2021年高考理数真题试卷（天津卷）带答案解析

2021年高考理数真题试卷（天津卷）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,xGA},则AcB=（）

A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}

x—y+2>0,

2.设变量x,y满足约束条件（2x+3y-6>0,则目标函数z=2x+5y的最小值为（）

3%+2y—9<0.

A.-4B.6C.10D.17

3.在△ABC中，若AB=V13,BC=3,/C=120。，则AC=（）

A.1B.2C.3D.4

4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）

A.2B.4C,6D.8

5.设{如}是首项为正数的等比数列，公比为q,则"q<0"是"对任意的正整数"，。2"-1+切<0"的（）

A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

6.已知双曲线--^-1（b>0）,以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近

线相交于48、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为（）

A.式_更_1B.比—空一1C.^-g_lD.次一之_1

7.己知△ABC是边长为1的等边三角形，点。、£分别是边4B、8c的中点，连接DE并延长到点F,使

得DE=2EF,则痛.的值为（）

BC

A5clc1c11

A.--B.-C.-D.—

8848

8.已知函数/（x）=广2：丝二3?：：3°）,：：0,（且“1）在R上单调递减，且关于x的方程|/（x）

log*+1）+1,%工0

|=2-x恰好有两个不相等的实数解，则。的取值范围是

A/2.cr23,crl2,.3.rrl2、,3.

A.（0,与】B.[§,z]C,[-，3]U{；}D-I3>3>u{^）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9.已知Ia.bER，，是虚数单位，若=o,则£的值为.

10.（X2-：）8的展开式中X2的系数为—_____.（用数字作答）

11已.知一个四棱锥的底面是平行四边形该四棱锥的三视图如图所示（单位：m）,则该四棱锥的体积为

二:

正视图侧视图

俯视图

12.如图，AB是圆的直径，弦8与AB相交于点E,BE=2AE=2,BD=ED,则线段CE的长为.

13.已知/(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-8,0)上单调递增.若实数。满足/(25叫>八-/)，

则a的取值范围是.

14.设抛物线,(t为参数，p>0)的焦点为F,准线为/.过抛物线上一点A作/的垂线，垂

足为8.设a|p,0),AF与8c相交于点£.若|CF|=2|AF|,且ZACE的面积为3&,则P的值为.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知函数f(x)=4tanxsin(-x)cos(x-73.

(1)求/(x)的定义域与最小正周期；

(2)讨论f(x)在区间［一?弓］上的单调性.

16.某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这

10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.

(1)设A为事件"选出的2人参加义工活动次数之和为4",求事件A发生的概率；

(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.

17.如图，正方形ABCD的中心为。,四边形。BEF为矩形，平面。BEF_L平面A8CD,点G为A8的中

点,AB=BE=2.

E

(2)求二面角。-EF-C的正弦值：

(3)设H为线段AF上的点，且AH=|,求直线B”和平面CEF所成角的正弦值.

18.设函数/(x)=(x-1)3-ax-b,xGR,其中a,bWR。

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若/(x)存在极点xo,且/(xi)=/(xo),其中xi—xo,求证：xi+2xo=3；

(3)设。>0,函数g(x)=|/(x)|,求证：g(x)在区间［0,2］上的最大值不小于:

19.设椭圆+1(a>V3)的右焦点为F,右顶点为A,已知日|+自=赢，其中。为原点，e

为椭圆的离心率.

(1)求椭圆的方程；

(2)设过点A的直线i与椭圆交于B(B不在x轴上)，垂直于I的直线与I交于点M,与y轴交于点H,

若BFJ_HF,且NMOA=NMAO,求直线I的斜率.

20.设函数f(x)=x3-ax-b,xWR,其中a,b£R.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)存在极值点xo,且f(xi)=f(xo),其中xi/xo,求证：Xi+2xo=O；

(3)设a>0,函数g(x)=|f(x)I，求证：g(x)在区间［-1,1］上的最大值不小于［.

答案解析部分

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

L【答案】D

【考点】交集及其运算

【解析】【解答】力=口，2，3，4},B=（l,4，7,10},=4},选D

【分析】把A中元素代入y=3x-2中计算求出V的值，确定出B,找出A与B的交集即可

2.【答案】B

【考点】简单线性规划

'x-y+2>0

【解析】解：作出不等式组<2x+3y-6>0表示的可行域，

3x+2y_940

如右图中三角形的区域，

作出直线展2x+5y=0,图中的虚线，

平移直线Io,可得经过点（3,0）时，z=2x+5y取得最小值6.

故选:B.

