考点48几何概型（解析版）

【2022版】典型高考数学试题解读与变式

考点46几何概型

一、知识储备汇总与命题规律展望

1.知识储备汇总：

(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则

称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.

(2)特点：①无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.

②等可能性：试验结果在每一个区域内均匀分布.

(3).几何概生的概率么式：P(A)-试验全部结果所构成的区域长度角度

2.命题规律展望：几何概型是高考考查的重点与热点，以函数、不等式、数列、定积分

等知识为载体，主要考查利用集合概型知识求几何概型的概率，题型为选择题.、填空题，

分值为5分，难度为基础题或中档题.

二、题型与相关高考题解读

1.与长度角度有关的几何概型

1.1考题展示与解读

例1.(1)［2021年高考全国乙卷文7】在区间(()，；)随机取1个数，则取到的数小于:

的概率为()

3211

A.-B.-C.—D.一

4336

【答案】B

【分析】根据几何概型的概率公式即可求出.

【解析】设。="区间(0,(随机取1个数”=jx|0<x<M,4="取到的数小于

/(A)3-02

；"=卜•・.P(A)=

=777^=7-=；，故选B.

，(。)1-03

2

【名师点睛】本题解题关键是明确事件“取到的数小于!”对应的范围，再根据几何

3

概型的概率公式即可准确求出.

(2)【2017年高考江苏卷7】记函数/(x)=56+x—f的一定义域为Q.在区间［Y,5］上

随机取一个数x,则的概率是▲

【答案】-

9

【解析】由6+兀-/20,即/一工一6<0,得—2KxW3,根据几何概型的概率计

【解题能力要求】应用意识，运算求解能力

【方法技巧归纳】求与长度（角度）有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何

模型转化为长度（角度）.然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关

键是构建事件的区域（长度、角度）.

1.2【典型考题变式】

【变式1：改编条件】若正方形ABCD边长为4,E为四边上任意一点，则AE的长度

大于5的概率等于（）

7

8

【答案】D

【解析】设M,N分别为BC或C£>靠近点。的四等分点，则当E在线段CM,CN上

时，AE的长度大于5,E所能取到点的长度为2,•.•正方形的周长为16,r.AE的

21

长度大于5,的概率等于一=已，故选D.

168

【变式2：改编结论】在区间[1,5]内随机取一个数加，则方程机2f+4y2=l表示焦

点在y轴上的椭圆的概率是（）

31-13

A.-B.-C.-D.一

5544

【答案】D

【解析】若方程根2丁+4丁=1表示焦点在3；轴上的椭圆，则/„2>4,解得加>2,

2<w<5，故方程“/+4丁=1表示焦点在y轴上的椭圆的概率是p=土土=3,故

5-14

选D.

【变式3：改编问法】已知。=｛（x,y）|1ymx+m和曲线y=J]--有

两个不同的交点，它们围成的封闭平面区域为M,向区域。上随机投一点4点4落在区,域M内

的概率为P,若Peg-则实数m的取值范围为（）学+科网

A.[0,3]B.[0,1]C.[0,2]D.[0,4]

【答案】B

【解析】首先根据题意画出示意图，如图所示，。=f(xy)||I12]表示的平面区域为x轴上方的-

个半圆，其面积为基由Pe[»31]=[爱斗可得,勺。由于直线丫=皿+小过一个特涮

(10),此点也在曲线y=ViK上，由上图可知，当另一个交点为(0,1)时，此时区域M的面积?

"一：xlxl=早，此时m=鼎j=L当另一个交点为3,0)时，此时区域M的面积即为半圆的面木

2.与面积有关的几何概型

2.1考题展示与.解读

例2.(1)[2021高考全国乙卷理8】在区间(0,1)和(1,2)中各随机取1个数，则两

7

数之和大于一的概率为()

4

72392

A.-B.—C.—D.一

932329

【答案】B

【分析】设从区间(0,1),(1,2)中随机取出的数分别为x,y,则实验的所有结果构成区

域为。={(x,y)|0<x<l,l<y<2},设事件A表示两数之和大于,则构成的区域为

A={(x,y)10cx<1,1<乂2,x+y)1},分别求出Q,A对应的区域面积，根据几何概型

的的概率公式即可解出.

