新北师大版八年级数学(上)第二章实数教案

第二章实数

§2.1认识无理数（一）

教学目标

（一）知识目标：

1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.

2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出现由.

（二）能力训练目标：

1.让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手

能力和合作精神.

2.通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数,

训练他们的思维判断能力.

（三）情感与价值观目标：

1.激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情.

2.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神.

3.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的精神.

教学重点

1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.

2.会判断一个数是否为有理数.

教学难点

1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.

2.判断一个数是否为有理数.

教学方法：引导一探究一归纳

教学过程

一、创设问题情境，引入新课

【想一想】

⑴一个整数的平方一定是整数吗？

⑵一个分数的平方一定是分数吗？

【算一算】

已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2,算一算斜边长》的平方，并提出

问题：x是整数（或分数）吗？

【剪剪拼拼】

把边长为1的两个小正方形通过剪、拼，设法拼成一个大正方形，你会吗？

目的：选取客观存在的“无理数"实例，让学生深刻感受“数不够用了”.

二、获取新知

【议一议】：已知/=2,请问：①〃可能是整数吗？②。可能是分数吗？

【释一释工释1.满足Y=2的。为什么不是整数？

释2.满足Y=2的。为什么不是分数？

【忆一忆工让学生回顾“有理数”概念，既然。不是整数也不是分数，那么。一定不

是有理数，这表明：有理数不够用了，为“新数”（无理数）的学习奠定了基础

【找一找工在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有

三：应用与巩固

【画一画1】：在右1的正方形网格中，画出两条线段:

1.长度是有理数的线段2.长度不是有理数的线段

【画一画2】：在右2的正方形网格中画出四个三角形

2.三边长都是有理数2.只有两边长是有理数

3.只有一边长是有理数4.三边长都不是有理数

【仿一仿工例：在数轴上表示满足d=2晨>0）的x

解:（右2）

OAP

仿：在数轴上表示满足f=5（x>0）的x

1111tllII.

O.

【赛一赛工右3是由五个单位正方形组成的纸片，请你把任

它剪成三块，然后拼成一个正方形，你会吗？试试看!（右3）

目的：进一步感受“新数”的存在，而且能把“新数”表示在数轴上，加深了对“新

知”的理解，巩固了本课所学知识.

四：课堂小结

1.通过本课学习，感受有理数又不够用了，请问你有什么收获与体会？

2.客观世界中，的确存在不是有理数的数，你能列举几个吗？

3.除了本课所认识的非有理数的数以外，你还能找到吗？

五：布置作业

习题2.1

§2.1认识无理数（二）

教学目标

（-）知识目标：

1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想.

2.会判断一个数是有理数还是无理数.

（二）能力训练目标：

1.借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并在活动

中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力.

2.探索无理数的定义，以及无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是

有理数，训练大家的思维判断能力.

（三）情感与价值观目标：

1.让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力.

2.充分调动学生的积极性，培养他们的合作精神，提高他们的辨识能力.

教学重点

1.无理数概念的探索过程.

2.用计算器进行无理数的估算.

3.了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断.

教学难点

1.无理数概念的建立及估算.

2.用所学定义正确判断所给数的属性.

教学方法：引导一探究一归纳

教学过程

第一环节：创设问题情境，引入新课

内容:想一想：

1.有理数是如何分类的？

'整数（如一1,0,2,3,—）

有理数＜

I分数（如一1，一2一，9一，0.5,-）

3511

2.除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数？如圆周率兀，0.020020002…上节课

又了解到一些数，如Y=2,〃=5中的a,b不是整数，能不能转化成分数呢？那

么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它们的真面目.

意图：通过这些问题让学生发现有理数不够用了，存在既不是整数，也不是分数的数，

激发学生的求知欲，去揭示它的真面目.激发学生的好奇心和求知欲，引出本节课题“数

不够用了（2）”.

第二个环节：活动与探究

1.探索无理数的小数表示

内容：借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a和面积为5的正方

形的边长b进行估计.

请看图，判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？边长a的取值范围大致

是多少?如何估算的？是否存在一个小数的平方等于2?说说你的理由.

边长a面积s

\<a<2l<s<4

1.4<a<1.51.96<s<2.25

1.41<a<1.421.9881<s<2.0164

1.414<a<1.4151.999396Vs<2.002225

1.4142<a<1.41431.99996164<s<2.00024449

归纳总结:a是介于1和2之间的一个数，既不是整数，也不是分数，则a一定不是有

理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数.

请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.

目的：让学生有充分的时间进行思考和交流，逐渐地缩小范围，借助计算器探索出

a=1.41421356...,b=2.2360679…，是无限不循环小数的过程，体会无限逼近的思想.

效果：学生感受到无理数确实是无限不循环的，为后续定义无理数打下基础.

2.探索有理数的小数表示，明确无理数的概念

内容：请同学们以学习小组的形式活动：一同学举出任意一分数，另一同学将此分数

表示成小数，并总结此小数的形式.

