分类36 尺规作图(含解析)

36尺规作图（含解析）

一、选择题

1.2020•内蒙古通辽，T6,3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内

心的是（）

【考点】MI：三角形的内切圆与内心；N2：作图-基本作图

【专题】64：几何直观；13：作图题

【分析】利用基本作图和三角形内心的定义进行判断.

【解答】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项8中作了两个交的平分线.

故选：B.

【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一

个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂

线）.也考查了线段垂直平分线的性质.

2.（2020湖北宜昌，T4,3分）如图，点E,F,G,Q,H在一条直线上，且=,

我们知道按如图所作的直线/为线段FG的垂直平分线.下列说法正确的是（）

I

X

EFGOH

A./是线段E"的垂直平分线B./是线段EQ的垂直平分线

C./是线段融的垂直平分线D.E”是/的垂直平分线

【考点】KG：线段垂直平分线的性质

【专题】551：线段、角、相交线与平行线；67：推理能力

【分析】根据垂直平分线的性质定理判断即可.

【解答】解：如图：

I

X

"EF0G0H

\Z

A.直线/为线段FG的垂直平分线，

:.FO=GO,l±FG,

EF=GH,

：.EF+FO=OG+GH,

即

为线段的垂直平分线，故此选项正确；

B.EOwOQ,

，/不是线段EQ的垂直平分线，故此选项错误；

C.FO丰OH,

不是线段我的垂直平分线，故此选项错误；

D./为直线，E”不能平分直线/,

.•.E"不是/的垂直平分线，故此选项错误；

故选：A.

【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质和判定定理，熟练运用定理是解答此题的关键.

3.（2020•广东深圳，T8,3分）如图，在AABC中，AB=AC.在AB、AC上分别截取AP,

AQ,使纪建.再分别以点尸，。为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在N54C

内交于点H,作射线4?,交BC于点D.若BC=6,则%）的长为（）

【考点】N2：作图-基本作图；KH：等腰三角形的性质

【专题】67：推理能力；13：作图题；554：等腰三角形与直角三角形

【分析】依据等腰三角形的性质，即可得到8。=工8（7,进而得出结论.

2

【解答】解：由题可得，4?平分N54C,

又AB=AC,

二AD是三角形ABC的中线，

:.BD=-BC=-x6=3,

22

故选：B.

【点评】本题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边

上的中线、底边上的高相互重合.

1.（2020•包头・T12・3分）如图，在RtZkABC中，ZACB=90°,BC>AC,按以下步骤作

图：

（1）分别以点A,2为圆心，以大于‘48的长为半径作弧，两弧相交于N两点（点

2

M在48的上方）；

（2）作直线MN交A8于点。，交BC于点、D；

（3）用圆规在射线0M上截取OE=OD连接AD,AE,BE,过点。作OFLAC.重足

为F,交于点G.

下列结论：

①CD=2GF；

@BD2-CD2^AC2；

（3）5ABOE=2SAAOG；

④若AC=6,OF+Q4=9,则四边形AOBE的周长为25.

其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】KG：线段垂直平分线的性质；KQ：勾股定理；N3：作图一复杂作图.

【专题】13：作图题；64：几何直观；66：运算能力；67：推理能力.

【分析】①根据作图过程可得，四边形AD2E是菱形，再根据三角形中位线定理即可判

断；

②根据菱形的四个边都相等，再根据勾股定理即可判断；

③根据三角形一边的中线分两个三角形面积相等即可判断；

④根据勾股定理先求出OF的长，再求出AD的长，进而可以得四边形ADBE的周长为

25,进而即可判断.

【解答】解：根据作图过程可知：

DELAB,AO=BO,OE=OD,

，四边形AD3E是菱形，

OFLAC,BCLAC,

：.OFLBC,

y,AO=BO,

：.AF=CF,AG=GD,

:.CD=2FG.

①正确；

:四边形是菱形，

：.AD=BD,

在Rt^AC。中，根据勾股定理，得

AD2-CD2^AC2,

：.BDr-CD2=AC2.

