高一上学期中复习讲义01集合

期中复习专题01：集合及其集合运算解析版考点一：集合的概念【知识点梳理】元素三个特性：互异性、确定性、无序性.元素与集合的关系：属于（∈），不属于（∉）.常见数集及其符号表示名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法或集合重要两种表示方法列举法描述法【典例例题】例1.（2022·新疆喀什市地区高中联考）已知集合，若，则__________.【答案】1或2；【解析】【分析】由，可得或，注意要满足集合元素互异性，即可得解.【详解】由，，若，，，此时，符合题意；若，则，，当时，，不符题意，当时，，符合题意，综上可得：或.故答案为：1或2.【变式训练】1.（2022·海南农垦实验中学期中）（多选）设，，则下列关系中正确的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用元素与集合的关系判断即可得解.【详解】因为，所以，所以，.故选：BC.2.（2023春·河北保定·高三校考期中）已知集合中有且仅有一个元素，那么的可能取值为（

）A．1 B．2 C． D．0【答案】C【分析】对进行分类讨论，结合判别式求得正确答案.【详解】或，当时，，符合题意.当时，，不符合题意.当时，要使集合有且仅有一个元素，则需，解得或（舍去）综上所述，的可能取值为或，C选项符合.故选：C3．（2022春·广东深圳·高二校考期中）定义集合运算:.设,,则集合的所有元素之和为（）A．0 B．2 C．3 D．6【答案】D【详解】试题分析：根据题意，结合题目的新运算法则，可得集合A*B中的元素可能的情况；再由集合元素的互异性，可得集合A*B，进而可得答案解：根据题意，设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B中的元素可能为：0、2、0、4，又由集合元素的互异性，则A*B={0，2，4}，其所有元素之和为6；故选D．考点：元素的互异点评：解题时，注意结合集合元素的互异性，对所得集合的元素的分析，对其进行取舍4．（2022秋·江苏南通·高一校考期中）已知集合，，若，则a等于（

）A．－1或3 B．0或1C．3 D．－1【答案】C【分析】根据集合相等即元素相同解出a，再根据集合元素互异性求出a值.【详解】由有，解得，.当时，与集合元素的互异性矛盾，舍去.当时，，满足题意.故选：C.考点二：集合间的关系【知识点梳理】1、子集：集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．2、真子集：集合A是集合B的真子集，记作AB或(BA).3、集合相等：集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么集合A=B.4、空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集．5、子集的性质：（1）规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有∅⊆A.（2）任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A.（3）如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C.（4）如果AB，BC，则AC.6、子集的个数：集合A中含有n个元素，则有（1）A的子集的个数有个．（2）A的非空子集的个数有1个．（3）A的真子集的个数有1个．（4）A的非空真子集的个数有2个．【典例例题】例1.（2022·黑龙江佳木斯第八中学期中）集合的真子集的个数是（）A.16 B.8 C.7 D.4【答案】C【解析】【分析】先用列举法写出集合，再写出其真子集即可.【详解】解：∵，的真子集为：共7个．故选：C．例2.（2022·湖北黄冈市博雅中学期中）设集合或，，．（1）求和；（2）若，求；（3）若，求实数的取值范围．解析：（1）或，，；；（2）若，则，，所以；（3），，或，即或，实数的取值范围是：或；【变式训练】1.（2022·海南农垦实验中学期中）集合的子集个数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简集合，利用集合子集个数公式可得结果.【详解】因为，因此，集合的子集个数为.故选：B.2.（2022·新疆喀什市地区高中联考）已知集合，，若，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据子集的定义求解．【详解】因为，，，所以．故答案为：．3．（2023春·湖南岳阳·高一统考期中）已知集合，，则满足的集合的个数为（

）A．4 B．8 C．7 D．16【答案】B【分析】根据题设列举法表示出集合，再由集合的包含关系，判断元素与集合的关系得只需讨论元素是否为集合的元素研究集合即可.【详解】由题设，，又，所以，只需讨论元素是否为集合的元素研究集合的个数，即可得结果，所以集合的个数为.故选：B4．（2020秋·湖南张家界·高一统考期中）已知集合，则的非空真子集的个数（