议一议：分数化成小数，最终此小数的形式有哪几种情况？

探究结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数.

即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.

强调：像0.585885888588885…，1.41421356...,一2.2360679…等这些数的小数位数

都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数.

我们把无限不循环小数叫做无理数.（圆周率汽=3.14159265…也是一个无限不循环小

数，故兀是无理数）.

目的：通过学生的活动与探究，得出无理数的概念.

第三个环节：知识分类整理

内容：到目前为止我们所学过的数可以分为几类？（按小数的形式来分）.

「整数

r有理数：有限小数或无限循环小数4

数

J|L分数

I无理数：无限不循环小数

强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别.无理数还可以进行怎样的

分类？

目的：培养学生总结归纳的能力，把新学知识纳入已有的知识体系，进一步发展学生

的思维判断能力，加强学生对分类思想的理解.

第四个环节：知识运用与巩固

课本随堂练习.

第五个环节：课堂小结

内容：本节课你有哪些收获？

1.无理数的定义.

2.你是怎样判断一个数是无理数还是有理数的？

3.请把已学过的数怎样分类？

第六个环节：布置作业

习题2.21.2.3.

附：板书设计

1.数不够用了（2）

一、导入

二、新课

1.有理数的定义：有限小数或无限循环小数.

2.无理数的定义：无限不循环小数.

3.数的分类：

r整数

r有理数：有限小数或无限循环小数＜

数〔分数

I无理数：无限不循环小数

三、例题讲述

四、小结

§2.2平方根（一）

教学目标：

1、了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；了解求一个正数的算

术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根；了

解算术平方根的性质.

2、在概念形成过程中，让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力；在合作

交流等活动中，培养他们的合作精神和创新意识.

3、让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲.

教学重点：算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根。

教学难点：算术平方根的概念、性质。

教学方法：引导一探究一归纳

教学过程：

一、创设问题情境，导入新课

1.教师活动：回顾上节课的拼图活动及探索无理数的过程，提出问题：面积为13的正

方形的边长究竟是多少？

学生活动：

(1)完成课本填空：

a2=b2=,

c2=d2=

e2=,f2=

(2)a,b,c,d,e,f中哪些是有理数，哪些是无理数？

你能表示它们吗？

2.师生互动

集体交流后，说明无理数也需要一种表示方法。

二、初步探究

内容1：情境引出新概念

一=2,V=3,Z2=4,"=5,已知基和指数，求底数了,你能求出来吗?

目的：让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性.

内容2：在上面思考的基础上，明晰概念：

9

一般地，如果一个正数X的平方等于。，即尸=。，那么这个正数X就叫做。的算术平

方根，记为“石”，读作“根号特别地，我们规定0的算术平方根是0,即而二°.

内容3：简单运用巩固概念

例1求下列各数的算术平方根：

49

(1)900；(2)1；(3)64.(4)14.

解：(1)因为3。2=900,所以900的算术平方根是30,即即'=30；

(2)因为产=1,所以1的算术平方根是1,即加=1；

72_49497/49=7

⑶因为左一64,所以64的算术平方根是京，即丫648.

(4)14的算术平方根是旧.

内容4：回解课堂引入问题

*2=2,)尸=3,卬2=5,那么*=后，y=6,w=V5.

三、深入探究

内容1：例2自由下落物体的高度人（米）与下落时间t（秒）的关

系为〃=4.9尸.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到

达地面需要多长时间？

目的：用算术平方根的知识解决实际问题.

效果：学生多能利用等式的性质将人=49产进行变形，再用求

算术平方根的方法求得题目的解.

解：将0=19.6代入公式〃=4.9〃，得〃=4,所以正数

，="=2（秒）.

即铁球到达地面需要2秒.

内容2：观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点.

目的：让学生认识到算术平方根定义中的两层含义：及中的。是一个非负数，。的算

术平方根右也是一个非负数，负数没有算术平方根.这也是算术平方根的性质一一

双重非负性.

四、反馈练习：随堂练习

五、课堂小结：

1、这节课学习的算术平方根是本章的基本概念，是为以后的学习做铺垫的.通过这

节课的学习，我们要掌握以下的内容：

⑴算术平方根的概念，式子石中的双重非负性：一是a20,二是指20.

⑵算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负

数没有算术平方根.

⑶求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系

求非负数的算术平方根.

2、方法归纳：转化的数学方法：即将陌生的问题转化为熟悉的问题解决。

六、作业：习题2.3

§2.2平方根（二）

教学目标：

1、了解平方根、开平方的概念，明确算术平方根与平方根的区别和联系.

2、进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系.

3、经历平方根概念的形成过程，让学生不仅掌握概念，而且提高和巩固所学知识的

应用能力.

