竞赛数学知识点

四点共圆（圆内接四边形）的性质：（1）同弧所对的圆周角相等；（2）圆内接四边形的对角

互补，外角等于其内对角；（3）圆幕定理；（4）托勒密定理Ptolemy；（5）弦切角定理。

四点共圆的判定：

1把四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，证明其顶角

相等（同弧所对的圆周角相等）。

2把四点连成四边形，证明其对角互补或一个外角等于其内对角。

3把四点连成相交的两条线段，证明它们各自被交点分成的两线段之积相等；或把

四点两两连结并延长相交的两线段，证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等

于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积。

4根据托勒密定理的逆定理。（性质和判定的前4条互为逆定理）

5从四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上。（反证法）

6证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆。即连成的四边形

三边中垂线有交点，即可肯定这四点共圆。

7同斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆，其斜边为圆的直径。

直角三角形中线定理：直角三角形斜边的中线长等于斜边的一半。（逆定理也成立）

射影定理：RTAABC中，CD是斜边上的高，则CD2=AD-DB；AC2=AD-AB；BC2=BD・BA。

三角形角平分线定理：三角形中角的平分线将对边所分成的两部分和两邻边成比例（反之也成

立）。三角形的外角平分线也有类似性质。设AD、AE是NA及外角的平分线，则有

AB/AC=BD/DC=BE/EC。

弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角；反之也成立（可用于证明切线）。

圆外切四边形定理：圆外切四边形两组对边的和相等；反之也成立。

斯特沃特定理（Stewart）：如下图，设BD=p,DC=q,则/4-pq

p+q

在4ABD和4ABC中，运用余弦定理cosB相等可证。该定理可得以下结论：

(1)当AD是中线时，p=q=£,得中线长公式AD^~y/2b2+2c2-a2；

(2)当AD是内角平分线时，AD=」一M(s-a),其中$=竺妇上；

b+c2

222222222

(3)当AD是高时，AD^~yj2ab+2hc+2ca-a-b-c=-SMBC,

2aa

其中S^BC=/s(s-a)(s-b)(s—c),即海伦公式。

梅涅劳斯定理（Menelaus,简称梅氏定理）：设X、Y、Z分别是AABC的边BC、CA、AB

或其延长线上的点（其中有奇数个点在边的延长线上），则X、Y、Z三点共线的充要条件是

（AZ/ZB）*（BX/XC）*（CY/YA尸1。（此线称为梅氏缱）

塞瓦定理（Ceva）：设X、Y、Z分别是AABC的边BC、CA、AB或其延长线上的点（其中

有偶数个点在边的延长线上），则AX、BY、CZ三线共点的充要条件是

（AZ/ZB）*（BX/XC）*（CY/YA尸1。（此点称为搴耳肉可用梅涅劳斯定理或面积方法证明）

塞瓦定理推论

1.设E是4ABD内任意一点，AE、BE、DE分别交对边于C、G、F,则

(BD/BC)(CE/AE)(GA/DG)=1«

2.塞瓦定理角元形式：AD、BE、CF交于一点的充分必要条件是：

(sinZBAD/sinZDAC)*(sinZACF/sinZFCB)*(sinZCBE/sinZEBA)=lo

3.对于圆周上顺次6点A、B、C、D、E、F,直线AD、BE、CF交于一点的充分

必要条件是：(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1。

托勒密定理(Ptolemy)：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。托勒密

定理的逆定理同样成立：若凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则该四边

形内接于圆。

广义托勒密定理：设四边形ABCD四边长分别为a,b,c,d,两条对角线长分别为m,n,

则有：m2*n2=a2*c2+b2*d2-2abcd*cos(A+C)

欧拉定理：在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，WJADBC+ABCD=ACBDo

西姆松定理(Simson)：过AABC外异于顶点的任意一点P作三边的垂线，则三垂足X、Y、Z

共线的充要条件是四边形PABC内接于圆。(此线称为三角形关于P点的西蚓松缱)

相关的结果：(1)设三角形的垂心为H,则西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且

这点在九点圆上；(2)两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角；(3)若两个三角

形的外接圆相同，这外接圆上的■■点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。

欧拉定理(Euler)：设AABC的外心、重心、垂心分别为0、G、H,则该三点共线且

0G=GH/2(重心分垂心和外心的连线段为2：Do这条直线叫三角形的欧拉缱，且九点

圆圆心也在该线上，即四点共线，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等。

・4

利用向量证明，设D为BC边上的中点，则丽+方=6,向量

OH=OA+7H=OA+2OD=OA+OB+'BD+OC+CD=OA+OB+OC；

JD=7B+^D=7c+CD=\(AB+AC),AAG=jAD=\(AB+AC),

0G=O4+AG=i(a4+(dA+AB)+(a4+AC))=j(a4+dB+dc)；

：.OG=\OH,，0、G、H三点共线且。6=丝。

33

欧拉公式：设三角形的外接圆和内切圆半径分别为R和r,则外心与内心的距离为:

