2024北京西城区高三一模数学试题及答案

2024北京西城高三一模学数2024.4本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知全集U（A）(2,3)=R，集合A={x|x3}，B={x|2≤x≤2}，则（B）(−,−2)A（C）[2,3)（D）(−,−（2）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+)上单调递增的是（A）y=x+x2（B）yx=（C）y=2x（D）y=|x|22(x−)6的展开式中，常数项为（3）在x2（A）（B）15（C）−（D）y=x4x（4）已知抛物线C与抛物线y2=C的准线方程是（A）x（C）y=−=−11（B）x=−21（D）y=−21a=t−，b=t+，c=t(2+t)，其中−1t0，则（5）设（A）（C）ttbacbca（B）cab（D）cba（6）已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则ca−b=()（A）1−（）（D）1（C）7−72+,−2xxxf(x)=f(x)（7）已知函数若存在最小值，则c的最大值为−x,0≤x.11（A）（C）（B）（D）18142第1页/共10页（8）在等比数列{n}中，an0．则“ann”是“1ann+1+30”的+0000（A）充分不必要条件（C）充要条件（B）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件f(x)=sinx+2x（9）关于函数f(x)①，给出下列三个命题：是周期函数；πy=f(x)②曲线关于直线x=对称；2f(x)[0,2π)上恰有3个零点．③在区间其中真命题的个数为（A）0（B）1（D）3（C）2（10）德国心理学家艾宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据y随时间t（小时）变化的y=1−0.6t0.27近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为趋势可由函数（参考数据：lg20.30，lg30.48）（A）2小时（B）0.8小时（D）0.2小时（C）0.5小时第二部分（非选择题共分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。z=+|z|=_______（）若复数z满足2i)+3i，则tan(+)tan(−)．（12）已知,(0,π)．使成立的一组,的值为=_______，(r0)交=_______．y2（13）双曲线M:x2−=的渐近线方程为_______；若M与圆O:x12+y2=r23于A,B,C,D四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则r_______．=（14）在数列{a}中，a=2,a=−3．数列{b}满足b=a−n(nN*)．若{n}是公差n12nnn1为1的等差数列，则{b}的通项公式为b=_______，a的最小值为_______．nnn（15）如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点P在正方形及其=2,=1，给出下列四个结论：内部运动，点Q在矩形及其内部运动．设第2页/共10页①存在点P,Q，使PQ=3；②存在点P,Q，使CQ//；③到直线和的距离相等的点P有无数个；1④若，则四面体体积的最大值为．⊥3其中所有正确结论的序号是_______．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（1614分）ABC−ABCAACCABAC，⊥==2，11111D为BC的中点．（Ⅰ）求证：AC//平面ABD；11（Ⅱ）若AC⊥，求二面角D−−A的余弦值．111（1713分）在中，atanBbsinA．=（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若a8=条件①：BC边上中线的长为21；2条件②：A=−；3条件③：b7．=注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．第3页/共10页（1813分）10608环数6环7环18环109环10环甲的射击频数乙的射击频数13243018241526210丙的射击频数2410假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的射击成绩相互独立．（Ⅰ）若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，说明理由；（Ⅱ）若甲、乙各射击2次，估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率；10Xi(i=2,3)10aaD(X)D(X)D(X)a{6,7,8,9}．321（结论不要求证明）（1915分）x22y2212已知椭圆G:+=1(ab0)的一个顶点为A(−2,0)，离心率为．ab（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）设OlGC,DC,Dlx=2=．EAC,AD分别与直线OE交于点M,N||||（2015分）1a已知函数f(x)=x+ln(ax)+xex．（Ⅰ）当a1时，求曲线=y=f(x)在点处切线的斜率；f（Ⅱ）当a=−1时，讨论f(x)的单调性；（Ⅲ）若集合{x|f(x)≥−有且只有一个元素，求a的值．第4页/共10页（2115分）对正整数m≥3,n≥6，设数列A:a,a,，i{0,1}(i=n．B是m行n列12的数阵，ij表示B中第i行第j列的数，ij(i=,m;j=,n)，且B同时满足下列三个条件：①每行恰有三个1；②1；③任意两行不相同．记集合{i|ab+ab+ab=0或3,i=m中元素的个数为K．1i12i2nin11001100110010（Ⅰ）若A0,0,0，B=10，求K的值；01p,qnpq)，Brpq1．（ⅰ）B能否满足mr？说明理由；=1（ⅱ）证明：K2(n−4n)．