【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出直线尿2x+5y=0,平移直线I。，可得经过点（3,0）时，

z=2x+5y取得最小值6.本题考查简单线性规划的应用，涉及二元一次不等式组表示的平面区域，关键是准

确作出不等式组表示的平面区域.

3.【答案】A

【考点】余弦定理的应用

【解析】【解答】设AC=x

由余弦定理得：cosl20°

2x3=2

%2—4=-3%=>x24-3%—4=0

%=1或一4（舍），二4C=1,选A.

【分析】直接利用余弦定理求解即可.本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力.

4.【答案】B

【考点】程序框图

【解析】【解答】解：第一次判断后：不满足条件，S=2x4=8,n=2,i>4,

第二次判断不满足条件n>3：

第三次判断满足条件：S>6,此时计算S=8-6=2,n=3,

第四次判断n>3不满足条件，

第五次判断S>6不满足条件，S=4.n=4,

第六次判断满足条件n>3,

故输出S=4,

故选：B.

【分析】根据程序进行顺次模拟计算即可.本题主要考查程序框图的识别和运行，根据条件进行模拟计算

是解决本题的关键.

5.【答案】C

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断

【解析】【解答】设数列的首项为由,则a2rl-i+a2n=aiq2n-2+aiq2n-i=%q2n-2（i+q）<o,即

q<-1,

故q<0是q<-1的必要不充分条件

【分析】此题考查/必要条件、充分条件与充要条件的判断，熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

6.【答案】D

【考点】双曲线的简单性质

匕

-X

【解析】【解答】渐近线OB:y2

设B（x。，枭°）,则；-%-^o=T

4ZoZO

222

x0=1>8（1，1）,I4--=2,b=12

乙4

412

【分析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4,双曲线的两条渐近线方程为

y=±-^X,利用四边形ABCD的面积为2b,求出A的坐标，代入圆的方程，即可得出结论.

7.【答案】B

【考点】平面向量数量积的运算

【解析】【解答】K=AC-AB

1313

AF=AD+DF=-AB+-AC

2224

即.他一衲）（海+部）

--1•1.1-1+---.1.1.i=i+-3=：,选B

2224424488

【分析】运用向量的加法运算和中点的向量表示，结合向量的数量积的定义和性质，向量的平方即为模的

平方，计算即可得到所求值.

8.【答案】C

【考点】分段函数的应用，根的存在性及根的个数判断

【解析】【解答】由y=loga(x+1)+1在［0,+8)上递减，贝ij0<a<1

又由/(x)在r上单调递减，贝ij：

2

0+(4a-3)-0+3a>/(O)=113

{3-4a=>-<a<-

34

由图像可知，在［0,+与上，|/(x)|=2-x有且仅有一个解,

故在(一8,0)上，|/(%)|=2-x同样有且仅有一个解，

当3Q>2即a>|时，联立|%2+(4a-3)x+3a|=2-%,

则A=(4a-2)2-4(3a-2)=0,解得：a=，或1(舍)，

当143QW2时，由图像可知，符合条件.

综上：••・代停，|]u{3

选C.

【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据f(x)为减函数，得到

不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出a的范围

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9.【答案】一2

【考点】复数代数形式的乘除运算

【解析】【解答】(1+i)(l—bi)=a,1+b+i—bi=a,1+b=a

(b=1-=?

{(z=2，b

【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于a,b的方程，解得a,b的值，进而可得答案.

10.【答案】-56

【考点】二项式系数的性质

【解析】【解答】黄(/)5.(一a3=-56”，，系数为一56

【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于a,b的方程，解得a,b的值，进而可得答案.

11.【答案】2

【考点】由三视图求面积、体积

【解析】【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥,

棱锥的底面是底为2,高为1的平行四边形，故底面面积S=2xl=2m2

棱锥的高h=3m,

故体积V=2Sh=2m3,

故答案为：2

【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，进而可得答案

12.【答案】辿

3

【考点】与圆有关的比例线段

【解析】【解答】解：如图，

过D作DH_LAB于H,

BE=2AE=2,BD=ED,

BH=HE=1,贝!]AH=2,BH=1,

DH2=AH・BH=2,则DH=近,在RtADHE中，则DE印DM+HE2=炳，

由相交弦定理可得：CE・DE=AE・EB,

CE裳芍岑.故答案为:

【分析】由BD=ED,可得△BDE为等腰三角形，过D作DH_LAB于H,由相交弦定理求得DH,在RMDHE

中求出DE,再由相交弦定理求得CE

13.【答案】|<a<|

【考点】奇偶性与单调性的综合

【解析】【解答】由f(X)是偶函数可知，(-8，0)单调递增；(0，+8)单调递减

又，(2laT)>/(-V2)，/(-V2)=/(V2)

