数学建模中数学知识的综合应用

数学建模中数学知识的综合应用数学建模中如何合理的使用不同的数学知识，是能否获得好成绩的一个重要和关键的一步。那么怎样才能做到合理而又恰当的使用数学知识呢？我们分三个方面来谈谈这个问题：一.根据问题的实际选择恰当的数学知识二.在可供选择的数学知识中选择最简单的三.综合灵活地应用各种数学知识一.根据问题的实际选择恰当的数学知识数学建模的一个主要特点是问题往往没有唯一的答案，解决的方法也不止一种，因而可供建模使用的数学知识也就可能是多种的。但是绝不是任何一种数学知识都是可用的；如果用的不当，不但不能解决问题，反而使问题复杂化，有时甚至得出谎谬的结果，这是我们需要慎重考虑和认真解决的重大问题。为了把问题说清，我们用几个例子加以说明：例1.1995年A、B题1995年A题飞行管理问题在约10000m高空的某边长160km的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记彔其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区城边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架(包括新进入的)飞机飞行的方向角，以避免碰撞。现假定条件如不：1)不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8km2)飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度；3)所有飞机飞行速度均为每小时800km4)进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60km5)最多需考虑6架飞机；6)不必考虑飞机离开此区域后的状况。请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算(方向角误差不超过0.01度)，要求飞机飞行的方向角调整的幅度尽量小。设该区域4个顶点的坐标为(0，0)，(160，0)，(160，160)，(0，160)。记录数据为：飞机编号横坐标x纵坐标y方向角(度)1150140243285852363150155220.54145501595130150230新进入0052注：方向角指飞行方向与x轴正向的夹角。试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广。1995年B题—天车与冶炼炉的作业调度某钢铁厂冶炼车间的厂房布局是，地面沿一直线依次安置着7个工作点：辅料供应处P；A组3座转炉（冶炼成品钢）A1，A2，A3；B组2座冶炼炉（冶炼半成品钢，简称半钢）B1,B2；原料供应处Q。这些设备的上方贯通着一条运送物料的天车轨道，上面布置着若干天车T1，T2,…,Tn为炉子作业服务。布局示意图如下。T1T1T2TnPA1A2A3B11B2Q天车与冶炼炉的作业过程与工序为：天车从Q处吊起原料一罐(吊罐时间)运至B1或B2处放下(放罐时间)，并将上一炉的原料空罐吊起(吊空罐时间)返回Q处放下(放空罐时间)。B组炉在原料罐放下后即可在辅助作业下开始冶炼(冶炼时间)，冶炼后将半钢倒入空半钢罐(时间计入)，由天车吊起半钢罐(吊罐时间)运至A1或A2,A3处，将半钢倒入转炉(倒入时间)，并将空罐返回B1或B2处放下(放空罐时间)。再由天车从P处吊起辅料一罐(吊罐时间)运至A1或A2,A3处加入转炉(加入时间)。并将空罐返回P处放下(放空罐时间)。A组炉在半钢及辅料加入后即可开始冶炼(冶炼时间)，冶炼后成品钢的输出不用天车(输出时间计入)。天车通过相邻两个工作点运行时间都相同，记为。由于各台天车在同一轨道上运行，因此其顺序位置T1，T2，…Tn不可交换。在同一时间同一座炉子上只能允许一台天车作业；但P,Q两处可以允许多台天车同时作业。在P,A1,…,Q处每两个相邻工作点之间最多能容纳2台天车同时停放。天车与冶炼炉作业到调度的要求为：(1)成品钢产量尽量高；(2)各台天车的作业率(天车作业时间所占比例)尽量均衡(考虑到设备及人员安全等因素，一般天车作业率不超过70％)；(3)绝对不允许出现天车相撞等事故；(4)调度规则尽量简明，以利干现场人员使用。现设定：A组炉平均每炉产量W=120吨.在不超过5台天车的条件下，设计一种满足上述要术的天车与冶炼炉的作业调度方案。(1)各台天车负责哪些作业(列出《工序清单》)；(2)在所给方案的一个运行周期内，每一时刻天车和冶炼炉处于什么状态（画出《天车－炉子作业运行图》）；(3)一份供现场人员使用的《调度规则说明书》；(4)在所给方案下计算各台天车的作业率。并按每天冶炼炉数估计该车间成品钢的年产量（扣除设备维修日，每台转炉作业日每年按300天计算），实际生产过程中都是随机的（上面设定的数值可视为平均值），讨论你的调度方案如何适用于实际生产过程，试提出该车间提高钢产量到年产300万吨以上的建议。我们先看A题，这是一个飞行管理问题。为了确保安全，必须保证在区域内飞行的6架飞机(其中5架是已在区域内飞行，另一架是刚到达区域边缘的飞机)不能碰撞。不碰撞的条件是两架飞机之间的距离应大于8km。调整幅度不应超过30度。根据题目要求容易建立以下模型设6架飞机在调整时的方向角为，调整后的方向角为。又设任意两架飞机在区域内的最短距离为，根据题目的要求，飞行管理问题可归结为以下非线性规划模型这模型的主要问题是求解，非线性规划问题的求解目前还没有一个通用的解法，必须根据不同的问题采用不同的方法，也没有通用的数学软件可用。通常是把它化成多个线性规划问题求解。如此一来计算量就非常的大。本题可用根据问题的性质可用搜索法求解。还有一个较巧妙的方法，就是把每架飞机视为一个以飞机坐标点为园心，以4公里为半的园，因为每两架飞机不相撞距的距离为大于8公里。飞机在区域内移动飞行看做园在区域内的移动，只要保证这些园不相交，就能保证飞机不相撞。这样建立的模型就是线性规划模型。(参看全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编(1992—2000)全国大学生数学建模竞赛组委会编，中国物价出版社)再看B题，这种题容易使人认为可用规划求解，但仔细分析可看出用规划求未必恰当，因为有多台天车运行，它的服务对象有A组炉，B组炉。要协调和处理的问题很多，因此就整个问题而言，用优化规划方法建立模型是很困难的。首先是目标有几个，约束条件也难以确定。事实上本问题经过分析只要用初等数学知识就能很好的解决。下面是问题的分析和解答：（一）问题分析1)本题不存在现成的数学解法，可以通过直观、简练的典型方案的比较，设计出相对优化的调度方案，下面给出一种“三车方案”即用三台天车分别运送辅料(及返回空槽)、运送半纲(及返回空罐)和运送原料(及返回空罐)。这个方案从天车与炉子作业过程与工序看，是容易理解和接受的，并且可以与二车、四车、五车方案对比。二车方案不易安排且作业率过高；四车方案虽安排稍复杂，作业率稍低，但留有余地，在一台天车检修时能维持正常生产，故也可认为是较优方案，五车方案则作业率太低。2)在作基本模型时，假设所给数据是准确的，不考虑炉子及天车的故障；不考虑工人的换班等。3)分析使A组炉连续生产，从而使成品钢产量达到最高的条件：天车作业时间：处吊原料罐；处放原料罐；处吊空罐；处放空罐；处吊半钢罐；处倒半钢；处放半钢空罐；处吊辅料槽；处倒辅料；处放空槽；运行一个工作区间。炉子作业时间：冶炼一炉；冶炼一炉。