新教材人教A版高中数学选择性必修第一册全册2022新高考一轮复习课件

1.1空间向量及其运算1.2立体几何中的向量方法P44第一章空间向量与立体几何2.1直线的倾斜角与斜率2.2直线的方程P982.3直线的交点坐标与距离公式P1372.4圆的方程P1652.5直线与圆、圆与圆的位置关系P196第二章直线和圆的方程3.1椭圆P2303.2双曲线P2803.3抛物线P319第三章圆锥曲线的方程课标要求1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用空间直角坐标系刻画点的位置.2.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标.探索并得出空间两点间的距离公式.3.了解空间向量的概念.4.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.5.了解空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.6.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.7.掌握空间向量的数量积及其坐标表示.8.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.备考指导本节内容是在平面向量基础上的推广与扩充,复习时要类比平面向量的相关概念、定理、公式、运算律等,比较它们之间的异同.本节知识对数学抽象核心素养体现较多,是基础性和工具性的内容,难度不大.重点是理解和记忆定理、公式等,能准确进行空间向量的运算以及应用空间向量解决平行、垂直和夹角等问题.【知识筛查】

1.空间向量的相关概念(1)定义在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.(2)特殊的空间向量

2.空间向量的线性运算(1)加法与减法运算(2)数乘运算定义:实数λ与空间向量a的积λa仍然是一个向量,称为向量的数乘运算.当λ>0时,λa与向量a方向相同;当λ<0时,λa与向量a方向相反;当λ=0时,λa=0;λa的长度是a的长度的|λ|倍,即|λa|=|λ||a|.(3)运算律①交换律:a+b=b+a;②结合律:a+(b+c)=(a+b)+c;③分配律:λ(a+b)=λa+λb;λ(μa)=(λμ)a.3.空间向量的基本定理(1)共线向量定理①定理:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.温馨提示1.定理中规定b≠0,这是因为:(1)在充分性中,当b=0,λ≠0时,也有a=λb=0,而零向量与任一向量共线,λ并不唯一;(2)在必要性中,当a≠0,b=0时,不存在实数λ,使a=λb.(2)共面向量定理①定义:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.②共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.(3)空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc.{a,b,c}叫做空间的一个基底,其中a,b,c都叫做基向量.4.空间向量的数量积运算(1)空间两向量的夹角②夹角的范围:空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0,π].特别地,当θ=0时,两向量同向共线;当θ=π时,两向量反向共线,所以若a∥b,则<a,b>=0或π.(2)空间两向量的数量积运算①定义:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做a,b的数量积,记作a·b.即a·b=|a||b|cos<a,b>.特别地,零向量与任意向量的数量积为

0.②运算律结合律:(λa)·b=λ(a·b);交换律:a·b=b·a;分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.(3)空间向量的坐标表示及其应用设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).【知识巩固】

1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)“|a|-|b|=|a+b|”是“a,b共线”的充要条件.(

)(2)对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面.(

)(3)对于空间非零向量a,b,a⊥b⇔a·b=0.(

)(4)对于非零向量b,由a·b=b·c,得a=c.(

)(5)非零向量a,b,c满足(a·b)·c=a·(b·c).(

)××√××2.已知x,y∈R,有下列说法:①若p=xa+yb,则p与a,b共面;②若p与a,b共面,则p=xa+yb;其中正确说法的个数是(

)A.1 B.2 C.3 D.4B①正确.②中若a,b共线,p与a不共线,则p=xa+yb不成立.③正确.④中若点M,A,B共线,点P不在此直线上,则

不成立.3.如图,在一个60°的二面角的棱上,有两个点A,B,AC,BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长为

.

4.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1和BB1的中点,则直线AM和CN所成角的余弦值为

.