d=JR?-2Rr=』R（R-2r）.（用p.9内心性质②可证）

九点圆

三角形三边的中点、三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中

点）九点共圆，称这个圆为九点圆，或欧拉圆、费尔巴哈圆。

九点圆是一个更一般的定理：垂心四面体12点共球（各棱的中点，各棱相对于对棱的垂

心）的一个特例。当一个顶点被压入所对面的时候，12点的共球就退化为9点共圆。

证明

如图所示，AABC的BC边垂足为D,BC边中点为L。证法为以垂心H为位似中

心，1/2为位似比作位似变换。

连结HL并延长至U,使LU=HL；做H关于BC的对称点

显然，ZBHC=ZFHE=180°-ZA,所以NBD'C=NBHC=180°-NA,从而A,B,D',

C四点共圆。

又因为BC和HU互相平分于L,所以四边形BUCH为平行四边形。故NBUC=N

BHC=180°-ZA,从而A,B,L',C四点共圆。

综上，A,B,C,D',U五点共圆。显然，对于另外两边AB,AC边上的F,N,E,

M也有同样的结论成立，故A,B,C,D',L',F',N',E',M，九点共圆。此圆即aABC

的外接圆。0。

接下来做位似变换，做法是所有的点（。0上的九个点和点0本身）都以H为位

似中心进行位似比为1/2的位似变换。那么，U变到了L（因为HL'=2HL）,D，变到了D

（因为D，是H关于BC的对称点），B变到了Q,C变到了R（即垂心与顶点连线的中

点）。其它各点也类似变换。。点变成了0H中点V。

位似变换将圆仍映射为圆（容易用向量证明），因此原来在。0上的九个点变成了

在。V上的九个点，且。V的半径是。。的一半。

这就证明了三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点都在一个圆上。

性质

1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半；

2.九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点；

3.三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切（费尔巴哈定理）；

4.九点圆是一个垂心组（即一个三角形三个顶点和它的垂心，共四个点，每个点都

是其它三点组成的三角形的垂心，共4个三角形）共有的九点圆，所以九点圆共与四个

内切圆、十二个旁切圆相切；

5.九点圆心（V）,重心（G）,垂心（H）,外心（0）四点共线，且

HG=20G,0G=2VG,OH=2OVo

圆幕与根轴

圆基：设平面上有一点P,有一圆0,其半径为R,则OP?*?即为P点到圆0的事。

可见圆外的点对圆的幕为正，圆内为负，圆上为0；

根轴：在平面上任给两不同心的圆，对两圆圆基相等的点的集合是一条直线，这条

线称为这两个圆的根轴；也可以称到两不同心圆所引切线长恒相等的点的轨迹为根轴。

相关定理

1,平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线;

2,若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线；

3,若两圆相切，则两圆的根轴为它们的公切线；

4,蒙日定理(根心定理)：平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条根

轴相交于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线，则三条根轴互相平行。

根轴方程

设两圆01,。2的方程分别为：

(x-a।)~+(y-bi)2-(r))2=0和(x-a2)2+(y-b2)--(r2)2=0

由于根轴上任意点对两圆的圆界相等，所以根轴上任一点(x,y)有

(x-ai)2+(y-bi)2-S)2=圆幕=(x-a2)2+(y-b2)2-(r2)2,得根轴的方程为：

2(a2-a1)x+2(b2-b1)y+f1-f2=0其中。=⑶尸+的尸-⑴尸，f?类似。

解的不同可能

两圆方程连立的解，是两圆的公共点M(xi,yi)、N(x2,y2)

①如果是两组不等实数解，M、N不重合且两圆相交，根轴是两圆的公共弦。

②如果是相等实数解，M、N重合，两圆相切，方程表示两圆的公切线。

③如果是共筑虚数解，两圆相离，只有代数规律发挥作用，在坐标系内没有实质。

称M、N是共甄虚点。

费马点(Fermat)：在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。

(1)对于任意aABC,若三角形内或三角形上某一点E,使EA+EB+EC有最小值，

则取到最小值时E为费马点。

(2)如果三角形有一个内角大于或等于120。，这个内角的顶点就是费马点。

(3)如果三个内角均小于120。，则在三角形内部对三边张角均为120。的点，就是

费马点；分别以AB,BC,CA为边，向三角形外侧做正三角形ABCi,ACBi,BCAi，然后

连接AA|,BBi,CCi，则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点。

(4)当AABC为等边三角形时，费马点与外心重合。

平面四边形中费马点：

(1)在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。

(2)在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点(P)。

三角形重心的性质:

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

设三角形三个顶点为(xi,y)(X2,y2),(X3,y3)平面上任意一点为(x,y),则该点到三

222222

顶点距离平方和为：(x।-x)+(y1-y)+(x2-x)+(y2-y)+(x3-x)+(y3-y)

22222222

=3x-2x(xi+x2+x3)+3y-2y(yi+y2+y3)+xi+x2+x3+yi+y2+y3

22222222

=3(x-(X1+X2+X3)/3)+3(y-(yi+y2+y3)/3)+xi+x2+x3+yi+y2+y3

-(X1+X2+X3y/3-(yi+yz+y3)2/3

显然当X=(XI+X2+X3)/3,y=(yi+yz+y3)/3(重心坐标)时,上式取得最小值

22222222

xi+x2+x3+yi+y2+y3-(XI+X2+X3)/3-(yi+y2+y3)/3o

2

若G为AABC的重心，则BC^iAG^CA^BG^AB^CG^^AB^BC2+CA2)；

AG2+BG2+CG2=j(AB2+BC2+CA2)；AG2+BG2+CG2最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为

((X]+X2+X3)/3,(丫|+丫2+丫3)/3);空间直角坐标系——横坐标：(X]+X2+X3)/3,纵坐标：

(Y)+Y2+Y3)/3,竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/3o

5、三角形内到三边距离之积最大的点。

三角形旁心

与三角形的一边及其它两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆；旁切圆的圆

心叫做三角形的旁心。三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，

该点即为三角形的旁心。

旁心的性质

设4ABC在NA内的旁切圆。h(rD与AB的延长线切于点P,；内切圆半径为r。

1、旁心到三角形三边的距离相等。

2、三角形有三个旁切圆，三个旁心；旁心一定在三角形外。

3、NBLC=9()o-NA/2；ZAI]B=ZC/20

4、AP|=rj•cot(A/2)=(a+b4-c)/2=p；BPi=(a+b-c)/2=p-Co

5、SAABC=ri(b+c-a)/2o

6、ri=rp(p-a)=(p-b)(p-c)/r=r/(tanB/2)(tanC/2)o

7、设4//的连线交△Z8C的外接圆于。，贝U

8、直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。

外接、内切、旁切圆半径的关系：R(acosA+6cosB+ccosC)=r(t/+6+c)；

,A.B.C.ABCBC1111

r=4/?sinysinysiny；4=4/?sm5cosEcos^=〃cot^coty；。

三角形垂心的性质：设AABC的三条高为AD、BE、CF,D、E、F为垂足，垂心为H；

1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形

的垂心在三角形外。

2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形

的垂心。

3、垂心H关于三边的对称点，均在AABC的外接圆上。

4、三角形的三个顶点、三个垂足、垂心这7个点可以得到6组四点共圆，有三组

（每组四个）相似的直角三角形，且AH-HD=BH-HE=CH-HFo

5、H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（并称这样的四

点为一个垂心组）。

6、AABC,AABH,ABCH,aACH的外接圆是等圆。

7、在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q,则AB/AP-tanB+

AC/AQ-tanC=tanA+tanB+tanC□

8、三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。

9、设0,H分别为aABC的外心和垂心，贝UNBAO=NHAC,ZABH=Z0BC,

ZBCO=ZHCAo

10、锐角△的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。

11、锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形（顶点在原

三角形的边上）中，以垂足三角形的周长最短。

12、西姆松定理（Simson西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的三垂足共

线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

13、设锐角^ABC内有一点P,那么P是垂心的充分必要条件是：

PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。

三角形内心的性质：设/为△Z8C的内心，连AI交△/8C外接圆于点K,则

@ZSZC=9O°+|ZJ；S=pr,abcr=p-AIBI-CI

②三角形一内角平分线与其外接圆的交点到三角形另两顶点的距离与其到内心的距离相

等（即K是△8/C的外心）。反之，/在ZK上且KZ=K8,则/为△Z8C的内心。

③P为4ABC的内切圆与边AB的切点，则AP=p-a=j（b+c-a）0

三角形外心的性质：

①设O为AABC的外心，则NBOC=2NA或360°-2ZJ；R=吟。

②锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和。

③设H为△ABC的垂心，\）^\OH^OA+~OB+OCo

面积方法

所谓面积方法，就是在处理一些数学问题时，以面积的有关知识为论证或计算的手段，

通过适当的变换，从而导得所考虑的量与量之间的关系，最后得到结论。由于平面上的凸多

边形都可以分割成若干个三角形，因此在面积公式中，最基本的是三角形面积公式。

三角形面积公式：SMBC-=；而sinC=pr-(acosA+bcosB+ccosC)

=Jp(p-a)(p-b)(p-c)-27?2sinAsinBsinC-

面积定理:

1.一个图形的面积等于它的各部分面积的和；两个全等图形的面积相等。

2.等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等。

3.等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高（或底）的比。

4.相似三角形的面积比等于相似比的平方。

5.四边形ABCD的对角线AC、BD间夹角为a,则四边形面积S=BQ・sina。

2

6,共边（比例）定理:设AC与BD相交于E,则有S^BAC/SADAC=BE/DE。

7.共角（比例）定理：等角或补角的三角形面积的比，等于夹等角或补角的两边的乘积的

比；等角的平行四边形面积比等于夹等角的两边乘积的比；四边形对角线的夹角相等

ADAE_AD^AE

或互补，则它们的面积比等于对角线乘积的比。^\AD'E

USABC4B‘ACS^BC4B.AC

8.燕尾定理：△ABC,D、E、F为BC、CA、AB上的点，满足AD、BE、CF交

于同一点0。贝1J

SAAOB：SAAOC=SABDO：SACDO=BD：CD；

SAAOC：SABOC=SAAFO-SABFO=AF：BF；

SABOC*SABOA=SACEO：SAAEO=EC：AE。

SI：S2=a：b；Si：Sz=S4：S3；a〃b时Si：S3：S2：S4=a~:b2：ab：ab»S=(a+b)”

几何不等式的证明儿方法大致有三种：儿何方法，代数方法，三角方法。

三角方法

利用三角函数来反映襄何ID形的燮化规律，彳馈而揩黑何冏题斡换成三角冏堰，此日寺须利

用有［i三角函数的性正弦定理、绘弦定理、三角形面稹公式及其三角不等式，另外面稹

不等li彳系的明常常是黑何不等式的重要内容，一些襄何不等式常建用面稹法来虑理。

代数方法

利用燮数燮换、因式分解及配方等手段揩黑何冏堰樽化成代数冏堰。

思考方式：1°遹常引入燮数或坐檄系，招襄何冏题化卷代数冏题。

2°利用一些重要的襄何不等式及代数不等式。

(a)B§明居司於三角形内各元素的各槿不等式，常作如下的燮数燮换，符黑何不等式化成代

数不等式。

吉殳AABC的内切01分别切或、CA>AB^D、E、F,言己AE=AF=x,BD=BF=y,CD=CE=z,

a=y+z

即b=z+x....(*),且x>0,y>0/>0。

c=x+y

反谩来，若三彳固正数ahc可以表示卷(*)的形式，即自瓦。是一彳固三角形的三遏房。

信寸^］：由上述的燮数燮换可知，卷了^明,低111於三角形的三谖不等式，可通谩燮换(*)

符三遏a,6,c樽换成三他I正教即中的代数不等式。由於。也c硅定三角形，彳耸而三角形各元素

都可通谩燮换(*)用x,yz表示，另一方面，三角形中部分的元素亦可用x,yz5|5表示：

半周长s=^(Q+b+c)=xty+z,面积△=\/s(s-aXs-b)(s-c)川平(xW+z)

内切圆半径尸Sc百，外接圆半径R=也_(x+y)(y+z)(z+x)

4A4yjxyz(x+y+z)

Cr

半顶角正切tany=ptan^=+一

,tarr72=z

通谩上面的式子，可符三角形中的一些黑何量化成三他正数x,yz。

(b)舆三角形有^的不等式：

三遏房的固有li彳系：雨遏和大於第三遏。

遏良的大小』慎序li彳系舆封鹰角的大小/双序相同，而舆封鹰的高、中^及分角^^的大

小J嗔序相反。

(c)重要的代数不等式：排序不等式、切比雪夫不等式、平均不等式、柯西不等式。

(d)重要的襄何不等式：

1Ptolemy(托勒密)不等式：

若ABCD■^四遏形，MOABCD+ADBC>ACBDo等号虎成立u>A,B,C,D四黠共H。

2°Weitzenberk(外森比克)不等式：在AABC中，cr+b2+c2>4y[3Ao等虢成立oAABC卷正三

角形。证明如下

a2+b2+c2-4A/3△=a2+b2+a2+b2-2abcosC-2^/3absinC=2a2+2b2-4absin(C+7i/6)

