人教版八年级上册数学教案 第十四章 整式的乘法与因式分解

第十四章整式的乘法与因式分解

14.1整式的乘法

14.1.1同底数幕的乘法

©教室目标

1.通过计算、观察,理解同底数基的乘法法则.

2.会运用法则，熟练地进行同底数惠的乘法运算.

阅读教材P95~96“探究及例1”，完成下列问题.

1.同底数塞相乘,底数不变,指数相加,即a-a=a(^(m,n都是正整

数).

2.计算：

(1)52X5=5X5X5X5X5=5⑸;

(2)32X3-3X3X3X3X3X3=3(-;

(3)a,a-(a*a*a)•(a*a*a*a)=a(2);

(4)103X105=10(-;

(5)(-2)10X(-2尸=(-2)、

(6)bm•b'n+1=b2m+1.

®典例剖析

【例1】(教材P96例1)计算:

⑴X?・X5；

1解答)X2•x5=x2+5=x7.

⑵a,ab;

【解答)a-a6=a,+6=a7.

温馨提示:a=a：不要漏掉单独字母的指数1.

⑶(-2)X(-2尸X(-2>;

(解答)(-2)X(-2)4X(-2>=(-2)1+4+3=(-2)J256.

(4)x'n-x3m+1.

〔解答)+1.

()从三方面正确理解“同底数幕的乘法法则”：

⑴底数必须相同；

⑵相乘时,底数不能发生变化；

⑶指数相加的和作为结果幕的指数.

【例2](教材P96例1的变式)计算：

(1)-X6•(-X)10;

〔解答)原式=七6♦X^-X2

〔)把不同底数幕转化为同底数幕时要注意符号的变化.

⑵(a+2)2・(a+2)3;

〔解答)原式=(a+2)2三(a+2”.

()当底数为一个多项式时，把这个多项式看成一个整体.

(3)a"'•a,ap.

1解答)原式=龈？

〔)若三个或三个以上的同底数幕相乘,则同底数幕的法则同样适

用.

【跟踪训练1】(《全科王》14.1.1第一课时T3)计算:

⑴a•a9;

⑵㈢，㈢「

(3)m•m3•m1;

(4)(~b)2,(~b)3•(-b)5.

解：(1)原式=a?

(2)原式=(-1)5.

(3)原式初s.

(4)原式=b1

【例3](教材补充例题)已知a=2,ay=3(x,y为整数)，求a",的值.

〔解答)ax+y=ax•ay=2X3=6.

〔)同底数基的乘法法则的逆用：

(1)法则的逆用：a"』=amn(m,n都是正整数)从右向左为amtn=am-an(m,n

都是正整数)，以此类推apt-+q=ap....aYp,…，q都是正整数).

(2)逆用的条件：当累的指数是和的形式时一，可考虑变为同底数基的乘

法,结合已知条件灵活变形,使计算简便.

【跟踪训练2】(《全科王》14.1.1T6)已知4=8,4y=32,求x+y的

值.

解：x+y=4.

®巩固训练

1.计算a-£结果正确的是(C)

A.aB.a2C.a3D.a1

2.下列各式中，计算正确的是(B)

A.m:1,mo=2m10B.m1,m-ms

C.m：i•m-m9D.m6+mh=2m12

3.已知a?-]"的值为四

5.计算:

(l)-x2•(-)：，•(n-m),;

(3)3X3-X9+)8.

⑶原式=3,求此长方形的面积及周长.

解:根据长方形的面积公式得4.2X10'X2X10=8.4X108(cm2).

根据长方形的周长公式得

4.2X101X2+2X101X2=8.4X10'+4X10=12.4X10=1.24X105(cm).

口课堂小结

1.本节课学习了哪些主要内容？

2.同底数塞的乘法的运算性质是怎么探究并推导出来的？在运用时要

注意什么？

14.1.2幕的乘方

®教茎目标.

1.通过计算、观察,理解幕的乘方法则.

2.会运用法则，熟练地进行幕的乘方的运算.

■预习导学

阅读教材P96~97“探究及例2”，完成下列问题.

1.募的乘方,底数不变,指数相乘,即(a“)n=a(而(m,n都是正整数).

2.计算：

(1)(52)3=52X52X52=5(§);(2)(an)2=an-a'^a^;

(3)(102)4=10^;(4)(x2)3=/.

国典例剖析

【例1】(教材P96例2)计算：

(1)(103)5;⑵3)4;⑶。)2；(4)-(x4)3.

(解答)(1)(103)5=103X5=1015.

(2)(a4)4=a4x4=a16.

(3)(a)2=amX2=a2m.

(4)-(x,)3=-+l)看作一个整体与3相乘.

⑵Kx-y)于；

1解答)原式=(x-y”.

0把(x-y)看作一个整体进行累的乘方运算.

(3)[(,n,p都是正整数).

【跟踪训练1】(《全科王》14.1.2T4)计算：

⑴(10"

⑵(-成”；

(3)[(x3)2]6;

(4)(am+2)2;

⑸(-a?)?•a7.

解：(1)原式=102

(2)原式=-a?

(3)原式=".

(5)原式=a".

【例31(教材补充例题)若92,,=38,求n的值.

〔解答)依题意得92n=(32):即92n=9：

.*.2n=4,.*.n=2.

U-的乘方法则的逆用:am=(a1")"=(an)m(m,n都是正整数).

