新教材人教A版高中数学选择性必修第二册全册2022新高考一轮复习课件(第四章数列、第五章导数)

4.1数列的概念4.2

等差数列P364.3

等比数列P754.4数学归纳法P122数列求和P142第四章数列5.1、5.2导数的概念、意义及运算P1745.3.1函数的单调性P2035.3.2函数的极值与最大（小）值P232导数的综合应用P267第五章一元函数的导数及其应用人教A版选择性必修第二册复习课件课标要求1.通过日常生活和数学中的实例,了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是一种特殊函数.备考指导本节内容是数列的基础,复习时要注意数列的函数特征,理解Sn与an的关系,能根据已知的递推公式特点选择恰当的方法求数列的通项公式.对逻辑推理和数学运算素养有一定的要求.4.1数列的概念【知识筛查】

1.数列的相关概念(1)定义:把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项.(2)数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an},an是数列的第n项.温馨提示对数列概念的理解(1)多项性:数列概念中强调了“一列数”,即数列不止一个数,也就是说数列不止一项.(2)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列顺序有关,注意与集合中元素的无序性区别开来.(3)重复性:数列的项可重复出现,注意与集合中元素的互异性区别开来.(4)标准性:数列有固定的标准表示形式,例如数列中项与项之间用“,”隔开,不能用“、”隔开;an与{an}也不同,an表示数列{an}的第n项,其中下标n表示项的位置序号,而{an}表示数列a1,a2,…,an,….2.数列与函数的关系由于数列{an}中的每一项an与它的序号n有下面的对应关系:序号

1

2

3

…

n

…

↓↓↓

↓项

a1

a2

a3

…

an…所以数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})到实数集R的函数,其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项an,记为an=f(n).3.数列的分类

温馨提示有穷数列的最后一项也叫数列的末项,无穷数列没有末项.4.数列的表示方法5.数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式,常用an=f(n)(n∈N*)表示.问题思考数列的通项公式an=3n+5与函数y=3x+5有何区别与联系?数列的通项公式an=3n+5是特殊的函数,其定义域为N*,而函数y=3x+5的定义域是R,an=3n+5的图象是离散的点,且在y=3x+5的图象上.6.数列的递推公式像an=3an-1(n≥2)这样,如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.知道了首项和递推公式,就能求出数列的每一项.7.数列的前n项和及前n项和公式我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.【知识巩固】

1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)所有数列的第n项都能使用通项公式表示.(

)(2)数列{an}和集合{a1,a2,a3,…,an}是一回事.(

)(3)若数列用图象表示,则从图象上看都是一群孤立的点.(

)(4)一个确定的数列,它的通项公式只有一个.(

)(5)若数列{an}的前n项和为Sn,则对∀n∈N*,都有an=Sn-Sn-1.(

)××√××3.已知数列{an}的通项公式为an=9+12n,则在下列各数中,不是数列{an}的项的是(

)A.21 B.33

C.152 D.153B根据数列的前5项归纳总结可得,或根据选项检验,B选项符合题意.C依次令an=21,33,152,153,若能得到正整数解,则是数列中的项,否则不是.5.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+2n,则an=

.

D2n+1当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1.当n=1时,a1=S1=3,也适合上式.综上,an=2n+1.能力形成点1由数列的前几项求数列的通项公式解

(1)偶数项为正数,奇数项为负数,故通项公式必含有因式(-1)n;观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故该数列的一个通项公式an=(-1)n(6n-5).解题心得1.根据所给数列的前几项求其通项公式时,要注意观察每一项的特点,抓住其几方面的特征:分式(分数)中分子、分母的各自特征,相邻项的变化特征,拆项后的各部分特征,符号特征,进而观察an与n之间的关系,可使用添项、通分、分割等办法,转化为一些常见数列的通项公式来求.对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.2.若此类问题为选择题,则可以利用给出数列的前几项进行检验排除,即可得到正确的选项.C(方法一:直接法)由第2,3,4项的分母可知,通项公式的分母为奇数1,3,5,7,…,故a1的分母为1,an的分母为2n-1.由第2,3,4项的分子可知,通项公式的分子为偶数0,2,4,6,…,故a1的分子为0,an的分子为2(n-1).综上,该数列的一个通项公式为

,故选C.CD能力形成点2由an与Sn的关系求通项公式例2

(1)在数列{an}中,Sn是其前n项和,且Sn=2an+1,则数列{an}的通项公式an=

.