A组炉生产一炉成品钢的周期记为B组炉生产一炉半纲的周期记为显然，只要，B组炉提供的半钢就可保征A组炉连续生产，现在，条件满足，调度方案的运行周期应设定为，在一个周期ST内各炼2炉(连续作业)，各炼3炉(有的“空闲”时间)，A，B两组炉的组合方式可取(的半钢供用)－－－－－形式。4)分析天车作业分配，使A组炉连续生产的条件。若设定天车为A组炉运送辅料及返回空槽，无作业时停在P处，则炼一炉的作业时间为记，显然只要。一台天车()就可满足连续生产要求，现条件满足。若设定天车为A组炉运半钢并返回空罐，无作业时停在之间，则从到运返一次的作业时间为，从到运返一次的作业时间为。记显然只要即可，现条件满足。若设定天车为B组炉运原料并返回空罐，无作业时停Q处，则炼一炉的作业时间为记，显然只要即可，现条件满足。由上分析可知三车方案经适当安排可以满足A组炉连续生产的要求。（二）天车作业分配天车号工序名称作业时间衔接关系说明T3T31吊起原料罐(满)T32运行(到Bj冶炼炉)T33放下原料罐T34吊起空原料罐T35返回运行(到Q处)T36放下空原料罐T37无作业3分15秒×m3分2分15秒×m2分T31→T32T32→T33T33→T34T34→T35T35→T36T36→T37m=3-jj=1,2m=3-jj=1,2T2T21吊起半成品钢T22运行(到Aj冶炼炉)T23加入半成品钢T24返回空罐运行T25放下空半成品罐T26无作业3分15秒×n5分15秒×n2分T21→T22T22→T23T23→T24T24→T25T25→T26n=1,2,3,4n=1,2,3,4T1T11吊起辅料槽T12运行(到Aj冶炼炉)T13加入辅料T14运行(返回P处)T15放下空辅料槽T16无作业2分15秒×j2分15秒×j1分T11→T12T12→T13T23→T13→T14T14→T15T15→T16j=1,2,3（三）天车－炉子作业调度规则及运行图炉子作业规则(参看下面的运行图)1.周期、连续、异步规则：循环周期ST=110分钟，A组炉(3座)每座冶炼2炉，共2×3=6炉；B组炉(2座)每座冶炼3炉，共3×2=6炉，A，B组合形式如图示为－－－－－。同组炉子之间必须保持异步运行。即两两之间保持一定时间间隔△，对于A组炉△应在18分(≈)左右，同时注意到2△的时间要能使B组炉治炼一炉(如的半钢在供应后，经2△时间后要供应)即综上，可取。天车调度运行图2.B组炉作业服从A组炉：因为B组炉生产能力超过A组炉，即，故在周期运行中，B组炉可设置(且必须设置)空闲时间，B组炉的生产节奏完全可以按照A组炉的要求组织，记为炉开始冶炼时刻，是为提供半钢的炉的开始冶炼时刻，则配合公式为，其中δ包括设置的空闲时间(<)及天车运送半钢的运行时间()，可取，运行图中取。天车作业调度规则(参看运行图)1.天车作业服从炉子：为保证A组炉周期、连续异步运行，天车的起始作业时刻应按下式计算：记为天车Tk起始作业(即作业分配工序表中Tk1)时刻(k=1，2，3)。2.天车T2作业优先：T2联系着A，B两组炉的作业协调，且其作业率最高，三台天车运行中应保证T2的优先。3.天车停放位置相对固定：天车“无作业”时停放位置既影响自身作业效率，也会对其它天车作业产生干扰，在三车方案中，以T1，T3分别停放在P，Q处，T2停放在，之间为优化布局。（四）天车作业率及钢年产量计算按照本文4)中的分析和记号，天车的作业率为；天车的作业率为；天车的作业率为。A组3座炉每天炼炉数为，每年(300天)的年产量为将产量提高到300万吨以上的建议：1.提高A组炉平均每炉产量，使，即单炉产量提高6.8％2.缩短A组炉的生产周期，使每天冶炼炉数达，即每座炉每天冶炼28炉，生产周期应为比原来的55分缩短4分，考虑到天车作业时间潜力有限，应使炉子的冶炼周期由原来的48分缩短到44分，可以核实，B组炉仍能保证A组炉的连续生产，且天车作业率仍未超过70％。说明：本题是从某钢铁厂的“七车七炉作业运筹”等实际课题提炼、简化而得，注重检验参赛者从实际课题繁琐、复杂的信息中提炼模型的基本功。本题的作法还有移动网络法，层次分析法，对各种随机数据对天车的作业率、天车的调度和钢产量的影响进行定性定量分析。这些做法都可以，但是都不如用简单的初等数学解决清楚、有说服力。从对A、B两题的分析可以看出选择什么数学知识建模要看问题本身的需要。其次还应考虑求解的难度和可行性。二.在可供选择的数学知识中选择最简单的在数学建模中，同样的一道题可以有多种方法求解，因此往往可以用多种不同的数学知识。在可供选择的多种数学方法中，当然是所用数学知识越筒单越好。因为我们的模型是给人看的，是为解决实际问题而建立的。只有模型(包括计算)越简单才能被更多的人看懂和应用，模型的应用价值也就更高。在建模过程中切忌故弄玄虚，把本来可以简单处理的问题复杂化，以为用的数学知识越深奥你的水平越高，不是这样的。所用数学知识的深浅不是评价论文优劣的标准。我们再看一个例子：例2.20XX年D题:NBA赛程的分析与评价NBA是全世界篮球迷们最钟爱的赛事之一，姚易加盟以后更是让中国球迷宠爱有加。NBA共有30支球队，西部联盟、东部联盟各15支，大致按照地理位置，西部分西南、西北和太平洋3个区，东部分东南、中部和大西洋3个区，每区5支球队。对于2008~2009新赛季，常规赛阶段从20XX年10月29日（北京时间）直到20XX年4月16日，在这5个多月中共有1230场赛事，每支球队要进行82场比赛，附件1是30支球队2008~2009赛季常规赛的赛程表，附件2是分部、分区和排名情况（排名是2007~2008赛季常规赛的结果），见对于NBA这样庞大的赛事，编制一个完整的、对各球队尽可能公平的赛程是一件非常复杂的事情，赛程的安排对球队实力的发挥和战绩有一定的影响，从报刊上经常看到球员、教练和媒体对赛程的抱怨或评论。这个题目主要是要求用数学建模方法对已有的赛程进行定量的分析与评价：1）为了分析赛程对某一支球队的利弊，你认为有哪些要考虑的因素，根据这些因素将赛程转换为便于进行数学处理的数字格式，并给出评价赛程利弊的数量指标。2）按照1）的结果计算、分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，并找出赛程对30支球队最有利和最不利的球队。3）分析赛程可以发现，每支球队与同区的每一球队赛4场（主客各2场），与不同部的每一球队赛2场（主客各1场），与同部不同区的每一球队有赛4场和赛3场（2主1客或2客1主）两种情况，每支球队的主客场数量相同且同部3个区的球队间保持均衡。试根据赛程找出与同部不同区球队比赛中，选取赛3场的球队的方法。这种方法如何实现，对该方法给予评价，也可以给出你认为合适的方法。由于编幅的原因，我们没有把赛程表录下。我们只讨论用什么数学知识比较合适。本题许多人犯的一个错误是使用数学知识不当，由于出现大量的数据，很多个用回归分析法。其实本题和回归分析法无关，因为它只是赛程的安排(2000多场)，这些数据没有回归分析规律可找。题目的要求是：用数学建模方法对已有的赛程进行定量的分析与评价：1）为了分析赛程对某一支球队的利弊，你认为有哪些要考虑的因素，根据这些因素将赛程转换为便于进行数学处理的数字格式，并给出评价赛程利弊的数量指标。2）按照1）的结果计算、分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，并找出赛程对30支球队最有利和最不利的球队。3）分析赛程可以发现，每支球队与同区的每一球队赛4场（主客各2场），与不同部的每一球队赛2场（主客各1场），与同部不同区的每一球队有赛4场和赛3场（2主1客或2客1主）两种情况，每支球队的主客场数量相同且同部3个区的球队间保持均衡。