2024年江西省南昌市中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年江西省南昌市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（3分）下列各数中，最大的数是（）A．﹣2 B．0 C．2 D．42．（3分）如图，是由一个长方体和一个竖直的小圆柱组成的几何体，其左视图是（）A． B． C． D．3．（3分）下列运算中，正确的是（）A．5a+2b＝7ab B．4b2﹣3b2＝1 C．﹣2a2b+2ba2＝0 D．5a2+2a3＝7a54．（3分）如图是根据南昌市2024年2月上旬的每天气温绘成的折线统计图，以下说法正确的是（）A．2月上旬某天最大温差为9℃ B．2月上旬最高气温的众数是5 C．2月上旬最低气温平均数是2.8℃ D．2月上旬最高气温的方差小于最低气温的方差5．（3分）杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，则第八行从左数第三个数为（）A．十五 B．二十一 C．二十五 D．三十五6．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（b，0），B（a，0）两点（3a，c）在二次函数上，则下列结论错误的是（）A．a+b＝﹣2 B．b＝2a C．3a﹣3b＝2 D．b＞a二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）|﹣1|＝．8．（3分）已知华氏温度（℉）和摄氏温度（℃）的换算关系为：摄氏温度＝×（华氏温度﹣32），则在1个标准大气压下冰的熔点为℉．9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3cx﹣c+1＝0的两个根分别为x1，x2，已知x1•x2＝2，则x1+x2的值为．10．（3分）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题，这道题大意是：快马每天行320里，慢马先行10天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马．11．（3分）如图，矩形ABCD分割成两个矩形ABEF和CDFE，扇形O1MN所在的圆与矩形ABEF三边均相切，且∠MO1N＝120°，⊙O2为矩形FECD中半径最大的圆，扇形O1MN和⊙O2恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的值为．12．（3分）在平面直角坐标系中，Rt△OBC的顶点B，C的坐标分别为（0，4），（4，4）（0°≤α≤180°）到点P，连接PO，若△POC为直角三角形，则点P到x轴的距离为．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）计算：；（2）已知a，b为实数，a+3b＝2，求的值．14．（6分）在7×7的正方形网格中，B，C两点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作出等腰三角形（保留作图痕迹）．（1）如图1，作以BC为腰的锐角三角形ABC；（2）如图2，作以BC为底的锐角三角形BCD．15．（6分）2024年1月22日，一场突如其来的大雪席卷整个江西．为了发挥党员的先锋带头作用，某校组织部分党员教师打扫积雪．学校决定在甲、乙、丙、丁四名党员志愿者中随机抽取两人．（1）“甲、乙、丙中至少有一人被抽中”是事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”）（2）请用画树状图法或列表法，求乙、丁都被抽中的概率．16．（6分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数，与x轴相交于点B，其中A（m，3）（1）求m的值；（2）求一次函数的解析式．17．（6分）正方形ABCD和Rt△AEF如图摆放，点E在边BC上，EF交CD于点P，∠EAF＝90°，连接AP四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）2023年12月27日南昌东站通车运营，南昌东站以“霞鹜齐飞，祥瑞绽放”为设计理念，东站通车后旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候安检．