西南财经大学数学建模竞赛赛题-生产与库存问题

2014年西南财经大学数学建模竞赛赛题——生产与库存管理问题

生产与库存管理问题【摘要】现代造船模式是以统筹优化模型为指导，应用成组技术原理，以中间产品为导向组织生产，在空间上分道，时间上有序，实现设计、生产、管理一体化，均衡、连续的总装化造船。本文借助MATLAB、LINGO等数学软件，对现有的条件进行约束，通过建立不同的规划模型，得到了企业的最小规模、最大生产能力、生产资源的浪费、企业的年最大收益及年预期销售量等值，也对企业的人员配置、设备配置、库存管理策略给予了分析，给出了最优的策略。针对问题一的（1）中，我们通过求生产每个零件所需要的时间的最小公倍数，根据附录2，考虑均衡连续生产的条件。算出企业的最小生产周期为144小时，再根据附录3中，给出的该企业现有生产资源状况，运用LINGO软件，对工人数，工程师数，设备数进行约束，再结合均衡连续生产的条件，求出其最小生产规模为：工人2409人，工程师366人，设备数447台。而在（2）中，结合第一题算出来的最小生产周期，再结合均衡连续生产的条件，根据附录3中，给出的该企业现有生产资源状况，对工人数，工程师数，设备数进行约束，运用LINGO软件规划得出企业最大生产能力为一个周期内生产72台A0。同时根据附录2中，各个产品生产一件所需的资源，计算得出，生产资源中，浪费工人数为2476人，工程师138人，设备224台。在（3）中，结合附录2，我们考虑了均衡的条件之后，计算得出生产各个产品所用的工人与设备的时间的比值。同时，表示出所有设备的总时间和生产各个产品的设备工作的时间，通过两者的相等关系。再通过LINGO数学软件进行整数规划求解，最后得出在不要求连续生产的前提下，在一周的时间内，最大生产能力为91台，同时浪费资源：工人1673人，工程师16人，设备75台。针对问题二，我们根据周销售量与初始库存和需求量之间的关系及初始库存与销售量之间的动态转移方程。在考虑了均衡连续生产的条件，企业对原材料的进货与库存管理方式之后，我们运用MATLAB进行编程求解，求得其年预期销售量为销售1674台，并求得其每周的销售量，见表1.针对问题三，在问题二的条件下，新增加的条件为，企业效益预期应达到最大时。在考虑了均衡连续生产的条件之后，我们确定了其周最大生产量只能为18、36、54中的某一个值。因此，我们运用第二题的程序将这三个值对应的总销售量算出。再根据附录5中，工人加班的限制，利用LINGO程序进行规划，并得到最优的工人数、工程师数以及其分别的加班时间，再根据所得，以及附录5的条件，计算出不同周最大产量情况下的企业的效益，经比较得，当周最大产量为36时，企业效益预期最大，此时的年预期销售量为1602。针对问题四，我们根据附录6，生成了具有相同分布的一组随机数（见表3），作为企业预测的下一年的需求量，同时再结合附录5和7中给出的不同费用的条件，运用MATLAB软件，编写多重循环的定步长求解的程序。最终得到其每周的生产量和销售量（见表4、表5），并求得优化后的企业原材料进货与库存管理方式：1，周日一次性进货，2，若库存达到能满足36艘轮船生产的原料数量是，不进货，否则进货，原材料的进货量为：使库存量正好达到满足91艘轮船生产的原料数量。此时的销售量为1476台。【关键字】MATLAB软件LINGO软件生产与库存管理整数规划成组技术一、问题重述某造船企业生产某型轮船。中间产品、最终产品的生产结构见附录1。其中，A0为最终产品：轮船，A1…A7为中间产品，表中数据表示表示生产一个单位产品Ai（行）需要消耗的产品Aj（列）的数量，例如：生产一个单位产品A0需要消耗的产品A1的数量为4。注：中间产品不对外销售。1、在现有资源下，企业工作人员每天工作不超过八小时，设备可不停歇的方式进行生产。（1）若企业要求均衡连续生产，该产品的最小生产规模是多少？最小生产周期为多少？（2）若企业要求均衡连续生产，该企业的最大生产能力为多少？生产资源的浪费为多少？（3）若企业只要求均衡生产，不要求连续生产，生产周期为一周，请你求出该企业的最大生产能力为多少？生产资源的浪费为多少？其中：最大生产能力是指生产周期内生产的最终产品的最大数量。均衡生产是指一个周期内生产的产品之间生产与消耗正好匹配。