•••②正确；

•.•点G是A。的中点，

・・SAAOD=2SAAOG，

,**S/\AOD=S/^BOEf

S/\BOE=2S^AOG；

•••③正确；

11

：”=—AC=—x6=3,

22

又OF+OA=9,

：.OA=9-OF,

在RtZXAP。中，根据勾股定理，得

(9-OF)2=OF2+32,

解得OF=4,

，OA=5,

，AB=10,

：.BC=S,

：.BD+DC^AD+DC^8,

；.CD=8-AD,

在RtZXACD中，根据勾股定理，得

AD2^62+(8-AD)2,

25

解得=1,

4

菱形ADBE的周长为4AD=25.

...④正确.

综上所述：①②③④.

故选：D.

【点评】本题考查了作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理，解决本题的

关键是综合运用以上知识.

L（2020湖南湘西州，T6,4分）己知NAOB,作NAO3的平分线31,在射线上截

取线段OC,分别以。、C为圆心，大于工OC的长为半径画弧，两弧相交于E,F.画直

2

线EF,分别交OA于。，交OB于G.那么AODG一定是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形

【考点】N2：作图-基本作图；KI：等腰三角形的判定

【专题】67：推理能力；554：等腰三角形与直角三角形

【分析】依据已知条件即可得到=即可得到8=OG,进而得出AODG是

等腰三角形.

【解答】解：如图所示，平分NAO3,

ZAOC=NBOC,

由题可得，DG垂直平分OC,

:.NOED=NOEG=90。,

:.AODE=AOGE,

:.OD=OG,

.•.△ODG是等腰三角形，

【点评】本题主要考查了基本作图以及等腰三角形的判定，如果一个三角形有两个角相等,

那么这两个角所对的边也相等.

2.1.（3分）（2020•通辽）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（

)

【考点】MI：三角形的内切圆与内心；N2：作图-基本作图

【专题】64：几何直观；13：作图题

【分析】利用基本作图和三角形内心的定义进行判断.

【解答】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项3中作了两个交的平分线.

故选：B.

【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一

个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作己知角的角平分线；过一点作已知直线的垂

线）.也考查了线段垂直平分线的性质.

1.（2020贵州贵阳，T9,3分）如图，RtAABC中，NC=90。，利用尺规在BC,54上分别

截取BE,BD,使BE=BD；分别以E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧

2

在NCR4内交于点F；作射线6尸交AC于点G.若CG=1,。为Afi上一动点，则GP的

最小值为（）

2

【考点】KF：角平分线的性质；J4：垂线段最短；N2：作图-基本作图

【专题】69：应用意识；13：作图题

【分析】如图，过点6作3/，45于根据角平分线的性质定理证明GH=GC=1,利

用垂线段最短即可解决问题.

【解答】解：如图，过点G作GH_LAB于X.

由作图可知，GB平分NABC,

GHIBA,GC±BC,

:.GH=GC=1,

根据垂线段最短可知，GP的最小值为1,

故选：C.

【点评】本题考查作图-基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟

练掌握基本知识，属于中考常考题型.

3.1.（2020浙江嘉兴，T9,3分）如图，在等腰AABC中，AB=AC=2卮3c=8,按

下列步骤作图：

①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AC于点E,F,再分别以点E,

尸为圆心，大于工所的长为半径作弧相交于点作射线AH；

2

②分别以点A,3为圆心，大于工4?的长为半径作弧相交于点〃，N,作直线交

2

射线于点O；

③以点。为圆心，线段。4长为半径作圆.

则O的半径为（）

A.2A/5B.10C.4D.5

【考点】N3：作图-复杂作图；M2：垂径定理；KH：等腰三角形的性质

【专题】13：作图题；69：应用意识

【分析】如图，设。4交3C于T.解直角三角形求出AT,再在RtAOCT中，利用勾股定理

构建方程即可解决问题.

【解答】解：如图，设。4交于T.

AB=AC=245,AO平分ZfiAC,

:.AO±BC,BT=TC=4,

AT=1AC。-CT。=7（2^）2-42=2,

在RtAOCT中,则有人=（—2）2+42,

解得厂=5,

故选：D.

【点评】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是理

解题意，灵活运用所学知识解决问题.

二、填空题

1.（2020•辽宁辽阳，T16,3分）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=2BC,分

别以点A和3为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和N,作直线MN,

2

交AC于点E,连接班，若CE=3,则郎的长为5.