(2)设Sn是数列{an}的前n项和(Sn≠0),且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=

.-2n-1由题意得Sn+1=2an+1+1,Sn=2an+1,两式相减,得Sn+1-Sn=2an+1-2an,即an+1=2an.又S1=2a1+1=a1,因此a1=-1,所以数列{an}是以a1=-1为首项,2为公比的等比数列,所以an=-2n-1.(2)因为an+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1,所以Sn+1-Sn=SnSn+1.解题心得1.已知数列{an}的前n项和Sn,则通项公式

当n=1时,若a1适合Sn-Sn-1,则n=1的情况可并入n≥2时的通项公式an;当n=1时,若a1不适合Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示.2.已知Sn与an的关系式,则应根据所求选择变化方向.若求通项公式,则将已知的n用n-1代替,两式作差,转化为项之间的关系再求解;若求和,则直接利用an=Sn-Sn-1(n≥2,n∈N*)将已知转化为和之间的关系再求解.对点训练2(1)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-2n+2,则数列{an}的通项公式an=

.

当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-3.因为n=1时,a1=1≠2×1-3,所以数列{an}的通项公式为(3)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=2,an+1=2Sn,则Sn=

.

(-2)n-12×3n-1因为an+1=Sn+1-Sn,an+1=2Sn,所以Sn+1-Sn=2Sn,即Sn+1=3Sn.因为S1=a1=2,所以{Sn}是首项为2,公比为3的等比数列.故Sn=2×3n-1.能力形成点3由数列的递推关系式求通项公式命题角度1形如an+1=anf(n),求an例3

在数列{an}中,已知a1=1,nan-1=(n+1)an(n≥2),求数列{an}的通项公式.命题角度2形如an+1=an+f(n),求an例4

在数列{an}中,已知a1=2,an+1=an+3n+2,求数列{an}的通项公式.解

∵an+1=an+3n+2,∴an+1-an=3n+2,∴an-an-1=3n-1(n≥2).∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(3n-1)+(3n-4)+…+5+2拓展延伸本例改为:在数列{an}中,已知a1=3,,则数列{an}的通项公式an=

.

命题角度3形如an+1=pan+q,求an例5

已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+2,求数列{an}的通项公式.解

∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1).∴数列{an+1}为等比数列,且公比q=3.又a1+1=2,∴an+1=2·3n-1.∴an=2·3n-1-1.命题角度4由含an+1与an的二次三项式求an例6

已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,(1)求a2,a3;(2)求数列{an}的通项公式.(3)在数列{an}中,a1=1,若an+1=2an+3n,则数列{an}的通项公式an=

.(4)已知数列{an}对任意的n∈N*都有an+1=an-2an+1an,若,则a8=

.

3n-2n由an+1=2an+3n,得an+1-3n+1=2(an-3n).则数列{an-3n}是首项为a1-31=-2,公比q=2的等比数列,于是an-3n=-2×2n-1,即an=3n-2n.思想方法——用函数的思想求数列中项的最值

数列是一种特殊的函数,通过函数的思想观点去直观地认识数列的本质是高考能力立意的指导思想.数列的通项公式及前n项和公式的作用在于刻画an及Sn与n的函数关系,数列的性质可以通过函数的性质反映出来,这为数列问题的解决提供了一个新的方向.在数列中,求an和Sn的最值问题都可以通过求相应函数的最值的方法解决,通常利用函数的单调性,要注意自变量不连续.典例1

已知数列{an}是递增数列,且对于任意的n∈N*,an=n2+λn恒成立,则实数λ的取值范围是

.