连续生产是指设备不停歇地生产一种固定产品。中间产品有足够的备件，所以不用考虑产品生产的先后次序关系。2、通过调研，得到该企业产品未来一年的市场需求见附录4。若企业每周生产6天，各周生产的产品数量采用见订单生产的方式，即周内产量不得超过需求量。产量达不到需求量的部分将丢失销售机会，即不能推到下一周生产。一周内采取均衡连续生产的方式，周日为设备检修与原材料进货时间，不进行生产。各周之间生产规模可以不相同。若企业对原材料的进货与库存管理方式为：①周日一次性进货，②若库存达到能满足40艘轮船生产的原料数量时，不进货，否则进货，原材料的进货量为：使库存量正好达到满足80艘轮船生产的原料数量。请你在此库存策略下，求出未来一年企业的年预期销售量。3、在上一问（问题2）条件下，由于该企业的生产资源存在浪费现象，企业决定调整人员和设备的数量。请你确定企业保留的人员和设备的数量，使企业效益预期达到最大，并给出企业此时的年预期销售量。4、若该企业每周市场需求是完全随机的，未来一年销售量未知，现收集到过去一年该企业产品的部分市场需求见附录6。该企业在上一问（问题3）保留的人员和设备的数量的基础上，决定重新确定对原材料的进货与库存管理方式。企业仍采用一周内均衡连续生产的方式，周日为设备检修与原材料进货时间，不进行生产。但每个生产周期内产量可以超过销售量，超过部分在下一期销售，但超过部分的数量最多为5。每周可销售产品数量达不到需求量的部分将丢失销售机会。请你优化企业原材料进货与库存管理方式，使企业效益预期达到最大，并给出企业此时的年预期销售量。二、问题分析及建模思路问题一1.（1）此问要求求出在企业均衡连续生产时，产品的最小生产规模。因为生产每种产品所需要的资源是固定的，因此在企业均衡连续生产的情况下，所用资源比例是固定的。所用设备总量最小时，工人总数和工程师总数也达到了最小，此时生产规模达到最小。对生产规模的约束有企业的均衡连续生产和每种生产资源的总量限制。我们以所用设备总量最小为目标函数，建立整数规划模型，用lingo求解，解出所用设备总量的最小值，进而得到工人总数和工程师总数的最小值，即得到了最小生产规模。（2）此问在与前一小问相同的前提条件下，求最小生产周期。我们依然可用整数规划求解。目标函数变为求周期的最小值。由题目中附录二可得，生产每种产品所需时间的最小公倍数为144，因为产品数量必须为正整数，所以生产周期必须为144的正整数倍。其他约束与（1）问基本相同。2.此问要求先求出在均衡连续生产情况下的最大生产能力即一个周期内所生产A0的最大产量。我们先由第一问的结果经过分析后得到应取的生产周期为144个小时，然后以一个周期内的A0的产量的最大值为目标函数，用数学规划求解。得出最大产量与所用生产资源的状况，最后由题目中附录三现有生产资源的状况，算出此时生产资源的浪费。3.此问中，企业只要求均衡生产，不要求连续生产，即每个周期内每种产品的生产与消耗相同，每台设备一个周期内一直连续生产，但是一台设备可以生产多种产品，即比如生产A0的设备可以中途转去生产其他的产品。建立整数规划模型，以一周生产的A0问题二此问求当满足题目中所要求库存策略的条件下，未来一年企业的年预期销售量。由未来一年确定的每周需求量及企业的库存策略，我们可以得到每周销售量与初始库存和需求量之间的关系及初始库存与销售量之间的动态转移方程，未来一年的年预期销售量为每周销售量之和。可编写程序，运用MATLAB求解。问题三此问求在问题二的条件下，当企业效益预期最大时，应保留的人员和设备的数量，并求出此时的年预期销售量。在问题二条件下，我们可以得出每周的生产量等于销售量，且只能为18,36,54或72.当最大生产量保留为72时，每周都会有资源的浪费，肯定不是最佳安排。所以，保留的最大生产量只能为18，36或者54.对其中一个进行分析，则用同样方法可以得到另外两个的情况。我们选36进行分析。先利用问题中附录4的数据，进行MATLAB编程求解出每周的销售量及年销售额。进而可以求出保留的设备总量和总的设备费用。工人的费用和工程师的费用互不影响，当他们的费用都达到最小时，总的效益最大。可以对他们分别建立数学规划模型，用lingo求解出他们的最小值，则可以求解出在最大生产力为36的情况下的最大效益。