>2a2+2b2-4ab=2(a-b)2>0,当且仅当a=b且c=id3即△ABC为正三角形时取等。

3Erdos-Mordell尔多斯-莫迪尔)不等式：

卷AABC内部或遏上一罢占，P到三遏的距蹄卷PD、PE、PF,

||JPA+PB+PC>2(PD+PE+PF)o等虢成立oAABC卷正三角形且P卷中心。

证明：设PA=x,PB=y,PC=z,PD=p,PE=q,PF=r0C、D、P、E四点共圆，有

DE=ylp2+/+2pqcosC=J(psin8+qsinA)2+(pcos3—geos%)2>psin8+qsin/,

及而z_DE>psinB+qsinA同理rsin5+(7sinC了〉尸sinZ+psinC

sinCsinCsinJ'sinB

十日、/singsin。、,sinAsin。、,s\nAsin&、“、

sinCsin5sinCsinAsinBsinJ

可证得如下的儿何不等式：设P为aABC内任一点(包括边界)，NAPB、NBPC、

、、

ZCPA的平分线与边AB、BC、CA分别相交于EIE2E3,则PA+PB+PC>2（PEI+PE2+PE3）O

4°在AABC中，使PA+PB+PC■^最小的平面上的Piy联阳葡1占。^ZBAC>120°

畤，A黠卷费焉黠；常每彳固内角金匀小於120°畤，即典三遏张角卷120°的P黠卷费焉黠。

5.Euler（欧拉）不等式：

设AABC外接圆与内切圆的半径分别为R、r,则RN2r；当且仅当aABC为正三角

形时取等号。

证明：由欧拉公式d=jRE-2r）,又d>0,所以R-2rN0,即RN2r。

当且仅当d=0即内心与外心重合时取等；此时三角形ABC为正三角形。

6.等周定理（等周不等式）：

①底边和顶角一定的所有三角形中，等腰三角形面积最大、周长最大。

②底边和周长一定的所有三角形中，等腰三角形面积最大。

③内接于定圆的所有n边形中，正n边形的面积最大。

④周长一定的所有n边形中，正n边形的面积最大；面积一定的所有n边形中，正

n边形的周长最小。

⑤周长一定的所有图形中，圆的面积最大；面积一定的所有图形中，圆的周长最小。

2

若尸为封闭曲线的周界长，〃为曲线所包围的区域面积，则4TTA<Po

7.面积不等式：SC<-ABAC,当NA=90。时取等号。

AAB2

几何变换（运动）：通过平移、对称（翻折，反射）、旋转、相似等方式，把几何图形变换

到所需要的位置或变为所需要的图形，使题设条件相对集中，使隐含的关系得以显现，

以利于问题的解决。处理儿何变换的关键是从变中抓住不变的量。（样见p.67）

对称变换是平面到自身的一一变换，每对对应点P、P'所连接的线段PP'都被定直线/

垂直平分，则这种变换称为关于直线/的对称或反射，记为S（/）。定直线/称为对称轴,

点P，称作点P关于轴/的对称点。

平移变换是平面到自身的一一变换，任意一对对应点P、P'连接的有向线段等于定向量

则称这种变换为平移变换，记作T（1）。3叫做平移向量，其方向称为平移方向，其

T而一

长度称做平移距离。PfP'表示点P经过平移T（a）变到P，。平移变换前后的对应线段

平行且相等，对应角的两边分别平行且方向一致。

旋转变换是平面到它自身的一一变换，任意一对对应点P、P'与平面上一定点0的距离

总相等，且NPOP，等于定角0,这种变换称为关于点0的旋转，记作R(0,0)。点O称

为旋转中心，。称作旋转角。旋转变换前后的图形全等，且顺序不变。旋转角0=180。

的旋转变换叫作中心对称变换，用C(O)表示关于点O的中心对称，C(O)=R(O,180°)o

相似变换是平面到它自身的一一变换，线段A，B，是AB的像，且A，B7AB“(常数)，这

种变换称为相似变换，用s表示，常数左称作相似系数或相似比。图形F相似变换为图

形P,记作Fsp。在相似变换下，共线点对应共线点，射线对应射线，角对应角，三

点A、B、C的线段比不变AB/BC=AB/B，C°

位似变换是平面到它自身的——变换，点A，是任意点A的像，且丽=〃西(点O和数左

固定)，称这种变换为以。为(位似)中心、以人为位似比的位似变换，记为H(O,Q。k>0

时，A与A，在点O的同侧，O为外分点，此种变换叫做外位似(或正位似、顺位似)；k<0

时，A与A，在点O的两侧，O为内分点，此种变换叫做内位似(或反位似、逆位似)。k=\

时，就是恒等变换(平面上每个点与它自身对应的变换)，即H(O,1)=1；k=-l时为中心对

称变换，即H(O,-1)=R(O,兀尸C(O)。在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；

一条线(直或曲)上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为

共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不

经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、

相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点。除内含非同心圆外，任何两圆

都是位似形，两圆相切时切点为位似中心，两圆外离时•外(内)公切线的交点为其正(反)