教学重点：了解平方根和开平方的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根

和平方根。

教学难点：平方根和算术平方根的区别。负数没有平方根，即负数不能进行开平方运

算。

教学方法：引导一探究一归纳

教学过程：

一、复习提问，导入新课

1、算术平方根的概念，任何一个有理数都有算术平方根吗？算术平方根有什么性质。

2、9的算术平方根是，3的平方是，

还有其他的数的平方是9吗？

二、探究新知：

1.想一想

4

平方等于25的数有几个？平方等于0.64的数呢？

学生活动：学生思考，然后交流，得出平方根的定义。

2.教师活动：形成概念

一般地，如果一个数》的平方等于。，即那么，这个数x就叫做。的平方根。

也叫做二次方根。而把正的平方根叫做a的算术平方根.

表达式为:若x?=a,那么x叫做a的平方根.记作土瓜.

3和一3的平方都是9,即9的平方根有两个3和一3；9的算术平方根只有一个，是3。

3.学生活动：

求出下列各数的平方根。

4

16,0,9,—25,

4.概念辨析

平方根与算术平方根的联系与区别

联系1.包含关系平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.

2.只有非负数才有平方根和算术平方根.

3.0的平方根是0,算术平方根也是0.

区别1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根.

2.表示法不同：平方根表示为土右,而算术平方根表示为右.

三、议一议：

（1）一个正数的有几个平方根？

（2）0有几个平方根？

（3）负数呢？

★教师活动：

一个正数有两个平方根，0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。

☆学生活动：

正数的两个平方根有什么关系吗？

讨论，交流得出：

一个正数。有两个平方根，一个是。的算术平方根，“右”，另一个是“一右”，它们

互为相反数。这两个平方根合起来，可以记做“土右”，读作“正、负根号。”。

开平方：求一个数。的平方根的运算，叫做开平方。其中。叫做被开方数。(已知指

数和累，求底数的运算是开方运算)

★教师活动

开平方和平方互为逆运算，我们可以利用平方运算来求平方根。

四、例题和新知巩固：

例1求下列各数的平方根：

49

(1)64,(2)121,(3)0.0004,(4)(-25)2,(5)11

五、随堂练习：

★教师活动：

要学生进一步明白平方根与算术平方根在应用上的区别。

⑴等于多少｛等于多少？

》等于多少9

寸于正数等于多少N

师生互动，讨论交流得出：(&)2="("对)

六、小结：

引导学生总结本课时的知识、方法.让学生对所学的知识进行梳理，使之思路清晰，

既巩固了有关知识，又培养了学生良好的学习习惯.如：

1.平方根的定义、表示方法、求法、性质。及平方根和算术平方根的区别和联系。

2.使学生学到由特殊到一般的归纳法。

七、作业：习题2.4

§2.3立方根

教学目标

1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根；会用立方运算求一个数的立方

根，了解开立方与立方互为逆运算，了解立方根的性质；区分立方根与平方根的不同；

2.经历对立方根的探究过程，在探究中学会解决立方根的一些基本方法和策略，培养

逆向思维能力和分类讨论的意识.学生在经历用类比的方法学习立方根的有关知识过

程中，领会类比思想；

3.立方根概念、符号、运算及性质的探究过程中，培养学生联系实际、善于观察、勇

于探索和勤于思考的精神；

重点：立方根的概念及求法.

难点：立方根与平方根的区别.

教学方法：引导一探究一归纳

教学过程设计

第一环节：创设问题情境

内容：某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果

它的体积是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐的多少倍？如果储气罐的体积是原

来的4倍呢？

v=-7rR3

（球的体积公式为3,R为球的半径）

提问：怎样求出半径R?学完本节知识后，相信你会有一个满意的答案.有关体积

的运算和面积的运算有类似之处，让我们用上节课解决问题的方法来学习新知识.

目的：通过实际情境引入，让学生感受新知学习的必要性，激发学生的求知欲望，从

而顺利引入新课.

第二环节：复习引入、类比学习

提问：

（1）什么叫一个数a的平方根？如何用符号表示数a（a20）的平方根？

（2）正数的平方根有几个？它们之间的关系是什么？负数有没有平方根？0的平方根

是什么？

（3）平方和开平方运算有何关系？

（4）算术平方根和平方根有何区别与联系？

强调：一个正数的平方根有两个，且互为相反数；一个负数没有平方根；0的平方根

是0

（5）为了解决前面情景中的问题，需要引入一个新的运算，你将如何定义这个新运

算？

1.一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根（也

叫做二次方根）.

2.一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根（cube

root,也叫做三次方根）.如：2是8的立方根，一3是一27的立方根，。是。的立方根.

目的：学生通过回顾上节课的学习内容，为进一步研究立方根的概念及性质做好铺垫,

同时突出平方根与立方根的对比，以利于弄清两者的区别和联系.

第三环节：初步探究

1、做一做：怎样求下列括号内的数？各题中已知什么数？求什么数？

（>=_卫

（1）<>=0.001；（2）64.⑶（）3=0.

目的：通过计算练习，使学生进一步了解求一个数的立方，与求一个数的立方根是互为

逆运算，感受一个数的立方根的唯一性，计算中对a的取值分别选为正数、负数、0,

这样设计，在此过程中渗透分类讨论的思想方法.