【跟踪训练2](《全科王》14.1.2T7)已知10=3,10=2,求103m,102n

和10.+2n的值.

解：10舐=(10'")3=33=27.

102n=(10")2=2=4.

103m+2n=i03raX102-27X4=108.

也巩固训练

1.计算(-4)2的结果是(D)

A.-a5B.a0

C.-a6D.a6

2.下列运算正确的是(D)

A.a,a-aB.2(a-b)=2a-b

C.(a3)2=a5D.a2-2a2=-a2

3.如果⑼)2=3匕那么n的值是$

4.已矢口am=9,an=2,贝ijara+2"的值为36.

5.计算：

(1)(-x2)3-x5;

⑵(yT+(y2)3・y2.

解:⑴原式T.

⑵原式=2月

6.(1)已知2X8xX1&=222,求x的值；

⑵已知(27〉2=3)求x的值.

解：⑴•.•2X8X><16X=2"3X+4X=21+7X=222,

：A+7x=22.

解得x=3.

(2)V(27X)2=36X=38,

/.6x=8.

解得xg

◎课堂少结

1•幕的乘方法则：④)三a"1(m,n都是正整数)，即基的乘方，底数不变，

指数相乘.

2.拓展：

(1)推广：［(aTF=aW(m,n,p都是正整数);

(2)逆用：an=(am)n=(an)m(m,n都是正整数).

14.1.3积的乘方

值教学目标

1.通过计算、观察,理解积的乘方的运算性质及其推导过程.

2.正确地运用积的乘方法则进行计算.

©预可导字

阅读教材P97〜98“探究及例3”，完成下列问题.

1.积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幕相乘,即

(ab)-⑥b⑥(n为正整数).

2.计算：

(1)(ab)2=(ab),(ab)=a•a•b,b=a('b⑵；

(2)(3b)4=(3b)・(3b)・(3b)«(3b)=3X3X3X3-b-b-b・b=3⑷b⑷=81b';

⑶(xy)5=x%%

(4)冬)*.

®典例剖析

【例1】(教材P97例3)计算：

⑴(2a)二(2)(-5b尸;(3)(xy2)2;(4)(~2x3)4.

(解答)⑴(2a)3=2,・a3=8a3.

(2)(-5b)3=(-5)3•b3=-125b3.

(3)(xy2)2=x2-(y2)2=x2y4.

⑷田)乜(-2)4・(X3”=I6X：

()积的乘方运算时的“三点注意”：

(1)当底数为多个因式时，易漏掉某些因式乘方；

(2)进行积的乘方时-，易忽略系数因数的“-”号；

(3)进行积的乘方时，易将系数直接与塞指数相乘.

【例2](教材P97例3的变式)计算：

(1)(-3aL，b3)1；

(解答)原式=(-3尸・(a2)4-(b3)4=81a8b12.

0积的乘方法则对于三个或三个以上因式的积的乘方仍然适用,

即(abcfbEMn是正整数).

⑵需)X(嘿).

10099

〔解答)原式二(21乂❼)x

10099999999

U逆用积的乘方法则anbn=(ab)n(n为正整数)可使计算简便.

【跟踪训练1】(《全科王》14.1.3T4)计算：

(1)(2ab)3;

(2)(-3yn)2;

(4)(-3X102)4.

解：(1)原式=2'-a3-b3=8a3bl

⑵原式二63)4.x4=81y2n.

⑷原式=(-3)"X(102)4=81X108=8.IX109.

【跟踪训练2]已知52n=a,4"=b,求102n的值.

解：4n=b,

.,.52n=a,22n=b,

.,.102n=(5X2)2n=52n•22n=ab.

®巩固训练

1.计算(ab)的结果是(C)

A.3abzB.ab6

C.a3b,D.a3b2

2.计算(-2a2b”的结果是(B)

A.-6a6b3B.-8a6b3

C.8a6bD.-8a5b3

3.若xn=4,yn=9,贝ij(xy)11喳

4.计算：

(1)(-2x3y2z)3;

解:原式

(2)(3a2)3+(a2)2•a2;

解:原式=28a6.

(3)a,a3•a4+(-a2)'+(-2a4)2.

解:原式=6a)

5.已知a3M=2,P=3,求3"•bn)6-(a)4-b"・a2m・b2n的值.

解：原式=M2'6"2叫b?"

=(『)"・(b3n)2-(a3m)2-b3n,

将a3m=2,b3n=3代入，原式=16X9-4X3=132.

色课”结

1.积的乘方法则：(ab)n=ar'b"(n为正整数)，即积的乘方,等于把积的每

一个因式分别乘方,再把所得的累相乘.

2.拓展：

(1)推广:(abc)n=aWV(n是正整数);

(2)逆用：aE=(ab)n(n为正整数).

14.1.4整式的乘法

第一课时单项式与单项式相乘

。教要目.标.

1.理解单项式与单项式相乘的法则.

2.运用单项式与单项式的乘法法则进行计算.

®预习导学

阅读教材P98〜99”思考及例4”，完成下列问题.

1.单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幕分别相乘,对于只在

一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.

2.计算：

(1)2xy,3xyz=(2X3),(x•x)(y•X)•z=6x2y'z;

(2)(2a)',(-3a2b)=4a~,(-3a2b)=[4X(-3)][a'"),a⑵],b=-12a;b;

(3)3x2y,(-2xy3)=-6x3y';

(4)(3x2y)3,(-4x)=T08x'y[

®典例剖析

【例1】(教材P98例4)计算：

(1)(~5a2b)(~3a);(2)(2x)3(~5xy2).