位似中心，两非等圆相交时外公切线交点为正位似中心。

位似变换是相似变换的特殊情形，平移变换可看作中心在无穷远点的位似变换。

接连施行两次儿何变换称为变换的乘法，其结果称为变换的积。记点P在变换6的作

用下的像为5(P),记3(P)在变换6的作用下的像为65(P)，则有如下性质：

IV

⑴对于两次反射S(/|)、S(/2),若：〃/2,则S(/>S(/2)=T(2),v为h、/2之间的距

离；若/|、，2相交于O，且交角为0,则S(/|>S(/2)=R(O,20)。即任何平移都是反射的

乘积，任何旋转都是两个反射的乘积。

⑵对于同一旋转中心0,连续两次旋转的积R(o,d)R(O,02)=R(O,O1+O2)。

⑶对于不同旋转中心，连续两次旋转有:若仇+。2先兀，则R(Oi，9I)-R(O2,02)=R(O,

O1+O2)，点0按下图方法确定；若仇+。2=2兀，则R(Oi，9I)-R(O2,02)=T(2V)O

证明:令R(Oi，0i)=S(/2)-S(/i),R(O2,e2)=S(73)-S(/2),则

R(O2,02)R(Olt9i)=S(73)-(S(/2)-S(Z2))-S(/I)=S(/3)-S(/I),若仇+电疗兀，由性质1及上式

知R(01,0)R(02,02)=R(0,01+02)，其中o是、/2的交点；若&+。2=2兀，则(仇+。2)/2=无,

有h〃h，由性质1及上式得R(O1，0I)-R(O2,02)=T(2V)O

【例】P是。0的弦AB的中点，过P点引。O的两弦CD、EF,连结DE交AB于M,

连结CF交AB于N。求证：MP=NP。(蝴蝶定理)

S(GH)

【分析】设GH为过P的直径，FfP,显然FG。。。又PdGH,APF^PFo

S(GH)S(GH)

,

VPFfPF，，PAfPB,ZFPN=ZFTM,PF=PF0

又FF」GH,AN±GH,，FP〃AB。/.ZF,PM+ZMDF,=ZFPN+ZEDF,

=ZEFF,+ZEDF,=180°,，P、M、D、F四点共圆。/.ZPFzM=ZPDE=ZPFNo

/.APFN^APF^,PN=PMo

一般结论为：已知半径为R的。O内一弦AB上的一点P,过P作两条相交弦CD、

EF,连CF、ED交AB于M、N,已知OP=r,P到AB中点的距离为a,

22

贝I」|l/PM-l/PN|=2a/(R-r)o(解析法证明：利用二次曲线系知识)

非纯几何解法：几何题都是有关图形性质的，图形是点的集合，将点与复数、向量、平面坐

标(直角坐标、极坐标)之间建立对应关系，就可将几何问题解法转化为其它方法，如代数法、

三角法、解析法、向量法、复数法。

当解题关键在于算出某个儿何量的大小时，可用代数法求得关键量；

三角法主要借助正、余弦定理，利用三角函数的定义和有关三角公式;