2、议一议：

（1）正数有几个立方根？

（2）0有几个立方根

（3）负数呢?

意图：提问，是为了指出平方根与立方根的对比，以利于弄清两者的区别和联系.

3、在上面的基础上明晰下列内容，对知识进行梳理

（1）每个数a都只有一个立方根，记为“右”，读作“三次根号a”.例如x3=7时，

x是7的立方根，即4=x；与数的平方根的表示比较，数的立方根中根号前没有“土”

符号，但根指数3不能省略.

（2）正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数.

（3）求一个数a的立方根的运算叫做开立方（extrctionofcubicroot）,其中a叫做被开

方数.开立方与立方互为逆运算.

效果：学生通过类比学习，初步掌握立方根的概念，能用符号语言表示一个数的立方

根.

第四环节：尝试反馈，巩固练习

例1求下列各数的立方根：XkB1.com

(1)-27；(2)125.(3)8；⑷0.216.(5)-5.

解：（1）因为（-3尸=—27,所以一27的立方根是一3,即户7=-3；

（2）因为（可125,所以125的立方根是二，即近255.

（3尸=包=3。3-23P=3

（3）因为58W,所以的立方根是5,即，82.

（4）因为（0.6）3=0.216,所以0216的立方根是0.6,即M0.216=0.6；

（5）-5的立方根是

例2求下列各式的值：

⑴"；（2）^064;⑶^125；⑷（@.

解：（1）=1（-2）3=-2；（2）V0.064_1（0.4丫=0.4:

（3）-隈UM_2

二；⑷砥）=9.

第五环节：深入探究

才日-*木目.

J匕、»・

（1）短表示a的立方根,那么（痣?等于什么？场呢？

（2）I与一校有何关系？

第六环节：课堂小结

内容1：通过本节课的学习你学到了哪些知识？归纳、总结学生的回答，得出下列内

容：

1.了解立方根的概念，会用三次根号表示一个数的立方根，能用立方运算求一个数

的立方根.

2.在学习中应注意以下5点：

（1）符号脑中根指数“3”不能省略；

（2）对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有一个立方根；

（3）平方根和立方根的区别：正数有两个平方根，但只有一个立方根；

负数没有平方根，但却有一个立方根；

（4）灵活运用公式：（^）3=a,K=一爪；

（5）立方与开立方也互为逆运算.我们可以用立方运算求一个数的立方根，或

检验一个数是不是另一个数的立方根.

内容2：回顾引例

第七环节：作业布置：习题2.5

§2.4估算

教学目标

1.会估算一个无理数的大致范围，比较两个无理数的大小，会利用估算解决一些简单

的实际问题.

2.经历实际问题的解决过程和平方根、立方根的估算过程，发展估算意识和数感.

3.体会数学知识的实用价值，激发学生的学习热情.

教学重点

1.让学生理解估算的意义，发展学生的数感.

2.掌握估算的方法，提高学生的估算能力.

教学难点

掌握估蜃的方法，并能通过估算比较两个数的大小.

教学方法：引导一探究一归纳

教学过程

一、情境引入

内容：由修建环保公园的实际问题情境引出本节课的学习内容一一公园有多宽.

某市开辟了一块长方形的荒地用来建一个以环保为主题的公园.已知这块地的长是宽

的两倍，它的面积为400000平方米.此时公园的宽是多少?长是多少？

给出这个问题情境，先让学生凭感觉说出公园的长和宽分别是多少.

给出引导问题：公园的宽有1000米吗？（没有）那么怎么计算出公园的长和宽.

解：设公园的宽为x米，则它的长为2x米，由题意得：

x-2x=400000,即2x2=400000,

所以x='200000

那么,200000=?

目的：从现实情境引入，一方面让学生初步建立数感，另一方面让学生体会生活中的

数学从而激发学习的积极性.

二、活动探究

内容：

1.探究一个无理数估算结果的合理性.

2.学会估算一个无理数的大致范围.

例1下列结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴交流.

①屈=20；②^^=0.3；

③00000之oo；④^900-96.

解答：这些结果都不正确.

怎样估算一个无理数的范围？

例2你能估算它们的大小吗？说出你的方法.

①闻,②屁;③00000.@W）0.

（①②误差小于0.1;③误差小于10;④误差小于1.）

解答：

V40~6.3；<=0,9；J1。。。2310；W900=9

说明：误差小于10就是估算出的值与准确值之间的差的绝对值小于10,所以』io。。。。

的估算值在误差小于10的前提下可以是310,也可以是320,还可以是310到320之

间的任何数.教材使用误差小于10,而不用精确到哪一位，目的在于降低要求。

目的：同伴间进行交流，教师适时引导.在解决问题的同时引导学生对解决方法进行

总结，和学生一起归纳出估算的方法.让学生从被动学习到主动探究，激发学生的学

习热情，培养学生自主学习数学的能力.