5.如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算:(3)EG的长;(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.能力形成点1空间向量的线性运算例1

如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:解题心得1.选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,这是用向量解决立体几何问题的基本方法.解题时应结合已知和所求观察图形,灵活运用相关的运算法则和公式来表示所需向量.2.空间向量问题可以转化为平面向量问题来解决,即把空间向量转化到某一个平面上,利用三角形法则或平行四边形法则来解决.对点训练1如图,在三棱锥O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是△ABC的重心,用基向量能力形成点2共线定理、共面定理的应用例2

已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,用向量方法证明:(1)E,F,G,H四点共面;(2)BD∥平面EFGH.对点训练2能力形成点3空间向量的数量积及其应用例3

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点.(1)求CE的长;(2)求证:EF⊥CF;(方法二:坐标法)解题心得1.证明垂直问题利用a⊥b⇔a·b=0(a≠0,b≠0),可将向量的垂直问题转化为向量数量积的计算问题,主要有两种方法:(1)先把两个向量用同一组基底表示出来,再计算它们的数量积.选择基向量时要尽量选择已知长度和夹角的向量作为基向量.(2)建立适当的空间直角坐标系,利用向量数量积的坐标运算直接计算验证.2.求夹角(1)结合图形,平移向量,利用空间向量的夹角的定义来求,但要注意向量夹角的取值范围.(2)先求出两个向量的数量积a·b,再利用公式

求cos<a,b>,最后确定<a,b>.对点训练3(1)如图,已知线段AB⊥平面α,BC⊂α,CD⊥BC,DF⊥平面α,且∠DCF=30°,点D与点A在α的同侧,若AB=BC=CD=2,则A,D两点间的距离为

.

(2)如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分别为棱AB,BB'的中点.①求证:CE⊥A'D;②求异面直线CE与AC'所成角的余弦值.(方法二:坐标法)∵CC'⊥平面ABC,且CA⊥CB,∴以点C为原点,分别以CA,CB,CC'所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略).令AC=BC=AA'=2,则点A(2,0,0),C'(0,0,2),A'(2,0,2),E(0,2,1),D(1,1,0).方程思想与分类讨论思想在空间向量中的应用典例

已知向量a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y),并且a,b同向,则x+y的值为

.

答案:4解题心得已知向量平行或垂直求参数,一般要根据向量平行或垂直的坐标表示建立参数的方程或方程组,进而求出参数值或取值范围.立体几何中的向量方法课标要求1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系.3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理.4.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用.备考指导立体几何解答题是高考六道大题之一,每年必考,主要考查空间线、面位置关系的性质与判定,应用向量方法求空间角,折叠问题以及存在性探究题等,难度中等.主要涉及逻辑推理、直观想象和数学运算的学科素养,考查数形结合思想和转化与化归思想的应用.复习时要注意归纳常用的证明空间平行、垂直的模型与规律,认真分析图形,建立恰当的空间直角坐标系,准确写出相关坐标,计算所求的角或角的函数值等.【知识筛查】

(3)空间平面的法向量①定义:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合

.2.空间中直线、平面位置关系的向量表示

温馨提示1.用向量刻画空间中直线、平面的平行、垂直关系时,要注意线面关系与向量关系的异同,可简记为“同类同性,异类相反”,即线线平行(垂直)、面面平行(垂直)中向量仍平行(垂直),但线面平行(垂直)中向量变为垂直(平行).

2.因为直线的方向向量与平面的法向量都不是唯一的,所以应优先选取方便运算的向量.【知识巩固】

1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)直线的方向向量是唯一确定的.(

)(2)平面的单位法向量是唯一确定的.(

)(3)若两条直线的方向向量不平行,则这两条直线不平行.(

)(4)若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行.(

)(5)两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角.(

)××√××2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为(

)C3.已知点A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),则点A到直线BC的距离为(

)A4.设u,v分别是平面α,β的法向量,u=(-2,2,5),当v=(3,-2,2)时,α与β的位置关系为

;当v=(4,-4,-10)时,α与β的位置关系为

.

α⊥βα∥β当v=(3,-2,2)时,u·v=(-2,2,5)·(3,-2,2)=0⇒α⊥β.当v=(4,-4,-10)时,v=-2u⇒α∥β.5.过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,则平面PAB与平面PCD的夹角为

.