同样再求出另外两种情况下的最大效益，选取三种情况中的最大值，找出相应的人员、设备数量和此时的年预期销售量即为所求。问题四此问是求在问题三的所保留的人员和设备的条件下，当企业的效益预期最大时，最优的原材料进货和库存管理方式及此时的年预期销售量。首先我们对前一年的需求数据进行分析，找出数据分布规律，然后对未来一年每周的需求量进行随机模拟，生成52个随机数表示未来一年每周的需求量，则需求量已确定下来。企业的最大生产能力已确定为36。当满足进货条件的库存临界值和最大库存量确定后，可以求出企业的预期年效益。因为此题是求效益最大时满足进货条件的库存临界值和最大库存量，我们可以以满足进货条件的库存临界值和最大库存量作为两个变量，做二重循环，用定步长搜索找出当年效益最大时的库存临界值和最大库存量。三、基本假设与符号说明3.1基本假设1.假设所有工人、工程师都在正常情况下（不允许请假离职）工作；2.假设设备正常工作时不会因故障停止工作；3.假设在初始时企业的产品库存为最大容量，即可以满足第一周的最大产出量；4.假设企业会将只保留需要用到的设备、工人、工程师；5.假设企业的原材料进货与库存管理方式均为：在库存量低于某一固定值时进货，进货使原材料达到某一固定值的数量；6.假设市场需求是完全随机，可完全根据过去一年部分市场需求，随机产生；7.假设企业可销售产品数量达不到需求量的部分将丢失销售机会；8.假设企业销售产品获得的利润最大时，企业效益预期最大；9.假设企业在确定了最优工人数、设备数、工程师数之后不会中途改变数量；10.假设可留在下一期销售的成品不存在库存费用；3.2符号说明T:为产品生产的周期；xi:为同时生产产品Ai的设备数量，其中：i=0,1,2…m2gi:为生产每件Ai所需要的工人数，其中：i=0,1,2si：为生产每件Ai需要的设备数，ci：为生产每件Ai需要的工程师数，ti：为生产每件Ai需要的时间，其中：i=0,1,2bij:为生产Aj需要的Ai数量，其中：i=0,1,2…7，j=0,1,2…7,ai:为一周期内生产出的产品Ai的数量，其中：i=0,1,2fmfm2fs:yi:为一个周期内生产AS:为未来一年的年预期销售总量；xqi:为第i周的产品市场需求量，其中：i=0,1,2…xsi:为第i周的产品销售量，其中：i=0,1,2…chi:为第i周的产品期初库存量，其中：i=0,1,2…ws:x:t11:t21:wn1:n1t12:t22:wn2:n2:lr:为一年的预期效益；spi:为第i周企业剩余的已完工的A0成品的个数，其中：i=1,2pi:为第i周企业生产出的A0的成品个数，其中：i=1,2…levelj:为在库存量不足j+35时，企业会选择进货，其中：j=1,2…imi:为第i周企业进货的套数，其中，i=1,2k:mci:为第i周企业购进货物所花的费用，其中，i=1,2ici:sai:为第i周企业销售产品所获得的收入，其中，i=1,2…Imc:wsA:为企业每一次补足库存时，达到的库存量；四、模型建立与求解4.1问题一4.1.1问题一第1问（一）最小生产规模的求解1.模型建立此问要求求出在企业均衡连续生产时，产品的最小生产规模。由前面的问题分析可知，应该用整数规划模型先求出均衡连续生产时，运行的设备总数的最小值。再利用工人数、工程师数与设备总数的固定比例关系求出他们的最小值，由此得到了最小的生产规模。目标函数的确定①运行的最小设备总数为：min其中xi是同时生产产品Ai②工人总数和工程师总数的确定：因为企业均衡连续生产，设备每天的运转时间为24小时，工人和工程师每天的工作时间只为8小时。由附录二可得：mmm1为需要的工人数，m2为需要的工程师数，gi为生产每件Ai所需要的工人数，ci为生产每件A（2）约束条件的确定①均衡连续生产的约束设备每天24小时不停歇地固定生产一种产品，而且一个周期内每种产品的消耗量和生产量相同，由题目中附录一可得：xigiT为生产周期，xi是同时生产产品Ai的设备数量，ti为生产每件Ai需要的时间，bij②生产资源总量的约束由题目中附录三可得，工人总数不能超过12112人，工程师总数不能超过1602人，使用设备不能超过2012台，即i=0i=0i=0（3）最终模型mins.t.mm