答案:(-3,+∞)(方法二)因为{an}是递增数列,所以an<an+1对任意的n∈N*恒成立,即n2+λn<(n+1)2+λ(n+1),解得λ>-2n-1.由于(-2n-1)max=-3,则λ>-3.典例2

已知数列{an}.(1)若an=n2-5n+4,①数列{an}中有多少项是负数?②当n为何值时,an取最小值?请求出最小值.(2)若an=-n2+kn+4,且对于n∈N*,都有an+1<an,求实数k的取值范围.解:(1)①由n2-5n+4<0,解得1<n<4.∵n∈N*,∴n=2,3.∴数列{an}中有两项是负数,即为a2,a3.∴当n=2或n=3时,an有最小值,其最小值为a2=a3=-2.(2)由an+1<an知,该数列是一个递减数列.∵通项公式an=-n2+kn+4,可以看作关于n的二次函数,考虑到n∈N*,∴实数k的取值范围是(-∞,3).反思提升1.如果数列的通项公式可以看作一个定义在正整数集N*上的二次函数,那么可以利用二次函数图象的对称轴来研究其单调性.2.不要忽略了数列作为函数的特殊性,即自变量是正整数.3.数列是一种特殊的函数,但数列an=f(n)和函数y=f(x)的单调性是不同的,如典例1中定义在正整数上的函数f(n)在满足

时即单调递增,但定义在R上的f(x)不是增函数.4.2

等差数列课标要求1.通过生活中的实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元一次函数的关系.备考指导等差数列是最重要的基本数列,也是高考必考内容.高考既可能在解答题中考查,也可能在选择题或填空题中出现.复习时要牢记基本公式,能准确进行基本量的运算,并且掌握相关性质以简化运算.还要注重数学文化在等差数列中的渗透以及对函数与方程思想运用较多,培养数学运算的核心素养.【知识筛查】

1.等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母

d表示.2.等差中项如果三个数a,A,b组成等差数列,那么

A叫做a与b的等差中项,由等差数列的定义知

2A=a+b.温馨提示1.a,A,b是等差数列的充要条件是2A=a+b.2.数列{an}是等差数列⇔2an=an-1+an+1(n≥2).3.等差数列的通项公式首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d.4.等差数列的前n项和公式5.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系(1)由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,可得an=dn+(a1-d),当d=0时,an=a1为常数函数,当d≠0时,an=a1+(n-1)d是关于n的一次函数,一次项系数就是等差数列的公差,因此等差数列{an}的图象是直线y=dx+(a1-d)上的一群均匀分布的孤立的点.(2).当d≠0时,它是关于n的二次函数.数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).温馨提示当d≠0时,an是关于n的一次函数;当d>0时,数列{an}为递增数列;当d<0时,数列{an}为递减数列.1.若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.2.若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d.3.若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.4.若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.6.若{an}是等差数列,Sm,S2m,S3m分别为{an}的前m项、前2m项、前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列.【知识巩固】

1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(

)(2)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列.(

)(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.(

)(4)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(

)(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(

)×√√√×2.已知等差数列{an}满足a3=13,a13=33,则a7等于(

)A.19 B.20 C.21 D.22CD由题意可得,2a11=a9+a13,即a13=7.由等差数列前n项和公式,4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14,则S7=

.

5.在100以内(包括100)的正整数中有

个能被6整除.

14设等差数列{an}的公差为d.∵等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=0,a6+a7=14,16由题意知,能被6整除的数构成一个等差数列{an},则a1=6,d=6,得an=6+(n-1)×6=6n.由an=6n≤100,即

,则在100以内(包括100)的正整数中有16个能被6整除.能力形成点1等差数列基本量的运算例1

(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于(

)A.3 B.4

C.5 D.6C设等差数列{an}的公差为d.(方法一)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,∵数列{an}为等差数列,∴d=am+1-am=1,∵m≠0,∴a1=-2,又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5.(方法二)由Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,得am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,则等差数列的公差d=am+1-am=3-2=1.(2)若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7等于(

)A.12 B.13 C.14 D.15B(3)(2020全国Ⅱ,文14)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=-2,a2+a6=2,则S10=

.