）A．5 B．30 C．31 D．32【答案】B【分析】用列举法表示集合，即可得到集合的元素个数，再根据含有个元素的集合，其非空真子集有个计算可得；【详解】解：因为，所以集合含有个元素，所以集合的非空真子集有个；故选：B5．（2022春·江西吉安·高二校联考期中）已知全集，集合，，则使成立的实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．或【答案】D【分析】分类讨论或两种情况，求出，再根据子集的定义分析求解即可.【详解】当时，即，解得：，此时，所以当时，，当，即，解得：，此时或，因为，所以或，解得：或，又，所以，综上，使成立的实数m的取值范围是或，故选：D.6.（2022秋·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）设集合.(1)当时，求的非空真子集的个数；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)254(2)【分析】（1）由题得即可解决.（2）根据得，即可解决.【详解】（1）由题知，，当时，共8个元素，的非空真子集的个数为个；（2）由题知，显然，因为，所以，解得，所以实数的取值范围是.考点三：集合的基本运算【知识点梳理】1、并集概念：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”2、并集的符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}3、并集的图形语言：阴影部分为A∪B4、并集的运算性质：，,，5、交集概念：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”.6、交集符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}7、交集图形语言：阴影部分为A∩B8、交集的运算性质：，若，则，.9、补集（1）文字语言：若集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作.（2）符号语言：（3）符号语言：【典例例题】例1.（2022·东莞市万江中学期中）已知全集，集合，集合.（1）求；（2）求.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）解不等式求得集合，由此求得.（2）先求得，再求得.【小问1详解】由可得：，所以不等式的解集为，又由可得：，所以不等式的解集为.所以.【小问2详解】因为或，所以或.【变式训练】1.（2022·东莞市万江中学期中）已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据交集子集的概念即可得到答案【详解】∵集合，，∴．故选:A．2.（2022·东莞市七校联考）已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用集合交集的概念运算即可.【详解】因为，所以.故选：C.3.（2022·广东省揭阳市第一中学期中）已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据集合的交运算即可求解.【详解】由得，所以，故选：D4.（2022·广东省揭阳市第一中学期中）设集合，，若，则实数t的取值范围为____________．【答案】【解析】【分析】由可知，讨论与，即可求出答案.【详解】因为，所以，当时：，满足题意；当时：，无解；所以实数t的取值范围为.故答案为：5.（2022·广东省揭阳市第一中学期中）设集合，.（1）当时，求；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）先求解集合，当时，得集合，直接求解交集即可；（2）利用集合之间的关系确定，分类讨论当时，当时，分别满足，得的取值范围.【小问1详解】解：由题意得.当时，集合，则.【小问2详解】解：因为，所以.①当时，则，解得；②当时，则，解得.综上，取值范围为.6．（2022秋·北京·高一校考期中）已知集合，，全集.(1)求；(2)求；(3)如果，且，求a的取值范围.【答案】(1)；(2)或；(3).【详解】（1）集合，，所以.（2）集合，，则，而全集，所以或}.（3）由，，得，所以a的取值范围是.一、单项选择题（10道）1.（2022·吉林省外国语学校期中）已知集合，那么（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合P，Q，再由并集定义即可求出.【详解】，.故选：A.2.（2022秋·江苏常州·高一常州市第二中学校联考期中）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合中的元素个数是（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【分析】根据定义结合已知条件，对分都是正偶数，都是正奇数，一个为正偶数，另一个为正奇数三种情况讨论即可求解【详解】（1）m，n都是正偶数时：m从2，4，6任取一个有3种取法，而对应的n有一种取法；∴有3种取法，即这种情况下集合M有3个元素；（2）m，n都为正奇数时：m从1，3，5，7任取一个有4种取法，而对应的n有一种取法；∴有4种取法，即这种情况下集合M有4个元素；（3）当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时：当m=8，n=1，和m=1，n=8，即这种情况下集合M有两个元素；∴集合M的元素个数是3+4+2=9．故选：B．3．（2022秋·湖南邵阳·高一校考期中）下列关系中正确的个数是（

）①；②；③；④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据元素与集合的关系分析判断.【详解】对①：为有理数，则成立，①正确；对②：为实数，则不成立，②错误；对③：为自然数，成立，③正确；对④：是无理数，不是整数，则不成立，④错误；故正确的有2个.故选：B.4.（2022·江西南昌市第一中学期中）已知集合，则=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据补集和交集的运算直接求解即可.【详解】因为集合，所以，又，所以.故选：A5.（2022·海南农垦实验中学期中）已知集合，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求，再求．【详解】由已知得，所以，故选C．6.（2022·黑龙江佳木斯第八中学期中）设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式可得A，结合交集的概念计算即可.【详解】由题意可得，即，所以.故选：B7.（2022秋·河北石家庄·高一校考期中）设，，若，则实数的取值范围是（