经调查发现，已有200人排队等候，此后每分钟又增加10位旅客排队安检（人）与车站开放后的时间x（分钟）的关系如图所示（1）求m的值；（2）由于突发情况，要求在候检旅客在13分钟内（含13分钟）动态清零，求在m分钟后至少要增设多少个安检门．19．（8分）如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，从F处测得塔的最高点A的仰角为42°，测出DE＝BC＝23m，CD＝20m，台阶的坡角为30°，塔身可抽象成线段AB．（1）求测角仪EF与塔身AB的水平距离；（2）求塔身AB的高度．（结果精确到0.1）（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73）20．（8分）定理证明：（1）如图1，PA，PB是⊙O的两条切线，B，求证：PA＝PB；定理应用：（2）如图2，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，AB＝AC＝2，DC是⊙O的切线，若DA∥BC五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）为进一步落实“双减”政策，某校对七、八年级学生某天“书面作业”的时间（单位：小时）进行了随机抽样调查，绘制成如下统计图表，请根据图表中的信息回答下列问题．类别学习时间（小时）频数（七年级）频数（八年级）A0≤t＜0.51510B0.5≤t＜14025C1≤t＜1.5a45D1.5≤t＜210b（1）a＝，b＝；（2）①补全条形统计图；②七年级甲同学说“我的学习时间是此次抽样调查中七年级所得数据的中位数”．则甲同学的学习时间在哪个范围内．（3）“双减”政策规定初中生书面作业时间不超过90分钟，已知该校七、八年级学生共有1100人，分别估计该校七、八年级学生“书面作业”的时间符合规定的人数．22．（9分）某数学兴趣小组开展数学实验，探索绳子垂下时形状的变化．如图1，是一个伸缩扣，是一单杠示意图，两立柱AB与CD之间的距离为20dm，CD⊥BC，AB＝DC＝25dm，已知，绳子自然下垂时近似呈抛物线状态，F处，AE＝DF＝6dm，抛物线记为L1，兴趣小组将绳子两端分别向A，D滑动，规定绳子两端每次滑动距离均为2dm，D处停止，滑动过程中依次得到抛物线L2，L3，L4，若兴趣小组以A点为原点建立平面直角坐标系，绳子两端在滑动过程中，抛物线解析式为．（1）抛物线L1的解析式为：；（2）当绳子两端系在A，D处时，身高1.7m的小明站在单杠下，求小明到立柱AB的距离．（3）兴趣小组探究L1，L2，L3之间的特殊位置关系时，发现有一条与x轴平行的直线与L1，L2，L3只有三个交点，直接写出这条直线的解析式．六、解答题（本大题共12分）23．（12分）在矩形ABCD中，AB＝3，点P是BC上一动点，连接AF，PF，延长PF交DC或AD于M，如图1（1）∠MPC＝∠BAP；（2）如图1，求证：EF＝BP•BE；（3）若BC＝4，在点P从点B向点C运动的过程中．①如图2，当BP＝2时，求PE的长；②当时，直接写出BP的长．

2024年江西省南昌市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（3分）下列各数中，最大的数是（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4【解答】解：∵负数小于零，正数大于零，﹣2＜0＜4＜4，∴4最大，故选：D．2．（3分）如图，是由一个长方体和一个竖直的小圆柱组成的几何体，其左视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从左边看该几何体，其左视图是一列两个相邻的矩形．故选：C．3．（3分）下列运算中，正确的是（）A．5a+2b＝7ab B．4b2﹣3b2＝1 C．﹣2a2b+2ba2＝0 D．5a2+2a3＝7a5【解答】解：A、5a与2b不能合并；B、2b2﹣3b3＝b2，故B不符合题意；C、﹣2a4b+2ba2＝7，故C符合题意；D、5a2与8a3不能合并，故D不符合题意；故选：C．4．（3分）如图是根据南昌市2024年2月上旬的每天气温绘成的折线统计图，以下说法正确的是（）A．2月上旬某天最大温差为9℃ B．2月上旬最高气温的众数是5 C．2月上旬最低气温平均数是2.8℃ D．2月上旬最高气温的方差小于最低气温的方差【解答】解：A．由图中信息可知，温差为13﹣5＝8℃，温差为10﹣3＝8℃，故本选项不符合题意；B．由图中信息可知，故本选项不符合题意；C．2月上旬最低气温平均数是，说法正确；D．由图中信息可知，即2月上旬最高气温的方差大于最低气温的方差；故选：C．5．