试根据赛程找出与同部不同区球队比赛中，选取赛3场的球队的方法。这种方法如何实现，对该方法给予评价，也可以给出你认为合适的方法。第一是分析赛程对某一支球队的利弊，有哪些要考虑的因素，也就是首先决定哪些因素。这些因素是合理的、有效的，这是第一步。第二根据这些因素将赛程转换为便于进行数学处理的数字格式，并给出评价赛程利弊的数量指标。这一步是建模的关键，用什么数学知识？建立什么样的数学模型？这是我们要认真考虑的问题。近年来这类问题比较多，由于强调题目要切合实际，而许多课题项目的实施都要进行科学的评估。所以这方面的问题是很有现实意义的。确定那些因素对赛程有影响后，显然这些因素影响程度不同，也就是权数大小是不一样的。由于评价这些因素的影响因人的主观判断和认识不同而不同，因而差别较大，通常采用层次分析法来评价。本题大多数采用层次分析法，这是对的。但要注意用层次分析法构造成对比较阵的时候，比较的因素最多不能超过9个。超过了，人的判别能力就会混乱，无法进行判别。有一个队构造了以下的一个层次模型………………最有利的球队魔术奇才火箭勇士连续在外场次场次数对手强弱次数连续两场次数次路途远近大家可以看得出来，这个模型错在那里呢？这个模型第三层有30个方案，已经超出层次分析模型的适用范围，不可能构造如此臣大的成对比较阵。可见即使选对了数学知识，也不能随意乱用。本题正确的方法是对于4个因素的权数的确定可用层次分析法，即一，二层。而这4个因素对30个球队的影响却不能用层次分析模型。必须再建一个总的综合评价指标。再计算各队的分数。三.综合灵活地应用各种数学知识数学建模的题目主要是客观实际经过适当简缩修改而成，而实际问题很少能够一步到位，必需分几步逐步解决才能完成。因而所用的数学知识不是一种而是多种，这就是综合应用数学知识问题。前面的两个例子已经很好地说明了这个问题。下面我们再举一个例子。例3B题彩票中的数学近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0~4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码（可重复），从0~4中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表一（X表示未选中的号码）。表一中奖等级10选6+1（6+1/10）基本号码特别号码说明一等奖Abcdefg选7中（6+1）二等奖abcdef选7中（6）三等奖abcdeXXbcdef选7中（5）四等奖abcdXXXbcdeXXXcdef选7中（4）五等奖abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef选7中（3）六等奖abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef选7中（2）“乐透型”有多种不同的形式，比如“33选7”的方案：先从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从01~33个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。又如“36选6+1”的方案，先从01~36个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从01~36个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表二。表二中奖等级33选7（7/33）36选6+1（6+1/36）基本号码特别号码说明基本号码特别号码说明一等奖●●●●●●●选7中（7）●●●●●●★选7中（6+1）二等奖●●●●●●○★选7中（6+1）●●●●●●选7中（6）三等奖●●●●●●○选7中（6）●●●●●○★选7中（5+1）四等奖●●●●●○○★选7中（5+1）●●●●●○选7中（5）五等奖●●●●●○○选7中（5）●●●●○○★选7中（4+1）六等奖●●●●○○○★选7中（4+1）●●●●○○选7中（4）七等奖●●●●○○○选7中（4）●●●○○○★选7中（3+1）注：●为选中的基本号码；★为选中的特别号码；○为未选中的号码以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为：[(当期销售总额×总奖金比例)-低项奖总额]×单项奖比例（1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。（2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。（3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。序号奖项方案一等奖比例二等奖比例三等奖比例四等奖金额五等奖金额六等奖金额七等奖金额备注16+1/1050%20%30%50按序26+1/1060%20%20%300205按序36+1/1065%15%20%300205按序46+1/1070%15%15%300205按序57/2960%20%20%30030566+1/2960%25%15%20020577/3065%15%20%5005015587/3070%10%20%2005010597/3075%10%15%20030105107/3160%15%25%500502010117/3175%10%15%320305127/3265%15%20%5005010137/3270%10%20%5005010147/3275%10%15%5005010157/3370%10%20%600606167/3375%10%15%50050105177/3465%15%20%500306187/3468%12%20%50050102197/3570%15%15%300505207/3570%10%20%500100305217/3575%10%15%1000100505227/3580%10%10%20050205237/35100%20002042无特别号246+1/3675%10%15%500100105256+1/3680%10%10%50010010267/3670%10%20%50050105277/3770%15%15%150010050286/4082%10%8%200101295/6060%20%20%30030本题首先要用概率公式算出各种方案的各个奨项获奖概率及获奨总概率。第二步考虑采用什么样的方案才能吸引广大彩民积极踊跃购买彩粟。即彩民如何看待获奖的机会大小和奨金的多少，也就是彩民的心理状态。用什么函数来表达彩民的心理曲线呢？这就要看每个人理解和判断，没有什么统一通用的标准。有的人认为收入较高，比较富裕的人买彩票多，有的人看法正好相反，认为越窮的人买彩票越多，因为他们更希望通过赌一赌、博一博，碰碰运气来改变自己的地位。从而有可能一夜之间变成百万富翁。当然这是仁者见智，各有各的道理，但这都不影响比赛的成绩。下面是出题人提供的一个参考答案，可供参考，无论何种解法，本题都要用多种数学知识才能完成。这就是综合应用数学知识的一个典型范例。综合应用还应包含和计算机软件的有机结合。2002B题参考答案评价一个方案的优劣，或合理性如何，主要取决于彩票公司和广大彩民两方面的利益。