45°如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设AB=PA=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),由题意,知AD⊥平面PAB,设E为PD的中点,连接AE,则AE⊥PD,又CD⊥平面PAD,所以CD⊥AE,从而AE⊥平面PCD.能力形成点1利用空间向量证明平行、垂直例1

如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC,,二面角A1-AB-C是直二面角.求证:(1)A1B1⊥平面AA1C;(2)AB1∥平面A1C1C.证明

∵二面角A1-AB-C是直二面角,四边形A1ABB1为正方形,AA1⊂平面A1ABB1,∴AA1⊥平面BAC.又AB=AC,,∴∠CAB=90°,即CA⊥AB,∴AB,AC,AA1两两互相垂直.以A为坐标原点,以AC,AB,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设AB=2,则点A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2).解题心得1.用向量法证明平行类问题的常用方法

2.用向量法证明垂直类问题的常用方法对点训练1如图,在三棱锥P-ABC

中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)求证:AP⊥BC;(2)若点M是线段AP上一点,且AM=3.试证明平面AMC⊥平面BMC.证明

(1)如图所示,以O为坐标原点,分别以射线OD,OP为y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.所以点O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).能力形成点2利用空间向量解决探索性问题例2

如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.(1)求证:B1E⊥AD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.解题心得立体几何探索性问题的求解方法有以下两种:(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想,找出点或线的位置,然后加以证明,得出结论;(2)假设所求的点或线存在,并设定参数表达已知条件,根据题目要求进行求解,若能求出参数的值且符合已知限定的范围,则存在这样的点或线,否则不存在.本题是设出点P的坐标,借助向量运算,判断关于z0的方程是否有解.对点训练2如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的

倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.(1)证明

连接BD,设AC交BD于点O,连接SO,则AC⊥BD.由题意知SO⊥平面ABCD.能力形成点3利用空间向量求空间角命题角度1利用空间向量求直线与平面所成的角例3

如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD;(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.(1)证明

由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.命题角度2利用空间向量求两个平面的夹角例4

如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求平面PAB与平面PCB的夹角的余弦值.(1)证明

由∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)解

在平面PAD内作PF⊥AD,垂足为F.由(1)可知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PF,可得PF⊥平面ABCD.解题心得1.利用向量法求线面角的方法:(1)分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(或钝角的补角),取其余角就是斜线和平面所成的角.2.利用向量法求两个平面的夹角的方法:求出两个平面的法向量分别为n1,n2,设两个平面的夹角为θ,则cos

θ=|cos<n1,n2>|,进而求出θ的值.对点训练3(1)在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图.①求证:AB⊥CD;②若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.①证明

∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB⊂平面ABD,AB⊥BD,∴AB⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD,∴AB⊥CD.②解

过点B在平面BCD内作BE⊥BD,如图.由①知AB⊥平面BCD,BE⊂平面BCD,BD⊂平面BCD,∴AB⊥BE,AB⊥BD.(2)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,,∠BAD=120°.①求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;②求平面A1BD与平面A1AD的夹角的正弦值.能力形成点4利用空间向量求距离例5

如图,△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,,求点A到平面MBC的距离.解

如图,取CD的中点O,连接OB,OM,则OB⊥CD,OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD,交线为CD,所以OM⊥平面BCD.以O为坐标原点,OC,BO,OM所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.解题心得1.求解点到平面距离的基本步骤为:2.求平面外一点B到平面α的距离,可以先求出点B在平面内的射影,再运用两点间的距离公式.3.求线面距离、面面距离可转化为求点面距离来解决.BC转化与化归思想——立体几何中的展开问题典例

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为直角三角形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC1=,P是BC1上一动点,如图所示,则CP+PA1的最小值为

.

解析:PA1在平面A1BC1内,PC在平面BCC1内,将其铺平后转化为平面上的问题.展开平面A1BC1,平面BCC1,如图所示,计算得A1B=AB1=,BC1=2.又A1C1=6,故△A1BC1是直角三角形,∠A1C1B=90°.又△BCC1为等腰直角三角形,所以∠A1C1C=135°.设P是BC1上任一点,则CP+PA1≥A1C,即当A1,P,C三点共线时,CP+PA1有最小值.在△A1C1C中,由余弦定理,得解题心得1.“展开问题”是“折叠问题”的逆向思维,“展开问题”是指将立体图形的表面(或部分表面)按一定的要求铺成平面图形,再利用平面图形的性质解决立体问题的一类题型.解决展开问题的关键是:确定需要展开立体图形中的哪几个面(有时需要分类讨论),以及利用什么平面的性质和定理来解决对应的立体图形问题.2.求立体图形中两条(或多条)线段长度和的最小值,只需将这些线段统一到一个平面上.要注意立体图形展开前后对应线段与角度哪些会改变,哪些不会变.变式训练如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P,则AP+D1P的最小值为(