(解答)(1)(~5a2b)(-3a)=[(-5)X(-3)](a2,a),b=15a3b.

(2)(2x)3(­5xy2)=8x3,(-5xy2)=[8X(-5)](x3•x)•y2=-40x4y2.

0单项式乘单项式的“三点注意”：

(1)在计算时,应先确定积的符号；

(2)按计算顺序进行；

(3)不要丢掉只在一个单项式里含有的字母.

【例2】(教材补充例题)计算：

(1)3ab'c,2a2b•(-abc2)3;

〔解答)原式=3解%•2a2b,(-a3b3c6)=-6a6b6c7.

U在混合运算中:①先算乘方,再算乘除,最后算加减;②有同类项

的一定要合并同类项，使结果最简.

(2)-6x2y,(a-b)3,1xy2,(b-a);

〔解答)原式=-6x?y•|xy2•(a-b)*•(a-b)2=-2x:iy:i(a-b)\

0将(a-b)看作一个整体,一般情况下选择偶数次塞变形符号简单

一些.

【跟踪训练】(《全科王》14.1.4第一课时T13)计算：

(1)(-2x2y)2•(-3xy);

⑵(-gb)•|ac2;

⑶(一京2y”・3xy2・(22n.(n2(y-x)2.

解：(1)原式=-式x5yj

(2)原式=本仅2.

⑶原式=Tn：'(x-y)】

®巩固训练

1.计算da?-/的结果是(A)

A.-3a5B.3a6

C.-3a6D.3a5

2.下列运算中，正确的是(C)

A.(-a)2・(a3)2=-a8

B.(-a)(~a3)2=a7

C.(-2a2)3=-8a6

D.(ab2)2,a2b=a3b5

3.若5a""b2与3a^bn的积是15ab,贝n'"=8.

4.若单项式-6x2y"与权Sy?是同类项，则这两个单项式的积是-3乂什.

5.计算:

(1)3a•a3-(2a")2;

(2)2x6y2•x3y+(-25xsy2)(~xy);

(3)(-2a2)•(-ab2)3・2a2b(

解：⑴原式=Y.

⑵原式=27xV.

(3)原式=4a7bI

6.先化简，再求值：2x2y-(-2xyT+(2xy)3•(-xy2)2,其中x=4,y=±

4

解:原式=-2x?y•8x3y6+8x3y3,x2y--16x5y7+8x5y7=-8xby7.

当x=4,丫三时,原式=q

42

@课邕小缜

单项式乘单项式的“三点规律”：

(1)利用乘法交换律、结合律转化为数与数相乘、同底数幕与同底数

塞相乘的形式,单独一个字母照抄；

(2)不论几个单项式相乘,都可以利用这个法则；

(3)单项式乘单项式的结果仍是单项式.

第二课时单项式与多项式相乘

口教学目标

1.理解单项式与多项式相乘的法则.

2.运用单项式与多项式的乘法法则进行计算.

@预百导手

阅读教材P100“例5”,完成下列问题.

1.单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所

得的积相加.

2.计算：

(1)5a(aL-b)=5a,(记)+5a,("b)=5a'-5ab;

(2)(-2x)(x2-3x)=(-2x),3)+(-2x),(-3x)=~2x:i+6x2;

(3)3a(a-l)=3a2-3a;

(4)(-2a2)(3ab-5ab3)=-6ab2+10a3b3.

®典例剖析

【例1】(教材P100例5)计算：

(1)(-4x2)(3x+l);

(2)(|ab"-2ab),|ab.

〔导引)把单项式与多项式相乘的问题转化为单项式与单项式相乘

的问题.

【解答)(1)(-4x2)(3x+l)=(Mx?)•3x+(-4x2)X1=(-4X

3)(x2・x)+(-4x2)=-12X3-4X2.

(2)(-ab2-2ab),-ab=-ab',-ab+(-2ab),-ab=-a2b3-a2b2.

323223

【例2](教材补充例题)先化简，再求值:X2(3-X)+X(X2-2X)+1,其中

x=3.

[解答)原^=3X2-X3+X3-2X2+1=x2+1.

当x=3时,原式=32+1=10.

1)所谓的化简即去括号、合并同类项.

【跟踪训练】(《全科王》14.1.4第二课时T6)计算：

(1)-6a,(-1a2-1a+2);

(2)(5mnL-4m:;n)(-2mn);

(3)x2(x-1)-x(x?+xT);

(4)-2a2(1ab+b2)-5ab(|a--ab).

解：⑴原式=3l+2a2-12a.

(2)原式=TOm2n3+8m3n-

(3)原式=-2x?+x.

(4)原式=-32必+3a2b2.

色巩固训练

1.计算2a(a?7)的结果是(A)

A.2a:-2aB.2a3+a

C.2a+2aD.a3+2a

2.计算(Yn?)・(3m+2)的结果是(C)

A.-12m:!+8m2B.12m3-8m2

C.-12m：!-8m2D.12m3+8m2

3.一^^三角形的底边为4m,高为m+4n,它的面积为2m，+8mn.

4.计算：

(1)(2xy2-3xy)•2xy;

(2)-x(2x+3x-2);

(3)-2ab(ab-3ab2-1).