【解析】如图所示，设从区间(0,1),(1,2)中随机取出的数分别为x,y,则实验的所有

结果构成区域为£1={(%丁)|0<%<1,1<丁<2},其面积为SQ=1X1=1.设事件A表示

两数之和大于(，则构成的区域为4={(%刈0<》<1/<乂2,%+y)(},即图中的阴影

i33?3S23

部分，其面积为S.=l—7*二*9=工，.•.尸（A）=f=w，故选B.

24432%”

【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出

（2）【2018高考全国I理10】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此

图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形A5C的斜边BC,直角边

AB,AC.Z\A3c的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为H,其余部分记为HI,在整

个图形中随机取一点，此点取自I,II,III的概率分别记为Pl，P2，Pj，则（）

A•P|="2B.P|=小C•〃2=〃3

D.P|=P2+P3

【考点】本题考查了几何概型的概率问题、数学文化.

【答案】A

【解析】试题分析：首先设出直角三角形三条边的长度，根据其为直角三角形，从而得

到三边的关系，之后应用相应的面积公式求得各个区域的面积，根据其数值大小，确定其关

系，再利用面积型几何概型的概率公式确定小，区，。3的关系，从而求得结果.

试题解析：设BC=a,C4=b,AB=c，则有从+/=/,从而可以求得△?记。的面积

为5,=^-bc,黑色部分的面积为

2

0rib+c2

s,二兀•一+兀•一-兀•———=71~0+-bc=-hc=St,

⑴⑶[{2）24221

其余部分的面积为y=兀（]j一3加=苧-gbc,E=S2，根据面积型几何概型的概率

公式，可以得到n=%，故选A.

【解题能力要求】数形结合思想，运算求解能力

【方法技巧归纳】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要

时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以

便求解.

2.2【典型考题变式】

【变式1：改编条件】如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的

内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在

正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为（）

【答案】D

【解析】由题意得正方形的内切圆的半径为4,中间黑色大圆的半径为2,黑色小圆的

半径为1,所以白色区域的面积为"X42-万X22-4X%X12=8»,由几何概型概率公式可

得所求概率为驾=工，选D.

828

【变式2：改编结论】如图，在菱形ABC0中，AB=3,N840=6O。，以4个顶

点为圆心的扇形的半径为1,若在该菱形中任意选取一点，该点落在阴影部分的概率为几，

则脚周率"的近似值为（）

A.7.74.0B.7.76poC.7.79%D.7.8lp0

【答案】C

【解析】因为菱形的内角和为360。，所以阴影部分的面积为半径为1的圆的面积，故由几何概型可为

P°=，解得）=华「0=4.5'1.732%=7.79力0.选C。学¥科网

虫x3〃22

4

.【变式3：改编问法】2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行

为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22〃?加，

面额1（）0元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有

30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）

【答案】B

【解析】由已知圆形金质纪念币的直径为22〃〃〃，得半径三11〃加，则圆形金质纪念币

的面积为犷...估计军旗的面积大约是12sx或=史里根他2,故选B.

10010

3.与体积有关的几何概型

3.L考题展示与解读

例3.在棱长为。的正方体中随机地取一点P,则点P与正方体各表面的距离都大于3

3

的概率为（）

11cl1

A•—B.—C•—D・一

271693

【命题意图探究】本题主要考查正方体的体积与球体体积的计算及几何概型，是基础题.

【答案】A

【解析】符合条件的点尸落在棱长为q的正方体内，根据儿何概型的概率计算公式得

3

故选A.

【解题能力要求】空间想象能力，运算求解能力

【方法技巧归纳】求解与体积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的几何体的体

积，必要时可根据题意构造三个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的空间

几何体，以便求解.