)D将△A1AB与△A1BD1放在同一平面内,如图所示.连接AD1,则AD1为AP+D1P的最小值.因为AA1=A1D1=1,∠AA1D1=90°+45°=135°,2.1直线的倾斜角与斜率2.2直线的方程第二章直线和圆的方程课标要求1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式,体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.4.掌握两条直线平行和垂直的判定和应用.备考指导本节内容在高考中主要以选择题或填空题的形式出现,难度中等.主要考查直线的倾斜角与斜率、直线方程的几种形式及直线平行和垂直的应用.本节知识也常和圆、椭圆、双曲线或抛物线的知识相联系,特别是常出现于圆锥曲线的解答题中.新高考强调数学文化背景下的知识考查,因此要注重知识在实际情境中的理解和应用,要加强逻辑推理、数学运算、直观想象的素养.【知识筛查】

1.直线的倾斜角(1)定义:当直线l与x轴相交时,以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.(2)范围:直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.2.直线的斜率(1)定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=tanα.倾斜角是90°的直线没有斜率.(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为问题思考1直线都有倾斜角,是不是都有斜率?倾斜角越大,其斜率就越大吗?3.直线方程的五种形式

问题思考2“截距”与“距离”有何区别?当截距相等时应注意什么?“截距”是直线与坐标轴交点的对应坐标值,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个非负数.当截距相等时,应注意考虑过原点的特殊情况.4.两条直线的位置关系(1)平面内两条直线有两种位置关系:相交、平行.(2)两条直线平行的判定:①对于两条不重合的直线l1,l2,若其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2⇔k1=k2.②当直线l1,l2不重合,且斜率都不存在时,l1∥l2.(3)两条直线垂直的判定:①当两条直线l1,l2的斜率存在时,设为k1,k2,则有l1⊥l2⇔k1k2=-1.②当两条直线l1,l2中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l1⊥l2.【知识巩固】

1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若直线的斜率为tanα,则其倾斜角为α.(

)(2)斜率相等的两条直线的倾斜角不一定相等.(

)(3)若直线在x轴、y轴上的截距分别为m,n,则直线方程可记为

.(

)(4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线,其方程都可以用(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.(

)(5)当直线l1和l2的斜率都存在时,一定有k1=k2⇔l1∥l2.(

)×××√×2.若过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率为1,则m的值为(

)A.1 B.4 C.1或3 D.1或4A3.(多选)下列关于直线l:x+my-1=0(m∈R)的说法不正确的是(

)A.直线l的斜率为-m B.直线l的斜率为C.直线l过定点(0,1) D.直线l过定点(1,0)ABC当m≠0时,直线l的方程为y=(x-1),其斜率为

,过定点(1,0);当m=0时,直线l的方程为x=1,其斜率不存在,过点(1,0),故A,B不正确,D正确.将点(0,1)的坐标代入直线l的方程得m-1=0,即m=1,故只有当m=1时,直线l才会过点(0,1),故C不正确.4.过点P(2,-2),且平行于直线2x+y+1=0的直线的方程为(

)A.2x+y-2=0 B.2x-y-2=0C.2x+y-6=0 D.2x+y+2=05.若直线l1:(a+1)x+ay-1=0与l2:ax+(3-2a)y=0互相垂直,则实数a的值为

.

A设与直线2x+y+1=0平行的直线的方程为2x+y+m=0(m≠1),代入点P的坐标,可得2×2-2+m=0,即m=-2.因此过点P(2,-2),且平行于直线2x+y+1=0的直线的方程为2x+y-2=0.故选A.0或4因为直线l1:(a+1)x+ay-1=0与l2:ax+(3-2a)y=0互相垂直,所以a(a+1)+a(3-2a)=0,解得a=0或a=4.能力形成点1直线的倾斜角与斜率例1

(1)设直线l的方程为x+ycosθ+3=0(θ∈R),则直线l的倾斜角α的取值范围是(

)C(2)已知直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),为端点的线段有公共点,则直线l的斜率的取值范围为

.

拓展延伸若将例1(2)中点P(1,0)改为点P(-1,0),其他条件不变,则直线l的斜率的取值范围为

.