可得，2心-11<四即口一1|<：二：<a<|

【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化进行求解即可

14.【答案】V6

【考点】抛物线的简单性质，参数方程化成普通方程

，2

【解析】【解答】解：抛物线|x=2pt(t为参数，p>0)的普通方程为：y2=2px焦点为F(士，0),

尸2Pt2

如图：过抛物线上一点A作I的垂线，垂足为B,设CP，0),AF与BC相交于点E.|CF|=2|AF|,

|CF|=3p,|AB|=|AF|=%A(p,亚p),△ACE的面积为3近,空茶三可得

2ErCr2

=3

^SAAFC=SAACE.即：^x^X3pXV2PM，解得p=捉.故答案为：

OO乙

【分析】化简参数方程为普通方程，求出F与I的方程，然后求解A的坐标，利用三角形的面积列出方程,

求解即可

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.【答案】(1)解：/(%)=4tanxsin(y—x)cos(x—y)—V3

=4sinx(^cosx+'sin%)—V3

=sin2x+A/3(1-cos2x)—V3

=sin2x-V3cos2x

=2sin(2x—；)•

aa2

定义域{x|xH；+kn，kWZ},Ci=好一必=a2a3—i2=2d-a2=2d(%+d)=4d

（2）解：七gw：,一二<2“一标、设t=2x-\

y=sint在te［一期,-1］时单调递减，在te［-卜总时单调递增

由_*42%—工三一上解得_Z<x〈_Z，由_三三2工一二三上解得-Z<x<Z

6-3—24~~1223612-4

••・函数/（X）在（-《，・）上单调增，在（一?,-^）上单调减

【考点】三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象

【解析】【分析】（1）利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式，结合三角函数的辅助角公式

进行化简求解即可.（2）利用三角函数的单调性进行求解即可

16.【答案】（1）解：设事件A：选2人参加义工活动，次数之和为4

P(A)=由密=-

Cio3

（2）随机变量X可能取值0,1,2

P(X=0)=±

P(X=1)=设亭热=Z

Cio15

p(x=2)=可=2

Cio15

X012

P-12k7-12k

为=总82)=3+妹2如=旗孙2)=3+轨2

15

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望

与方差

【解析】【分析】(1)选出的2人参加义工活动次数之和为4为事件A,求出选出的2人参加义工活动次

数之和的所有结果，即可求解概率.则P(A).(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3分别求出P

(X=0),P(X=l),P(X=2),P(X=3)的值，由此能求出X的分布列和EX

17.【答案】(1)解：证明：找到AD中点/,连结//,

•••矩形OBEF,.'.EF\QB

■：G>/是中点，，GI是△48。的中位线

GI||BD且G/=|BD

0是正方形ABCD中心

OB=-BD

2

EF||G/且EF=GI

四边形EF1G是平行四边形

EG||FI

■：尸/u面ADF

EG||面ADF

(2)解：如图所示建立空间直角坐标系。-xyz

8(0,一近,0),C(鱼，0,0),E(0,-V2,2)F(0,0,2)

设面CEF的法向量元=(x，y,z)

n7-EF=(x,y,z)•(0,V2，0)-V2y—0

^7'CF-(x»y,z)•(—>/2，0,2)=-V2x+2z=0

X=yj2

得：｛y=0

z=1

n7=(V2,0,1)

,/OC_L面OEF,

面OEF的法向量力=(1，0，0)

一|济.可|V2|V6

Icos<n7，n2>l=Wfl=VTT=T

2

⑶•••3/

XW=|AF=|(V2,0,2)=4,0,i)

设H(x,y,z)

2V24

AH=｛x+42,y，z)=(T，?

-3V2

x=­

得：｛y=o

4

―>3夜L4

BH=(-，V2,-)

64

\BH•可l-5+5lV7

Icos<BH，

^2>I=面同21

【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，二面角的平面角及求法

【解析】【分析】（1）取AD的中点I,连接FI,证明四边形EFIG是平行四边形，可得EGIIFI,利用线面

平行的判定定理证明：EGII平面ADF；

（2）建立如图所示的坐标系O-xyz,求出平面。EF的法向量，平面OEF的法向量，利用向量的夹角公式,

即可求二面角。-EF-C的正弦值；

（3）求出丽=（-史返，近,《），利用向量的夹角公式求出直线BH和平面CEF所成角的正弦值

55

18.【答案】（1）解：/（%）=（%-I）3-ax-b

f/(%)=3(x-l)2—a

©a<0,单调递增;