25设等差数列{an}的公差为d.∵a1=-2,∴a2+a6=a1+d+a1+5d=2a1+6d=-4+6d=2,解得d=1.解题心得1.等差数列运算问题的一般求法是设出公差d,由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.2.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,已知其中三个就能求出另外两个,体现了用方程组解决问题的思想.3.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,则可设这三个数为a-d,a,a+d;若四个数成等差数列,则可设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d.对点训练1(1)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100等于(

)A.100 B.99

C.98 D.97C(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16=

.

(3)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,若S8=4S4,则a10=

.

-72能力形成点2等差数列的判定与证明例2

已知数列{an}满足a1=1,且nan+1-(n+1)·an=2n2+2n.(1)求a2,a3;(2)证明数列

是等差数列,并求数列{an}的通项公式.解

由已知,得a2-2a1=4,则a2=2a1+4.又a1=1,所以a2=6.由2a3-3a2=12,得2a3=12+3a2,所以a3=15.解题心得等差数列的判定方法(1)证明数列{an}为等差数列的基本方法有两种:①利用等差数列的定义证明,即证明an+1-an=d;②利用等差中项证明,即证明an+2+an=2an+1.(2)解答选择题、填空题时,也可用通项公式或前n项和公式直接判断:①通项法:若数列{an}的通项公式为n的一次函数,即an=An+B,则{an}是等差数列.②前n项和法:若数列{an}的前n项和Sn可以化为Sn=An2+Bn的形式(A,B是常数),则{an}是等差数列.(3)判断一个数列不是等差数列,只需说明某连续三项(如前三项)不是等差数列即可.对点训练2(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.能力形成点3等差数列的性质与应用命题角度1等差数列项的性质的应用例3

(1)在等差数列{an}中,如果a1+a2=40,a3+a4=60,那么a7+a8等于(

)A.95 B.100 C.135 D.80B由等差数列的性质可知,a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8构成新的等差数列,于是a7+a8=(a1+a2)+(4-1)[(a3+a4)-(a1+a2)]=40+3×20=100.(2)已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn+1=Sn+an+3,a4+a5=23,则S8等于(

)A.72 B.88 C.92 D.98C(方法一)由Sn+1=Sn+an+3,得an+1-an=3,则数列{an}是公差d=3的等差数列.又a4+a5=23=2a1+7d=2a1+21,(方法二)由Sn+1=Sn+an+3,得an+1-an=3,则数列{an}是公差为3的等差数列,(3)已知{an},{bn}都是等差数列,若a1+b10=9,a3+b8=15,则a5+b6=

.21因为{an},{bn}都是等差数列,所以2a3=a1+a5,2b8=b10+b6,所以2(a3+b8)=(a1+b10)+(a5+b6),即2×15=9+(a5+b6),解得a5+b6=21.命题角度2等差数列前n项和的性质的应用例4

(1)在等差数列{an}中,a1=-2021,其前n项和为Sn,若,则S2021的值等于(

)A.-2020 B.-2018

C.-2021 D.-2019CA(3)在等差数列{an}中,若前m项的和为30,前2m项的和为100,则前3m项的和为

.

210

对点训练3(1)已知等差数列{an},若a2=2,a3+a5+a7=15,则数列{an}的公差d等于(

)A.0 B.1 C.-1 D.2B根据等差数列的性质,a3+a5+a7=3a5=15,得a5=5,即a5-a2=3=3d,可得d=1,故选B.(2)已知等差数列{an}的前17项和S17=51,则a5-a7+a9-a11+a13等于(

)A.3 B.6 C.17 D.51A由题意知,S17==17a9=51,得a9=3.根据等差数列的性质a5+a13=a7+a11,故a5-a7+a9-a11+a13=a9=3.D(4)在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=

.