解：(1)原式=2xy?•2xy~3xy,2xy=4x2y3-6x2y2.

(2)原式=-x,2x+(-x)•3X2+(-X)•(-2)=-2X2-3X3+2X.

⑶原式=-2ab•ab+(-2ab),(-3ab°)+(-2ab),(-1)=-2ab+6ab+2ab.

5.先化简，再求值：32(222-42+3)-222(32+4),其中a=-2.

解:原式=-20a2+9a.

把a=-2代入上式得原式=-20X4+9X(-2)=-98.

@课堂小弟

单项式与多项式相乘的理论依据是乘法的分配律;单项式与多项式相

乘,结果是一个多项式,其项数与因式中多项式的项数相同；计算时都要注

意符号问题，多项式中每一项都包括它的符号，同时要注意单项式的符号.

第三课时多项式与多项式相乘

口教学目标

1.理解多项式与多项式相乘的法则.

2.运用多项式与多项式的乘法法则进行计算.

@预刊导手

阅读教材P100101”问题3和例6”，完成下列问题.

1.多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的

每一项,再把所得的积相加.

2.计算：

(1)(a-4)(a+10)=a•a+a•10+(-4)•a+(-4)•10=^+6^240;

(2)(x-1)(x-2)=x•x+x,(-2)+(T)•x+(T),(^2)=x2-3x+2;

(3)(xy+1)(xy-1)=xy,xy+xy,(-1)+1•xy+1,(21)=xV-l;

(4)(2a+l)(2a+l)=2a•2a+2a•1+1•2a+l•l=4a2+4a+l.

®典例剖析

【例1】(教材P101例6)计算：

(1)(3x+l)(x+2);(2)(x-8y)(x-y);

(3)(x+y)(x2-xy+y2).

(解答)(1)(3x+l)(x+2)=3x•x+3x•2+1•x+1X

2=3x"+6x+x+2=3x'+7x+2.

(2)(x-8y)(x-y)=x2-xy-8xy+8y2=x2-9xy+8y2.

(3)(x+y)(x2-xy+y2)=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3=x3+y3.

0多项式与多项式相乘需注意：

(1)相乘时,按一定的顺序进行,必须做到不重不漏；

(2)多项式与多项式相乘,仍得多项式,在合并同类项之前,积的项数

等于原多项式的项数之积；

(3)相乘后,若有同类项,则合并同类项.

【跟踪训练1】(《全科王》14.1.4第三课时T6)计算：

(1)(x-2y)(x+y);

(2)(2a-3b)(3a+2b);

⑶(y+l)2;

(4)(2x-3)(3X2-2X+1).

解：(1)原式=x，-xy-2yl

(2)原式=6a?-5ab-6bl

(3)原式=y?+2y+L

(4)原式=6x'-13x2+8x-3.

【例2](教材补充例题)先化简,再求

值：(x-2y)(x+3y)-(2x-y)(x-4y),其中x=T,y=2.

1解答)原式=x?+3xy-2xy-6y?-(2xL8xy-xy+4y?)

=x2+3xy-2xy-6y2-2x2+8xy+xy-4y2

=-x2+10xy-10y2.

当x=T,y=2时，原式=—(T)2+10X(-1)X2-10X22=~61.

〔)第二个多项式与多项式相乘的结果先用括号括起来,再去括号,

这样避免出现符号问题,乘完要合并同类项.

【跟踪训练2】(《全科王》14.1.4第三课时T16)计算:

已知|22+3卜7|+(2-96+7)2=0,求(1(12_2(2匕+匕2)(la+b)的值.

3b

解:由题意得产0t;7,解得R=:

(a-9b=-7,lb=1.

原式」a'+b：—x2>13=2.

88

®巩固训练

1.计算(x+l)(x-2)的值为(A)

A.X2~X-2B.X2+X~2

ex?-的值是(C)

A.-2B.2C.1D.-1

3.若多项式乘法(mx+8)(2-3的值为12.

4.计算：

(1)(2a-3b)(a+2b)-a(2a-b);

(2)(x+7)(x+5)-(x+1)(x+5).

解：(1)原式=2ab-6b：

(2)原式=6x+30.

5.解不等式式3x+4)(3x-4)>9(x-2)(x+3).

解：不等式整理得9X2-16>9X2+9X-54,

移项、合并同类项得9x<38,

解得x<^.

6.如图,某市区有一块长为(3a+b)米,宽为(2a+b)米的长方形地块,现准备

进行绿化，中间的一边长为(a+b)米的正方形区域将修建一座雕像,则绿化

面积是多少平方米?并求出当a=5,b=3时的绿化面积.

解:(3a+b)(2a+b)-(a+b)(a+b)=5a2+3ab.

当a=5,b=3时,5a2+3ab=5X52+3X5X3=170.

答:绿化面积是(5a?+3ab)平方米.当a=5,b=3时的绿化面积是170平方米.

@课堂小结

多项式与多项式相乘时,必须做到不重不漏,并注意合并同类项.

第四课时同底数塞的除法

@教学目标

1.掌握同底数塞的除法运算法则，能应用法则进行计算.

2.了解零指数基的意义,能计算含有零指数幕的算式.

年预习导学

阅读教材P102〜103“例7”,完成下列问题.

n(

1.同底数塞相除,底数不变,指数相减,即a4-a=a^(aWO,m,n都是

正整数，并且m>n).