②a>0,/(无)在(一巴1一单调递增，在(1-/^1+单调递减，在(1+1^,+8)单

调递增

(2)解：由/'，(&)=0得3(x0-1尸=a

322

•1'f(x0)=(XO-l)-3(x0-l)x0-b=(x0-l)(-2x0-1)-b

3

/(3-2x0)=(2-2%0)-3(x0-1)2(3-2%0)-b

=(%o—l)2［8—8%o—9+6%Q］—b

2

=(%0-l)(-2x0-l)-h

•••f(3-2x0)=/'(xobf(Xi)

•••尤i+2x0=3

(3)解：欲证g(x)在区间［0，2］上的最大值不小于i,只需证在区间［0，2］上存在x1(x2,

使得9(%1)—9。2)N\即可

①当aN3时，/(x)在［。，2］上单调递减

/(2)=l-2a-b/(0)=-l-b

f(0)-f(2)=2a-2>4>|递减，成立

当0<a<3时，

/(1一/)=(一砂一。(1一/)-T卜a+a［_b号4_a-b

+苦g—Ml+RiTGI

•••/(2)=l-2a-b/(0)=-l-b

/(2)-/(0)=2-2a

若0<a<］时，/(O)—/(2)=2-2a2：,成立

当a＞泗，+成立

【考点】等差关系的确定，数列与不等式的综合

【解析】【分析】(1)根据等差数列和等比数列的性质，建立方程关系，根据条件求出数列｛Cn｝的通项公

式，结合等差数列的定义进行证明即可.

2n

(2)求出品=£(-1)%k2的表达式，利用裂项法进行求解，结合放缩法进行不等式的证明即可

k=l

19.【答案】(。解：由意+由=高

13^^

得而与____a

aa—Va2—3

3Va2-3

ax(a-Va2-3)

a[a2-(a2-3)]=3a(a2-3),解得a=2.

，椭圆方程为A9=i；

(2)解：由已知设直线I的方程为y=k(x-2),(kHO),

设B(xi,yi),M(xo,k(xo-2)),

---ZMOA=ZMAO,

X0=l,

再设H(0,yH),

y=k(x—2)

联立｛/2,(3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0.

—+—=1

43

△=(-16k2)2-4(3+4k2)(16k2-12)=144>0.

由根与系数的关系得兄=转

•…造，%*-2)=票

MH所在直线方程为y-k(xo-2)=-?(x-Xo),

令x=0,得yH=(k+7)xo-2k,

k

,/BF±HF,

•，•市x苏=(1一久i，-%)(l,-y〃)=0,

HP1-Xi+yiyH=l一“J：——[(k+J)xo-2k]=0,

22

3+4fc3+4fck

整理得：M=三署=1,即8k2=3-

k=-直或k=渔

44

【考点】椭圆的简单性质

【解析】【分析】(1)由题意画出图形，把|OF|、|OA|、|FA|代入啬「喘[=转化为关于a

的方程，解方程求得a值，则椭圆方程可求；

(2)由已知设直线I的方程为y=k(x-2),(Q0),联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次

方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BFLHF,得

BF・HF=(1~X］,-y，•(1,-yR)=0,整理得到M的坐标与k的关系，由NMOA=NMA。，

得到xo=l,转化为关于k的等式求得k的值.

本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“整体运算"思想方法和“设而不求”的

解题思想方法，考查运算能力，是难题.

20.【答案】(1)解：若f(x)=x3-ax-b,则f'(x)=3x2-a,

分两种情况讨论：

①、当a<0时，有fz(x)=3x2-a>0恒成立，

此时f(x)的单调递增区间为(-8,+8),

②、当a>0时，令f，(x)=3x2-a=O,角吊得x=-—或x=—,

33

当X>亘或XV-叵时，f，(X)=3x2-a>0,f(x)为增函数，

33

当-叵<x<叵时，F(x)=3x2-avo,f(x)为减函数，

33

故f(X)的增区间为(-8,-叵)，(叵，+8),减区间为(-亘，亘)

3333

(2)解：若f(x)存在极值点xo,则必有a>0,且xo工0,

由题意可得，f'(x)=3x2-a,则x02;1,

进而f(xo)=xo3-axo-b=-yxo-b,

g

又f(-2xo)=-8xo3+2axo-b=--xo+2axo-b=f(xo),

由题意及(工)可得：存在唯一的实数Xi,满足f(XI)=f(xo),其中X1HX0,

则有X1=-2x0,故有Xi