第一章 集合与常用逻辑用语章节达标检测考试-2020-2021学年高一数学同步练习和分类专题教案（人教A版2019必修第一册）

第一章集合与常用逻辑用语章节达标检测考试试卷(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U={0,1,2,3,4},M={0,1,2},N={2,3},则(∁UM)∩N=()A.{2} B.{3}C.{2,3,4} D.{0,1,2,3,4}2.已知a∈R,集合M={1,a2},N={a,-1},若M∪N有三个元素,则M∩N=()A.{0,1} B.{0,-1}C.{0} D.{1}3.命题“对任意x∈R,x2+2x+2>0”的否定是()A.不存在x∈R,x2+2x+2≤0B.存在x∈R,x2+2x+2≤0C.存在x∈R,x2+2x+2>0D.对任意x∈R,x2+2x+2≤04.若集合P={1,2,3,4},Q={x|x≤0或x≥5},则“x∈P”是“x∈∁RQ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|0<x<6,x∈N},则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为()A.4 B.8C.7 D.166.已知集合A={x|x<-2或x>3},B={x|a≤x≤2a-1},若A∪B=A,则实数a的取值范围为()A.aB.{a|a<1或a>3}C.aD.{a|a≤1或a≥3}7.已知m,n∈R,则“|m|+|n|>1”是“n<-1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.如图所示,M,P,S是V的三个子集,则阴影部分所表示的集合是()A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪SC.(M∩S)∩(∁SP) D.(M∩P)∪(∁VP)二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.下列四个结论中,正确的有()①⌀⊆⌀;②0∈⌀;③{0}⫌⌀;④{0}=⌀.A.① B.② C.③ D.④10.下列四个命题中,是真命题的有()A.没有一个无理数不是实数B.空集是任何一个集合的真子集C.1+1≤2D.至少存在一个整数x,使得x2-x+1是整数11.已知U为全集,则下列说法正确的是()A.若A∩B=⌀,则(∁UA)∪(∁UB)=UB.若A∩B=⌀,则A=⌀或B=⌀C.若A∪B=⌀,则(∁UA)∩(∁UB)=UD.若A∪B=⌀,则A=B=⌀12.下列说法正确的是()A.“a>1”是“1aB.命题“若x<1,则x2<1”的否定是“存在x<1,x2≥1”C.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分条件D.设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.命题p:存在实数x∈M,使得x,3,4能成为三角形的三边长.若命题p为假命题,则x的取值范围是.

14.已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,则s是q的条件,p是s的条件.(本小题第一空2分,第二空3分)

15.若∀x∈{x|1≤x≤2},∃t∈{t|1≤t≤2},使得x+2>t+m成立,则实数m的取值范围是.

16.若集合G关于运算⊕满足:(1)对任意a,b∈G,都有a⊕b∈G;(2)存在e∈G,对任意a∈G,都有a⊕e=e⊕a=a,则称G关于运算⊕为“融洽集”.现给出下列集合和运算:①G={非负整数},⊕为整数的加法运算;②G={偶数},⊕为整数的乘法运算;③G={二次三项式},⊕为多项式的加法运算.其中G关于运算⊕为“融洽集”的是.(写出所有“融洽集”的序号)深度解析

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设命题p:∃x∈R,x2-2x+m-3=0,命题q:∀x∈R,x2-2(m-5)x+m2+19≠0.若p,q都为真命题,求实数m的取值范围.18.(本小题满分12分)设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0},若A∪B=A,求实数a的取值范围.19.(本小题满分12分)已知集合U为全体实数,M={x|x≤-2或x≥5},N={x|a+1≤x≤2a-1}.(1)若a=3,求M∩(∁UN);(2)若N⊆M,求实数a的取值范围.20.(本小题满分12分)已知集合A={x|2-a≤x≤2+a},B={x|x≤1或x≥4}.(1)当a=3时,求A∩B;(2)若“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件,且A≠⌀,求实数a的取值范围.21.(本小题满分12分)设a,b,c分别为△ABC的三边BC,AC,AB的长,求证:关于x的方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共实数根的充要条件是∠A=90°.22.(本小题满分12分)设A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0}.(1)若(A∩B)=(A∪B),求a的值;(2)若⌀⫋(A∩B),且(A∩C)=⌀,求a的值;(3)若(A∩B)=(A∩C)≠⌀,求a的值.