3.2【典型考题变式】

【变式I：改编条件】一个球形容器的半径为3cm,里面装满纯净水，因不小心混入了

1个感冒病毒，从中任取1mL水含有感冒病毒的概率为（）

1114

A.-B.—C.---D.—

3。34367r94

【答案】C

4

【解析】由题，意，球的体积为一万x3?=36万5？=36万加，由几何概型公式可得从中

3

任取1〃山水（体积为lew?）,含有感冒病毒的概率为」_：故选c.

364

【变式2：改编结论】在球。内任取一点P,则P点在球O的内接正四面体中的概率是（）

12TI12JI9兀6兀

【答案】C

【解析】设球的半径为R,则球。的内接正方体的体对角线为紫，设内接正方体的边长为a正四边形体I

角线长为伍，可知正方体的体对角线为2,

则正方体的边长为苏，又球。的内接正四面体可看成球。的内接正方体中

四条面对角线构成的正四面体，，球。的内接正四面体的体积是正方体体积的也即为：结合球白

体积公式：在球。内任取一点P使得P点在球。的内接正四面体中的概率是p=^=管，故选C.

【变式3：改编问法】已知正方体ABCD-A山iGOi的棱长为1,在正方体内随机取一点

M,则四棱锥M-ABCD的体积小于-的概率为.

6

【答案】-

2

【解析】•••正方体ABCD-44G。的棱长为1，正方体体积V=lxlxl=l,当四棱

锥M—ABCD的体积小于L时，设它的高为力，则解之得力＜1，则点M在

6362

到平面A5CD的距离等于'的截面以下时，四棱锥"一ABCD的体积小于工，求得使得

26

四棱锥M-ABCD的体枳小于-的长方体的体积V'=Ixlx，=',.•.四棱锥M-ABCD

622

的体积小于士1的概率尸=V二'=上1，故答案为1七.

6V22

DiCi

4.几何概型与其他知识的交汇

4.1考题展示与解读

4.1.1几何概型与数学文化交汇题

例4.12017课标1文4理2］如图，正方形ABCQ内的图形来自中国古代的太极图.正

方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一

点，则此点取自黑色部分的概率是（）

【答案】B

【解析】不妨设正方形边长为。，由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等,

1x;rx（a）2

即所各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，所求概率为2————=工，选

a28

B.

【名师点睛】对于一个具体问题能否用几何概型的概率公式计算事件的概率，关键在于

能否将问题几何化，也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数建立适当的坐标系，在

此基础上，将实验的每一结果一一对应于该坐标系中的一点，使得全体结果构成一个可度量

的区域：另外，从几何概型的定义可知，在几何概型中，“等可能”一词理解为对应于每个

实验结果的点落入某区域内的可能性大小，仅与该区域的度量成正比，而与该区域的位置、

形状无关.

4.1.2几何概型与解析几何交汇题

例5.［2016高考山东理数】在［-1,1］上随机地取一个数k,则事件“直线尸kx与圆

U-5）2+/=9相交”发生的概率为-

【命题意图探究】本题主要考查直线与圆的位置关系、几何概型，是中档题.

3

【答案】-

4

【解析】直线片匕与圆（x-5『+丁=9相交，需要满足圆心到直线的距离小于半径，即d=J±L<3,

Vl+k*

3

-

23

33-=-

解得一<k<7,而左所以所求概率24

44

【解题能力要求】化归与转换思想、运算求解能力

【方法技巧归纳】与其他知识交汇的几何概型问题，先用相关知识计算出满足条件的长

度或面积或体积，再利用几何概型公式计算其概率.

4.2【典型考题变式】

【.变式1：改编条件】已知x,y是［0,1］上的两个随机数，则P（x,y）到点（1,0）的

距离大于其到直线x=-l的距离的概率为（）

11113

A.—B.—C.-D.一

121244

【答案】A

【解析】x，y是［0,1］上的两个随机数，则可由平面直角坐标系中点

（0,0）,（0,1）,（1,0）,（1,1）所确定的正方形表示所有满足题意的点组成概率空间，

考查如下轨迹方程问题：P（x,y）到点（1,0）的距离等于其到直线x=-1的距离，

由抛物线的定义可得，轨迹方程为V=4x,则满足题意的点位于如图所示的阴影区域,

对y求解定积分可得其面积为：办=（*寸）心=*,据此可得，满足题意的

1

【变式2：改编结论】已知P是AABC所在平面内一点，PB+PC+4PA=Q,现在

AA8C内任取一点，则该点落在APBC内的概率是.