45∵{an}为等差数列,∴S3,S6-S3,S9-S6成等差数列.∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6).∴a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2×(36-9)-9=45.能力形成点4等差数列前n项和的最值问题例5

(1)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a4<0,a5>|a4|,则使Sn>0成立的最小正整数n为(

)A.6 B.7 C.8 D.9C在等差数列{an}中,∵a4<0,a5>|a4|,∴a5>0,a5+a4>0,∴使Sn>0成立的最小正整数n为8.故选C.(2)在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值.解题心得求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)利用函数的性质:将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)看作二次函数,根据二次函数的性质求最值.②利用相关性质求出其正负转折项,便可求得前n项和的最值.对点训练4(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5+a7=4,a6+a8=-2,则当Sn取最大值时,n的值是(

)A.5 B.6 C.7 D.8B依题意得2a6=4,2a7=-2,则a6=2>0,a7=-1<0;又数列{an}是等差数列,因此在该数列中,前6项均为正数,自第7项起以后各项均为负数,于是当Sn取最大值时,n=6,选B.(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.①求数列{an}的通项公式;②求Sn,并求Sn的最小值.解

①设数列{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7,得d=2.故数列{an}的通项公式为an=2n-9.②由①得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.故当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.思想方法——整体思想在等差数列中的应用

整体思想,就是在研究和解决有关数学问题时,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征,从而对问题进行整体处理的解题方法.从整体上去认识问题、思考问题,常常能化繁为简、变难为易,同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性.整体思想的主要表现形式有整体代入、整体加减、整体代换、整体联想等.在等差数列中,当要求的Sn所需要的条件未知或不易求出时,可以考虑整体代入.典例1

已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a4+a5=12,则S7的值为

.

答案:28解析:设等差数列{an}的公差为d.∵a3+a5=2a4,∴由a3+a4+a5=12,得3a4=12,即a4=4.∴a1+3d=4,故S7=7a1+=7(a1+3d)=7×4=28.典例2

在等差数列{an}中,其前n项和为Sn.已知Sn=m,Sm=n(m≠n),则Sm+n=

.

答案:-(m+n)4.3

等比数列课标要求1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等比数列的前n项和公式,理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.4.体会等比数列与指数函数的关系.备考指导作为与等差数列并重的一个特殊数列,复习本节内容时可类比等差数列,牢记相关公式和性质,并注意与等差数列的不同点,重点训练基本量的运算和性质应用.分类讨论和函数与方程思想是本节涉及较多的思想方法,对数学运算的核心素养也有一定的要求.【知识筛查】

1.等比数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母

q(q≠0)表示.2.等比中项如果在a与b中间插入一个数G,使

a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.此时,G2=ab.温馨提示在等比数列{an}中,任取相邻的三项an,an+1,an+2,则an+1是an与an+2的等比中项,即问题思考“b2=ac”是“a,b,c”成等比数列的什么条件?必要不充分条件.因为当b2=ac时不一定有a,b,c成等比数列,比如a=0,b=0,c=1.但a,b,c成等比数列一定有b2=ac.3.等比数列的通项公式首项为a1,公比为q的等比数列{an}的通项公式为an=a1qn-1.温馨提示等比数列{an}的图象是指数型函数

的图象上的一群孤立的点.4.等比数列的前n项和公式首项为a1,公比为q的等比数列的前n项和(5)若Sn是等比数列{an}的前n项和,则当q≠-1或q=-1,且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为

qn.1.在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.【知识巩固】

1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)满足an+1=qan(q为常数)的数列{an}为等比数列.(

)(2)等比数列中不存在数值为0的项.(

)(3)若数列{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.(

)(4)若数列{an}为等比数列,则数列{lnan}是等差数列.(

)×√××2.在等比数列{an}中,若a3=12,a4=18,则a6等于(

)A.27 B.36 C. D.543.已知{an}为等差数列,公差为1,且a5是a3与a11的等比中项,Sn是数列{an}的前n项和,则S12的值为(

)A.21 B.42

C.63 D.54CD4.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2a3=16,则数列{log2an}的前4项和等于

.

5.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1KB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机

分钟,该病毒占据内存64MB(1MB=210KB).