答案全解全析一、单项选择题1.B由已知可得∁UM={3,4},故(∁UM)∩N={3},故选B.2.C因为集合M={1,a2},N={a,-1},M∪N有三个元素,所以a2=a且a≠±1,解得a=0.此时M∩N={0},故选C.3.B命题“对任意x∈R,x2+2x+2>0”是一个全称量词命题,其否定是存在量词命题,即“存在x∈R,x2+2x+2≤0”.故选B.4.A∵Q={x|x≤0或x≥5},∴∁RQ={x|0<x<5},∴x∈P⇒x∈∁RQ,但x∈∁RQ⇒/x∈P.故“x∈P”是“x∈∁RQ”的充分不必要条件.5.B由已知得集合A={2,3},B={1,2,3,4,5}.因为A⊆C⊆B,所以集合C的个数为25-2=8.6.B因为A∪B=A,所以B⊆A.①若B=⌀,则a>2a-1,解得a<1;②若B≠⌀,则a≥1,2a综上,实数a的取值范围是{a|a<1或a>3}.7.B若|m|+|n|>1,可令m=2,n=128.C题图中的阴影部分是M∩S的子集,但该子集中不含集合P中的元素,含于集合P的补集,用关系式表示出来即可.二、多项选择题9.AC①空集是自身的子集,①正确;0不是空集中的元素,②错误;空集是任何非空集合的真子集,③正确;{0}是含一个元素0的集合,不是空集,④错误.故选AC.10.ACDA.该命题等价于所有无理数都是实数,为真命题;B.该命题为假命题,空集是任何一个非空集合的真子集;C.该命题显然成立,为真命题;D.取x=1,能使x2-x+1是整数,为真命题.11.ACDA说法正确,因为(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B),A∩B=⌀,所以(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)=U;B说法错误,若A∩B=⌀,则集合A,B不一定为空集,只需两个集合中无公共元素即可;C说法正确,因为(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B),A∪B=⌀,所以(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B)=U;D说法正确,A∪B=⌀,即集合A,B中均无任何元素,可得A=B=⌀.12.ABDa>1⇔0<1a<1,所以“a>1”是“1a<1”的充分不必要条件,故A正确;命题“若x<1,则x2<1”可改写为“∀x<1,x2<1”,所以命题的否定为“存在x<1,x2≥1”,故B正确;当x=2,y=2时,x2+y2=8≥4,当x=1,y=3时,x2+y2=1+9=10≥4,但不满足x≥2且y≥2,所以“x≥2且y≥2”是“x2+y三、填空题13.答案{x|x≤1或x≥7}解析当命题p为真命题时,可得4-3<x<3+4,即1<x<7.所以当命题p为假命题时,可得{x|x≤1或x≥7}.14.答案充要;必要解析由题意知r⇒p,r⇒q,s⇒r,q⇒s,所以s⇒r⇒q,所以s⇒q,又因为q⇒s,所以s是q的充要条件;s⇒r⇒p,不能得到p⇒s,所以p是s的必要条件.15.答案{m|m<2}解析由∀x∈{x|1≤x≤2},x+2>t+m成立,得x+2的最小值大于t+m,因此3>t+m.又由∃t∈{t|1≤t≤2},使得t+m<3成立,得t的最小值小于3-m,即3-m>1,解得m<2.因此,实数m的取值范围是{m|m<2}.16.答案①解析条件(1)的含义是集合G中任意两个元素关于运算⊕的结果仍然是集合G中的元素;条件(2)的含义是集合G中存在一个特殊元素e,它与G中任何一个元素a关于运算⊕满足交换律,且运算结果等于a.①G={非负整数},⊕为整数的加法运算,满足对任意a,b∈G,都有a⊕b∈G,且存在e=0,使得a⊕0=0⊕a=a,所以①中的G关于运算⊕为“融洽集”;②G={偶数},⊕为整数的乘法运算,若存在e∈G,使a⊕e=e⊕a=a,则e=1,与e∈G相矛盾,所以②中的G关于运算⊕不是“融洽集”;③G={二次三项式},⊕为多项式的加法运算,两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式,所以③中的G关于运算⊕不是“融洽集”.