事实上，公司和彩民各得销售总额的50％是确定的，双方的利益主要就取决于销售总额的大小，即双方的利益都与销售额成正比。因此，问题是怎样才能有利于销售额的增加？即公司采用什么样的方案才能吸收广大的彩民积极踊跃购买彩票？具体地讲，问题涉及到一个方案的设置使彩民获奖的可能性有多大、奖金额有多少、对彩民的吸引力有多大、广大彩民如何看待各奖项的设置，即彩民的心理曲线怎样？另外，一个方案对彩民的影响程度可能与区域有关，即与彩民所在地区的经济状况以及收入和消费水平有关。为此，我们要考查一个方案的合理性问题，需要考虑以上这些因素的影响，这是我们建立模型的关键所在。1.模型假设与符号说明彩票摇奖是公平公正的，各号码的出现是随机的；彩民购买彩票是随机的独立事件；对同一方案中高级别奖项的奖金比例或奖金额不应低于相对低级别的奖金比例或奖金额；根据我国的现行制度，假设我国居民的平均工作年限为T=35年。——第j等(高项)奖占高项奖总额的比例，j=1，2，3；——第i等奖奖金额均值，1≤i≤7；——彩民中第i等奖的概率，1≤i≤7；——彩民对某个方案等i等奖的满意度，即第i等奖对彩民的吸引力，1≤i≤7；——某地区的平均收入和消费水平的相关因子，称为“实力因子”，一般为常数；——彩票方案的合理性指标，即方案设置对彩民吸引力的综合指标。2.模型的准备从已给的29种方案可知，可将其分为四类，：10选6+1(6+1/10)型、：n选m(m/n)型、：n选m+1(m+1/n)型和：n选m(m/n)无特别号型，分别给出各种类型方案的彩民获各奖项的概率公式：●：10选6+1(6+1/10)型●：n选m(m/n)型●：n选m+1(m+1/n)型●：n选m(m/n)无特别号型各种方案的各个奖项获奖概率及获奖总概率计算如表一。表一方案6+1/107/296+1/297/307/307/327/337/347/357/366+1/367/376/405/60方案6+1/10………0.0456957/290.0298250.0377426+1/290.0197340.0377427/300.0264760.0331377/310.0235720.0292087/320.0210470.0258327/330.0188430.0229417/340.0169160.0204367/350.0152240.0182617/360.0137360.0163676+1/360.0087550.0163677/370.0124220.0147106/400.0284280.0334255/600.0454160.050806(2)确定彩民的心理曲一般说来，人们的心理变化是一个模糊的概念。在此，彩民对一个方案的各个奖项及奖金额的看法(即对彩民的吸引力)的变化就是一个典型的模糊概念。由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，根据人们通常对一伴事物的心理变化一般遵循的规律，不妨定义彩民的心理曲线为其中λ表示彩民平均收入的相关因子，称为实力因子，一般为常数。(3)计算实力因子λ实力因子是反应一个地区的彩民的平均收入和消费水平的指标，确定一个地区的彩票方案应该考虑所在地区的实力因子，在我国不同地区的收入和消费水平是不同的，因此，不同地区的实力因子应子一定的差异，目前各地区现行的方案不尽相同，要统一来评估这些方案的合理性，就应该对同一个实力因子进行研究。为此，我们以中等地区的收入水平(或全国平均水平)为例进行研究。根据相关网站的统计数据，不妨取人均年收入1.5万元，按我国的现行制度，平均工作年限T=35年，则人均总收入为52.5万元，于是，当万元时，取(即吸引力的中位数)，则有同理，可以算出年收入1万元、2万元、2.5万元、3万元、4万元、8万元、10万元的实力因子如表二。表二收入指标1万元1.5万元2万元2.5万元3万元4万元5万元10万元λ420393630589840786105098212611791681571210196442039283.模型的建立与求解问题(一)要综合评价这些方案的合理性，应该建立一个能够充分反应各种因素的合理性指标函数。因为彩民买彩票是一种风险投资行为，为此，我们根据决策分析的理论，考虑到彩民的心理因素的影响，可取(λ>0)为风险决策的益损函数，于是作出如下的指标函数：………(1)即表示在考虑彩民的心理因素的条件下，一个方案的奖项和奖金设置对彩民的吸引力。另一方面，由题意知，单注所有可能的低项奖金总额为，根据高项奖金的计算公式得单注可能的第j项(高项奖)奖金额为故平均值为………(2)于是由(1)，(2)式得………(3)利用Matlab可计算出29种方案的合理性指标值F及高项奖的期望值，排在前三位的如下表三。表三指标方案F排序97/302067914101117/31324482116257/293598417143问题(二)根据问题(一)的讨沦，现在的问题是取什么样的方案m/n(n和m取何值)、设置哪些奖项、高项模的比例为多少和低项奖的奖金额为多少时，使目标函数的有最大值。设以为决策变量，以它们之间所满足的关系为约束条件，则可得到非线性规划模型：关于约束条件的说明：1)条件(1)，(2)同问题(一)；2)条件(3)，(4)是对高项奖的比例约束，的值不能太大或太小，(4)是根据已知的方案确定的；3)条件(5)是根据题意中一等奖的保底额和封顶额确定的；4)条件(6)中的分别为i等奖的奖金额比i+1等奖的奖金额高的倍数，可由问题(一)的计算结果和已知各方案的奖金数额统计得：5)条件(7)是根据实际问题确定的，实际中高等奖的概率应小于低等奖的概率，它的值主要由m，n确定。6)条件(8)，(9)是对方案中m，n取值范围的约束，是由已知的方案确定的。这是一个较复杂的非线性(整数)规划，其中概率的取值分为四种不同的情况，且由整数变量m，n确定，一般的求解是困难的。为此，利用Matlab可求解得最优解为，最优值为。故对应的最优方案为：32选6(6/32)，一、二、三等奖的比例分别为80％、9％、11％，四、五、六、七等奖的金额分别为200、10、1、0元。前面是针对中等收入水平的彩民情况考虑的，对于经济发达地区和欠发达地区应有所不同。这里分别对年收入1万元、2万元、2.5万元、3万元、4万元、5万元、10万元，工作年限均35年的情况进行了讨论，给出适用于相应各种情况的最优方案，如下面的表四。表四年收入指标1万元2万元2.5万元3万元4万元5万元10万元λ42039384078610509821261179168157121019644203928最优方案5+1/336/327/306/376+1/327/337/35F8.255×4.623×4.103×3.223×2.475×2.075×1.828×0.800.800.730.700.730.730.8070.090.0730371200044750652172227211.07×9425260760012351739150719741746138200100200100200103710102020102011522250000003问题(三)(略)说明：(1)研究此问题必须要考虑心理曲线，但心理曲线的可能会有不同的形式，主要是看对问题解释是否合理，实力因子λ在不同地区可以取不同的值，对方案的评判结果也会有差别。(2)问题的合理性指标函数一定与心理曲线有关，但应该在风险决策的意义下确定出益损函数，益损函数的确定不是唯一的。(3)问题中的概率公式的形式应该是唯一的。参考文献中国彩票网：附录[1]全国大学生数学建模竞赛论文格式规范甲组参赛队从A、B题中任选一题，乙组参赛队从C、D题中任选一题。