【考点】KG：线段垂直平分线的性质；N2：作图-基本作图

【专题】13：作图题；69：应用意识

【分析】设=M=在RtABEC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题.

【解答】解：由作图可知，垂直平分线段AB,

AE=EB,

^.AE=EB-x，

EC=3,AC=2BC,

BC=1（x+3）,

在RtABCE中，BE1=BC2+EC2,

.-.X2=32+[|（X+3）]2,

解得，x=5或-3（舍弃），

BE=5,

故答案为5.

【点评】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关

键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

2.（2020广东佛山，河源，惠州，江门，T15,4分）如图，在菱形ABC。中，NA=30。，

取大于的长为半径，分别以点A,8为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交

2

边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE,BD.则NE3D的度数为45。.

D

B

题15图

【考点】KG：线段垂直平分线的性质；L8：菱形的性质；N2：作图一基本作图.

【专题】13：作图题；556：矩形菱形正方形；69：应用意识.

【分析】根据求出/AB。，NA8E即可解决问题.

【解答】解：•••四边形A8CO是菱形，

：.AD=AB,

：.ZABD^ZADB=-（180°-NA）=75°,

由作图可知，EA=EB,

：.NABE=NA=30。，

ZEBD=ZABD-ZABE=75°-30°=45°,

故答案为45。.

【点评】本题考查作图-基本作图，菱形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是

熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

3.（2020湖北荆州，T13,3分）已知：△ABC,求作：△ABC的外接圆.作法：①分别作

线段BC,AC的垂直平分线斯和MN,它们相交于点。；②以点。为圆心，OB的长为

半径画圆.如图，。。即为所求，以上作图用到的数学依据有：线段的垂直平分线的

性质.（只需写一条）

【考点】KG：线段垂直平分线的性质；MA：三角形的外接圆与外心；N3：作图一复杂

作图.

【专题】55A：与圆有关的位置关系；64：几何直观.

【分析】利用线段垂直平分线的性质得到OA=OC=OB,然后根据点与圆的位置关系可

判断点A、C在。。上.

【解答】解：：点。为AC和BC的垂直平分线的交点，

.•Q=OC=OB,

,。。为△ABC的外接圆.

故答案为：线段的垂直平分线的性质.

【点评】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，

一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图

形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.

4.（2020•新疆，T13,5分）如图，在x轴，y轴上分别截取tM,OB,使04=08,再分

别以点A,8为圆心，以大于工河长为半径画弧，两弧交于点尸.若点p的坐标为

2

（a,®-3）,则a的值为3.

【考点】D5：坐标与图形性质

【专题】17：推理填空题；531：平面直角坐标系；31：数形结合；66：运算能力；67：推

理能力；551：线段、角、相交线与平行线

【分析】根据作图方法可知点尸在ZBOA的角平分线上，由角平分线的性质可知点P到x轴

和y轴的距离相等，结合点尸在第一象限，可得关于。的方程，求解即可.

【解答】解：OA^OB,分别以点A,3为圆心，以大于LAB长为半径画弧，两弧交于

2

点尸，

点P在NBQ4的角平分线上，

点尸到x轴和y轴的距离相等，

又点P在第一象限，点尸的坐标为（a,2a-3）,

a=2a—3,

a=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查了角平分线的作法及其性质在坐标与图形性质问题中的应用，明确题中的

作图方法及角平分线的性质是解题的关键.、

5.（2020•新疆，T13,5分）如图，在光轴，y轴上分别截取04,OB,使。4=08,再分

别以点A,8为圆心，以大于LAB长为半径画弧，两弧交于点尸.若点尸的坐标为

2

（a,勿-3）,则a的值为3.

B-、年

~0X

【考点】D5：坐标与图形性质

【专题】17：推理填空题；531：平面直角坐标系；31：数形结合；66：运算能力；67：推

理能力；551：线段、角、相交线与平行线

【分析】根据作图方法可知点P在NBOA的角平分线上，由角平分线的性质可知点P到x轴

和y轴的距离相等，结合点P在第一象限，可得关于a的方程，求解即可.