（3分）杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，则第八行从左数第三个数为（）A．十五 B．二十一 C．二十五 D．三十五【解答】解：依据规律可得到：（a+b）6的展开式的系数是杨辉三角第7行的数，第8行第四个数为1，第5行第四个数为6＝1+3，第3行第四个数为10＝1+3+6，第7行第四个数为：1+5+6+10＝20．第7行第四个数的相反数为﹣20．依据规律可得到：（a+n）5的展开式的系数是杨辉三角第8行的数，第8行第三个数为：5+2+3+…+5＝21．故答案为：B．6．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（b，0），B（a，0）两点（3a，c）在二次函数上，则下列结论错误的是（）A．a+b＝﹣2 B．b＝2a C．3a﹣3b＝2 D．b＞a【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（b，7），0）两点，∴a，b为方程ax2+bx+c＝2的两个根，∴a+b＝﹣，∴a2+ab+b＝0．∵点D（7a，c）在二次函数上，∴9a3+8ab+c＝c，∴3a2+b＝4，可得方程组，解得．∴a+b＝﹣﹣＝﹣2，∴b＝6a，故B正确，∵3a﹣3b＝4（a﹣b）＝3×（﹣+）＝5，∵|﹣|＜|﹣|，∴﹣＞﹣，故D错误．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）|﹣1|＝1．【解答】解：|﹣1|＝1．故答案为：4．8．（3分）已知华氏温度（℉）和摄氏温度（℃）的换算关系为：摄氏温度＝×（华氏温度﹣32），则在1个标准大气压下冰的熔点为32℉．【解答】解：∵摄氏温度＝×（华氏温度﹣32），∴5＝×（华氏温度﹣32），∴华氏温度＝32．故答案为：32．9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3cx﹣c+1＝0的两个根分别为x1，x2，已知x1•x2＝2，则x1+x2的值为﹣3．【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝7c，x1x2＝﹣c+4，∵x1•x2＝4，∴﹣c+1＝2，解得c＝﹣8，∴x1+x2＝8×（﹣1）＝﹣3．故答案为：﹣5．10．（3分）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题，这道题大意是：快马每天行320里，慢马先行10天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马320x＝200（x+10）．【解答】解：∵慢马先行10天，快马x天可追上慢马，∴快马追上慢马时，慢马行了（x+10）天．根据题意得：320x＝200（x+10）．故答案为：320x＝200（x+10）．11．（3分）如图，矩形ABCD分割成两个矩形ABEF和CDFE，扇形O1MN所在的圆与矩形ABEF三边均相切，且∠MO1N＝120°，⊙O2为矩形FECD中半径最大的圆，扇形O1MN和⊙O2恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的值为．【解答】解：设⊙O1的半径为x，⊙O2的半径为r，∵∠MO3N＝120°，∴扇形O1MN的圆心角为360°﹣120°＝240°，∵扇形O1MN和⊙O7恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，∴＝2πr，∴x＝r，∵⊙O2为矩形FECD中半径最大的圆，∴DF＝2r，设⊙O5与AB、EF、H、Q，连接O1G、O1H、O8Q，∵四边形ABEF是矩形，AB⊥O1G，EF⊥O1H，AF⊥O3Q，∴∠A＝∠O1GA＝∠O1QA＝90°，∠QFH＝∠O7QF＝∠O1HF＝90°，∴四边形AGO1Q和四边形FHO6Q都是矩形，∴AQ＝O1G＝x，FQ＝O1H＝x，AG＝O3Q＝x，∴AF＝2x＝2×r＝3r，∴AD＝8r+2r＝5r，作O7P⊥MN于点P，则∠O1PB＝∠B＝∠O1GB＝90°，∴四边形BGO4P是矩形，∵O1M＝O1N＝x，∠MO6N＝120°，∴∠O1MP＝∠O1NP＝×（180°﹣120°）＝30°，∴BG＝O1P＝O1M＝x，∴AB＝x+x＝×r＝r，∴＝＝，故答案为：．12．（3分）在平面直角坐标系中，Rt△OBC的顶点B，C的坐标分别为（0，4），（4，4）（0°≤α≤180°）到点P，连接PO，若△POC为直角三角形，则点P到x轴的距离为2或2．