2.模型求解将上述模型用lingo求解，求解程序见附录一，解得目标函数值为447，即若想满足均衡连续生产，最少需要投入447台设备。其中x0=（二）最小周期的求解1.模型建立此问要求求出在企业均衡连续生产时，产品的最小生产周期，即用整数规划求出生产周期的最小值。假设T为生产周期，ai为T时间内即一周期内生产出的产品Ai的数量，xi是同时生产产品A（1）目标函数minT（2）约束条件①由前面问题分析可知生产每种产品所需时间的最小公倍数为144小时，因为产品数量必须为正整数，所以生产周期为144的正整数倍。即：T≥144②均衡连续生产的约束每台设备每天24小时连续不停的固定生产一种产品。ai一个周期内每种产品的消耗量和生产量相同。a1a2a3a4a5a6a7③工人总量约束i=0④工程师总量约束i=0⑤设备总量约束同时运转的设备数量不能多于设备总量。i=0最终模型min=Ts.t.T≥1442.模型求解将上述模型用lingo求解，程序见附录二，解得目标函数值T=144，则满足均衡连续生产条件下的最小周期为144个小时即6天。题目一2小问（一）模型建立此问要求先求出在均衡连续生产情况下的最大生产能力即一个周期内所生产A0的最大产量。由第一问的结果及相关分析可得，生产周期为144的正整数倍。但是当生产周期T>144时，企业进行了多次产品投产到产出的循环。经济学中的生产周期是指一次产品投产到产出的时间，因此此处的T应取144小时。以T作为一个约束，加上其他的约束，对A假设T为生产周期，ai为T时间内即一周期内生产出的产品Ai的数量，xi是同时生产产品Ai的设备数量，gi为生产每件Ai所需要的工人数。其中i=0,1,2…7。1.目标函数的确定（1）最大生产能力为一个周期所生产的A0的最大maxa（2）浪费的生产资源包括未利用的工人、工程师及设备。浪费的工人数即总的工人数减去需要的工人数，工程师和设备数同理可解得。fmfmfs2.约束条件的确定由上面的分析可得生产周期为144个小时，即T=144其他约束条件与第一问（2）相同3.最终模型（1）max=as.t.T=1442)fmffs（二）模型求解（1）将（1）模型带入lingo求解，程序见附录三，解得a0（2）将（1）中求解结果的数据带入（2）中，可解得fm1=2476，4.1.3问题一第3问（一）模型建立此问中，企业只要求均衡生产，不要求连续生产，且周期为一周，即每周内每种产品的生产与消耗相同，每台设备一周内一直连续生产，但是一台设备可以生产多种产品，即比如生产A0的设备可以中途转去生产其他的产品。以一周生产的A假设x为运行的设备数，ai为一个周期内生产产品Ai的总量，yi为一个周期内生产Ai的设备总数,ti为生产每件Ai需要的时间，其中i为0,1,2...7。si1.目标函数的确定（1）该企业的最大生产能力即为一个周期内该企业生产A0的数量a0max=（2）浪费的生产资源包括未利用的工人、工程师及设备。浪费的工人数即总的工人数减去需要的工人数，工程师和设备数同理可求得。fm1fmfs2.约束条件的确定（1）周期为7天，则每台设备在一个周期内连续运转了24*7个小时，所有使用设备的运行总时间等于每种产品用到的总设备数的时间总和，即：24*7*x=（2）一个周期内每种产品的产量等于这种产品所使用的设备总数除以一件产品需要的设备数，即：