论文用白色A4纸单面打印；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距；从左侧装订。论文第一页为承诺书，具体内容和格式见本规范第二页。论文第二页为编号专用页，用于赛区和全国评阅前后对论文进行编号，具体内容和格式见本规范第三页。论文题目和摘要写在论文第三页上，从第四页开始是论文正文。论文从第三页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中。论文中其他汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距，打印时应尽量避免彩色打印。提请大家注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写（注意篇幅不能超过一页，且无需译成英文）。全国评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：[编号]作者，书名，出版地：出版社，出版年。参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：[编号]作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。参考文献中网上资源的表述方式为：[编号]作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。在不违反本规范的前提下，各赛区可以对论文增加其他要求（如在本规范要求的第一页前增加其他页和其他信息，或在论文的最后增加空白页等）；从承诺书开始到论文正文结束前，各赛区不得有本规范外的其他要求（否则一律无效）。本规范的解释权属于全国大学生数学建模竞赛组委会。[注]赛区评阅前将论文第一页取下保存，同时在第一页和第二页建立“赛区评阅编号”（由各赛区规定编号方式），“赛区评阅纪录”表格可供赛区评阅时使用（各赛区自行决定是否在评阅时使用该表格）。评阅后，赛区对送全国评阅的论文在第二页建立“全国统一编号”（编号方式由全国组委会规定，与去年格式相同），然后送全国评阅。论文第二页（编号页）由全国组委会评阅前取下保存，同时在第二页建立“全国评阅编号”。全国大学生数学建模竞赛组委会20XX年9月12日修订2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：D 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：浙江机电职业技术学院参赛队员(打印并签名)：1.吴先斌2.裘伟锋3.袁梁指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：数模组日期：2008年赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：NBA赛程的分析与评价摘要本文首先综合考虑了NBA上个赛季的赛程、赛绩和本赛季的赛程确定出赛程对球队利弊的三个主要影响因素，并对其进行了定量分析。其次利用偏大型柯西分部隶属函数确定主要影响因素的权值，给出了一个利弊的评价指标——利弊指数，并计算了各球队的利弊指数值。从得到的结果看本次赛程对火箭队而言是比较有利的，其中最有利的球队是凯尔特人队，最不利的是快船队。对于问题三，基于公平性和观赏性考虑，同部不同区球队实力尽可能悬殊的队尽可能少赛（赛3场）。由此建立0-1规划模型，并利用LINDO软件求解出了赛3场球队的最优选取方案。关键词：隶属函数利弊指数0-1规划(这篇摘要是写的较好的一篇，文字不多，但将主要思想方法及结论、特色都作了简要的叙述。)一.问题的重述NBA赛程的安排对球队实力的发挥和战绩存在着客观的影响，但编制一个完整的、对各球队尽可能公平的赛程是一件非常复杂的事情。为了更直观的体现出这些客观因素的存在，利用数学建模方法对2008～20XX年的赛季安排表进行定量的分析与评价：1）确定出赛程对某一支球队的利弊的主要影响因素，根据所确定的因素将赛程转换为便于进行数学处理的数字格式，同时给出评价赛程利弊的数量指标。2）按照1）的结果计算、分析赛程对火箭队的利弊，并找出赛程对30支球队最有利和最不利的球队。3）对2008～20XX年的赛季安排表进行分析可以发现，每支球队与同区的每一支球队赛4场（主客各2场），与不同部的每一球队赛2场（主客各1场），与同部不同区的每一球队有赛4场和赛3场（2主1客或2客1主）两种情况，每支球队的主客场数量相同且同部3个区的球队间保持均衡。试根据赛程找出与同部不同区球队比赛中，选取赛3场的球队的方法。这种方法如何实现，对该方法给予评价，也可以给出认为合适的方法。二.问题分析问题1首先应综合分析上一赛季的赛绩和本次赛季的赛程确定赛程对球队利弊的主要影响因素，其次要确定影响因素权值；根据本次赛场各球队的影响指标，对东西联盟的30支球队进行排序。问题2根据上一问所得的结果，重点分析赛程对火箭队的利弊及赛程对那个队是最有利的，对那个队是最不利的。问题3要对本季赛程进行分析，选取与同部不同区球队比赛中，赛3场的球队的方法，同时也可以给出认为合适的方法。通过对赛程安排的统计，发现赛3场的4个球队是平均分部在同部不同区的,根据对对手实力的分析发现差异较大,所以可以说是随机安排赛3场的球队双方。这在考虑每年球队实力有所变化的前提下也是合理的。而以一般规律赛3场对对手双方是最不公平的，若安排实力相当的球队打3场，则必对某一方不利，若安排实力相差较大的球队赛3场就可以把此不利因素降到最底，毕竟影响胜负的关键还是实力。因此，我们采用0-1规划法给出一种选取方法，重新安排赛3场的球队。最后对所得的结果进行评价。三.模型假设假设2008-2009赛季各队的实力不发生改变；假设两球队在比赛时，客队赶往赛场的这一过程对实力不产生影响；假设不考虑连续两场在客场比赛和连续两场同强队比赛对赛绩所产生的影响；假设东西部之间整体实力相等；假设赛程是在一些公平的约束下产生的，不存在人为偏袒因素。四.符号说明表示第j个球队连续两天内都有比赛的次数。表示第j个球队连续在客场比赛三场或三场以上的次数。表示第j个球队连续同三个或三个以上的强队比赛的次数。表示第个影响因素权重。S表示赛程对球队利弊的数量指标——利弊指数表示某球队第个影响因素值。表示第个球队第个影响因素值表示东南区第个球队的胜率。表示大西洋区第个球队的胜率。表示中部区第个球队的胜率。表示选取东南区球队和大西洋区球队比赛的场次。表示选取东南区球队和中部区球队比赛的场次。表示东南区每个球员对大西洋区每个球员的实力差矩阵。表示东南区每个球员对中部区每个球员的实力差矩阵。表示东南区的每个球队对大西洋区和中部区每个球队赛3场的实力差之和。五.模型的建立与求解5.1.1通过对NBA以往比赛的赛程和赛绩进行分析，认为NBA赛程对30支球队的影响是客观存在的事实，通过对以往赛程和赛绩的分析确定主要的客观影响因素包括三个方面，即连续客场的次数、背靠背的次数及连续同强队比赛的次数。1、连续客场的次数客场指的是球队在其他球队场地上比赛考虑到天时地利及人和的关系，连续3场或3场以上在客场比赛必定对球队的利弊存在影响。2、背靠背的次数背靠背指的是连续两天都参加比赛，考虑到球员们的体质、体力的关系，背靠背的多少必定影响到球队最终的赛绩。3、连续同强队比赛的次数连续同强队比赛指的是连续3场或3场以上同强队比赛，考虑到队员们心理、体力等因素的关系，对手强弱对球队的实力发挥和今后的赛事存在客观的影响。