）A．或 B．C． D．【答案】D【分析】根据集合的包含关系，列不等式组求解即可.【详解】因为，所以，此不等式组无解.故选：D.8.（2022·湖北黄冈市博雅中学期中）已知集合，集合，则A∩B是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由交集的定义求解即可.【详解】因为集合，集合，则A∩B.故选：B9.（2022·新疆喀什市地区部分高中联考）设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用交集的定义可求.【详解】由题设有，故选：B.10.（2022·新疆喀什市地区部分高中联考）已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式后由交集的概念求解【详解】由题意得，，则，故选：A二、多项选择题（5道）11．（2022秋·广东东莞·高一东莞高级中学校考期中）已知集合，，则（）A．0不可能属于B B．集合可能是C．集合不可能是 D．集合【答案】BCD【分析】由题可得，然后根据集合的关系及集合元素的特点进行逐一判断即可．【详解】∵，∴，故D正确．∵集合，∵，∴集合可能是，故B正确；∵，∴集合不可能是，故C正确；∵，∴0可能属于集合，故A错误.故选：BCD.12．（2022秋·广东佛山·高一统考期中）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据一元二次不等式以及一元一次不等式的解法，求得集合的元素，结合集合交、并、补的运算，可得答案.【详解】由，，解得，所以；由，解得，所以.对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，，故C正确；对于D，由选项C可知，，故D正确.故选：ACD.13．（2022秋·广东东莞·高一校联考期中）设全集U是实数集，则图中阴影部分的集合表示正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由Venn图结合集合的交集、并集、补集的运算，逐一判断即可.【详解】设图中的封闭区域分别是，，，，如图所示：全集由表示，集合由表示，集合由表示，图中阴影部分由表示；对于A选项：由表示，集合由表示，所以表示图中阴影部分，故A选项正确；对于B选项：由表示，集合由表示，所以表示图中封闭区域，故B选项错误；对于C选项：由表示，集合由表示，所以表示图中阴影部分，故C选项正确；对于D选项：由表示，集合由表示，所以表示图中封闭区域，故D选项错误；故选：AC14.（2022秋·广东江门·高一江门市第二中学校考期中）设全集为，如图所示的阴影部分用集合可表示为（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据集合与运算，依次讨论各选项即可得答案.【详解】如图，可以将图中的位置分成四个区域，分别标记为四个区域对于A选项，显然表示区域3，故不正确；对于B选项，表示区域1和4与4的公共部分，故满足条件；对于C选项，表示区域1,2,4与区域4的公共部分，故满足；对于D选项，表示区域1和4与区域4的并集，故不正确；故选：BC15.（2022秋·广东广州·高一华南师大附中校考期中）定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为P（A），用n（A）表示有限集A的元素个数，则下列命题中正确的是（

）A．对于任意集合A，都有 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ABD【分析】根据P（A）的定义判断ACD，结合n（A）的定义判断B，由此可得正确选项.【详解】对于任意集合A，都有，所以，A对，由已知可得，，又，所以，B对，∵，所以，所以，C错误，对于任意的，则，又，所以，所以，D对，故选：ABD.三、填空题（10道）16.（2022·黑龙江佳木斯第八中学期中）已知全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则＝__________.【答案】｛2，8｝【解析】【分析】直接求出，进而求出A∩（）即可.【详解】全集.因为B＝{1，3，5，7，9}，所以.而A＝{1，2，3，5，8}，所以A∩（）=｛2，8｝.故答案为：｛2，8｝.17.（2022·新疆喀什市地区部分高中联考）已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则=_________【解析】【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得：，则.故选：{−2，3}18.（2022·新疆喀什市地区部分高中联考）设集合，，则=____【答案】【解析】【分析】根据集合的运算法则计算．【详解】因为，，所以.故选：．19.（2022·新疆喀什市地区部分高中联考）若集合，则______【答案】【解析】【分析】求出集合后可求.【详解】，故，故选：21.（2022·新疆喀什市地区部分高中联考）已知全集，，，则=_______【答案】【解析】【分析】根据集合的补集运算、交集运算求解即可.【详解】，，，故选：22.（2022·黑龙齐齐哈尔市第一中学期中）已知集合，则M的真子集个数为_【答案】7【解析】【分析】化简集合，根据真子集个数的计算公式求解.【详解】因为，所以M的真子集个数为个，故选：C23.（2022·新疆喀什地区高中联考）已知集合，，则（）【答案】【解析】【分析】根据集合交集运算法则直接计算即可.【详解】因为集合，，所以.故选：B24.（2022秋·四川阿坝·高一校考期中）已知集合，若，则实数的取值范围．【答案】【分析】根据题意，由可得，分类讨论即可得到结果.【详解】因为，所以，当时，即，解得，且满足；当时，，解得综上可得的取值范围为故答案为:25.（2022秋•江宁区期中）已知集合且，集合，4，5，6，，集合，4，6，，则A．，5， B．，6， C．， D．【答案】，5，【详解】因为，，即，5，．故选：，5，．四、简答题26.（2022·黑龙江佳木斯第八中学期中）已知集合.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】解：（1）当时，或（2），，①当时，，此时满足；②当时，要使成立，则需满足，综上，实数的取值范围是27.（2022·黑龙齐齐哈尔市