8由等比数列的性质,得a2a3=a1a4=16,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4=log2(a1a2a3a4)=log2(16×16)=8.48由题意可知,病毒每复制一次所占内存的大小构成一个等比数列{an},且a1=2,公比q=2,即an=2n,由2n=64×210=216,得n=16,即病毒共复制了16次.故所需时间为16×3=48(分钟).能力形成点1等比数列基本量的运算B(2)(2020全国Ⅱ,文6)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则

等于(

)A.2n-1 B.2-21-n

C.2-2n-1 D.21-n-1B32解题心得解决等比数列有关问题的常见思想方法(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解.(2)分类讨论的思想:因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,所以当某一参数为公比,进行求和时,就要对参数是否为1进行分类求和.(3)整体思想:应用等比数列前n项和公式时,常把qn或

当成整体进行求解.对点训练1(1)已知等比数列{an}中,a5=3,a4a7=45,则

的值为(

)A.3 B.5 C.9 D.25D(2)已知{an}为等比数列,a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则a3+a5等于(

)A.189 B.72 C.60 D.33C设等比数列{an}的公比为q,因为4a1,2a2,a3成等差数列,所以4a2=4a1+a3,即4a1q=4a1+a1q2,所以q2-4q+4=0,得q=2.所以a3+a5=a1(q2+q4)=3×(4+16)=60.(3)已知等比数列{an}中的各项均为正数,Sn是其前n项和,且满足2S3=8a1+3a2,a4=16,则S4=

.

30由题意得,2(a1+a2+a3)=8a1+3a2,即2a3-a2-6a1=0.设等比数列{an}的公比为q(q>0),则2a1q2-a1q-6a1=0,即2q2-q-6=0,能力形成点2等比数列的判定与证明例2

设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n.(1)求a2,a3的值;(2)求证:数列{Sn+2}是等比数列;(3)求数列{an}的通项公式.(1)解

因为a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n,所以当n=1时,a1=2×1=2;当n=2时,a1+2a2=(a1+a2)+4,得a2=4;当n=3时,a1+2a2+3a3=2(a1+a2+a3)+6,得a3=8.综上,a2=4,a3=8.(2)证明

因为a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n,①所以当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n-2)·Sn-1+2(n-1).②由①-②,得nan=(n-1)Sn-(n-2)Sn-1+2=n(Sn-Sn-1)-Sn+2Sn-1+2=nan-Sn+2Sn-1+2.可得-Sn+2Sn-1+2=0,即Sn=2Sn-1+2,则Sn+2=2(Sn-1+2).因为S1+2=4≠0,所以Sn-1+2≠0,所以

故{Sn+2}是以4为首项,2为公比的等比数列.(3)解

由(2)可知,Sn+2=4×2n-1=2n+1.所以Sn=2n+1-2.当n≥2时,有an=Sn-Sn-1=(2n+1-2)-(2n-2)=2n+1-2n=2n.由(1)知,a1=2,故当n=1时,上式也成立.综上,an=2n.解题心得1.判断数列{an}为等比数列的方法

对点训练2已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n.(1)求a1,a2,a3的值.(2)是否存在常数λ,使得{an+λ}为等比数列?若存在,求出λ的值和通项公式an;若不存在,请说明理由.解

(1)根据题意可知当n=1时,S1=a1=2a1-3,解得a1=3;当n=2时,S2=a1+a2=2a2-6,解得a2=9;当n=3时,S3=a1+a2+a3=2a3-9,解得a3=21.(2)假设存在常数λ,使得{an+λ}是等比数列,则(a2+λ)2=(a1+λ)(a3+λ),即(9+λ)2=(3+λ)(21+λ),解得λ=3.下面证明{an+3}为等比数列:∵Sn=2an-3n,∴Sn+1=2an+1-3n-3,∴an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an-3,即2an+3=an+1,∴2(an+3)=an+1+3,∵a1+3=6≠0,∴an+3≠0,∴存在λ=3,使得数列{an+3}是首项为a1+3=6,公比为2的等比数列.∴an+3=6×2n-1,即an=3(2n-1).能力形成点3等比数列性质的应用命题角度1等比数列项的性质的应用例3

(1)在由正数组成的等比数列{an}中,若a3a4a5=3π,则sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)的值为(

)B(2)在各项均为正数的等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n=

.

14命题角度2等比数列前n项和性质的应用例4

在等比数列{an}中,其前n项和为48,前2n项和为60,则其前3n项和为

.

