高数曲线凹凸与图形

高数曲线凹凸与图形定义.

设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称为I上的上凹函数;(2)若恒有则称连续曲线上内点的凹凸分界点称为拐点

.一、函数的凹凸与拐点为I上的上凸函数;自学定义，定理1、2.

第2页,共23页，2024年2月25日，星期天定理1*.(凹凸判定法)(1)在

I上则为I

上的上凹函数;(2)在

I上则为

I

上的上凸函数.证:利用一阶泰勒公式可得两式相加说明(1)成立;(2)设函数在区间I上有二阶导数证毕第3页,共23页，2024年2月25日，星期天例1.判断曲线的凹凸性.解:故曲线在是上凹的.说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,第4页,共23页，2024年2月25日，星期天例2.求曲线的拐点.解:不存在因此点(0,0)

为曲线的拐点.凹凸第5页,共23页，2024年2月25日，星期天例3.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)

及均为拐点.凹凹凸第6页,共23页，2024年2月25日，星期天无渐近线.点M

与某一直线L的距离趋于0,二、曲线的渐近线定义.

若曲线

C上的点M

沿着曲线无限地远离原点时,则称直线L为曲线C

的渐近线.例如,双曲线有渐近线但抛物线或为“纵坐标差”第7页,共23页，2024年2月25日，星期天1.水平与铅直渐近线若则曲线有水平渐近线若则曲线有垂直渐近线例4.

求曲线的渐近线.解:为水平渐近线;为垂直渐近线.第8页,共23页，2024年2月25日，星期天2.斜渐近线斜渐近线若第9页,共23页，2024年2月25日，星期天例5.

求曲线的渐近线.解:所以有铅直渐近线及又因为曲线的斜渐近线.第10页,共23页，2024年2月25日，星期天三、函数图形的描绘步骤:1.确定函数的定义域,期性;2.求并求出及3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点,描绘函数图形.为0和不存在的点;并考察其对称性及周第11页,共23页，2024年2月25日，星期天例6.

描绘的图形.解:1)定义域为无对称性及周期性.2)3)(极大)(拐点）(极小)4)第12页,共23页，2024年2月25日，星期天例7.描绘方程的图形.解:1)定义域为2)求关键点第13页,共23页，2024年2月25日，星期天3)判别曲线形态(极大)(极小)4)求渐近线为铅直渐近线无定义第14页,共23页，2024年2月25日，星期天又因即5)求特殊点为斜渐近线第15页,共23页，2024年2月25日，星期天6）绘图(极大)(极小)斜渐近线铅直渐近线特殊点无定义第16页,共23页，2024年2月25日，星期天例8.描绘函数的图形.解:1)定义域为图形对称于

y

轴.2)求关键点3)判别曲线形态(极大)(拐点)第17页,共23页，2024年2月25日，星期天(极大)(拐点)为水平渐近线5)作图4)求渐近线第18页,共23页，2024年2月25日，星期天内容小结在I

上单调递增在I

上单调递减1.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上的凹凸分界点2.曲线渐近线的求法水平渐近线;垂直渐近线;

斜渐近线3.函数图形的描绘---按作图步骤进行第19页,共23页，2024年2月25日，星期天思考与练习

1.曲线(A)没有渐近线；(B)仅有水平渐近线；(C)仅有铅直渐近线；(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示:作业P130

1(6);2(2);3;

5;7(3),(5)第20页,共23页，2024年2月25日，星期天证明:当时，有证明:令,则是凸函数即

2.(自证)第21页,共23页，2024年2月25日，星期天拐点为

,凸区间是

,3.

曲线的凹区间是

,提