【解答】解：OA=OB,分别以点A,3为圆心，以大于工45长为半径画弧，两弧交于

2

点P,

二.点尸在NBQ4的角平分线上，

.•.点P到x轴和y轴的距离相等，

又点尸在第一象限，点尸的坐标为(a,2a-3),

:.a=2a—3f

.,.a=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查了角平分线的作法及其性质在坐标与图形性质问题中的应用，明确题中的

作图方法及角平分线的性质是解题的关键.、

6.(2020•扬州,Tl,3分)如图，在AABC中，按以下步骤作图：

①以点3为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点、D、E.

②分别以点。、E为圆心，大于工。石的同样长为半径作弧，两弧交于点

2

③作射线防交AC于点G.

如果AB=8,BC=12,AABG的面积为18,则ACBG的面积为27.

【考点】N2：作图-基本作图；KF：角平分线的性质

【专题】13：作图题；67：推理能力；64：几何直观；66：运算能力

【分析】过点3作&以_148于点GN_LAC于点N,根据作图过程可得AG是NABC的

平分线，根据角平分线的性质可得GM=QV,再根据AABG的面积为18,求出GM的长，

进而可得ACBG的面积.

【解答】解：如图，过点G作GM_LAB于点A/,GN1AC于点、N,

根据作图过程可知：

3G是NABC的平分线，

:.GM=GN,

AABG的面积为18,

.­.-xABxGM=18,

2

，4GW=18,

9

:.GM=-,

2

11Q

.•.△CBG的面积为：-xBCxG?/=-xl2x-=27.

222

故答案为：27.

【点评】本题考查了作图-基本作图、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的

性质.

1.1.（3分）（2020•辽阳）如图，在RtAABC中，NACB=90。，AC=2BC,分别以点A和

3为圆心，以大于LAB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N,作直线交AC于点

2

E,连接3E,若CE=3,则班的长为5

【考点】KG：线段垂直平分线的性质；N2：作图-基本作图

【专题】13：作图题；69：应用意识

【分析】设=M=在RtABEC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题.

【解答】解：由作图可知，垂直平分线段AB,

AE=EB,

^AE=EB=x，

EC=3,AC=2BC,

BC=1（x+3）,

在RtABCE中，BE1=BC2+EC2,

.-.X2=32+[|（X+3）]2,

解得，x=5或-3（舍弃），

BE=5,

故答案为5.

【点评】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关

键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型

2.2.（2020•广东潮州，T15,4分）如图，在菱形中，4=30°,取大于工/8的长

2

为半径，分别以点48为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交/〃边于点E（作图痕

迹如图所示），连接宛，BD.则N四的度数为45°.

题15图

【考点】KG：线段垂直平分线的性质；L8：菱形的性质；N2：作图一基本作图.

【专题】13：作图题；556：矩形菱形正方形；69：应用意识.

【分析】根据N加N/8F,求出N48D,N/8F即可解决问题.

【解答】解：；四边形是菱形，

：.AD=AB,

:.NABD=NADB=L（180°-Z/）=75°,

2

由作图可知，EA=EB,

：.ZABE=ZA=30a,

:/EBD=/ABD-NABE=15°-30°=45°,

故答案为45°.

【点评】本题考查作图-基本作图，菱形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关

键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

1.（2020邵阳，T14,3分）如图，线段AB=10cm,用尺规作图法按如下步骤作图.

（1）过点3作AB的垂线，并在垂线上取=

2

（2）连接AC,以点C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点E；

（3）以点A为圆心，AE为半径画弧，交AB于点。.即点。为线段的黄金分割点.则

线段相＞的长度约为6.18cm.（结果保留两位小数，参考数据：梃=1.414,白=1.732,

【考点】N3：作图-复杂作图；KQ；勾股定理；14：近似数和有效数字

【专题】13：作图题；69：应用意识

【分析】根据作图得AASC为直角三角形，CE=BC=-AB^5cm,AE=AD,根据勾股定

2

理求出AC,再求出花，即可求出AD.

【解答】解：由作图得AABC为直角三角形，CE=BC=-AB=5cm,AE^AD,

2

AC=VAS2+BC2=A/102+52=5非cm,

AE=AC-CE=5A/5-5=5(75-l)cm,

AD=A£=5（75-1）^6.18CTTI.

