条件，以②为结论构成命题1；以

②、③为条件，以①为结论构成命题2.命题1不是命题2的逆命题（选择“是”或“不是”填入空格），命题2是真

命题（选择“真”或“假”填入空格）.

证明：连接BC.

VBD=CE,CD=BE,BC=CB,

.".△DBC^AECB(SSS).

.,,ZDCB=ZEBC.

AAB=AC.

20.(12分)已知：NA=/A',/B=/B',CD、CD'分别是/ACB和/A，CB'的平分线，且CD=L>.

(D用尺规作图，在4A'B'C'中作出NA'C'B'的角平分线C'D'；(不写作法，保留作图痕迹)

(2)求证：AABC^AA*B'C.

解：(1)如图所示.

(2)证明：VZA+ZB+ZACB=180°,NA'+NB'+ZAZC'B'=180°,NB=NB',ZA=ZAZ,

.\ZACB=ZA,C'B'.

•••CD、CD'分别是NACB和NA'CB'的平分线，

.".ZDCB=|zACB,/D'C'B'=；/A'C'B'.

.,.ZI)CB=ZD,C'B',

在aDCB和△□'CB'中，ZB=ZB,,ZDCB=ZDyC'Bz,CD=C'D',

.".△I)CB^AD,C'B'(AAS).

.*.BC=BZC.

在aABC和AA'B'C'中，

ZA=ZA(,ZB=ZBZ,BC=B,C',

/.△ABC^AA/B'C'(AAS).

21.(12分)如图，在aABC中，AB=AC,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上，且BE=CF,AD+EC=AB.

BEC

(1)求证：4DEF是等腰三角形；

⑵当NA=40°时，求NDEF的度数;

(3)4DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？

(4)请你猜想：当NA为多少度时，ZEDF+ZEFD=120°,并请说明理由.

解：(1)证明：：AB=AC,.".ZB=ZC.

VAD+BD=AB,AD+EC=AB,

；.BD=EC.

fBE=CF,

在△DBE和AECF中，，NB=NC,

[BD=EC,

.,.△DBE^AECF(SAS)..*.DE=EF.

...△DEF是等腰三角形.

(2)VZA=40°,ZB=ZC,

.,.NB=NC=70°.；./BDE+NDEB=110°.

,/ADBE^AECF,；.ZFEC=ZBDE.

.•.ZFEC+ZDEB=110°.AZDEF=70°.

(3)假设ADEF是等腰直角三角形，则/DEF=90°,

.,.ZFEC+ZDEB=90°.

.*.ZBDE+ZDEB=90o.ZB=ZC=90°.

这与三角形的内角和定理相矛盾.

...△DEF不可能是等腰直角三角形.

(4)VZEDF+ZEFD=120°,.•./DEF=60°.

.*.ZFEC+ZDEB=120°..,.ZB=60°.

；AB=AC,；.NA=60°.

AZA=60°时，NEDF+NEFD=120°.

期末复习（三）实数

知识结构

算术平方根

定义

性质

定义

性质

实数的概念与分类

实数的运算与大小比较

重难点突破

重难点1平方根与立方根

[例1]下列各式计算正确的是(C)

3

A.yj(-3)「=±3