三、深入探究

内容：用估算来解决数学的实际问题.

亚-1

例1你能比较下-与5的大小吗？你是怎样想的？

小明是这样想的：2与5的分母相同，只要比较他们的分子就可以了，

由-12_

因为石>2,所以石-1>1,2>2.

解：V5>4,即（石）2>22,

.,.石>2,

B1

凡>1,即2>2.

例2解决引入时“公园有多宽？”的问题情境中提出的问题.

V200000=?

（1）如果要求误差小于10米，它的宽大约是？

（大约440米或450米）

说明：只要是440与450之间的数都可以.

（2）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800平方米，你能估计它的半径吗（误

差小于1米）？

（15米或16米）

说明：只要是15与16之间的数都可以.

例3给出新的问题情境一一画能挂上去吗？

生活表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙距离为梯子长度的三分之一，则梯子比

较稳定.现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，

（1）他的顶端最多能到达多高（保留到0.1）?

（2）现在如果请一个同学利用这个梯子在墙高5.9米的地方张贴一副宣传画，他能办

到吗？

解：设梯子稳定摆放时的高度为x米，此时梯子底端离墙恰好为梯子长度的3,根据

勾股定理：

1

2—2

X+（3x6）~=6~,即X+4=36,

所以尤~=32,得*=病，

因为5.6?=31.36<32

因为5.72=32.49>32,所以画不能挂上去

目的：学生通过独立思考与小组讨论相结合的方式解决新的实际问题，让学生初步体

会数学知识的实际应用价值.

四、反馈练习

反馈练习1、通过估算，比较下面各数的大小.

®]j_

（1）2与5；（2）后与3.85.

百-1

解答：（1）•.,&V2,.,.8-1V1,即2<2.

（2）V3.852=14.8225,.,.后>3.85.

反馈练习2、给出与生活密切联系的实际问题情境

一个人一生平均要饮用的液体总量大约为40立方米，如果用一圆柱形的容器（底面

直径等于高）来装这些液体，这个容器大约有多高（误差小于1米）？

五、课堂小结

用自己的语言表达学习这节内容的感想

（1）通过这节课的学习，你掌握了哪些知识？

（2）通过学习这些知识，对你有怎样的启发？

（3）对于这节课的学习，你还有哪些疑问？

六、课后作业：习题2.6

§2.5用计算器开方

教学目标

（一）知识目标

1.会用计算器求平方根和立方根.

2.鼓励学生自己探索计算器的用法，经历运用计算器探求数学规律的活动，发展学生

的探究能力和合情推理的能力.

3.在用计算器探索有关规律的过程中，体验数学的规律性，体验数学活动的创造性和

趣味性，激发学习兴趣.

教学重点

探索计魇器的用法.

教学难点

用计算器探求数学规律.

教学方法：引导一探究一归纳

教学过程

第一环节情境引入导入新课

我们在前几节课分别学习了平方根和立方根的定义，还知道乘方与开方是互为逆运算.

对于10以内数的立方，20以内数的平方大家也牢记在心，这样可以根据逆运算快速

地求出这些特殊数的平方根或立方根，那么对于不是特殊的数我们应怎么求其方根

呢？比如计算后而，可以根据估算的方法来求，但是这样求方根的速度太慢，这节

课我们就学习一种快速求方根的方法，用计算器开方.

第二环节学习使用计算器求平方根和立方根

内容：要求学生仔细阅读计算器使用说明书，找到关于开方运算的说明，并按说明书

上的范例操作，然后与组内成员进行讨论，回答下列问题：

1.开方运算要用到键和键

2.对于开平方运算，按键顺序为：

3.对于开立方运算，按键顺序为：

4.用计算器计算：

（1）V519（2）i（3）V-1285（4）75+1（5）疝3-万

目的：明确使用计算器进行开方运算的按键顺序，并进行实际操作.

说明：学生在阅读了各自的计算器使用说明书后，在计算器上尝试操作，再在小组中

交流成功或失败的经验，便于学生更快更好地掌握使用计算器进行开方运算的方法.

学生在小组内自我纠错，自我更正，教师需要在教室里巡视关注学生学习活动的开展

情况，提供相应的帮助.

第三环节做一做

内容：利用计算器，求下列各式的值（结果保留4个有效数字）：

3（22

（1）V800（2）VT（3）7（158（4）V-0.432

此环节可以开展比一比看谁算得快的活动.

例1利用计算器比较我和后的大小.

目的：熟悉用计算器进行开方运算.

第四环节议一议

内容：（1）任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得

结果再进行开平方运算……随着开方次数的增加，你发现了什么？

（2）改用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似规律.

学生操作后，在小组内讨论形成结果，再进行全班交流.

（3）任意找一个非零数，利用计算器对它不断进行开立方运算，你发现了什么？

学生操作后，在小组内讨论形成结果，再进行全班交流.

目的：熟悉使用计算器求平方根和立方根的技能，并在探求数学规律的活动，发展合

情推理的能力.