解题心得1.由直线倾斜角的取值范围求直线斜率的取值范围或由直线斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时,常借助正切函数y=tan

x在区间

内的单调性求解.2.已知过一定点的直线与已知线段相交,求直线斜率的取值范围时,注意当直线倾斜角为

时,直线斜率不存在.对点训练1(1)若平面内三点A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则a等于(

)A(2)已知点A(-2,-3)和点B(-1,0)是平面直角坐标系中的定点,直线y=kx+1与线段AB始终相交,则实数k的取值范围是(

)A能力形成点2求直线的方程例2

(1)若直线经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍,则该直线的方程为

.

x+2y+1=0或2x+5y=0解题心得1.求直线方程时,应结合所给条件选择适当的直线方程形式,并注意各种形式的适用条件.2.若采用截距式,则应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,则应先考虑斜率不存在的情况.对点训练2B(2)在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC的中点M在y轴上,BC的中点N在x轴上,则直线MN的方程为

.

5x-2y-5=0能力形成点3两条直线的平行与垂直例3

(1)已知直线mx+2y+3=0与直线3x+(m-1)y+m=0平行,则实数m等于(

)A.-2 B.3C.5 D.-2或3A由题意可知m≠0.∵直线mx+2y+3=0与直线3x+(m-1)y+m=0平行,(2)已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.①当l1∥l2时,求a的值;②当l1⊥l2时,求a的值.解

①若l1∥l2,则a(a-1)-2=0,解得a=2或a=-1.当a=2时,l1:2x+2y+6=0,即x+y+3=0,l2:x+y+3=0,此时l1与l2重合,不符合题意,舍去.当a=-1时,l1∥l2.故a的值为-1.解题心得1.当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两条直线平行、垂直时,也可直接利用直线的一般式方程的系数间的关系得出结论.对点训练3(1)直线l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8,则“m=-1或m=-7”是“l1∥l2”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B(2)(多选)已知直线l1:x+ay-a=0和直线l2:ax-(2a-3)y-1=0,下列说法正确的是(

)A.l2始终过定点B.若l1∥l2,则a=1或a=-3C.若l1⊥l2,则a=0或a=2D.当a>0时,l1始终不过第三象限ACD能力形成点4直线方程的综合应用命题角度1与基本不等式相结合的最值问题例4

已知直线l过点M(2,1),且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点,则当

取得最小值时,直线l的方程是

.x+y-3=0命题角度2与函数的导数的几何意义相结合的问题例5

设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为,则点P的横坐标的取值范围为(

)A命题角度3与圆相结合的问题例6

已知直线l将圆C:x2+y2+x-2y+1=0平分,且与直线x+2y+3=0垂直,则直线l的方程为

.

2x-y+2=0解题心得1.解决与基本不等式相结合的最值问题,注意“1”的代换技巧的应用,并且注意等号成立条件的验证.2.解决与函数的导数的几何意义相结合的问题,一般是利用导数在切点处的值等于切线的斜率来求解相关问题.3.解决直线方程与圆的方程相结合的问题,一般是利用直线和圆的位置关系求解.对点训练4D(方法一)如图,过点P作圆x2+y2=1的切线PA,PB,切点为A,B.由题意知|OP|=2,|OA|=1,(2)经过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A,B两点,当△AOB面积最小时,直线l的方程为

.

x+2y-4=0(3)已知点P为曲线

上任意一点,则当曲线在点P处的切线的斜率最小时,该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为

.

易错警示——忽略过原点的情况致错典例

过点A(3,-1),且在两坐标轴上的截距相等的直线有(

)A.1条 B.2条 C.3条 D.4条答案:B

解析:①当所求的直线在两坐标轴上的截距都不为0时,设该直线的方程为x+y=a(a≠0),把点A(3,-1)的坐标代入所设的方程得a=2,则所求直线的方程为x+y=2,即x+y-2=0.②当所求的直线在两坐标轴上的截距都为0时,设该直线的方程为y=kx,把点A(3,-1)的坐标代入所设的方程得k=-,则所求直线的方程为y=-x,即x+3y=0.综上,所求直线的方程为x+y-2=0或x+3y=0.故选B.