5.1.2球队实力的确定根据各球队2007-2008的赛绩表中的胜率指标，对球队实力按从强到弱依次排列表1，为了使球队的强弱指标便于量化，将排列名次进行简化（前15只球队分为强队，后15个球队分为弱队），来做为连续同强队比赛的次数的衡量尺度。表1球队强弱排列表名次12345678球队凯尔特人活塞湖人马刺黄蜂火箭太阳爵士名次9101112131415球队魔术小牛掘金勇士骑士奇才开拓者名次1617181920212223球队猛龙76人国王老鹰步行者蓝网公牛山猫名次24252627282930球队雄鹿尼克斯快船灰熊森林狼超音速热火5.1.3赛程格式转换及球队各影响因素值确定为了把附录1（2008—2009）赛程转换为便于进行数学处理的数字格式，首先把赛期进行数字替换再将球队进行编号（具体的编号按照表2），我们就可以将赛程进行数字转换，再利用EXCEL对影响因素值进行统计得到表2（各球队各影响因素值的统计表）；表2各球队各影响因素值的统计表编号影响因素队名背靠背的次数连续客场的次数连续同强队比赛的次数1魔术16442奇才18423老鹰22674山猫21555热火19436凯尔特人16337猛龙1564876人21459篮网203610尼克斯195511活塞165312骑士164313步行者204614公牛154615雄鹿215616黄峰177917马刺165718火箭154519小牛157620灰熊164821爵士215622掘金184423开拓者167424森林狼2251025超音速175626湖人195527太阳196828勇士147729国王226530快船2166为了便于表2中每一列数据做统一的比较，首先用极差规范化方法分别对相应的影响因素值作相应的规范化处理，背靠背的次数规范化后：（1）其中表示第j个球队连续两天内都有比赛的次数。连续客场的次数规范化后：（2）其中表示第j个球队连续在客场比赛三场或三场以上的次数。连续同强队比赛的次数规范化后：（3）其中表示第j个球队连续同三个或三个以上的强队比赛的次数。（1）（2）（3）式经计算后可以得到规范化后各球队各影响因素的值,见表3;表3各球队各影响因素规范化后值表编号影响因素球队背靠背的次数规范化后的值连续客场的次数规范化后的值连续同强队比赛的次数规范后的值1魔术72奇才0.50.2503老鹰10.750.674山猫0.8750.50.335热火0.6250.2506凯尔特人0.25007猛龙0.1250.750.17876人0.8750.250.339篮网0.7500.510尼克斯0.6250.50.3311活塞0.250.5012骑士0.250.25013步行者0.750.250.514公牛0.1250.250.515雄鹿0.8750.50.516黄峰0.3751117马刺718火箭0.1250.250.3319小牛0.12510.520灰熊3321爵士0.8750.50.522掘金723开拓者0.2510.1724森林狼10.5125超音速0.3750.50.526湖人0.6250.45450.3327太阳0.6250.45450.8328勇士00.27270.6729国王10.36360.3330快船0.8750.363确定影响因素的权重首先对所确定的主要影响因素进行量化处理,从而给出影响因素的量化值,不妨设强度集为{很强,较强,强,稍强,不强},对应的数值为5,4,3,2,1。根据实际情况取偏大型柯西分布隶属函数（4）其中为待定系数，实际上强度为“很强”时则隶属度为1，即=1；当强度为“强”时，则隶属度为0.8，即；当强度为“没有”时，则认为隶属度为0.01，即；于是可以确定出，，，。将其代入（6）式可得隶属函数；（5）经计算则强度集{很强,强,较强,稍强,不强}的量化值为（1，0.9126，0.8，0.5245，0.01）。利用此量化值对影响因素进行赋权处理结果见表4；表4影响因素的权值表影响因素背靠背有比赛连续3场及以上客场连续3场及以上强队赋予值很强强比较强隶属值10.80.9126归一后权值0.370.290.345.1.5建立利弊数量指标综合考虑以上影响因素，可以建立赛程对球队利弊的数量指标——利弊指数，记为S；（6）其中为某球队第个影响因素值，为第个影响因素权重。利用表3，建立各球队各影响因素值矩阵：其中为第个球队第个影响因素值。取表4归一后的权向量：则赛程对每支球队利弊指数为：(7)则的值越大表示赛程对球队越不利，反之则越有利。利用Matlab软件计算，将计算的结果进行从小到大排列，结果见表5；表5赛程对每支球队利弊指标组合权向量表名次球队名次球队1凯尔特人0.092516马刺0.46532骑士0.16517湖人0.47533魔术0.222818尼克斯0.48854火箭0.230919小牛0.50625活塞0.23752076人0.50846奇才0.257521步行者0.527公牛0.288822山猫0.58098热火0.303823国王0.58769勇士0.306924快船0.599210掘金0.315325雄鹿0.638811猛龙0.321626爵士0.638812开拓者0.440327太阳0.645313篮网0.447528黄峰0.768814灰熊0.448229老鹰0.815315超音速0.453730森林狼0.8555.2问题二赛程的编制是很难确保对每支球队都是公平的，因为在编制的过程只能考虑主要的影响因素，所以对于球队而言利弊是不可能完全一样，即球队与球队之间在利弊方面存在一个量化差值，表1.4.1（赛程对球队利弊主影响因素的组合权向量表）正是为了反映出这一量化差值，分析表中的数据可得：每支球队的值都存在差异（量化差值），但从总体上看值波动不会很大，表明2008～20XX年的赛程安排对于球队而言是比较公平的。火箭队的值名列第四，表明2008～20XX年的赛程安排对火箭队比较有利的。其中最有利的是凯尔特人队，最不利的是森林狼队。5.3问题三模型的建立与求解5.3.1综合分析2007～20XX年的赛程安排和2008～20XX年的赛程安排，得出以下结论；根据资料得知，赛3场和赛4场的球队选取是随机的，所以对阵双方实力有悬殊的，也有接近的，无固定规律可寻。同部每支球队与另外两个区（不包括自己所在的区）的4队之间进行3场比赛，而且每个区正好各2队。5.3.2笔者认为在一般情况下实力悬殊的比赛精彩程度底于实力相当的比赛。所以考虑到比赛的观赏性和赛程的公平性，认为从总体上来说实力悬殊很大的球队之间尽可能少打赛3场，而实力相当的比赛尽可能多打赛4场。现以东部的东南区对大西洋区和中部区比赛3场的队伍选取为例进行设计。根据结论1，计算出东南区的球队对大西洋区和中部区的实力差的绝对值矩阵为：其中表示东南区第个球队的胜率,表示大西洋区第个球队的胜率,表示中部区第个球队的胜率。引入0-1变量和，若选取东南区球队和大西洋区球队比赛3场，记=1，若选取东南区球队和大西洋区球队比赛4场则记=0，若选取东南区球队和中部区球队比赛3场，记=1，若选取东南区球队和中部区球队比赛4场则记=0。根据结论2，和应该满足以下的约束条件:,,,,当选取东南区球队和大西洋区球队比赛3场或选取东南区球队和中部区球队比赛3场则两个球队间的差值为和于是该问题的目标函数为：综上，这个问题的0-1规划模型可写作：（8）根据题目所给的附录2（2007-20XX年NBA的赛绩）计算出东南区每个球员对大西洋区每个球员的实力差矩阵和东南区每个球员对中部区每个球员的实力差矩阵：利用lindo软件对0-1规划模型进行求解，求解程序及具体结果见附录1，表6为整理后的数据；表6魔术奇才老鹰山猫热火凯尔特人44334猛龙4443376人44343蓝网33444尼克斯33444活塞44433骑士44433步行者43344公牛33444雄鹿34344同样利用此模型对其它两个区的选择进行计算，得到结果见附录2。