故答案为：6.18.

【点评】本题考查了尺规作图，勾股定理等知识，根据作图步骤得到相关已知条件是解题关

键.

2.（2020宁夏，T14,3分）如图，在AABC中，ZC=84°,分别以点A、5为圆心，以大

于LAB的长为半径画弧，两弧分别交于点加、N,作直线交AC点以点3为圆心,

2

适当长为半径画弧，分别交54、BC于点E、F,再分别以点E、E为圆心，大于‘EF的

2

长为半径画弧，两弧交于点P,作射线此时射线3P恰好经过点。，则/4=32度.

【考点】N3：作图-复杂作图；KG-.线段垂直平分线的性质

【专题】13：作图题；64：几何直观；67：推理能力

【分析】由作图可得是线段4?的垂直平分线，班»是44BC的平分线，根据它们的性

质可得ZA=ZABD=NCBD,再根据三角形内角和定理即可得解.

【解答】解：由作图可得，是线段AB的垂直平分线，皿）是NABC的平分线，

:.AD=BD,ZABD=ZCBD=-ZABC,

2

:.ZA=ZABD,

:.ZA=ZABD=NCBD,

ZA+ZABC+ZC=180°,且NC=84°,

ZA+2ZAB£>=180°-ZC,

即3ZA=180°-84°,

,-.ZA=32°.

故答案为：32.

【点评】本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法和角平

分线的作法.

1.（2020绥化T22,6分）（1）如图，已知线段Afi和点O,利用直尺和圆规作AABC,使点

。是AABC的内心（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在所画的AABC中，若NC=90。，AC=6,BC=8,则AABC的内切圆半径是，

*O

~AB

【考点】MI-.三角形的内切圆与内心；N3：作图-复杂作图

【专题】69：应用意识；13：作图题

【分析】（1）作射线AO,BO,作NC4O=NBAO,=可得A4BC.

（2）利用面积法求解即可.

【解答】解：（1）如图，AABC即为所求.

NC=90°,AC=6,BC=8,

AB=7AC2+BC2=^62+82=10,

-ACBC=-r（AB+AC+BC）,

22

48c

r——=2，

24

故答案为2.

【点评】本题考查作图-复杂作图，三角形的内切圆与内心等知识，解题的关键是熟练掌握

基本知识，属于中考常考题型.

1.（2020•潍坊T15.3分）如图，在RtAABC中，NC=90。，N3=20。，尸。垂直平分AB,

垂足为。，交3c于点P.按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分

别交边AC,AB于点。，E；②分别以点。，E为圆心，以大于的长为半径作弧,

2

两弧相交于点B；③作射线AF.若AF与P。的夹角为。，则夕=55。.

【考点】KG：线段垂直平分线的性质；N2：作图-基本作图

【专题】13：作图题；64：几何直观；66：运算能力

【分析】根据直角三角形两锐角互余得44c=70。，由角平分线的定义得N2=35。，由线

段垂直平分线可得AAQM是直角三角形，故可得4+N2=90。，从而可得4=55。，最后

根据对顶角相等求出a.

【解答】解：如图，

AABC是直角三角形，ZC=90°,

.1NB+Nfl4c=90°,

ZB=20°,

二Zfi4c=90°—ZB=90°—20°=70°,

AM是Na4c的平分线，

N2」NBAC」x70°=35°,

22

PQ是的的垂直平分线，

.•.AAMQ是直角三角形，

:.ZAMQ+Z2=90°,

ZAMQ=90°-N2=90°-35°=55°,

Na与NAMQ是对顶角，

:.Za=ZAMQ=55°.

故答案为：55°.

【点评】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，对

顶角相等等知识，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键.

3

1.（2020贵州毕节，T20,3分）如图，RtAABC中，ZBAC=90°,AB=6,sinC=—,

5

以点A为圆心，AB长为半径作弧交AC于点分别以点3,M为圆心，以大于长

2

为半径作弧，两弧相交于点N,射线4V与3c相交于点£>,则AD的长为生旦.