2.任何不等于0的数的0次塞都等于1,即a°=l(a^O).

3.计算：

(1)a64-a=a^;

(2)(-1)°=1.

®典例剖析

【例1】(教材P103例7)计算:

(l)x84-x2;(2)(ab)34-(ab)2.

［解答)(l)x8^x2=x8-2=x6.

(2)(ab)=(ab)\(ab)52=(ab)3=a3b3.

0运用同底数事的除法法则需注意：

⑴被除式与除式的底数必须相同,且不为0；

(2)指数相减不要错用为除；

(3)有些题目从表面上看不能用同底数幕的除法法则，但通过适当变

形可化为同底数基相除的形式；

(4)注意法则的逆运用，即a^a^a11,当塞指数是差的形式时可考虑

化为同底数幕相除.

【跟踪训练1】(《全科王》14.1.4第四课时T3)计算：

(1)(~a)64-(-a)2;

⑵(-ab)°+(-ab)3;

(3)(x-y)54-(y-x)2.

解:⑴原式=(-a)3

(2)原式=(-ab$2b2.

⑶原式=(x-y)54-(x-y)'=(x-y)3.

【例2](教材补充例题)⑴计算：(3.14-n)°=l；

(2)当(2x-4)°=l时,x的取值范围是x^2.

U正整数指数幕与零指数幕的“两个区别”：

(2)二者底数的条件不同：正整数指数累的底数可以是任何实数,而零

指数累的底数不能为0.

【跟踪训练2】(《全科王》14.1.4第四课时T6)计算：(n

-1)°+|-2|=3.

【跟踪训练3】(《全科王》14.1.4第四课时丁12)已知&-5)*=1,

则整数x=0或4或6.

②巩固训练

1.墨迹覆盖了等式“x3UDx=x2(xW0)”中的运算符号，则覆盖的是

(D)

A.+B.-C.XD.4-

2.下列说法正确的是(D)

A.(n-3.14)°没有意义

B.任何数的0次事都等于1

C.(8X106)4-(2X109)=4X103

D.若(x+4)°=l,则x#-4

3.若(2aT)°=l,则a的取值范围是aW士

---2

4.已知am=2,an=4,贝lja3m_2n=|.

5.计算：

⑴(-m)-(-m)1;

(2)(a3)3-^a7;

⑶(-xT+(-x);

(4)(a-b)104-(b-a)3-i-(b-a)5.

解：⑴原式=(-m)'=m'.

⑵原式=a=a7=a)

(3)原式=x6：(-x)=-xL

(4)原式=(b-a)l04-(b-a)3-i-(b-a)5=(b-a)10-3-=(b-a)2.

◎课结

学生尝试总结:这节课你学到了什么？

第五课时整式的除法

1.掌握单项式除以单项式的运算法则及其应用.

2.掌握多项式除以单项式的运算法则及其应用.

@预习号要

阅读教材P103104“例8”，完成下列问题.

1.单项式相除，把系数与同底数基分别相除作为商的因式,对于只在

被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.

2.多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再

把所得的商相加.

3.计算：

(l)8a34-2a=(84-2)•a=)=食；

(2)12a2x：14-3axJ=4ax3;

⑶(6x'y+2xy-)4-2xy=6xy4-2xy+2xy24-2xy=3x2+y.

(4)(a2+ab)4-a=a+b.

®典例剖析

【例题】(教材P103例8)计算：

(l)28xy4-7x3y;

(2)-5a5b3c4-15a'b;

(3)(12a-6a2+3a)4-3a.

〔解答)(l)28x4y24-7x3y=(284-7)•x4-3•y2T=4xy.

(2)-5a5b3c4-15a'b=[(-5)4-15]a5-4b31c=-1ab2c.

(3)(12a'i-6a2+3a)4-3a=12a34-Ba-Ga'-i-3a+3a4-3a=4aJ_2a+l.

〔)单项式除以单项式需注意：

(1)系数相除作为商的系数,系数包括符号,应先确定商的符号；

(2)含有相同字母的部分按同底数塞的除法法则进行运算，即底数不

变，指数相减；

(3)单独在被除式中出现的字母不能漏掉,要连同它的指数直接作为

商的一个因式.

多项式除以单项式需注意：

(1)多项式除以单项式转化为单项式除以单项式；

(2)多项式是几项,所得的商就有几项；

(3)要注意商的符号，应弄清多项式中每一项的符号，相除时要带着符

号与单项式相除，注意符号的变化；

(4)注意运算符号.

【跟踪训练1】(《全科王》14.1.4第五课时T4)计算：

(l)2x2y3-r-(-3xy);

(2)10x2y34-2x2y;

(3)3x'y=(-|%y2).

解:⑴原式二-冷)

(2)原式=5y：

(3)原式

【跟踪训练2】(《全科王》14.1.4第五课时T7)计算：

(1)(12a3-6a2+3a)4-3a-1;

(2)(6x3y'z-4x2y3z+2xy3)4-2xy3.

解：(1)原式=4a?-2a.

(2)原式=3x?yz式xz+1.