效果：枯燥的运算，竟然蕴含这规律，较好地激发了学生的兴趣，增强了学生的求知

欲.

第五环节：课堂小结

内容：今天我们学习了如何使用计算器进行开方运算，你能叙述如何使用计算器进行

开方运算吗？

目的：回顾使用计算器进行开方运算的步骤.

效果：学生所学知识得以巩固.

第六环节：布置作业

内容：习题2.7

§2.6实数

教学目标

1.了解实数的意义，能对实数按要求进行分类；了解实数和数轴上的点一一对应，

能根据实数在数轴上的位置比较大小.

2.了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、

绝对值的意义完全一样.

3.在利用数轴上的点来表示实数的过程中，让学生进一步体会数形结合的思想。

4.在认识“实数”这一新知识时，学生应用已有的“有理数”的相关概念及运算规律

类比解决“实数”的相关概念及运算规律，从而获取解决实数相关问题的基本方法。

5.了解数系扩展对人类认识发展的必要性；

教学重点

1.了端实数意义，能对实数进行分类；

2.在实数范围求相反数、倒数和绝对值、明确实数的运算运算规律；

3.明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数。

教学难点：利用数轴上的点表示无理数

教学方法：引导一探究一归纳

教学过程

第一环节：复习引入新课

内容：问题：（1）什么是有理数？有理数怎样分类？

（2）什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？

第二环节：实数概念和分类

内容1：把下列各数分别填入相应的集合内：

蚯，*，夕，1，2,41,V3,一亚,-我，V9,0,0,3737737773...（相

邻两个3之间7的个数逐次增加1）

知识整理：有理数和无理数统称为实数。

内容2：（1）.你能把上面各数分别填入下面相应的集合内吗?

（2）.0属于正数吗？0属于负数吗？

知识整理：无理数和有理数一样，也有正负之分。

1.从符号考虑，实数可以分为正实数、0、负实数，即:

.正实数

实数<0

负实数

2.另外从实数的概念也可以进行如下分类:

'有理数

实数

‘无理数

第三环节：实数的相关概念

内容1：(1).在有理数中，数a的相反数是什么？绝对值是什么？当a不为0时，它

的倒数是什么？

(2).亚的相反数是什么？石的倒数是什么？△,0,―兀的绝对值分别是什么？

内容2：想一想：

(1).3—兀的绝对值是o

(2).想一想：a是一个实数，它的相反数是,它的绝对值是，当a和

时，它的倒数是。

知识整理

(1)相反数：a与一a互为相反数；0的相反数仍是0；

(2)倒数：当a#)时，a与：互为倒数(0没有倒数);

(3)绝对值：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；。的绝对值是0;

a(a>0)

|6Z|=<0(a=0)

即：(a<°)

第四环节：实数运算

内容1.在有理数范围内，能进行哪些运算？(加、减、乘、除、乘方)，用哪些运算

律？

2.判断下列各式成立吗？

M,后­—j==Vs•=

V2-V5-75-72

4^2+7^2=(4+7^/2=11^2

第五环节：探究——实数与数轴上点之间的对应关系

-2-1012

议一议：

（1）如图，OA=OB,数轴上A点对应的数表示什么？它介于哪两个整数之间？

（2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？

知识整理

（1）每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表

示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的；

（2）在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

第六环节：课堂练习

内容：1.判断下列说法是否正确：

（1）无限小数都是无理数；

（2）无理数都是无限小数；

（3）带根号的数都是无理数。

2.求下列各数的相反数、倒数和绝对值：

⑴反⑵"；（3）历.

3.在数轴上作出有对应的点。

第七环节：归纳小结

内容：议一议，本节课我们学习了哪些知识？

意图：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获。

效果：学生交流，互相补充，完成本节知识的梳理。

第八环节：布置作业：

习题2.8

附：板书设计

2.6.实数

一、实数定义

'正实数

f有理数一

实数分类：实数nV实数＜0

无理数一

负实数

三、实数的相关概念与运算：

相反数倒数绝对值运算

四、实数和数轴上的点一一对应

§2.7二次根式（一）

教学目标

知识与技能目标

1.认识二次根式和最简二次根式的概念，掌握二次根式的性质。理解根号内字母的取

值范围，学会根据性质化简二次根式。

过程与方法

培养学生从具体到抽象，从特殊到一般的思维能力，掌握公式的一般推导方法。

情感态度与价值观

通过多种方法化简二次根式，渗透事物间相互联系的辩证观点.

教学重点

1.二次根式的意义；

2.二次根式中字母的取值范围。

教学难点

确定二次根式中字母的取值范围。

教学方法：启发式、讲练结合。

教学过程

一：明晰概念导入新课

问题1：石，拿，.4.,C,J（c+》）（c一力（其中b=24,c=25）,上述式子

有什么共同特征？

答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。

介绍二次根式的概念。一般地，式子右（42°）叫做二次根式。a叫做被开方数.强调

条件:心。.