【解答】解：当∠OPC＝90°时，∵OP＝OB，OC＝OC，∴△OBC≌△OPC，∴∠POC＝∠BOC，∵B，C的坐标分别为（0，（4，∴OB＝4，BC＝4，∴∠BOC＝60°，∴∠POC＝60°，∴OP和x轴夹角为30°，∴P（2，﹣6），∴P到x轴的距离为2，当∠POC＝90°时，OP和x轴夹角为60°，∴P（2，﹣3）∴P到x轴的额距离为2，综上所述，P到x轴的距离为2或2．故答案为：2或2．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）计算：；（2）已知a，b为实数，a+3b＝2，求的值．【解答】解：（1）＝2﹣2×＝2﹣＝．（2）∵a+8b＝2，∴a＝2﹣2b，∴＝＝＝2．14．（6分）在7×7的正方形网格中，B，C两点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作出等腰三角形（保留作图痕迹）．（1）如图1，作以BC为腰的锐角三角形ABC；（2）如图2，作以BC为底的锐角三角形BCD．【解答】解：（1）如图1，△ABC即为所求（答案不唯一）．（2）如图2，△BCD即为所求（答案不唯一）．15．（6分）2024年1月22日，一场突如其来的大雪席卷整个江西．为了发挥党员的先锋带头作用，某校组织部分党员教师打扫积雪．学校决定在甲、乙、丙、丁四名党员志愿者中随机抽取两人．（1）“甲、乙、丙中至少有一人被抽中”是必然事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”）（2）请用画树状图法或列表法，求乙、丁都被抽中的概率．【解答】解：（1）由题意得，“甲、乙．故答案为：必然．（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中乙，丁乙，∴乙、丁都被抽中的概率为＝．16．（6分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数，与x轴相交于点B，其中A（m，3）（1）求m的值；（2）求一次函数的解析式．【解答】解：（1）由题意，∵将A（m，∴3m＝5．∴m＝1．（2）由（1）得A（1，2），设B（b，0），∴AB＝＝5．∴b＝﹣2或b＝5．∴B（﹣3，8）或（5．又一次函数为y＝kx+b过A，B，∴或．∴（由图k＜4，舍去）或．∴一次函数的解析式为y＝﹣x+．17．（6分）正方形ABCD和Rt△AEF如图摆放，点E在边BC上，EF交CD于点P，∠EAF＝90°，连接AP【解答】解：如图，过点A作AQ⊥EF于点Q，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠D＝90°，∵∠BAE＝∠AFE＝30°，∠EAF＝90°，∵∠EAF＝90°，∴∠AEB＝∠AEF＝60°，∴∠BAE＝∠QAE＝30°，在△BAE和△QAE中，，∴△BAE≌△QAE（AAS），∴AB＝AQ，∴AQ＝AD，在Rt△APQ和Rt△APD中，，∴Rt△APQ≌Rt△APD（HL），∴∠PAQ＝∠PAD，∴2（∠QAE+∠QAP）＝90°，∴∠QAE+∠QAP＝45°．∴∠EAP＝45°．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）2023年12月27日南昌东站通车运营，南昌东站以“霞鹜齐飞，祥瑞绽放”为设计理念，东站通车后旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候安检．经调查发现，已有200人排队等候，此后每分钟又增加10位旅客排队安检（人）与车站开放后的时间x（分钟）的关系如图所示（1）求m的值；（2）由于突发情况，要求在候检旅客在13分钟内（含13分钟）动态清零，求在m分钟后至少要增设多少个安检门．【解答】解：（1）根据题意，得200+10m﹣5×4m＝150，解得m＝5．（2）设在m分钟后增设a个安检门，当x＝t时实现动态清零．根据题意，得150+10（t﹣m）﹣5×（4+a）（t﹣m）＝5，将m＝5代入并整理，得5a+40﹣（a+4）t＝0，解得t＝，当≤13时，∵a为整数，∴在m分钟后至少要增设2个安检门．19．（8分）如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，从F处测得塔的最高点A的仰角为42°，测出DE＝BC＝23m，CD＝20m，台阶的坡角为30°，塔身可抽象成线段AB．（1）求测角仪EF与塔身AB的水平距离；（2）求塔身AB的高度．