一7一

【考点】T7：解直角三角形；N2：作图-基本作图

【专题】13：作图题；55E：解直角三角形及其应用；69：应用意识

【分析】过。作于E,DF_LAC于F,设汨4E即寻户，则用=6黄，

CF=8—x,依据NB=ZFDC,ZBDE=ZC,可得ABDEs/sDCF,依据相似三角形对应

边成比例，即可得到AE的长，进而得出题的长.

【解答】解：如图，过。作于E,DF_LAC于尸，

由题可得，AD平分44C,440=90。，

四边形AS方是正方形，

:.DE=DF,ZBAD=45°=ZADE,

:.AE=DE=AF=DF,

3

ZBAC=90°,AB=6,sinC=—,

5

:.BC=10,AC=8,

^AE=DE=AF=DF=x,贝U3E=6—x,CF=8—X,

ZB=ZFDC,ZBDE=NC,

:.ABDEs^DCF,

BEED6—x_x

即

DF-FCx8—x

解得X=*

7

24

:.AE=—,

7

.〔RtAADE中，AD=42AE=^!^-

7

故答案为：生2

【点评】此题主要考查了基本作图以及相似三角形的性质，正确运用相似三角形的性质列出

比例式是解题关键.

3.1.（2020苏州,T18,3分）如图，已知NMON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半

径画弧，分别交QM、QV于点A、B,再分别以点A、3为圆心，大于1人3长为半径画

2

弧，两弧交于点C,画射线OC.过点A作AD//ON,交射线OC于点O,过点。作

24

DELOC,交QV于点E.设。4=10,DE=12,贝UsinNMQV=—.

一25一

【考点】KF：角平分线的性质；JA：平行线的性质；N3：作图-复杂作图；T7：解直

角三角形

【专题】13：作图题；69：应用意识

【分析】如图，连接DB,过点。作于".首先证明四边形AO8D是菱形，解直

角三角形求出DH即可解决问题.

【解答】解：如图，连接。5,过点。作于".

由作图可知，ZAOD=ZDOE,OA=OB,

AD//EO,

,\ZADO=ZDOE.

.\ZAOD=ZADO,

AO=AD,

.\AD=OB,AD//OB,

，四边形是平行四边形，

OA=OB,

.•・四边形是菱形，

,\OB=BD=OA=10,BDHOA,

:.ZMON=ZDBE,ZBOD=/BDO,

DEVOD,

ZBOD+ZDEO=90°,NODB+ZBDE=90。,

:.ZBDE=ZBED,

.\BD=BE=10,

:.OE=2OB=2O,

/.OD=^OE2-DE2=7202-122=16,

DH±OE,

八〃ODDE16x1248

EO205

48

sinZMON=sinZDBH=—=^-=—.

DB1025

故答案为4.

25

【点评】本题考查作图-复杂作图，平行线的性质，角平分线的定义，菱形的判定和性质,

解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

1.（2020•广东・T15・4分）如图，在菱形A5CZ）中，ZA=30°,取大于3A8的长为半径,

分别以点42为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图

所示），连接BE,BD.则/E8D的度数为45°.

＞题1溷

【考点】KG：线段垂直平分线的性质；L8：菱形的性质；N2：作图一基本作图.

【专题】13：作图题；556：矩形菱形正方形；69：应用意识.

【分析】根据/£8。=乙48。-448£,求出/AB。，/A8E即可解决问题.

【解答】解：：四边形ABC。是菱形，

：.AD=AB,

：.ZABD=ZADB=^（180°-ZA）=75°,

由作图可知，EA=EB,

：.ZABE=ZA=30°,

:./EBD=/ABD-NABE=75°-30°=45°,

故答案为45°.

【点评】本题考查作图-基本作图，菱形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关

键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

1.（2020辽阳，T16,3分）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=2BC,分别以点A

和3为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点”和N,作直线MN,交AC于

2

点E,连接BE,若CE=3,则助的长为5

【考点】KG：线段垂直平分线的性质；N2：作图-基本作图

【专题】13：作图题；69：应用意识

【分析】设=M=在RtABEC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题.