ai（3）企业均衡生产，每个周期内，中间产品的生产与消耗相等，由题目的附录1求得各种中间产品产量与最终产品A0产量的关系。

a1=4*a0,

a2=4*a0,

a3=16*a0,

a（4）同时运行的设备数不大于现有的设备数。x≤2012,（5）在设备均衡不连续生产的情况下，每个人都得到了充分利用，即每天都工作而且工作满了8小时。而一周内所用人数总和就等于生产所有产品所需要的人数总和，即：

m1=7,（6）人力资源的限制：

m1<12112,

3.最终模型(1)maxs.t.24*7*（2）fmfmfs（二）模型求解（1）将（1）模型用lingo求解，程序见附录四，解得a0=91,即企业在只要求均衡生产，生产周期为一周的条件下，最大生产能力为每周期生产A（2）模型（1）求解得出m1=10439,m2=1586,x=1937。得出fm14.2问题二4.2.1模型建立因为各周生产的产品数量采用见订单生产的方式，且产量达不到需求量的部分丢失销售机会，所以各周的A0生产量等于销售量。由问题一可知，在企业均匀连续生产的情况下，6天即为产品的一个生产周期。一个周期内，最终产品A假设s为未来一年的年预期销售量，xqi为第i周的需求量，xsi为第i周的销售量，chi为第i由题目及前面的问题分析可得ch1chi+1xsis=4.2.2模型求解运用MATLAB进行求解，程序见附录五，算法如下：STEP1：输入i=1,s=0,chSTEP2：如果chi<xqi,令xsiSTEP3：如果chi-xsi<40STEP4：s=s+xsSTEP5：i=i+1。STEP6：如果i≤52,执行STEP2，否则，输出s解出s=1674，即未来一年企业的年预期销售量为1674件。其每周生产量如下表所示：表1未来一年该企业产品的每周生产量（单位：艘/周）543636361836363618363618181818363618181836363636361854361854183636363618363636361836541836363636363636364.3问题三4.3.1模型建立在问题二的条件下，对人员和设备的数量进行调整。此问求当企业的预期效益最大时企业应保留的人员、设备的数量和此时的年预期销售量。由问题二的分析可知，若想保证均衡连续生产，一周内，最终产品A0的销售量和产量只能为18、36、54或72件。据问题中的附录4可看出，若企业保持最大生产能力为72件，必然每一周都有资源的闲置，不可能得到最大效益。因此，企业调整后的最大生产能力a当amaxch1chi+1xsis=其中s为未来一年的年预期销售量，xqi为第i周的需求量，xsi为第i周的销售量，chi为第i周的期初库存量,其中i=1,2…52将此模型用MATLAB运行解出，程序见附录六，算法如下：STEP1输入i=1,s=0,chSTEP2如果chi<xqi,令STEP3如果xsi>36，令STEP4如果chi-xsi<40STEP5如果xsi>36，令STEP6s=s+xsiSTEP7如果i≤52,执行STEP2，否则，输出s解出s=1602，即年预期销售量为1602件，且得到有15周的销售量为18件，其余37周的销售量为36件。（1）设备总费用的确定：当amax=36时，运行的设备总数ws其中ws为设备总费用，x（2）工人酬金的确定：在一周生产18件A0t11=2409*48*15+37*40*n由计算得出所有工人工作的总时间是销售量的6424倍。则：t21其中t21为所有工人总的加班时间，s为未来一年的年预期销售量即A工人酬金为：wn1其中wn1为工人的总酬金，n每个人每周加班时间不得超过44个小时，即：t21由前面分析知，一周的生产量为18时，肯定没有工人加班，即：n1（3）工程师酬金的确定：在一周生产18件A0t12=366*48*15+40*37*n由计算得出所有工程师工作的总时间是销售量的976倍。