解题心得解决此类问题易出现的错误有:(1)直接设出截距式方程,忘记过原点的情况;(2)混淆截距与距离.因此,涉及截距、距离等直线问题,要注意分类讨论思想的应用,考虑直线过原点这一特殊情形.变式训练经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为

.

x-y-1=0或x+y-5=0或2x-3y=02.3直线的交点坐标与距离公式课标要求1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2.能结合二元一次方程组的解的情况(唯一解、无解、无穷多解)理解两条直线相交、平行、重合的条件,解决有关两条直线位置关系的问题.3.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.备考指导直线的交点坐标与距离公式在高考中一般不单独命题,多与圆、圆锥曲线的知识相融合,主要体现在两条直线的交点坐标的求解,三种距离公式的应用.要重视本节知识的基础地位,比如解析几何方面的选择题、填空题和圆锥曲线的解答题中往往会用到交点坐标和距离公式.本节要注意公式的正确理解,尤其注意公式的适用条件,常用的思想方法有:转化思想、分类讨论思想、数形结合思想、代入验证法、直线系法等.应加强逻辑推理、数学运算、直观想象的素养.【知识筛查】

1.两条直线的交点坐标

2.三种距离

温馨提示应用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意:(1)将直线方程化为最简的一般形式;(2)利用两条平行直线间的距离公式时,应使两条平行直线的方程中x,y的系数分别对应相等.1.与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R,且m≠C).2.与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R).3.过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.【知识巩固】

×√√2.已知直线l1:x-y=0与l2:2x-3y+1=0的交点在直线mx+3y+5=0上,则m的值为(

)A.3 B.5 C.-5 D.-83.已知A(-2,-4),B(1,5)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值为(

)A.-3 B.3或-3 C.3 D.1DB4.已知点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点M的坐标为(3,4),则AB的长为

.

5.直线2x+2y+1=0与x+y+2=0之间的距离是

.

10根据题意,设A(a,0),B(0,b).因为线段AB的中点M的坐标为(3,4),所以a=6,b=8,所以A(6,0),B(0,8),能力形成点1两条直线的交点与距离问题例1

(1)若直线l与直线y=1,x-y-7=0分别交于M,N两点,且MN的中点是P(1,-1),则直线l的斜率是(

)A(2)若直线l经过点(-1,-2),且原点到直线l的距离为1,则直线l的方程为(

)A.3x-4y-5=0

B.x=-1或3x-4y-5=0C.y=-1

D.3x+4y-5=0B当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,满足原点到直线l的距离为1.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+2=k(x+1),即kx-y+k-2=0.(3)已知直线y=kx+2k+1与直线

的交点位于第一象限,则实数k的取值范围是

.

(方法二)如图,直线

与x轴、y轴分别交于点A(4,0),B(0,2).直线方程y=kx+2k+1可化为y-1=k(x+2),则该直线过定点P(-2,1),斜率为k.因为两条直线的交点在第一象限,所以两条直线的交点必在线段AB上(不包括端点),所以k需满足kPA<k<kPB.解题心得1.求过两条直线交点的直线方程的方法先求出两条直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.2.利用距离公式应注意:(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;(2)使用两条平行线间的距离公式时,要保证两个直线方程中x,y的系数对应相等.对点训练1(1)若两条平行直线l1:x-2y+m=0与l2:2x+ny-6=0之间的距离为,则m+n的值为(

)A.3或-17 B.-17

C.-3 D.17或-3A所以|m+3|=10,解得m=-13或m=7.当m=-13时,m+n=-13-4=-17;当m=7时,m+n=7-4=3.所以m+n的值为3或-17.(2)已知点A(-2,1)和点B关于直线l:x+y-1=0对称,斜率为k的直线m过点A交直线l于点C,若△ABC的面积为2,则k的值为(

)B能力形成点2对称问题命题角度1点关于点对称例2

过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为

.

x+4y-4=0设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,则有-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,故直线l的方程为

,即x+4y-4=0.命题角度2点关于直线对称例3

如图,已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上,再经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是(

)C由已知得直线AB的方程为x+y=4.如图,点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y轴的对称点为C(-2,0).易知点C,D在直线MN上,命题角度3直线关于点对称例4