因为西部的选择原则和东部一样，所以不进行具体的排列。5.3.3对所设计的选队方法进行评价利用lindo软件求解的结果显示实力差最大值为=4.758利用Z对赛程进行评价，首先根据题目所给的附录1（2008-2009赛程安排）统计出东南区球队和中部区球队比赛3场和东南区球队和中部区球队比赛3场的安排表，见表3.2表7魔术奇才老鹰山猫热火凯尔特人43434猛龙4344376人34344篮网34434尼克斯44343活塞34344骑士34434步行者43443公牛44334雄鹿43443根据结果容易计算出东南区的每个球队对大西洋区和中部区每个球队赛3场的实力差之和=3.156。=4.758-3.156=1.602>0显然2008-2009赛程计算出来的值小于利用0-1规划计算所得的值，所以在考虑到观赏性和公平性的角度下，利用0-1规划计算所得的结果显得更为合理。六.模型的评价优点：赛程对球队的利弊影响的稳定性是不确定的，具有模糊性。本文讨论了赛程对球队的利弊影响的主要因素并进行了定量分析，使用隶属函数对影响因素进行赋权处理，能够较好的反映赛程对球队的利弊影响的实际情况，是一种实际可行的方法，值得推广应用。缺点：在讨论确定赛程对球队的利弊影响的主要因素时有一定的局限性和一定的主观性。七．参考文献[1]NBA赛程的安排表[OL]./nbaindex.html.[2]韩中庚，数学建模方法及其应用，北京：高等教育出版社，2025.[3]姜启源，数学模型［Ｍ］，北京：高等教育出版社，2003.[4]谢金星，薛毅，优化建模与LIODO/LINGO软件，北京：清华大学出版社，2005.[5]拉克唐瓦尔德，数值方法和MATLAB实现与应用，北京：机械工业出版社，2004．八．附录附录1：lindo软件0-1规划程序max0.171x11+0.281x12+0.354x13+0.415x14+0.622x15+0.134x21+0.024x22+0.049x23+0.11x24+0.317x25+0.146x31+0.036x32+0.037x33+0.098x34+0.305x35+0.219x41+0.109x42+0.036x43+0.025x44+0.232x45+0.354x51+0.244x52+0.171x53+0.11x54+0.097x55+0.086y11+0.196y12+0.269y13+0.33y14+0.537y15+0.085y21+0.025y22+0.098y23+0.159y24+0.366y25+0.195y31+0.085y32+0.012y33+0.049y34+0.256y35+0.232y41+0.122y42+0.049y43+0.012y44+0.219y45+0.317y51+0.207y52+0.134y53+0.073y54+0.134y55subjecttox11+x12+x13+x14+x15=2x21+x22+x23+x24+x25=2x31+x32+x33+x34+x35=2x41+x42+x43+x44+x45=2x51+x52+x53+x54+x55=2y11+y12+y13+y14+y15=2y21+y22+y23+y24+y25=2y31+y32+y33+y34+y35=2y41+y42+y43+y44+y45=2y51+y52+y53+y54+y55=2x11+x21+x31+x41+x51=2x12+x22+x32+x42+x52=2x13+x23+x33+x43+x53=2x14+x24+x34+x44+x54=2x15+x25+x35+x45+x55=2y11+y21+y31+y41+y51=2y12+y22+y32+y42+y52=2y13+y23+y33+y43+y53=2y14+y24+y34+y44+y54=2endint50附录2：大西洋区：凯尔特人猛龙76人蓝网尼克斯魔术44434奇才44434老鹰34343山猫33443热火43343活塞44434骑士44433步行者33444公牛43344雄鹿34344中部区：活塞骑士步行者公牛雄鹿魔术00011奇才00110老鹰00101山猫11000热火11000凯尔特人00101猛龙0011076人00011蓝网11000尼克斯11000附录[2]NBA赛程的分析与评价摘要NBA是全世界篮球迷们最钟爱的赛事之一，而一个完整、对各球队尽可能公平的赛程是一件非常重要的事情。在本题中，我们通过建立数学模型对2008-2009新赛季常规赛的赛程安排进行了定量的分析与评价。在问题一中，为了分析赛程对某一支球队的利弊，我们考虑到下列因素：（1）：比赛时间间隔的均匀度：由于比赛时间是一定的，每一支球队所要打比赛的总场数也是一定的。比赛分配越均匀，球员才有足够的时间来休息调整，而如果连续的打比赛或连续休息都不是好的选择。（2）计算“背靠背”的个数：连续两天打比赛是对球员极大的挑战，球员体能将有极大的消耗。（3）连续地遭遇强手：这样也会严重消耗球员的体能，使球队处于疲劳状态，影响下面的比赛。（4）连续的客场比赛。而对以上四个因素的衡量，我们分别用（a）方差衡量时间间隔的均匀度：,并在Matlab中实现（见附录2）；(b)在Matlab中编程计算出各球队“背靠背”总数来衡量此因素（见附录3）；（c）用连续函数来衡量连续遭遇强队的指标：（见附录4）；（d）同样用连续函数表示连续的客场之旅：（见附录5）。最后我们用层次分析法，通过分析、计算及一致性检验给出四个因素的一个合理性数量指标，分别为：0.2907710.3056940.2003670.203168，并且将这些因素转化为数学公式：在问题二中，我们根据第一问的计算结果对30个队进行利弊的总排序，顺序见表（8），从而找出赛程对魔术队最有利，对森林狼队最不利，并可以分析出此次赛程的安排对姚明所在的火箭队也不利。对于问题三，我们通过对04—05，05—06…，08—09五年中，各球队的赛程安排进行分析，发现了NBA联盟对同部异区打三场或是四场比赛的安排是采取以五年为一个周期的特定模式来循环进行的,我们通过“钟盘”模型加以实现；同时我们另外给出了一种编排方法，得到的结果比NBA的实际编排结果均衡性更好、也易于实现。关键词：综合评价模型层次分析法方差矩阵变换(这篇摘要总的来说还是比较好的，不足之处是繁琐了一些，有些文字可以删除。)