2

【答案】-

3

【解析】如图：，可得力=—4丽=2河n闻=—2而，所以点P到5c的距离

222

是点A到8C的距离的§，/.SaBc=§5凶雨=>尸=§•

【变式3：改编问法】设4是由x轴，直线x=a（。〈。仁勤和曲线丫二炉围成的曲边三角

形区域，集合。={（x,y）|owx«i,owywi},若向区域。上随机投一点P,点P落在区域4内

的概率为之，则实数。的值是（）

64

11

A.——D.-

162

【答案】D

【解析】根据题意，区域C即边长为1的正方形的面积为1x1=1,区域A即曲边三角

I1

x3dx=-x4|«=^4,若向区域。上随机投一点P,点P落在区域A内的概率

J0

14d1

是二，则有t=2_,解可得，。=三，故选D.

641642

【变式4：改编条件和结论】【2015年高考福建理13］如图，点A的坐标为(1,0),

点。的坐标为(2,4),函数/(x)=d,若在矩形ABC。内随机取一点，则此点取自阴

影部分的概率等于.

【答案】—【解析】由已知得阴影部分面积为4一『V公=4—1=2.所以此点取自

12Ji33

5

阴影部分的概率等于3=9.

412

【名师点睛】本题考查儿何概型，当实验结果由等可能的无限多个结果组成时，利用占

典概型求概率显然是不可能的，可以将所求概率转化为长度的比值(一个变量)、面积的比

值(两个变量)、体积的比值(三个变量或根据实际意义)来求，属于中档题.

三、课本试题探源

必修3P142页习题3.3B第1题：甲、乙两艘轮船都要在某一泊位停靠6小时，假

定它们在一昼夜的时间段中随机的到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待

的概率.

【解析】设甲'乙两艘轮船达到泊位时间分别为xj,(x,y)可以看成平面中点，实脸的全部结果构成的B

0<x<24

域为Q={(x,y)|J一一是一个如图所示的正方形区域，其面积为Sa=24x24=576,事件A表,

0<j<24

两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待，所构成的区域为

J={(xsy)|0<x<24:0<y<24.|x-y|<6}，即图中阴影部分所示,面积为£=24x24-2x；xl8x：U

=252,所以尸(4)=言2«2=二7.

四、【典例试题演练】

一、单选题

1.（2022四川•双流中学高三期末（理））在区间（0』）上任取两个数，则两个数之和小

于1的概率是（）

A.丑B.竺C.3D.口

25252525

【答案】D

【分析】

根据几何概型计算公式进行求解即可.

【解析】

设x,y«0,l）,x+y<g，如下图所示：

在方程x+y-4=0中，当x=l时，y=-,当y=l时，x=',

所以两个数之和小于?的概率是："1一；'0一："0一》17.

5--------------------------------二—

1x125

故选D.

2.（2022全国•高三月考（文））在区间［0,1］和［0,3］分别取一个数x,九则x+y<2的

概率为（）

A.-B.-C.；D

432

【答案】C

【分析】

根据题意，作出图象，根据几何概型概率公式，计算即可得答案.

【解析】

（l+2）xl

根据图象可知x+y<2的概率—「1,

r=-------------=一

1x32

故选C.

3.（2022全国•高三月考（理））一个矩形，如果从中截去一个最大的正方形，剩下的矩

形的宽与长之比，与原矩形的一样（即剩下的矩形与原矩形相似），其相似比为

避二1九0.618,称为黄金比，称该矩形为黄金矩形.黄金矩形可以用上述方法无限地分割

2

下去.已知ABC。是黄金矩形，按上述方法分割若干次以后，得如图所示图形.若在

内任取一点，则该点取自阴影内部的概率为（）

【答案】D

【分析】根据大矩形与小矩形的相似比，求得其面积比，结合面积比的几何概型，即可

求解.