色巩固训练

1.计算8a3彳(-2a)的结果是(D)

A.4aB.-4aC.4a2D.-4a2

2.计算aU+(ab)2的结果是(B)

A.a3B.a1C.a3bD.a'b

3.下面计算正确的是(C)

AA.x6—-2x二x3

B.(-x)h4-(-x)1=-x2

C.36a3b，14-9a2b=4ab3

D.(2X-3X2-X)4-(-X)=-2X2+3X

4.如图,一窗框形状由一个长方形和一个半圆组成,若要把实验室设计成

一个新的长方形形状,面积保持不变,且底边长仍为a,则高度应为b+-^-a.

5.计算：

(1)(x4y+6x3y2-x2y3)4-3x2y;

(2)[a(a+l)+(a-l)(a-l)-l]4-(-a).

解：(1)原式=$2+2*厂32.

(2)原式=(a2+a+a2-a-a+lT)4-(-a)=(2a2_a)4-(-a)=_2a+l.

金课堂小结

学生尝试总结:这节课你学到了什么？

14.2乘法公式

14.2.1平方差公式

也教竽目标

1.通过探索、归纳特殊形式的多项式乘法的过程,能推导出平方差公

式,并会运用平方差公式进行计算.

2.通过具体操作、归纳、推理，理解平方差公式的几何背景.

辱预习导芋.

阅读教材P107〜108内容,完成下列问题.

1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a2』2,即两个数的和与这两个数的差的积,

等于这两个数的平方差.

2.计算下列各式：

(1)(-2)=(m)2-(2)2=mM;

(3)(2x+l)(2x-1)=(2x)2-(1)2=4XM；

(4)(x+5y)(x-5y)=(x)2-(5y)2=x';-25y\

3.由图(1)到图(2),根据面积关系，可以得到(a+b)(a-b)=a2-b：

(1)(2)

®典例剖析

【例1】(教材P108例1)运用平方差公式计算：

(1)(3x+2)(3x-2);(2)(-x+2y)(-x-2y).

(导引)在⑴中，可以把3x看成a,2看成b,即

(3X+2)(3X-2)=(3X)2-22.

：t!tt：

(a+b)(a-6)=a2-If

在⑵中，可以把-x看成a,2y看成b,即

(—jr+2j>)(—jr—2^)=(—a;)2—(2j»)2.

fAAAAA

，，3J，，

(a+6)(a—b)=a2—b2

〔解答)(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)-22=9xM.

(2)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2.

()运用平方差公式计算时,要确定式子中的“a,b”，a是两个二

项式中相同的项,b是两个二项式中相反的项,结果是相同项的平方减去

相反项的平方.

【例2】(教材P108例2)计算：

(1)(y+2)(y-2)-(y-l)(y+5);

(2)102X98.

〔解答〕

(1)(y+2)(y-2)-(y-l)(y+5)=y2-22-(y2+4y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+l.

(2)102X98=(100+2)(100-2)=100-2=10000-4=9996.

()利用平方差公式计算两个绝对值较大的数相乘时,关键是将已

知数写成两数和与两数差的积的形式.

【跟踪训练】(《全科王》14.2.1T14)运用平方差公式计算：

(1)(-1a-b)(1a-b);

(2)(5x-3)(5x+3)-3x(3x-7);

(3)(3a?+或)(3a2-3)僦+沙；

(4)(x-3)(x-5)-2(x+l)(x-l);

(5)2-X.

解：⑴原式心az.

4

(2)原式=16x?+21x-9.

(3)原式=81/-工段.

16

(4)原式=-x?-8x+17.

(5)原式=1.

色巩固训练

1.下列能用平方差公式计算的是(B)

A.(-x+y)(x-y)B.(xT)(T-x)

C.(2x+y)(2y-x)D.(x-2)(x+1)

2.计算(2+x)(x-2)的结果是(D)

A.2-x2B.2+x2

C.4+x2D.X2-4

3.若三角形的底边长为2a+l,底边上的高为2a-1,则此三角形的面积为

(D)

A.4a2-1B.4a-4a+l

C.4a2+4a+lD.2a2--

2

4.399X401+1=160000.

5.当x=3,y=l时，代数式(x+y)(x-y)+y?的值是9.

6.运用平方差公式计算：

⑴(|x-y)(|x+y);

⑵(xy+1)(xyT);

(3)(2a-3b)(3b+2a);

(4)(-2-5b)(5b-2).

解:(1)原式=32-y2.

⑵原式=x2y2T.

(3)原式=4a?-耐.

(4)原式=(-2)2-(5b)2=4-25b2.

@课刎、结

利用平方差公式来计算某些特殊多项式相乘,速度快、准确率高，但必

须注意平方差公式的结构特征.

14.2.2完全平方公式

第一课时完全平方公式

口教学目标

1.类比平方差公式的推导过程,能利用乘方的意义与多项式的乘法法

则推导出完全平方公式,并会运用完全平方公式进行计算.

2.通过具体操作、比较,理解完全平方公式的几何背景.

⑧预习导..笑

阅读教材P109〜110内容,完成下列问题.

1.完全平方公式：(a+b)W+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b\即两个数的和

(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.

2.计算下列各式：

(1)(a+l)2=a2+2a+l;

(2)(m-3)2=m-6m+9.

3.用图中的字母表示出图中白色和灰色部分面积的和.

(a+b)Ja'+2ab+b；

®典例剖析

类型1运用完全平方公式计算

【例1】(教材P110例3)运用完全平方公式计算：

⑴(4m+n)2;(2)(y-|)\

〔解答)(1)(4m+n)2=(4m)2+2•4m•n+n2=16m2+8mn+n2.