【解答】解：由作图可知，垂直平分线段AB,

AE=EB,

^AE=EB=x，

EC=3,AC=2BC,

BC=1(x+3),

在RtABCE中，BE2=BC2+EC2,

.-.X2=32+[|(X+3)]2,

解得，x=5或-3(舍弃)，

BE=5,

故答案为5.

【点评】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关

键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

三、解答题

1.（2020•江苏盐城，T21,8分）如图，点。是正方形ABCD的中心.

（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点E（异于点O）,使得EB=EC；（保留作图痕迹，

不写作法）

（2）连接£B、EC、EO,求证：ZBEO=NCEO.

。・

BC

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；N3：作图-复杂作图；LE：正方形的性质

【专题】13：作图题；64：几何直观

【分析】（1）作3c的垂直平分线，在3c的垂直平分线上（正方形内部异于点O）的点E即

为所求；

（2）根据等腰三角形的性质和角的和差关系即可求解.

【解答】解：（1）如图所示，点E即为所求.

（2）证明：连结08,OC,

点。是正方形ABCO的中心，

:.OB^OC,

:.ZOBC=ZOCB,

EB=EC,

:.ZEBC=ZECB,

:.ZBEO=ZCEO.

【点评】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般

是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性

质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.

2.（2020湖北天门，T18,6分）在平行四边形ABCD中，E为4）的中点，请仅用无刻度

的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹.

（1）如图1,在BC上找出一点使点M是的中点；

（2）如图2,在上找出一点N,使点"是血的一个三等分点.

EE

，DD

B----------------CB匕-----------------C

图1图2

【考点】L5：平行四边形的性质；N3：作图-复杂作图

【专题】13：作图题；64：几何直观

【分析】（1）连接AC和%）,它们的交点为O,延长EO并延长交于歹，则尸点为所

作；

（2）连接CE交3。于点N,则N点为所作.

【解答】解：（1）如图1,F点就是所求作的点：

图1图2

【点评】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般

是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性

质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了平行四边形

的判定与性质.

3.（2020•山东青岛，T15,3分）已知：AABC.

求作：。。，使它经过点8和点C,并且圆心。在NA的平分线上.

【专题】13：作图题；64：几何直观.

【分析】作出/A的平分线和线段的垂直平分线，找到它们的交点，即为圆心。，再

以为半径画出。。，得出答案.

【解答】解：如图所示：。。即为所求.

【点评】此题主要考查了复杂作图，正确掌握角平分线和垂直平分线的作法是解题关键.

4.（2020•山东济宁，T18,7分）如图，在AABC中，AB=AC,点P在3c上.

（1）求作：NPCD,使点。在AC上，且APCD^AABP；（要求：尺规作图，保留作图痕

迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下，若NAPC=2NABC.求证：PD//AB.

【考点】KH：等腰三角形的性质；SB：作图-相似变换

【专题】551：线段、角、相交线与平行线；67：推理能力；55£>：图形的相似；554：等

腰三角形与直角三角形

【分析】（1）尺规作图作出/4PO=NA5,即可得到NDPC=NPA,从而得到

APCZ^AAB；

（2）根据题意得到"PC=ZABC,根据平行线的的道理即可证得结论.

【解答】解：（1）如图：作出=即可得到

:.ZDPC^ZABC

:.PD//AB.

【点评】本题考查了作图-相似变换，等腰三角形的性质，平行线的判定等，熟练掌握性质

定理和判定定理是解题的关键.

5.（2020•无锡,T1,8分）如图，已知AABC是锐角三角形（AC<AB）.

（I）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线/,使/上的各点到8、C两点的距离

相等；设直线/与AB、3c分别交于点/、N,作一个圆，使得圆心O在线段上，且

与边AB、3c相切；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若BC=2,贝。O的半径为—工

【考点】KG：线段垂直平分线的性质；N3：作图-复杂作图；ME：切线的判定与性质;

KF：角平分线的性质

【专题】69：应用意识；13：作图题

【分析】（1）作线段BC的垂直平分线交至于交BC于N,作NABC的角平分线交MN

于点O,以。为圆心，QV为半径作O即可.

（2）过点。作于E.设OE=ON=r,利用面积法构建方程求解即可.

【解答】解：（1）如图直线/,。即为所求.