综上可知,G关于运算⊕为“融洽集”的只有①.名师点睛“新定义”型集合问题是在已有的运算法则和运算律的基础上,结合已学的集合知识来求解的一种新型集合问题.由于“新定义”型问题的题目形式新颖,强调能力立意,因此近年来成为各类考试的热点.“新定义”可能以文字形式出现,也可能以数学符号或数学式子的形式出现,求解此类问题时,应充分利用题目中所给的信息,准确将其转化为已掌握的知识进行求解.四、解答题17.解析若命题p:∃x∈R,x2-2x+m-3=0为真命题,则Δ=4-4(m-3)≥0,解得m≤4;(4分)若命题q:∀x∈R,x2-2(m-5)x+m2+19≠0为真命题,则Δ=4(m-5)2-4(m2+19)<0,解得m>35又p,q都为真命题,所以实数m的取值范围是{m|m≤4}∩mm>35=m35<m≤4.(10分)18.解析由题意得A={1,2},(1分)∵A∪B=A,∴B⊆A,(2分)∴B可能为⌀或{1}或{2}或{1,2}.(3分)当B=⌀时,Δ=4(a+1)2-4(a2-5)<0,解得a<-3;(5分)当B={1}时,1+1=−2(a当B={2}时,2+2=−2(解得a=-3;(9分)当B={1,2}时,1+2=−2(a综上所述,实数a的取值范围是{a|a≤-3}.(12分)19.解析(1)当a=3时,N={x|4≤x≤5},(2分)则∁UN={x|x<4或x>5},∴M∩(∁UN)={x|x≤-2或x>5}.(4分)(2)①当N=⌀时,a+1>2a-1,即a<2,此时满足N⊆M.(6分)②当N≠⌀时,a+1≤2a-1,综上,实数a的取值范围是{a|a<2或a≥4}.(12分)20.解析(1)当a=3时,A={x|-1≤x≤5},又B={x|x≤1或x≥4},(2分)∴A∩B={x|-1≤x≤1或4≤x≤5}.(4分)(2)∵B={x|x≤1或x≥4},∴∁RB={x|1<x<4}.(6分)由“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件,得A⫋∁RB,(8分)又A={x|2-a≤x≤2+a},A≠⌀,∴2−a∴a的取值范围是{a|0≤a<1}.(12分)21.证明必要性:设方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共实数根x0,则x02+2ax0+b2=0,x02+2cx两式相减并整理,得(a-c)x0+b2=0.(4分)∵b≠0,∴a-c≠0,∴x0=b2将此式代入x02+2ax0+b可得b2+c2=a2,故∠A=90°.(6分)充分性:∵∠A=90°,∴b2+c2=a2,∴b2=a2-c2.①(7分)将①代入方程x2+2ax+b2=0中,可得x2+2ax+a2-c2=0,即(x+a-c)(x+a+c)=0.(9分)将①代入方程x2+2cx-b2=0中,可得x2+2cx+c2-a2=0,即(x+c-a)(x+c+a)=0.(10分)故两方程有公共实数根x=-(a+c).(11分)∴关于x的方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共实数根的充要条件是∠A=90°.(12分)22.解析由题意知,B={x|x2-5x+6=0}={2,3},C={x|x2+2x-8=0}={-4,2}.(1分)(1)∵(A∩B)=(A∪B),∴A=B={2,3},(2分)∴2+3=a(2)∵⌀⫋(A∩B),且(A∩C)=⌀,B={2,3},C={-4,2},∴-4∉A,2∉A,3∈A.(4分)把x=3代入方程x2-ax+a2-19=0中,得32-3a+a2-19=0,即a2-3a-10=0,解得a=5或a=-2.(5分)当a=-2时,方程为x2