问题2：二次根式怎样进行运算呢？

答：这是我们本节课要解决的新问题.

意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础.

二：探究性质

4a_[a

（一）内容：通过探究得出疝^&Nz.

具体过程如下：

（1）/X芯=,74x9=.

V16xV25=______，।______，.

（2）用计算器计算：

V6xV?=，16x7=

问题1:观察上面的结果你可得出什么结论？

问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？

问题3：其中的字母出8有限制条件吗？

意图：最终归纳出后了=布•正QNO,b，0）,得（。2°，

说明：公式中字母a20,（或Z?>0）这一条件是公式的一部分，不应忽略.

三：知识巩固、

5

例1化简(1)j81xM；(2)725x6；(3)

观察：化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？

意图：由于现在还没有最简二次根式的概念，学生实际上并不知道化简的方向，因此,

这里以例题的形式呈现了有关结论.

被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数。一般地，被开方数不含分母，也不

含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。

化简时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。

例2.化简：（1）回；（2）后;（3）后；（4）V9.（5）V16.

问题:

V14

（1）你怎么发现45含有开得尽方的因数的？你怎么判断〒是最简二次根式的？

（2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会，与同伴交流。

说明：含有根号的数与一个不含根号的数相乘，一般把不含根号的数写在前面，并省

略去乘号.

反思：以上化简过程有何规律呢？希望学生得出：根号里面的数有一部分移到了根号

外面，具体来说是能开得尽方的因数，开方后写到了根号外面.从而明确：被开方数

若有开得尽的因数，一般需要进行化简.

四：知识拓展

说明：这部分根据学生的实际情况进行取舍，程度好的班级可选用，基础不好的班级

舍去.

1、课堂练习：

2、判断下列各式是否成立。你认为成立的请在（）内打对号，不成立的打错号。

①尾=24（）：②舟R（）

你判断完以后，发现了什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来，并说明n的取

值范围？

五：课堂小结

本节课主要内容:

4a_[a

（1）掌握并会运用公式：折％=后了（a»0,b20）,加YZ（a2。，b>0）.

（2）理解本节课中用过的数学方法：类比，找规律，归纳总结.

六：课后作业

习题2.9

§2.7二次根式（二）

教学目标

知识与技能目标

1.了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用.

2.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则，运算律在实数范

围内正确计算.

___^3^3

3.正确运用公式&•服=后7（a20,b20）,飞可（a20,b>0）

过程与方法

1.让学生根据现有的条件或式子找出它们的共性，进而发现规律，培养学生的钻研精

神和创新能力.

2.能用类比的方法去解决问题，找规律，用旧知识去探索新知识.

情感态度与价值观

让学生通过在有理数范围内的法则，类比地学生在实数范围内的有关计算，重要的是

培养这种类比学习的能力.

教学重点

1.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能在实数范围内正确进行运算.

___

2.发现规律右.血（a20,b20）,（a20,b>0）.

教学难点

类比的攀习方法发现规律的过程.

教学方法面现8

探索、类比、归纳总结

教学过程

第一环节：复习引入

内容：复习算术平方根的概念，并提出问题：下面正方形的边长分别是多少？

这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算率解释它吗？

点明本节课研究课题

意图：借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课。

第二环节：知识探究

1.在上一课时探究的公式的基础上明晰二次根式乘除的运算法则:

2.提出问题：能否根据该公式将石化成2后？

例3计算:

rrl~2V6xV3V2

（1）XV3.（2）V2.（3）V5。

说明：常常把要被开方数的分子与分母同乘以一个适当的数，使得分母成为一个平方

数.

第三环节：巩固练习

1、计算：

（j）3&x2百（2）xV3-5,（3）（A/5+1）2.

⑷（屈+3）（而一3）；⑸（疝/I（6）当普

意图：从本例开始，正式进行二次根式的加减乘除运算，但设计时注意了题目的梯度。

本例还侧重于乘除法运算，只是已经开始考虑有关运算律和公式的运用了（如交换律、

结合律、分配率、乘法公式等）；教学中，注意体会这些题目之间的层次性，教学中

务必循序渐地开展相关技能训练，让更多的学生感受到成功的喜悦，循序渐进地发展

学生的学力。

2、计算:

⑴A+5⑵9£（3）.扬、"

第四环节：知识拓展

课堂练习：

化简：（1）同；（2）V9000；（3）2屈+国;

第五环节：课堂小结

在进行根式乘除运算时，你有哪些体会与收获?

第六环节：课后作业

习题2.10

§2.7二次根式（三）

教学目标

知识与技能目标

___^3^3

1式子&♦a=E（a20,b20）,飞，（a20,b>0）的运用.

2.能应用二次根式的性质进行计算与化简.

过程与方法

1.让学生能根据实际情况灵活地运用两个法则进行有关实数的四则运算.

2.让学生根据实例进行探索，互相交流合作，培养他们的合作精神和探索能力.