（结果精确到0.1）（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73）【解答】解：（1）如图，延长AB交ED的延长线于点G，过点C作CM⊥DG于点M，则GM＝BC＝23m，BG＝CM，由题意可知，∠CDM＝30°m，∴CM＝CD＝10，∴DM＝＝＝30（m），∴FH＝DE+DM+BC＝23+30+23＝76（m），答：测角仪EF与塔身AB的水平距离为76m；（2）由（1）可知，FH＝76m，由题意可知，GH＝EF＝2.2mm，∠AFG＝42°，∵tan∠AFH＝＝tan42°≈0.90，∴AH≈2.90FH＝0.90×76＝68.4（m），∴AB＝AH+GH﹣BG≈68.6+2.5﹣10≈53.6（m），答：塔身AB的高度约为53.6m．20．（8分）定理证明：（1）如图1，PA，PB是⊙O的两条切线，B，求证：PA＝PB；定理应用：（2）如图2，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，AB＝AC＝2，DC是⊙O的切线，若DA∥BC【解答】（1）证明：如图1，连接OA、AB，∵PA，PB是⊙O的两条切线，B，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠OAP﹣∠OAB＝∠OBP﹣∠OBA，∴∠PAB＝∠PBA，∴PA＝PB．（2）解：如图2，连接OA，则OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠AOC+2∠OCA＝180°，∴∠AOC+∠OCA＝90°，∵DC与⊙O相切于点C，∴DC⊥OC，∴∠ACD+∠OCA＝∠OCD＝90°，∴∠ACD＝AOC，∵∠B＝∠AOC，∴∠ACD＝∠B，∴AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠ACD＝∠CAD，∴AD＝CD，∵∠D＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝CB＝AC＝AD＝CD＝2，∴四边形ABCD是菱形，作CE⊥AD于点E，则∠AEC＝90°AD＝1，∴CE＝＝＝，∴S四边形ABCD＝AD•CE＝5×＝2，∴四边形ABCD的面积是2．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）为进一步落实“双减”政策，某校对七、八年级学生某天“书面作业”的时间（单位：小时）进行了随机抽样调查，绘制成如下统计图表，请根据图表中的信息回答下列问题．类别学习时间（小时）频数（七年级）频数（八年级）A0≤t＜0.51510B0.5≤t＜14025C1≤t＜1.5a45D1.5≤t＜210b（1）a＝35，b＝40；（2）①补全条形统计图；②七年级甲同学说“我的学习时间是此次抽样调查中七年级所得数据的中位数”．则甲同学的学习时间在哪个范围内．（3）“双减”政策规定初中生书面作业时间不超过90分钟，已知该校七、八年级学生共有1100人，分别估计该校七、八年级学生“书面作业”的时间符合规定的人数．【解答】解：（1）由于样本中八年级学生学习时间在“A组”所对应的圆心角为30°，即占调查人数的＝，所以八年级所调查的学生人数为10＝120（人），因此七年级的调查人数为220﹣120＝100（人），所以a＝100﹣15﹣40﹣10＝35（人），b＝120﹣10﹣25﹣45＝40（人），故答案为：35，40；（2）①补全条形统计图如下：②七年级的样本容量是100，因此中位数是将这100名学生的“书面作业”从小到大排列后，第51位数据的平均数，因此中位数落在“B组”，在2.5≤t＜1范围内；（3）1100×＝850（人），答：该校七、八年级1100名学生中、八年级学生“书面作业”的时间符合规定的人数大约为850人．22．（9分）某数学兴趣小组开展数学实验，探索绳子垂下时形状的变化．如图1，是一个伸缩扣，是一单杠示意图，两立柱AB与CD之间的距离为20dm，CD⊥BC，AB＝DC＝25dm，已知，绳子自然下垂时近似呈抛物线状态，F处，AE＝DF＝6dm，抛物线记为L1，兴趣小组将绳子两端分别向A，D滑动，规定绳子两端每次滑动距离均为2dm，D处停止，滑动过程中依次得到抛物线L2，L3，L4，若兴趣小组以A点为原点建立平面直角坐标系，绳子两端在滑动过程中，抛物线解析式为．（1）抛物线L1的解析式为：y1＝x2﹣20x+84；（2）当绳子两端系在A，D处时，身高1.7m的小明站在单杠下，求小明到立柱AB的距离．（3）兴趣小组探究L1，L2，L3之间的特殊位置关系时，发现有一条与x轴平行的直线与L1