63解题心得1.在解答等比数列的有关问题时,为简化解题过程常常利用等比数列项的如下性质:(1)通项公式的推广:an=amqn-m;(2)等比中项的推广与变形:=am·an(m+n=2p)及ak·al=am·an(k+l=m+n).2.对已知等比数列的前几项和,求其前多少项和的问题,应用公比不为-1的等比数列前n项和的性质:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列比较简便.(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若an>0,公比q>1,a3+a5=20,a2a6=64,则S5=

.

31(4)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n=

.

30由题意知公比大于0,由等比数列的性质知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…仍为等比数列.设S2n=x,则2,x-2,14-x成等比数列.由(x-2)2=2×(14-x),解得x=6或x=-4(舍去).即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…是首项为2,公比为2的等比数列.又S3n=14,所以S4n=14+2×23=30.能力形成点4等差数列与等比数列的综合问题解题心得等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很广,题目的变化也很多,但是万变不离其宗,只要抓住基本量a1,d(q)充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理调用相关知识,就不难解决这类问题.对点训练4已知等差数列{an}满足a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式.(2)设Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.解

(1)设等差数列{an}的公差为d,根据题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,an=2;当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2.综上,数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2.(2)当an=2时,Sn=2n.显然2n<60n+800,此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立.当an=4n-2时,令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,解得n>40或n<-10(舍去),此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41.综上,当an=2时,不存在满足题意的n;当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.能力形成点5等差数列、等比数列在实际问题中的应用例6

为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,某市计划用几年时间更换一万辆燃油型公交车.每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力型车.今年初投入了电力型公交车120辆,混合动力型公交车300辆,计划以后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%,混合动力型公交车每年比上一年多投入m辆.设an,bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量,Sn,Tn分别为n年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量.(1)求Sn,Tn,并求n年里投入的所有新公交车的总数Fn;(2)该市计划用8年的时间完成全部更换,求m的最小值.(参考数据:1.58≈25.6)解题心得解答数列应用题需过好“四关”对点训练5纸张的规格是指纸张制成后,经过修整切边,裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准,规定以A0,A1,A2,B1,B2,…等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用A系列和B系列,其中An(n∈N,n≤8)系列的幅面规格为①A0,A1,A2,…,A8所有规格的纸张的幅宽(以x表示)和长度(以y表示)的比例关系都为;②将A0纸张沿长度方向对开成两等分,便成为A1规格,A1纸张沿长度方向对开成两等分,便成为A2规格,……如此对开至A8规格.现有A0,A1,A2,…,A8纸各一张.若A4纸的幅宽为2dm,则A1纸的长度为

dm;A1,A2,…,A8八张纸的面积之和等于

dm2.

8以数阵为背景的数列问题所谓数阵,是指将某些数按照一定的规律排成若干行和列,形成图表,也称之为数表.数阵中数的排列比较常见的是等差数列或等比数列,它重点考查等差数列、等比数列的相关知识,有时也会出现其他类型的数列,解决此类问题的关键是根据数的排列找出其中的规律.(1)直角三角形数阵排列形状为直角三角形的数阵称为直角三角形数阵.典例1

下面为一个“直角三角形数阵”.满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第i行第j列的数为a(i,j)(i,j∈N*),则a(20,20)=

.

(2)等腰三角形数阵排列形状为等腰三角形的数阵称为等腰三角形数阵.典例2

将全体正整数排成一个三角形数阵,如下图所示.按照以上排列的规律,第n行从左向右的第3个数为

.

(3)矩形数阵排列形状为矩形的数阵称为矩形数阵.典例3

在下面的表格中,如果每格填上一个数后,每一行成等差数列,每一列成等比数列,那么x+y的值为

.