解析法是把儿何问题转化为代数问题来处理的更一般的方法，要注意选择适当的坐标系,

尽可能化为较简单的代数问题，采取便于使用的方程形式，综合运用儿何图形的性质及代数、

三角知识；

向量法可充分运用向量的运算定律及几何意义；

复数法与解析法相比，优点在于可以进行乘法运算，乘以复数相当于作相似变换：

将长度（模）乘以尸，再逆时针旋转角夕，位似中心和旋转中心均为原点。复数乘法的儿何表示

为向量的拉伸与旋转的合成，不同于向量的乘法（数量积或向量积）。与位似、旋转有关的问

题常用复数去解，还常用复数取模而产生的不等式。

多面角：有公共端点且两两不共面的n（nM3）条射线，以及相邻两条射线间的平面部分所

组成的图形，叫做多面角。组成多面角的射线叫做多面角的棱，多面角有儿条棱，就叫儿面

角；棱的公共端点S叫做多面角的顶点；相邻两棱间的平面部分叫做多面角的面；相邻两棱

组成的角，叫做多面角的面角；相邻两个面组成的二面角叫做多面角的二面角。

构成多面角的必要条件是：各面角和小于360。，且任一面角小于其他各面角和。

三面角

由三个面构成的多面角称为三面角，如图中三面角可记作NO-ABC。

特别地，三个面角都是直角的三面角称为直三面角。

三面角的补三面角：由三条自己知三面角顶点发出的垂直于已知三面角的三个平面

的射线组成的三面角叫做已知三面角的补三面角。

性质

1、三面角的任意两个面角的和大于第三个面角。

2、三面角的三个二面角的和大于180。，小于540。。

三面角相关定理：设三面角NO-ABC的三个面角NAOB、NBOC、NAOC所对的

二面角依次为NOC,ZOA,ZOBo

1、三面角正弦定理：

sinZOA/sinZBOC=sinZOB/sinZAOC=sinZOC/sinZAOBo

2、三面角第一余弦定理：

cosZBOC=cosNOAxsinNAOBxsinZAOC+cosZAOBxcosZAOC。

3、三面角第二余弦定理：

cosZOA=cosZBOC><sinZOBxsinZOC-cosZOBxcosZOCo

正多面体：多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角。正多

面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体5种。有些化学元素的

结晶体呈正多面体的形状，如食盐的结晶体是正六面体，明矶的结晶体是正八面体。

类型面数棱数顶点数每面边数每顶点棱数

正4面体46433

正6面体612843

正8面体812634

正12面体12302053

正20面体20301235

对偶性：

把一个正多面体每个面的中心连起来，可以得到一个新的多面体。如果原来是正六

面体，那么得到的是正八面体；如果原来是正八面体，那么得到的是正六面体。把这一

性质称为正六面体与正八面体对偶。正十二面体与正二十面体对偶。而正四面体则与自

己对偶。

正多面体体积与表面积公式：

32232

V4=V2/12*a,S4=V3a；V6=a\S6=6a；V8=V2/3*a,S8=2V3a；

3232

Vi2=(15+7V5)/4*a,SI2=15/75-2V5*a；V20=(15+5V5)/12*a,S20=5V3ao

欧拉公式：

设凸多面体的顶点数为V,棱数为E,面数为F,则V+F-E=2o

数论是研究整数性质的门理论。整数的基本元素是素数，所以数论的本质是对素数性质的

研究。初等数论（古典数论）是利用整数本身的性质（奇偶、整除、同余）和逻辑推理的方法来论

证数论命题。

两个计数的基本原理

乘法原理：如果完成一件事需要n个步骤，做第一步有n种方法，做第二步有m2种方

法，…，做第n步有两种方法，那么完成这这件事共有miXn^X…Xmn=j［町.种方法。应

/=1

用乘法原理的关键是将一个复杂的过程分解为若干个接连进行的简单过程。

加法原理：如果所要计数的对象有n类，第一类有叫种，第二类有m2种，…，第n类

有mn种，那么这些对象总计有g+m2+…+?种。应用加法原理的关键是将所有计

/=1

数对象，依据同一标准，分为不重、不漏的若干类。

整数的进位制表示

正整数的十进制表示法:anan_}...axaQ,…,—都是0到9的整数，且。产0）

是和式anT0n+为_r10n-l+…+。2-1（）2+0.10+。0的简单记法。这种以10的方暴的降幕形式表示整

nnI2

数的方法又叫科学计数法。以二进制表示为an-2+an.i-2'+"''+a2-2+ai-2+ao＞简记为3＞而1…

其中出,%-1,…，。1,。0取0或1,且出力0。

整除：对于两个整数a,b（bWO）,若存在一个整数q,使得a=bq,则称b整除a,或a被b

整除，记作b|a,且称a是的b倍数，b是的a约数（因数）。若不能整除，则记作bta。

整除性质

⑴如果b|a,那么b|(-a),-b|a,(-b)|(-a),|b|I|a|。

⑵如果c|b,b|a,那么c|a。(传递性)

⑶如果c|a,c|b,m、n是整数，那么c|ma+nb。

特别地，当m=l,n=±l时，c|a±b；一般地，若b®,xfZ（i=l,2,…,n）,则“工为当。

/=!

⑷如果b|a,c为整数（0除外），那么b|ac,bc|ac；反之，若bc|ac,则b|a。

⑸如果c|a,cIb,那么c,la+b。

⑹如果|a|<|b|,且|b|I|a|,那么a=0。

⑺如果b|a,d|c,那么bd|ac。

⑻如果a=b+c,d|b,d|c,那么d|a。

⑼如果a|b,b|a,那么|a|=|b|。

（10）如果b|a,c|a,且（b,c尸L那么bc|a。

（11）如果bc|a,那么b|a,c|a0

⑫如果61ac,且（b,c）-1,那么b\a»