1.问题的重述NBA是全世界篮球迷们最钟爱的赛事之一，姚易加盟以后更是让中国球迷宠爱有加。NBA共有30支球队，西部联盟、东部联盟各15支，大致按照地理位置，西部分西南、西北和太平洋3个区，东部分东南、中部和大西洋3个区，每区5支球队。对于2008-2009新赛季，常规赛阶段从20XX年10月29日（北京时间对于NBA这样庞大的赛事，编制一个完整的、对各球队尽可能公平的赛程是一件非常复杂的事情，赛程的安排对球队实力的发挥和战绩有一定的影响，本题要求我们用数学建模方法对已有的赛程进行定量的分析与评价：（1）为了分析赛程对某一支球队的利弊，要考虑那些因素，并且根据这些因素将赛程转换为便于进行数学处理的数字格式，并给出评价赛程利弊的数量指标。（2）按照1的结果计算、分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，并找出赛程对30支球队最有利和最不利的球队。（3）分析赛程可以发现，每支球队与同区的每一球队赛4场（主客各2场），与不同部的每一球队赛2场（主客各1场），与同部不同区的每一球队有赛4场和赛3场（2主1客或2客1主）两种情况，每支球队的主客场数量相同且同部3个区的球队间保持均衡。试根据赛程找出与同部不同区球队比赛中，选取赛3场的球队的方法。这种方法如何实现，对该方法给予评价，也可以给出你认为合适的方法。2.问题的分析我们经常会听到或看到球员、教练和媒体对NBA赛程的抱怨或评论，说明赛程的安排对球队实力的发挥和战绩有一定的影响，因此NBA赛程的安排中存在一定的不公平性与不合理性。问题一要求我们找出赛程安排对球队利弊的影响因素，并将赛程转换为便于数学处理的数字格式，最后给出评价赛程利弊的数量指标。（1）每一支球队的比赛时间和总场数是一定的，因此比赛的时间间隔应该越均匀越好，我们将此考虑为一个因素，用方差对其进行定量描述，此过程在MATLAB中实现。（2）“背靠背”是指连续进行两场的比赛，这种对阵模式对球员的体能有很大的要求尤其是客场的“背靠背”，我们以每一支球队“背靠背”的总数作为衡量此因素的指标，通过数据处理，我们在Matlab中实现了此因素的数量化（见附录3）。（3）如果一支球队连续地遭遇强手，体能势必会有很大的消耗，进而影响下面的比赛，所以这也是一个不容忽视的因素，而要描述这一特性，我们构造出一个连续函数，当取值越大时（即连续对阵强手的强度越大时），的值越接近1，以此作为这一因素的数据衡量，此过程在Matlab中实现（见附录2）。（4）连续的客场比赛，对球员的体能将是另一个严峻考验，我们同样用一个函数来描述这一因素，，原理同（3），当取值越大时，（即连续客场作战次数越多时），的值越接近1，我们通过Matlab程序得到了这一因素的数据衡量（见附录4）。最后我们用层次分析法给每一个因素一个权重作为评价赛场利弊的数量指标，并将其转化为数学公式。对于问题二，我们根据第一问的计算结果直接对30个队的赛程安排情况进行一个利弊排序，从而找出30支球队中赛程安排最有利和最不利的队伍，并且具体分析了对姚明所在火箭队的影响。问题三共分为3小问：（1）是要根据找出同部不同区比赛选取赛三场球队的方法，我们从NBA官网下载到从04年到09年这五年NBA各球队的赛程安排，并筛选出08—09赛季与同部不同区要打三场比赛的球队，并以此往前推，我们发现NBA联盟对采用一定规律且以五年为周期循环的方法安排，并给出实现方法；（2）是要评价该方法；（3）是要给出一种我们认为更合理的方法。3.模型的假设（1）赛程自设定之日起将不再改变。（2）而对于时差、气候、路程、主客场造成的心理影响及节假日有无比赛安排等因素我们不予考虑。（3）由于交通日益发达，旅途舒适度上升，所以赛程安排中的旅途问题我们不予考虑。（4）对球队强弱的衡量，我们以30支球队的综合实力排行榜为据（从NBA中国官方网站获取）。在连续遭遇强队这一因素中，我们以实力排行榜前10名作为强队。“背靠背”是指连续两场对阵，不分主客场的区别。连续的客场之旅是指连续两场或以上的比赛是客场作战。（8）我们说的时间间隔是指两场比赛的时间之差，即后一场比赛的时间减去前一场比赛的时间。（9）题目中缺失的数据对我们的分析不造成影响，我们以NBA中国官方网站数据为标准。4.符号的说明表示球队编码表示两场比赛之间的时间间隔表示每只球队的比赛总场数即82表示比赛持续的总天数即170天表示球队两场比赛之间的时间间隔表示球队所有比赛时间间隔的方差表示球队在比赛中遭遇“背靠背”的次数表示球队在一次连续遭遇强手的比赛中，所遇到的强手的个数表示表示在82场比赛中球队连续遭遇强手的次数表示球队遭遇强手的连续性表示球队在一次连续的客场之旅中，转换场地的次数表示在82场比赛中球队连续遭遇客场之旅的次数表示球队遭遇客场之旅的连续性表示比赛时间间隔在总因素中所占的权重表示“背靠背”作战的次数在总因素中所占的权重表示连续遭遇强手的连续性在总因素中所占的权重表示连续客场之旅的连续性在总因素中所占的权重表示球队时间间隔均匀度归一化后的数值表示球队“背靠背”作战次数归一化后的数值表示球队连续遭遇强手的连续性归一化后的数值表示球队连续客场之旅的连续性归一化后的数值表示赛程安排对球队的总影响，是评价利弊的总指标5.模型的建立与求解5.1对问题一的模型建立与求解在分析赛场对某一支球队的利弊时，我们考虑道四个因素。即比赛时间间隔的均匀度、“背靠背”、连续地遭遇强手和连续的客场之旅。根据这些因素将赛程转换为便于进行处理的数字格式如下：因素一：比赛时间间隔的均匀度每一支球队都有82场比赛，而两场比赛之间的时间间隔我们用后一次比赛的时间减去前一次比赛的时间。我们汇总了30支球队每两场比赛之间的时间间隔，见附录（1）。计算公式如下：而平均时间间隔为,计算结果为2.1。用方差来描述每只球队赛程时间间隔的均匀度：30支球队的方差计算结果如下表（1）所示：表1按方差排名球队名称方差值无量纲化后的值1活塞0.69150.0261948692开拓者0.69640.0263804873魔术0.74090.0280662014勇士0.76060.0288124615雷霆0.76060.0288124616火箭0.79520.0301231527小牛0.79520.0301231528热火0.80010.030308779公牛0.810.03068379410凯尔特人0.81940.03103987811爵士0.82480.03124443612步行者0.82980.03143384213尼克斯0.82980.03143384214湖人0.83470.0316194615马刺0.83960.03180507816奇才0.83960.03180507817骑士0.8940.03386581718太阳0.90880.03442645919雄鹿0.91860.03479769520山猫0.91860.03479769521黄蜂0.92850.03517271922猛龙0.93350.03536212623灰熊0.93350.03536212624森林狼0.93840.03554774425老鹰0.9730.03685843426篮网0.99270.0376046942776人1.07170.04059731128快船1.07170.04059731129掘金1.08650.04115795330国王1.16060.043964952用matlab作图如下：因素二：“背靠背”作战次数连续两天打比赛，我们称为“背靠背”。由附录（1）我们可以知道：比赛时间间隔为1就是一次“背靠背”。通过数1的个数，我们得到每支球队打“背靠背”的次数，并将其无量纲化。结果用下表（2）来表示：表2按“背靠背”利弊排序球队名称“背靠背“次数无量纲化后数值1勇士150.0260869572凯尔特人160.0278260873开拓者160.0278260874活塞160.0278260875魔术160.0278260876小牛160.0278260877猛龙170.0295652178超音速170.0295652179马刺180.03130434810太阳180.03130434811奇才180.03130434812热火180.03130434813尼克斯180.03130434814湖人190.03304347815骑士190.03304347816黄蜂200.0347826091776人200.03478260918火箭200.03478260919爵士200.03478260920快船210.03652173921掘金210.03652173922老鹰210.0