≥24（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）第5页/共10页参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40）（1）B（6）A（2）D（7）A（3）A（8）B（4）C（9）D（5）C（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25）ππ（）2（12）（答案不唯一）33（13）y=3x（15）①③④3（14）n−6−13三、解答题（共6小题，共85分）（16分）解：（Ⅰ）连接AB，设ABE，连接．=………1分111因为在三棱柱ABCABC中，四边形−AABB是平行四边形，11111所以E为1B的中点．………2分………3分因为D为BC的中点，所以//C．又因为C平面1D，平面1D，所以AC//平面D．………5分11（Ⅱ）因为C，ABAC，⊥⊥所以平面⊥AACC．1………6分1所以AA1．⊥又⊥，所以AB,,两两相互垂直．11如图建立空间直角坐标系A−xyz．………7分则(0,0)，1(2,2)，D0)，C(0,2,0)．所以(2,2)，AD110．==(,,)1ABm=2x+2z=设平面1D的法向量为m=(x,y,z)，则1即x+y=0.mAD=令x=−1，则y1，=z=1．于是m=(．………10分因为AC⊥平面AABB，11所以AC=(0,0)是平面AABB的一个法向量．………分………13分113m所以m,=．|m|3由题设，二面角D−−A的平面角为钝角，11第6页/共10页3所以二面角D−−A的余弦值为−．………14分113（17分）解：（Ⅰ）由atanBbsinA，得=asinB=bsinAB．………1分在中，由正弦定理得sinAsinB2sinAsinBcosB．=………3分因为sinA0,sinB0，12所以cosB=．………4分又0Bπ，………5分π所以B=．………6分3（Ⅱ）选条件①：边上中线的长为．设边中点为M，连接，则=21，4．………7分=在中，由余弦定理得AM2=AB2+BM29−2ABBMB，………分π即21=AB整理得2+16−8ABcos．32−4−5=0．解得5或==1………分1所以的面积为△ABC=sinB=103．………13分2选条件③：b7．=………7分在△ABC中，由余弦定理得b2=a2+c2−2acB，………9分π即72=82+c2−16c．3整理得c2−c+=0．解得c3或=c=5．………………13分分1=S=acsinB=63．当c3时，△ABC的面积为△ABC212=S△ABC=acsinB=103．当c5时，△ABC的面积为（18分）解：（Ⅰ）甲进入决赛，理由如下：丙射击成绩的总环数为264789542，++++=甲射击成绩的总环数为161789549．++++=因为549542，所以甲进入决赛．………3分第7页/共10页246025=9环”的概率可估计为；246025=“甲命中10环”的概率可估计为；301=“乙命中9环”的概率可估计为；60215601=“乙命中10环”的概率可估计为．………5分4所以这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率可估计为：212121113()2()2+()2()2+C21()2C21()=．………10分135452524100（Ⅲ）a7和8=………分（19分）a=2,c12=,解：（Ⅰ）由题设，………3分………5分aa2−b2=c.2解得a2=4,b=3．2x2y2所以椭圆G的方程为+=1．43（Ⅱ）由题设，直线l的斜率存在，设其方程为y=+m．m则E(2,2km),直线OE的方程为+y=(k+)x．………6分………7分2y=+m,得(4k2+x2+84m−12=0．+2由3x2+4y2=Δ=48(4k−m+22024k2+3．8由，得m4m−122设C(x,y)，D(x,y)，则x+x=−，xx=．………8分………9分1122122+124k+324k311+2直线AC的方程为y=(x+2)．11+2m联立直线AC和OE得(x+2)=(k+)x．221414(1+m)1+4k解得M===．………分m14k+(k+)(1+2)−124(2+m)同理可得xN=．24k+第8页/共10页(+m)(mx+4k)+(+m)(mx+4k)所以x+x=41221．………12分MN++(14k)(24k)因为(+m)(+4k)+(+m)(+4k)1221=2x+(4k2+m2)(x+x)+812122km(4m2−8(4k2+m2)8(4k2+=−+4k2+34k2+34k2+3=0，所以MxN0，即点M和点N关于原点O对称．+=||=||所以．………15分（20分）解：（Ⅰ）当a1时，=f(x)=x+x+xex，1x所以f(x)=1++x)e．+x………2分=+所以f2．所以曲线yf(x)在点=f处切线的斜率为2e+2．………4分（Ⅱ）当a=−1时，f(x)=x+ln(−x)−xex，f(x)的定义域为．(−,0)1x1x=+−x)exx)(+=+−ex)．f(x)1………6分1x−ex0，因为所以x(−,−时，f(x)0；x(−1,0)时，f(x)0．所以f(x)的单调递增区间为(−,−；单调递减区间为(1,0)．………分−91xex=++（Ⅲ）f(x)x)．a当a0时，f(x)的定义域为．(0,+)所以f(x)0，f(x)在(0,+)上单调递增．1a因为f()0，所以a0不合题意．………分当a0时，f(x)(−,0)的定义域为．因为x(−,−时，f(x)0；x(1,0)时，f(x)0．−所以f(x)的单调递增区间为(−,−；单调递减区间为(1,0)．−1ae所以f(x)max=f(=1+ln(−a)−．………13分1x1x1exex+1设g(x)=1+ln(−x)−，则g(x)=+=2，ex21e1e因为x(−,−)时，g(x)0；x(−,0)时，g(x)0，1e1e所以g(x)的单调递减区间为(−,−)；单调递增区间为(−,0)．第9页/共10页1e所以g(x)min=g(−)=1．1e所以集合{x|f(x)有且只有一个元素时a=−．………15分≥（21分）解：（Ⅰ）记t=ab+ab+．i1i12i2因为t=3,t=2,t=0，………3分………4分123K=