则：t22其中t22为所有工程师总的加班时间，s为未来一年的预期销售量即A工程师酬金为：wn2其中wn2为工程师的总酬金，n每个人每周加班时间不得超过44个小时，即：t22由前面分析知，一周的生产量为18时，肯定没有工人加班，即：n2（4）预期年效益的确定：lr=35*100000*s-wamax综上所述，得到最终模型lr=35*100000*sx=894,wsmin=ws.t.tmin=ws.t.t4.3.2模型求解将上述两个规划模型利用lingo求解，程序见附录七和附录八，解得wn1=144540000，wn2=43744320，n1=5781.6，n2=439.2。但是n1和n2是整数。比较当n1=5781和n1将n1和n2代入lr方程求解，解得lr=247430160。所以当最大生产能力取36时，最大年效益为用同样方法求出当最大生产能力为18和54时的最大年效益，与最大生产力取36时的最大效益进行比较，可得到当企业取得最大预期年效益时，最大生产力为每周生产36件A0应保留工人5782人，工程师440人，设备894台。此时的年预期销售量为1602件。其每周生产件数如下表所示：表2未来一年该企业产品每周生产量（单位：艘/周）36363636183636361836361818181836361818183636363636183636183618363636361836363636183636183636363636363636我们还可得到此时，工人不加班，工程师总共加班时间为648832小时。4.4问题四4.4.1模型建立首先对过去一年该企业产品需求量做出概率密度分布图，见图1。可以看出产品的需求量出现两个峰值，而且每一个峰值周围大致形成一个正态分布。我们对它的每一个峰值周围的数据用spss进行正态分布检验，得到两个峰值周围的数据都分别与正态分布相吻合。因此我们可以用赋予不同权值的两个正态分布来模拟今后的需求量。我们以36为分界点，得到第一个正态分布的平均值μ1为30.6，标准差σ1为2.90。第二个正态分布的平均值μ2为40，标准差σ2为STEP1：输入i=1,μ1=30.6,σ1=2.90,STEP2：产生一个[0,1]区间的随机数r1STEP3：产生一个标准正态分布的随机数a。STEP4：如果r1<r,xi=μ1+σ1*a,如果r1>rSTEP5：对xiSTEP6：i=i+1，输出xiSTEP7：如果i>52，停止运行。否则，执行STEP2。我们生成的52个随机数如下：表3随机生成未来一年该企业产品的市场需求（单位：艘/周）26234439353036323529314129293528364030302829263532383628313030334134393025393134273231274033393239293339此52个数即为未来一年每周的销售量。（图一）根据前面的问题分析可知，需求量和最大生产能力已确定。当满足进货条件的库存临界值和最大库存量确定后，可以求出企业的预期年效益。因为此题是求效益最大时满足进货条件的库存临界值和最大库存量，我们可以以满足进货条件的库存临界值和最大库存量作为两个变量，做二重循环，用定步长搜索找出当年效益最大时的库存临界值和最大库存量。初始条件为：ch生产量、剩余库存量、销售量和需求量的关系。关系如下：当31≤xqp当xqip当18≤xq初始库存量、生产量、进货量、进货次数和库存临界值leveljch当chi-pk=k+1,&购进原材料成本与进货量的关系为：mcicisaimc=120000*k;wwn2=nwlr4.4.2模型求解将上述分析出的模型编写程序用MATLAB进行求解，程序见附录十。具体算法如下：step1：对附录6进行分布分析，得到产品市场需求分布的近似分布密度函数为双峰正态分布，随机生成未来一年五十二周的市场需求表作为需求Demand；

step2：对最大的库存量A，进货临界值Level进行赋值；

step3：将赋值后的最大存货量A和进货临界Level输入，