（2）过点。作OE_LAB于E.设OE=ON=r,

BM=~,BC=2,MN垂直平分线段3C,

3

,-.BN=CN=I,

MN=yjBM--BN2=J（|）2-I2=1,

ShBNM=S邸NO+S即OM'

23223

解得r=L

2

故答案为］

【点评】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，切线的判

定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

L（2020哈尔滨，T22,7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段四和线

段CD的端点均在小正方形的顶点上.

（1）在图中画出以AS为边的正方形点E和点厂均在小正方形的顶点上；

（2）在图中画出以CD为边的等腰三角形CDG,点G在小正方形的顶点上，且ACDG的周

长为10+回.连接EG,请直接写出线段EG的长.

BD

【考点】N4：作图-应用与设计作图；KQ-.勾股定理；KI：等腰三角形的判定

【专题】13：作图题；69：应用意识

【分析】（1）画出边长为M的正方形即可.

（2）画出两腰为10,底为JQ的等腰三角形即可.

【解答】解：（1）如图，正方形4?跖即为所求.

（2）如图，ACDG即为所求.EG="”=卮

尸

【点评】本题考查作图-应用与设计，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是

学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型.

1.1.（2020•甘肃武威，T21,6分）如图，在AA5c中，。是3C边上一点，且%）=54.

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：

①作ZABC的角平分线交AD于点E；

②作线段DC的垂直平分线交DC于点F.

（2）连接EF,直接写出线段砂和AC的数量关系及位置关系.

【考点】N3：作图-复杂作图；KG：线段垂直平分线的性质

【专题】64：几何直观；13：作图题；55G：尺规作图

【分析】（1）根据尺规作基本图形的方法：

①作ZABC的角平分线交AD于点E即可；

②作线段DC的垂直平分线交DC于点F即可.

（2）连接/，根据等腰三角形的性质和三角形中位线定理，即可写出线段EF和AC的数

量关系及位置关系.

【解答】解：（1）如图，①班即为所求；

②如图，线段DC的垂直平分线交DC于点P.

(2)BD=BA,BE平分ZABD,

.•.点E是AD的中点，

点尸是CD的中点，

是AADC的中位线，

，线段EF和AC的数量关系为：EF=-AC,

2

位置关系为：EF//AC.

【点评】本题考查了作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段

垂直平分线的性质.

2.1.(2020温州T20,8分)如图，在6x4的方格纸ABCD中，请按要求画格点线段(端

点在格点上)，且线段的端点均不与点A,B,C,。重合.

(1)在图1中画格点线段及1,GH各一条,使点E,F,G,"分别落在边BC,

CD,D4上，且EF=GH,EF不平行GH.

(2)在图2中画格点线段MN,P。各一条，使点〃，N,P,。分别落在边AB,BC,

CD,ZM上，且PQ=WN.

AD

I--------1----------r--------1--------1---------T--------1

I__L--」___•__J__1__I

iiiiiii

iiiiiii

iiiiiii

BC

【考点】N4：作图-应用与设计作图；KQ-.勾股定理

【专题】69：应用意识；13：作图题

【分析】(1)根据题意画出线段即可；

(2)根据题意画出线段即可.

【解答】解：(1)如图1,线段即和线段G8即为所求;

(2)如图2,线段MN和线段PQ即为所求.

【点评】本题考查了作图-应用与设计作图，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

L（2020浙江嘉兴，T20,8分）经过实验获得两个变量x（x＞0）,y（y＞。）的一组对应值如

下表.

X123456

y62.921.51.21

（1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式.

（2）点A（x/M），B（X2,%）在此函数图象上.若玉＜々，则以，为有怎样的大小关系？

请说明理由.

_?r?rr?!>

01234567x

【考点】E6：函数的图象；E3：函数关系式

【专题】69：应用意识；534：反比例函数及其应用

【分析】（1）利用描点法即可画出函数图象，再利用待定系数法即可得出函数表达式.

（2）根据反比例函数的性质解答即可.

【解答】解：（1）函数图象如图所示，设函数表达式为＞

寸巴％=1,y=6代入,得左=6,

函数表达式为y=—（x>0）；

在第一象限，y随x的增大而减小,

0<玉<%时，则%