【解析】由截去一个最大的正方形，剩下的矩形的宽与长之比与原矩形的一样，相似比

为或二1,可得两个矩形的面积为（避二1）2,根据给定的图形，可得大矩形4BCD的面积与

22

小矩形面积比为［（与^力4=（与，

结合面积比的几何概型，可得该点取自阴影内部的概率为（与

故选D.

4.（2022广西南宁•高三月考（文））若1路、2路公交车的站点均包括泉港一中，且1

路公交车每10分钟一趟，2路公交车每20分钟一趟，则某学生去坐这2趟公交车回家，等

车不超过5分钟的概率是（）

A.1B.3

D

85-i

【答案】C

【分析】

画出图形，结合几何概型公式求解.

【解析】

设1路公交车到达时间为X,2路公交车到达时间为y,（X,y）看作平面内的点，则可设

A={（x^）|0<x<10,0<y<20},如图所示，整个长方形区域面积为S=200,等车时间不超

过5分钟的部分应为阴影部分区域面积S,=200-75=125,故所求概率为P=冬=。.

3o

5.（2022甘肃•张掖市第二中学高三月考（理））在区间（0,2）与（2,4）中各随机取一个数,

7

则这两个数之和大于5的概率为（）

【答案】B

【分析】

/、/、（0<x<2

设区间（0,2）与（2,4）中各随机取一个数分别为x,y,则满足”4,根据题意，得

0cx<2

到不等式・2<）Y4,画出所表示的可行域，求得其阴影部分的面积，结合面积比的几何概

卜+）,>57

型，即可求解.

【解析】

设区间（0,2）与（2,4）中各随机取一个数分别为x,y,则满足

则试验所有的结果构成的区域为{（x,y）l（）<x<2,2<y<4},其面积为S=2x2=4,

0<x<2

又由，2<y<4则约束条件所对应的可行域为阴影部分,

7

其面积为5尸4心1除3.3三23，

7v

所以这两个数之和大于5的概率为品.

故选B.

6.（2022广西桂林•高三月考（理））如图，矩形的长为6,宽为4,在矩形内随机撒300

颗黄豆，落在椭圆外的绿豆数为96,以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积为（）

A.16.32B.15.32C.8.68D.7.68

【答案】A

【分析】

欲估计出椭圆的面积，可利用概率模拟，只要利用平面图形的面积比求出落在椭圆外的

概率即可.

【解析】

矩形面积-椭圆面积24-S

解：【设椭圆的面枳为S,则黄豆落在椭圆外的概率为:

矩形面积6x4

即：券二等

解得：5=16.32.

故选A.

7.（2022安徽•合肥市第九中学高三月考（理））七巧板是我国古代劳动人民的发明之一,

被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组

成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自白色部分

的概率为（）

【答案】B

【分析】

设大正方形的边长为2,求出白色部分的面积，利用几何概型能求出在此正方形中任取

一点，则此点取自白色部分的概率.

【解析】

解：如图，设大正方形的边长为2,

则GF=1,EF到的距离d,

,白色部分的面积为：

S,.=22-ix2xl-lxl=-,

目222

・•・在此正方形中任取一点，则此点取自白色部分的概率为:

5

P=4L=2="故选8.

S228

8.（2022四川省德阳中学校高三月考（理））如图，在矩形ABCD中，AB=2白，BC=2,

在矩形4BCD中随机取一点M,则点M与A,8的距离都不小于2的概率为（）

D.厚

412

【答案】A

【分析】

利用几何概型的求法即得.

【解析】

如图设圆弧交点为E,过£作于F,

在△AM中，AE=BE=2,AB=25可求得NEA/74，则

6

S阴影=gx2>/5x]_2'•%_gx2x^^）=3有.