⑬〃个连续整数中有且仅有一个能被〃整除；〃个连续整数之积一定能被〃整除。

（14）〃个连续自然数的乘积一定能被〃！整除。

nn

（15）若/（x）=6rltx+t7n.|X-'H----⑷田”）是整系数多项式且d|b-c,则d|f（b）-f（c）o

整除的规则

个位上是偶数，就能被2整除。

各位数字之和能被3（或9）整除，就能被3（或9）整除。

末两位能被4（或25）整除，就能被4（或25）整除。

个位上是0或5,就能被5整除。

末三位与其前的差能被7（或11,13）整除，就能被7（或11,13）整除。

末三位能被8（或125）整除，就能被8（或125）整除。

把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能

被7整除。

奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，就能被11整除。

末四位与前面的数的差能被73（或137）整除，则这个数能被73（或137）整除。

末4位与前面的数的和能被101整除，则这个数能被101整除；末2位与前面的数

的差能被101整除，则这个数能被101整除。

末五位与前面的数的差能被9091整除，则这个数能被9091整除。

当k为正整数时，则2k.i+^21。

质数•合数

正整数依据其正约数的个数分为三类：只有一个正约数的，单位数1;只有两个正约数

的(1和它自身)，叫质数(又称素数)；有两个以上正约数的，叫合数。

2是最小的质数，也是唯一的偶素数。相差为2的两个素数叫李生素数，截至2002年底，

人们发现的最大的季生素数是：(33218925x2169690-1,33218925x2169690+1)。

素数有无穷多(欧儿里得证明在他的儿何学原本中)：假设素数只有有限的n个，从

小到大依次排列为Pl，P2，…，Pn°取X=P1P2…Pn+1，则它被Pl，P2，…，Pn中的任

何一个素数整除都会余1。由假设X是合数，它必有一个素约数p,显然p不同于P1，

P2，…，Pn，这与假设pl，p2，…，pn为全部素数矛盾。

素数可用爱拉托斯散筛选法进行判定：若自然数N不能被不大于后的所有素数整

除，则N是一个素数。(可用孙子定理证明)

费尔马猜想Fn=2*+1(nCN)是素数，他验算了n=0〜4。但欧拉证明：F5=641X

6700417是合数。以后的Fn值，数学家再也没有找到哪个Fn值是质数；现在数学家们

取得Fn的最大值为n=1495,其位数多达10心84位，但它不是质数。

梅森猜想Mp=2P-l(p是质数)是素数，他验算了p=2、3、5、7、17、19。欧拉证明

M31是质数。但M“=2047=23x89不是素数。美国数学家科勒证明，M67=193707721X

761838257287是合数，这是第九个梅森数。第10个梅森数是质数，第11个梅森数是

合数。现在，数学家找到的最大的梅森数是一个有9808357位的数：232582657/。

质数的规律：10之内的质数是2,3,5,7；其余质数的个位为1,3,7,90质数

不能被个位数是9的自然数整除；个位数是9的质数不能完全开方和不能被个位数是7

的自然数整除；个位数是7的质数不能被个位数是7的自然数整除；个位数是3的质数

不能被个位数是3的自然数整除；个位数是1的质数不能完全开方和不能被个位数是3

的自然数整除。

梅森合数的进展

①p=4r+3,如果8r+7也是素数，则：(8什7)|(2「-1),即2p+l|2P-l；

如：11=4x2+3,23|(2"-1)；23=4x5+3,47|(223-1)；83=4x20+3,167|(283-1)

②p=2"x32+l,则6p+l|2P-l；

如：37=22x32+1,223|237-1；73=23x32+l,439|(273-1)；577=26x32+l,3463|(2577-1)

③P=2nx3mx5-1,则8p+l|2P-l；

如:29=2x3x5-1,233|229-1；179=22X32X5-1,1433|2179-1；239=24x3x5-l,1913|2239-1

威尔森定理(Wilson)：p是一个素数，当且仅当(p-1)!=—1(modp)□

拉格朗日定理：如果n是素数，那么(n-l)!+l一定是n的倍数。

奇素数p能表示成两个正整数的平方和的充分必要条件是：p三1(mod4)o

四平方定理(Lagrange)：每一个正整数都能表示成4个整数的平方和。

设n=q2p,n>0,且p没有平方因数，则n能表示成两个整数的平方和的充分必要

条件是：p没有形如4m+3的质因数(即只有因数2或4m+l型质因数)。

算术基本定理：任何合数N,都可以唯一分解成若干个质数的乘积，N=p；',

其中Pi<P20..<Pn是质数，诸方暴《是正整数。又叫唯一分解定理。

这样的分解称为正整数N的素因数标准分解式，由乘法原理可得：

(1)它的正因数个数为：(1+。1)(1+做)…(1+%)。

当且仅当N为(完全)平方数时，正约数个数为奇数。奇数的平方都可以表示为8k+l,

奇数平方的十位数字是偶数；偶数的平方(为4的倍数)都可表示为8k或8k+4；即任何平

方数被4除的余数只能是0或1；四个连续整数的乘积加1,必定是一个平方数。

(2)它的所有正因数之和为d(N)=(1+p1+,•,+pI°1)(1+P2+,•,+P2°2),•,(1+Pn+,,,+Pnan)

=f[--------。当d(N)=2N时就称N为完全数(Perfectnumber又称完美数或完备数，是否

VA-1

存在奇完全数，是一个至今未解决之猜想)，所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和

(即因子函数)，恰好等于它本身。完全数的性质如下：

1、它们都能写成连续自然数之和。6=1+2+3；28=1+2+…+7；496=1+2+…+31

2、每个都是调和数(全部因数的倒数之和为2)。1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2

3、除6以外的完全数，可以表示成连续奇立方数之和。496=13+33+53+7