⑵(y-，2=户2•y•；+(；)Jy,-y+：.

2224

()记忆完全平方公式的口诀:“首(a)平方,尾(b)平方,首(a)尾⑹

乘积的2倍在中央.”

【跟踪训练1】(《全科王》14.2.2第一课时T7)直接运用公式计

算：

(1)(2a+3b)2;

⑵(a-IT;

⑶

(4)(-|+3b)2.

解：⑴原式=4a?+12ab+9b2.

(2)原式=a2-2a+l.

(3)原式=x2+=x+土

216

(4)原式三-2b+9b2.

U(3)(4)两小题在计算中容易出现符号错误,类似

(-a-b)；(-a+b)?可作如下变形：(-a-b)2=(a+b)：(-a+b)2=(b-a)J(a-b)2.

【例2](教材P110例4)运用完全平方公式计算：

(1)1022;(2)99：

〔解答)(1)102=(100+2)=1002+2X100X

2+2=10000+400+4=10404.

(2)992=(100-l)2=100-2X100Xl+l2=10000-200+l=9801.

〔)利用完全平方公式计算一些数的平方时,关键是把底数拆成两

数和或两数差的形式.

【跟踪训练2](《全科王》14.2.2第一课时T9)运用完全平方公

式计算:

(1);

(2)99.82.

解：(1)原式=40401.

(2)原式=9960.04.

类型2完全平方公式的变形计算

【例3](教材补充例题)已知a,b都是正数,a-b=l,ab=2,则a+b等

于(B)

A.-3B.3C.±3D.9

1)常见的完全平方公式的变形有：

①a'+b二(a+b)"-2ab;

②2ab=(a+b)2-(a2+b2);

(3)a2+b2=(a-b)2+2ab;

④2ab=(a2+b2)-(a-b)2;

⑤(a-b)2=(a+b)2-4ab;

⑥(a+b)2=(a-b)2+4ab.

【跟踪训练3]已知(x+y)2=25,(x-y)2=16,贝Uxy的值为：.

4

金巩固训练

1.下列计算正确的是(C)

A.(x+y)2=x2+y2

B.(x-y)2=x2-2xy-y2

C.(x+1)(x-l)=x2-l

D.(x-DW-l

2.计算(2x-1)(1-2x)结果正确的是(C)

A.4x-lB.1-4X2

C.-4X2+4X-1D.4X2-4X+1

3.有一张边长为a的正方形桌面，因实际需要,需将正方形边长增加b,木

工师傅设计了如图的方案，该方案能验证的等式是(A)

A.(a+b)2=a2+2ab+b-

B.a2-b2=(a+b)(a~b)

C.(a-b)2=a2-2ab+b2

D.(a+2b)(a-b)=a2+ab+b2

4.已矢口a2+b*=5,ab=l,贝(a+b”=?.

5.运用完全平方公式计算：

(1)(5a+4b)2;

⑵(3-1)2；

(4)9.982.

解：⑴原式=(5a)?+2X5aX4b+(4b)2

=25a2+40ab+16b2.

⑵原式=(3x)2-2X3)X(T)+(-I)?

=4m2+4m+1.

(4)原式=(10-0.02)2

=10-2X10X0.02+0.022

=100-0.4+0.0004

=99.6004.

6.先化简，再求值：(x-y)?+(x+y)(x-y),其中x=l,y=2.

解:原式=x?-2xy+y2+x2-y2

=2x2-2xy.

当x=l,y=2时,

原式=2X12-2X1X2=2-4=-2.

@课堂小弟

利用完全平方公式计算某些特殊多项式相乘,速度快,准确率高，但必

须注意完全平方公式的结构特征.

第二课时添括号法则

口教学目标

通过类比去括号法则，理解并掌握添括号法则，并会用该法则进行相

关计算.

@预可导学

阅读教材Pill“例5”内容，完成下列问题.

1.添括号法则:a+b+c=a+(b+c);a-b-c=a-(b+c).

即:添括号时一,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号；

如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.

2.在括号里填上适当的项：

(1)a+2b-c=a+(2b~c);

(2)a-b-c+d=a-(b+c-d);

(3)a-2b+c+d=a-(2b-c-d);

(4)2x2+2y-2x+l=2x2+(2y-2x+l);

(5)2x+3y-4z+5t=-(-2x-3y+4z-5t)=+(2x+3y~4z+5t)=2x-(-3y+4z~5t

)=2x+3y-(4z~5t).

®典例剖析

【例题】(教材P111例5)运用乘法公式计算：

(1)(x+2y-3)(x-2y+3);(2)(a+b+c)2.

〔解答)(1)(x+2y-3)(x-2y+3)

=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]

=x2-(2y-3)2

=x'(4y2T2y+9)

=x2-4y2+12y-9.

(2)(a+b+c)2

=[(a+b)+c『

=(a+b)2+2(a+b)c+c2

=a2+2ab+b?+2ac+2bc+c2

=a2+b2+c"+2ab+2ac+2bc.

[)(1)当两个三项式相乘,且它们只含相同项与相反项时,通过添

括号把相同项、相反项分别结合，一个化为“和”的形式，一个化为“差”

的形式,可利用平方差公式.

(2)一个三项式的平方,通过添括号把其中两项看成一个整体,可利用

完全平方公式.