所以点拉与A,8的距离都不小于2的概率为3“J3-3-_3&r,故选A.

2x27349

9.（2022河南•高三月考（文））已知某公交车早晨5点开始运营，每15分钟发一班车，

小张去首发站坐车，等车时间少于5分钟的概率为（）

A.-B.-C.1D.-

3523

【答案】D

【分析】由几何概型公式计算可得答案.

【解析】由几何概型概率求法知所求概率p=^=g.故选D.

10.（2022河南•高三月考（文））如图，若在正六边形A8C£）£F内任取一点，则该点恰

好取自图中阴影部分的概率是（）

ED

【答案】B

【分析】设4=8/=1,在中，利用余弦定理可求得A8,进而可求得六边形

A8CDEF和〃也的面积，由几何概型概率公式可求得结果.

【解析】记阴影部分为六边形“KLMN,则六边形〃KLMN为正六边形，

设4=B/=1,ZA/B=120°.

在△M/中，由余弦定理得：/lB2=A/2+B/2-2A/B/cosl20°=l+l-2xf-lj=3,

AB=下）,二S六边彩ABCDEF=6x-XA/3X^X^-=—>S六边形〃K（MN=6X^X1-=—y-）

3x/3

故所求概率P=：六边物MMN=+=]故选B.

3六边形ABCDEF9,33

F

11.（2022河南省实验中学高三期中（文））已知实数x,y满足f+VvL，则yNx的

概率为（）

A.；B.-C.-D.—

27tn2万

【答案】A

【分析】作出f+V=i,y=x的图象，由图象结合几何概型求解.

【解析】

作出》2+丁=1,y=X的图象，如图，

由图象可知yzx的概率「=；,故选A.

12.（2022云南•昆明一中高三月考（理））如图所示，在边长为1的正方形OABC内任

【答案】B

【分析】利用定积分的几何意义求阴影部分的面积，再根据几何概型的面积比求概率即

【解析】阴影面积S1=i（X-d）公=（与2-卜3%=!，正方形面积S=l,...所求的概

023,6

率0=色=:，故选B.

56

13.（2022山西长治.高三月考（理））往正方体的外接球内随机放入”个点，恰有小个

点落入该正方体内，则为的近似值为（）

2nm2下＞m「2小D.2岛

3〃

【答案】D

【分析】设正方体的棱长为。，外接球的半径为R,易知R=立“，然后由恰有〃，个

点落入该正方体内概率为求解.

【解析】设正方体的棱长为明则正方体的体积为标,正方体的体对角线长为

y/a2+O2+a2=^3a»

设外接球的半径为R,所以27?=也〃，贝11/?=立“，所以外接球的体积为

2

所以恰有，〃个点落入该正方体内概率为P=H=藐，解得》=久加，故选D.

—7ra3m

2

14.（2022黑龙江•哈尔滨市第六中学校高三月考（文））往正方形内随机放入〃个点,

恰有机个点落入正方形的内切圆内，则兀的近似值为（）

【答案】A

【分析】令正方形边长为2,利用几何概型中的面积型列式即可得解.

【解析】令正方形边长为2,其内切圆半径为I,则正方形面积S=2?=4,圆面积为

S'=7T=71、

由几何概型的面积型得：生=1=£，解得乃=网，所以乃的近似值为也.故选A.

15.（2022河南•高三开学考试（理））2021年中国人民银行计划发行个贵金属纪念币品

种，以满足广大收藏爱好者的需要，其中牛年生肖币是收藏者的首选.为了测算如图所示的

直径为4的圆形生肖币中牛形图案的面积,进行如下实验，即向该圆形生肖币内随机投掷100

个点，若恰有75个点落在牛形图案上，据此可估算牛形图案的面积是（）

A.B.3冗C.64D.12乃

2

【答案】B

【分析】求出点落在牛形图案上的频率，从而可得点落在牛形图案上的概率，再由概率

等于面积比可求得答案.

V75

【解析】设牛形图案的面积为S,则由题意可得f=解得S=3万，故选B.