直线y=-4x+1关于点M(2,3)对称的直线方程为

.4x+y-21=0(方法一)设P(x,y)为所求直线上任意一点,Q(x0,y0)为点P关于点M(2,3)的对称点,则点Q在直线y=-4x+1上.所以y0=-4x0+1,所以6-y=-4(4-x)+1,即4x+y-21=0.故所求直线方程为4x+y-21=0.(方法二)由题意可知,所求直线与直线y=-4x+1平行,且点M到两条直线的距离相等.将直线方程y=-4x+1化为4x+y-1=0.设所求直线方程为4x+y+c=0(c≠-1),解得c=-21或c=-1(舍去).故所求直线方程为4x+y-21=0.命题角度4直线关于直线对称例5

直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是

.x-2y+3=0设所求直线上任意一点P(x,y),点P关于直线x-y+2=0的对称点为P'(x0,y0),又点P'在直线2x-y+3=0上,所以2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.故所求直线方程为x-2y+3=0.解题心得1.点关于点的对称:求点P关于点M(a,b)的对称点Q的问题,主要依据M是线段PQ的中点,即xP+xQ=2a,yP+yQ=2b.2.点关于直线的对称:求已知点A(m,n)关于已知直线l:y=kx+b的对称点A'(x0,y0)的坐标,主要依据直线l是线段AA'的垂直平分线,分别以垂直和平分关系列出方程,得到关于x0,y0的方程组.3.直线关于点的对称:求直线l关于点M(m,n)的对称直线l'的问题,主要依据直线l'上的任意一点T(x,y)关于点M(m,n)的对称点T'(2m-x,2n-y)在直线l上.4.直线关于直线的对称:此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决.其中有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.对点训练2已知直线l:3x-y+3=0,求:(1)点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标;(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程;(3)直线l关于点(1,2)对称的直线方程.解

(1)设点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标为(x,y),故点P关于直线l的对称点的坐标为(-2,7).(2)设点A(x,y)为所求直线上任意一点,点A关于直线l的对称点为A'(x0,y0),(3)设点P(x,y)为所求直线上任意一点,因为点P关于点(1,2)的对称点(2-x,4-y)在直线l上,所以3(2-x)-(4-y)+3=0,即3x-y-5=0.故所求直线方程为3x-y-5=0.方法技巧——妙用直线系求直线方程

在求解直线方程的题目中,可采用设直线系方程的方式简化运算.常见的直线系有平行直线系,垂直直线系和过直线交点的直线系.1.平行直线系典例1

求与直线3x+4y+1=0平行,且过点A(1,2)的直线的方程.解:由题意,设所求直线方程为3x+4y+c=0(c≠1),因为所求直线过点A(1,2),所以3×1+4×2+c=0,解得c=-11.故所求直线方程为3x+4y-11=0.2.垂直直线系典例2

求经过点A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线的方程.解:因为所求直线与直线2x+y-10=0垂直,所以设该直线方程为x-2y+C=0,又所求直线过点A(2,1),所以2-2×1+C=0,解得C=0,故所求直线方程为x-2y=0.3.过直线交点的直线系典例3

求经过两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.(方法二)由题意可知l2与l3不垂直.∵直线l过直线l1和l2的交点P,∴可设直线l的方程为x-2y+4+λ(x+y-2)=0,即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0.又l与l3垂直,∴3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0,解得λ=11.∴直线l的方程为12x+9y-18=0,即4x+3y-6=0.解题心得设直线系方程求直线方程属于待定系数法的范畴,能很大程度上简化计算步骤,减少运算量.要注意利用直线系方程解题时,应理解参数的特点,比如典例3方法二中,当λ∈R时,直线系x-2y+4+λ(x+y-2)=0不包含直线x+y-2=0,因此要检验直线x+y-2=0是否符合题意.2.4圆的方程课标要求1.能通过实际案例理解构成圆的几何要素.2.在平面直角坐标系中,能推导出圆的标准方程并掌握其应用.3.掌握圆的标准方程和圆的一般方程的互化,并能从二元二次方程的角度理解圆与方程的关系.4.能根据给定的条件求圆的方程,并能应用圆的方程解决实际问题.备考指导圆的方程是高考命题的重点,在高考中以选择题或填空题的形式出现,难度中等.主要考查圆的标准方程和圆的一般方程的应用,经常与直线知识进行综合考查,有时也与椭圆、双曲线、抛物线知识相融合.本节常用的方法有公式法、代入法、待定系数法.要强化知识在实际情境的应用,加强逻辑推理、数学运算、直观想象和数学建模的素养.【知识筛查】