解析:由题意,设第一行构成等差数列{an},且公差为d,可得a1=6,a3=8,则a3=a1+2d,即6+2d=8,解得d=1,则a4=a1+3d=9;设第二行构成等差数列{bn},且公差为d1,可得b1=3,b3=4,解题心得解决数阵中数列问题的解题策略:(1)抓住问题中所给各行与各列所构成数列的特征,根据所给出的特殊项推出各行、各列的前几项,进而求出通项公式,从而顺利地解决相关问题.(2)以数阵的每一行的第一个数或最后一个数构成的新数列为研究对象,发现数列的规律特征,应用数列知识求出新数列的通项公式,进而可以求出数阵每一行的第一个数或最后一个数,最后根据数阵每行的特征规律求解未知量.(3)以数阵的每一行中的数依次排列构成新数列,求解新数列的每行项数,进而通过项数求解出数列的每一项.4.4数学归纳法课标要求了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题.备考指导本节为选学内容,不作考试要求.但是对于归纳—猜想—证明的思想还是应该注意理解,提升逻辑推理素养.【知识筛查】

数学归纳法一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n=n0(n0∈N*)时命题成立;(2)(归纳递推)以“当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立”为条件,推出“当n=k+1时命题也成立”.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立,这种证明方法称为数学归纳法(mathematicalinduction).温馨提示能使多米诺骨牌全部倒下需要以下两个条件:(1)第一块骨牌倒下;(2)任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下.【知识巩固】

1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.(

)(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(

)(3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.(

)(4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.(

)(5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,验证当n=1结论成立时,左边式子应为1+2+22+23.(

)××××√C

345n+1根据题意可得,a2=3,a3=4,a4=5,故猜想an=n+1.4.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)·(2n+1)时,从n=k到n=k+1,左边需增添的代数式是

.

(2k+2)+(2k+3)当n=k时,待证等式左边=1+2+3+…+(2k+1),当n=k+1时,待证等式左边=1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3),所以从n=k到n=k+1,左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3).能力形成点1用数学归纳法证明等式解题心得1.用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少.2.由当n=k时等式成立,推出当n=k+1时等式成立,一要找出等式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程.3.不利用归纳假设的证明,就不是数学归纳法.对点训练1求证:(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1)(n∈N*).证明

(1)当n=1时,等式左边=2,右边=2,故等式成立;(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即(k+1)(k+2)·…·(k+k)=2k×1×3×5×…×(2k-1),则当n=k+1时,左边=(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)·…·(k+k)(2k+1)(2k+2)=2k×1×3×5×…×(2k-1)(2k+1)×2=2k+1×1×3×5×…×(2k-1)(2k+1),即当n=k+1时等式也成立.由(1)(2)可知,对所有n∈N*等式都成立.能力形成点2用数学归纳法证明不等式解题心得1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时,若应用其他办法不容易证明,则可考虑用数学归纳法.2.用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立,推证n=k+1时也成立,证明时用上归纳假设后,可采用求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法.能力形成点3归纳—猜想—证明(1)求a2,a3,a4;(2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.解题心得在解决某些归纳猜想问题时要注意以下几点:(1)计算特例时,不仅仅是简单的计算过程,有时要通过计算过程发现数据的变化规律;(2)如果猜想出来的结论与正整数n有关,一般用数学归纳法证明.对点训练3(1)求S1,S2,S3,S4;(2)猜想该数列的前n项和Sn,并证明.用数学归纳法证明整除问题典例

用数学归纳法证明当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除.证明:(1)当n=1时,xn+yn=x+y,显然能被x+y整除,命题成立.(2)假设当n=k(k∈N*,且k为奇数)时,命题成立,即xk+yk能被x+y整除.那么当n=k+2时,xk+2+yk+2=x2(xk+yk)+yk+2-x2yk=x2(xk+yk)-yk(x+y)(x-y).又根据假设,xk+yk能被x+y整除,所以x2(xk+yk)能被x+y整除.又yk(x+y)(x-y)能被x+y整除,所以x2(xk+yk)-yk(x+y)(x-y)能被x+y整除,即当n=k+2时,命题成立.由(1)(2)可知,当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除.解题心得用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的n=k+1的式子中拼凑出当n=k时的假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式或某数整除.证明过程中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法分析出因子,从而利用当n=k时的假设使问题得到解决.变式训练证明:(3n+1)×7n-1能被9整除(n∈N*).证明

(1)当n=1时,(3n+1)×7n-1=(3+1)×7-1=27是9的倍数,命题成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,命题成立,即(3k+1)×7k-1能被9整除.那么当n=k+1时,[3(k+1)+1]×7k+1-1=(21k+28)×7k-1=(3k+