7T-22100

16.（2022贵州省思南中学高三月考（理））在区间［-兀，句内随机取两个数分别记为。，

b,则使得函数/。）=；1+如2_（/一兀）x有极值点的概率为（）

A.-B.-C.~D.一

8424

【答案】B

【分析】对于函数/*）求导得/（X）,根据给定条件可得/。）=0有两个不等实根，进

而得出“，〃的关系，再利用几何意义并借助几何概型求解即得.

【解析】由/（x）=gx3+ar2-（〃-71）X求导得：f'（x）=x2+2ax-（h2-it）,因函数f（x）有

极值点，

于是得方程f\x）=0有两个不等实根，即△=44+4（〃满足

"+从>%的点（。1）表示以原点为圆心，正为半径的圆外,而。€［-兀,兀］,6€［-兀,兀］,则点

（。，6）表示以原点为中心，各边垂直于坐标轴，边长为2乃的正方形及内部，如图，

*

”,匕为区间卜兀，司内任意两个数的试验的所有结果构成区域是边长为2万的正方形，

面枳为S=（27）2=4/,函数/（力=；*3+62_（/_兀口有极值点的事件为4,事件4所对

区域是图中阴影区域，丽—S3于是得P⑷4=若T

14

所以函数/（X）=^x3+ax2-（b2-n）x有极值点的概率为:.故选B.

17.（2022河南•高三月考（理））在区间［1,5］上随机取一个数f,则，也>4的概率为

1I33

-C

A.4-B.25-D.4-

【答案】D

【分析】首先求出满足条件>4的r的取值范围，然后根据几何概型的概率公式求

解.

2

【解析［］tdx=tx^=2t,令2f>4,得/>2,故所求的概率为尸=痣=］.故选D.

18.（2022四川•成都外国语学校高三月考（文））已知点A（0,2）,B（2,0）,C是圆

。-2尸+”-1尸=1上异于8的一点，若A,B,C三点共线，则在线段A3上任取一点，该

点在线段8c上的概率为（）

A.-B.-C"D.-

4323

【答案】C

【分析】根据题意求得线段AB的长度，再结合圆的弦长公式求得BC的长度，利用长

度比的几何概型，即可求解.

【解析】如图所示，由4（0,2）,8（2,0）,可得|4川=万两=2&,

且直线AB的方程为尤+尸2=0,

又由圆（x-2）2+（y-l）Jl,可得圆心加（2,1）,半径r=l

则圆心（2,1）到直线x+y-2=0的距离为一」2（2|=等,可得

忸=2y1r2—d~=V2,

所以在线段AB上任取一点，该点在线段8c上的概率为P='=1.故选C.

2V22

19.（2022河南•高三月考（文））在区间［-2,3］上随机取一个数1,使-产+r+2>0的概

率为（）

A.-B.-C.-D.-

5555

【答案】C

【分析】先算出总的区间长度，再解出不等式，进而得到所求的区间长度，结合几何概

型计算即可.

【解析】由-*+，+2>0,得/_，_2<0,解得—l<r<2,所以所求的概率为

尸2-=（-&1）下3故选U

20.（2022陕西•武功县普集高级中学高三开学考试（理））已知直线/：x+y-1=0将圆

（7:炉+/一2犬-4》+1=0分为〃，N两部分，且“部分的面积小于N部分的面积，若在

圆C内任取一点，则该点落在M部分的概率为（）

A,.1-Bc.-1------1-C.-Dc.-3------1-

4424442乃

【答案】B

【分析】由直线与圆相交（由几何法求得弦长，得小弧所对圆心角），求得M,N中较小

部分的面积，然后由概率公式计算.

【解析】设直线/与圆C交于A,8两点，由圆C:（x-iy+（y-2f=4可知，圆心C的

坐标为（1,2）,半径为厂=2.圆面积为S=4乃.

因为圆心C到直线/：x+y-l=o的距离为1=咯刃=应，

V2

所以|AB|=2庐二=2五，又|C4|=|CB|=2,

万1TT

所以NAC8=W，