【跟踪训练】(《全科王》14.2.2第二课时T7)运用乘法公式

计算：

(1)(3a+b-2)(3a-b+2);

(2)(a+b-c)2;

(3)(-n).

解:(l)Jl^=9a2-b2+4b-4.

(2)原式=a?+2ab-2ac+b?-2bc+c,.

(3)原式=2+2mn-n：

®巩固训练

1.为了应用平方差公式计算(a-b+c)(a+b-c),必须先适当变形,下列各变

形中正确的是(D)

A.[(a+c)-b][(a-c)+b]

B.[(a-b)+c][(a+b)-c]

C.[(b+c)-a][(b-c)+a]

D.[a-(b-c)][a+(b-c)]

2.下列添括号错误的是(D)

A.3-4x=-(4x-3)

B.(a+b)-2a-b=(a+b)-(2a+b)

C.-x2+5x-4=-(x2-5x+4)

D.-a2+4a+a'i_5=-(a2-4a)-(a3+5)

3.添括号:x-y+5=x-(y-5).

4.已知a-3b=3,则代数式8-a+3b的值是5.

5.计算：

(1)(x-y-z)2;

(2)(2a+b+l)(2a+b-l).

解:⑴原式=[x-(y+z)]2=x：-2•x•(y+z)+(y+z)2=x2-2xy-2xz+y2+2yz+z2

=x3+yJ+z2-2xy+2yz-2xz.

(2)原式=(2a+b)2-l=4a2+4ab+b2-l.

®课堂小结

学生尝试总结:这节课你学到了些什么？

14.3因式分解

14.3.1提公因式法

@教学目标

1.了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系.

2.能正确找出多项式各项的公因式,会用提公因式法把多项式分解因

式.

3.通过类比、归纳,能利用因式分解的思想简化计算.

■预习导学

阅读教材P114〜115内容,完成下列问题.

类型1因式分解的定义

1.利用整式的乘法计算：

(l)x(x+l)=x2+b+mc.

2.把下列多项式写成整式的积的形式：

(1)x2+x=x((a+b+c).

3.把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项

式因式分解(或分解因式).

()整式的乘法与因式分解是两种互逆的变形,整式乘法的结果是

和差，因式分解的结果是积.

类型2公因式

各项都含有的一个公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.如：

(1)多项式2x2+6x，中各项的公因式是组；

(2)多项式x(a-3)+y(a-3)?中各项的公因式是立?

类型3运用提公因式法分解因式

一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将

多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫做

提公因式法.如:把多项式a2-4a分解因式,结果是a(a-4).

色典例剖析

【例1】(教材补充例题)下列各式从左到右的变形是因式分解的是

(C)

A.a2--=a(a二)

a

B.(a-3)(a+1)=a2-2a-3

C.a2-ab=a(a-b)

D.6a"b=3ab,2a

U判断因式分解注意：(1)必须是整式；(2)等号右边必须是乘积的

形式；(3)必须是恒等式.

【跟踪训练1】(《全科王》14.3第一课时T2)下列从左到右的变

形中是因式分解的有(B)

@x2-y2-l=(x+y)(x-y)-l;

②x：'+x=x(x2+l);

③(x-y)2=x2-2xy+y2;

④x?-9yJ(x+3y)(x-3y).

A.1个B.2个C.3个D.4个

【例2】(教材P115例1、例2变式)把下列各式分解因式：

(1)-3a-n)3+6(n-m)2.

(导引)(1)各项系数的最大公约数为3,相同字母为a,)2=(m-n)2,

所以把m-n看成一个整体,得到各项的公因式为2(m-n)2.

〔解答)(1)原式=-3a-n)2

=2(m-n)2[m(m-n)+3]

=2(m-n)2(m2-mn+3).

〔)用提公因式法分解因式的“四步法”：

(1)确定公因式；

(2)把多项式的每一项都写成含有公因式的乘积的形式；

(3)把公因式提到括号前,把每一项除公因式外的因式放到括号内，并

进行合并同类项；

(4)检查提公因式后的因式里面是否还有公因式，是否存在漏项的情

况.

【跟踪训练2】(《全科王》14.3.1T8)用提公因式法分解因式.

(1)3x3+6a3+6ma2-12ma;

(4)6p(p+q)-4q(p+q).

解:(1)原式=3x“l+2a(a2-2a+4).

(4)原式=2(p+q)(3p-2q).

【例3】(教材“练习”第3题变式)计算21X3.14+62X3.14+1.7

X31.4.

1导引)把1.7X31.4转化成17X3.14,这样每一项都含有3.14,

把3.14作为公因式提出.

1解答)原式二21X3.14+62X3.14+17X3.14

=3.14X(21+62+17)

=3.14X100

=314.

〔)在计算求值时一,若式子各项含有公因数,用提取公因数的方法可

使运算更简捷.

【跟踪训练3](教材“练习”第3题变式)16.9XJ+15.1X：能被4

88

整除吗？

解:V16.9X-+15.lX-=-X(16.9+15.1)=-X32=4,

8888

.••16.9"+15.1X9能被4整除.

88

@巩固训练

1.下列等式变形中属于因式分解的是(B)

A.a(a+2)=a?+2a

B.a2-b2=(a+b)(a-b)

C.m2+m+3=m(m+1)+3

D.a2+6a+3=(a+3)-6

2.把多项式a?-4a分解因式,结果正确的是(A)

A.a(a-4)B.(a+2)(a-2)

C.a(a+2)(