1.圆的定义及方程(1)定义:平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.(2)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为(a,b),半径为r.温馨提示1.当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0只有实数解

它表示一个点.2.当D2+E2-4F<0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解,它不表示任何图形.2.点与圆的位置关系已知圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点(x0,y0).(1)(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔点在圆上;(2)(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔点在圆外;(3)(x0-a)2+(y0-b)2<r2⇔点在圆内.【知识巩固】

1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(

)(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的圆.(

)(4)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.(

)√××√√2.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(

)A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=23.(多选)圆x2+y2-4x-1=0(

)A.关于点(2,0)对称

B.关于直线y=0对称C.关于直线x+3y-2=0对称

D.关于直线x-y+2=0对称D因为圆心为(1,1)且过原点,所以该圆的半径

,所以该圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.ABC圆的方程可化为(x-2)2+y2=5,可知圆心为(2,0),故圆关于点(2,0)对称,且关于经过点(2,0)的直线对称.4.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则实数a的取值范围是(

)A.(-1,1) B.(0,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)5.已知方程x2+y2-4x+2my+2m2-2m+1=0表示圆,则实数m的取值范围为

.

A∵点(1,1)在圆内,∴(1-a)2+(1+a)2<4,解得-1<a<1.(-1,3)x2+y2-4x+2my+2m2-2m+1=0可化为(x-2)2+(y+m)2=3+2m-m2,故有3+2m-m2>0,解得-1<m<3.能力形成点1求圆的方程例1

(1)过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程为(

)A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4C由题意易知线段AB的垂直平分线的方程为y=x,所以所求圆的圆心坐标为(1,1),半径为2,所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.故选C.(2)已知圆E经过点A(0,1),B(2,0),且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为(

)C解题心得求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆的方程有两种方法:(1)几何法:通过研究圆的性质,求出圆的圆心及半径等基本量.确定圆心的坐标时,常用到三个性质:①圆心在过切点且垂直切线的直线上;②圆心在任意一条弦的垂直平分线上;③当两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线.(2)代数法:设出圆的方程,用待定系数法求解.①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,求出a,b,r的值;②若已知圆上三点的坐标,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,求出D,E,F的值.对点训练1(1)已知圆C的半径为5,圆心在x轴的负半轴上,且被直线3x+4y+4=0截得的弦长为6,则圆C的方程为(

)A.x2+y2-2x-3=0

B.x2+y2+16x+39=0C.x2+y2-16x-39=0

D.x2+y2-4x=0B设圆心坐标为(a,0)(a<0),解得a=-8,则圆C的方程为(x+8)2+y2=25,即x2+y2+16x+39=0.故选B.(2)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为(

)A.(x+1)2+(y-1)2=2

B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2

D.(x+1)2+(y+1)2=2B能力形成点2与圆有关的轨迹问题例2

如图,已知点A(-1,0),B(1,0),C是圆x2+y2=1上的动点,连接BC并延长至点D,使得|CD|=|BC|,求AC与OD的交点P的轨迹方程.解

设动点P(x,y),由题意可知P是△ABD的重心.设动点C(x0,y0)(y0≠0),依题意,C为BD的中点,B(1,0),则D(2x0-1,2y0).又A(-1,0),解题心得求与圆有关的轨迹方程问题时,根据题设条件的不同,常采用以下方法:(1)直接法:直接根据题目提供的条件求出轨迹方程.(2)定义法:根据圆、直线等定义求出轨迹方程.(3)几何法:利用圆的几何性质求出轨迹方程.(4)相关点代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式,进而求出轨迹方程.对点训练2已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程;(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.解

(1)由题意知A,P两点不重合,设AP的中点为M(x,y),则点P的坐标为(2x-2,2y),其中x≠2.因为点P在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,即(x-1)2+y2=1.故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠2).(2)设PQ的中点为N(x,y).在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.设O为坐标原点,连接ON,图略,则ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,即x2+y2-x-y-1=0.故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.能力形成点3与圆有关的最值问题命题角度1斜率型最值问题例3

已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求

的最大值和最小值.命题角度2截距型最值问题例4

在例3的条件下求y-x的最大值和最小值.