情感态度与价值观

1.通过对法则的逆运用，让学生体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性

以及数学结论的确定性.

2.能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高学生的应用意识，发展学生解决问题

的能力.

教学重点

1.两个法则的逆运用.

2.能运用实数的运算解决简单的实际问题.

教学难点：灵活地运用法则和逆用法则进行实数的运算

教学方法：启发式、讲练结合。

教学过程

第一环节：复习引入

内容：

（1）最简二次根式的概念；

（2）二次根式化简过程中，你有哪些体会？

（3）上节课课后作业：若收“1414,V3«1.732V6»2,449你是怎样

解决的？

意图：借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课.

第二环节：知识巩固

1.巩固提升

例4计算：

(3)(V24—)+-\/3.

⑴g-白⑵屈-返+9；

说明：可以放手让学生独立完成，然后通过交流，发现问题，给出一个统一的意见.

2.交流：收集第（3）小题有多少种解决方法.让学生说说想法.

3.反思：以上过程每位同学都是怎样化简的，方法好不好，能做到快而准确吗？

4.练习：化简：

-.,1-—y/3+(>/18—AH-)X-\/8

⑴匕V10;(2)V3;(3)V2

2=18.

(2)间接求法.

将梯形ABCD补成一个5x7长方形，用长方形的面积减去3个小三角形的面积，得梯

5x7—x5x5—x4x2—xlx1

形ABCD的面积是222=18.

第四环节：知识提升

1.知识探索

问题：册(a>0)等于多少？

2.知识运用

例5化简：

___________al'b

(1)y125cl3b(a>0,6>0)；(2)y>0(3)b\a(a>0,Z?>0)

3.课堂练习

1.当a>0,h>0时化简:

(1)(3+哙)；(2)d4a2b3；(3)(J一扬xV^;

(4)1Oa2.

2.求代数式(J，-新)'J茄的值，其中。=3,

b=2.

第五环节：课堂小结

(1)二次根式的化简：二次根式的化简一定要化成最简二次根式.

(2)利用式子^?二。(。＞0)可将根号内含字母的二次根式化简，结果也要化成

最简二次根式.

第六环节：课后作业：习题2.11

第六章实数回顾与思考(一)

教学目标

1.复习无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式及相关概念，会用根

号表示，并会求数的平方根、立方根并进行相关运算；

2.在实数的有关概念和运算律、运算法则的教学中，让学生体会类比的思想，提高解决

问题的能力；

3.通过复习提高学生归纳整理的能力，并在互动的过程中让学生学会倾听学会交流，

从而激发学习兴趣、培养良好的学习品质。

教学重点

1.会归纳、整理本章所学知识。

2.能叙述本章所学实数及有关概念，熟练进行实数的运算。.

教学难点:

1.能识别平方根和算术平方根，有理数和无理数，乘方和开方的区别和联系。

2.能综合运用所学知识解决本章的基本问题。

教学方法：引导一归纳一总结。

教学过程

第一环节知识回顾，形成框图

整数

有理数

分数

实数分类＜

正无理数

无理数

负无理数

,定义：如果一个数制平方等于“，即那么这个数刈U做a的平方根

平方根,表示：若/=”，则苫=±&

算术平方根：若d=a,则a的算术平方根为国

—闫］定义：如果一个数x的立方等于a,即那么这个数刈L|做a的立方根

立方根《

表示：若丁=a,则x=W

实数一力组T［定义：式子G(aNO)叫做二次根式

一佚恨工

最简二次根式：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式

(夜)2=a(a>0)

(指丫=a

重要性质＜

-a

-\[b=\[ab(a>0,b>0)

条榆20,匕0)

实数的性质应用

第二环节典例精析

（一）实数的相关概念

例1下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？

后，狗,3.14159265,也,一乃，曲一1,（一后,3.1010010001-（相邻两个1

之间0的各数逐次加1）

设计说明：此题考查概念.整数和分数统称为有理数，这是有理数的判断方法.无理

数是无限不循环的小数，这是无理数的判断方法.而无限不循环小数主要有以下几种:

①开方开不尽的方根；②含兀的数；③是无限小数且不循环.在判断时还应注意，一

定要抓住概念的本质而不是根据数的形式，如此题中的的,（一石了虽然都含有根号，

但它们都是有理数.所以此题中的有理数有：3.14159265,M，（-石尸；无理数有：后,

正，-7T,V3-1,3.1010010001-（相邻两个1之间0的各数逐次加1）

（二）实数的相关性质及运算

例2实数“、》在数轴上的位置如图所示，化简H+4+—

—।--------------1----------1——>

a0b

设计说明：此题考查算术平方根的意义，也培养学生的读图能力，体现数学中的数形

结合思想方法.由数轴上。、沙的位置可知。+匕<0,b-a>0,从而根据算术平方根

与绝对值的意义有：

k，+目+JS—ci）~=—（Q+b）+b—a=—ci—b+b—ci=-2。

J--V40