函数逼近和曲线拟合省公开课一等奖全国示范课微课金奖

数值分析第三章函数迫近与曲线拟合第1页

当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该点击区间上用公式给出函数简单表示式，这些都包括到在区间[a,b]上用简单函数迫近已知复杂函数问题，这就是函数迫近问题。插值法就是函数迫近问题一个第2页拟处理问题：计算复杂函数值已知有限点集上函数值，给出在包含该点集区间上函数简单表示式函数迫近——对函数类A中给定函数f(x)，记作要求在另一类简单便于计算函数类B中求函数使p(x)与f(x)误差在某种度量意义下最小。迫近问题函数迫近曲线拟合第3页基本数学概念：定义1：设集合S是数域P上线性空间，元素假如存在不全为0数，使得线性相关，不然，若等式(1.1)只对则称成立，则称为线性无关。第4页若线性空间S是由n个线性无关元素生成，即：为空间S一组基，记为：则称并称该空间为n维空间。称为x在这组基下坐标。例：n次多项式第5页连续函数不能用有限个线性无关函数表示，故连续函数空间是无限维，但它任一元素能够用有限维多项式迫近，使误差为任意小。定理1：设则对任何总存在一个代数多项式p(x),使在[a,b]上一致成立。第6页范数与赋范线性空间定义2：设S为线性空间，x是S元素，若存在唯一实数，满足条件：则称为线性空间S上范数。称为赋范线性空间。第7页例：n维向量空间上定义三种范数：称为-范数称为1

-范数称为2

-范数第8页例：连续函数空间上定义三种范数：称为-范数称为1

-范数称为2

-范数第9页例：求以下向量1范数、2范数和无穷范数第10页内积与内积空间定义3：设X为数域K（R或C）上线性空间，满足条件：称(u,v)为X上u与v内积。定义了内积线性空间为内积空间。若(u,v)=0,则称u和v正交。第11页例比如：第12页例其中为权函数，满足定义4（page68)第13页正交函数定义5：既：f(x)与g(x)在[a,b]上带权正交。若函数族满足则称该函数族是在[a,b]上带权正交函数族。时为标准正交函数族第14页比如，三角函数族是在区间上正交函数族。定义6：正交多项式(page70)第15页迫近问题函数迫近曲线拟合第16页实例：考查某种纤维强度与其拉伸倍数关系,下表是实际测定24个纤维样品强度与对应拉伸倍数是统计:第17页纤维强度随拉伸倍数增加而增加而且24个点大致分布在一条直线附近必须找到一个度量标准来衡量什么曲线最靠近全部数据点(1)第18页依然是已知x1…xm

;y1…ym,求一个简单易算近似函数P(x)

f(x)。不过①

m

很大；②

yi本身是测量值，不准确，即yi

f(xi)这时没必要取P(xi)=yi,

而要使P(xi)

yi总体上尽可能小。使误差在某种度量意义下最小第19页常见做法：

使最小/*minimaxproblem*/

太复杂

使最小不可导，求解困难

使最小/*Least-Squaresmethod*/第20页最小二乘法基本概念普通使用在回归分析中称为残差称为平方误差第21页在回归分析中称为残差平方和从而确定(1)中待定系数注意(1)式是一条直线所以将问题普通化普通情况下第22页依然定义平方误差第23页我们选取度量标准是(2)(3)第24页第25页法方程组由可知所以可假设所以求最小二乘解转化为二次函数第26页由多元函数取极值必要条件得即第27页(4)即第28页引入记号则由内积概念可知(5)(6)显然内积满足交换律第29页方程组(4)便可化为(7)将其表示成矩阵形式(8)第30页而且其系数矩阵为对称阵所以法方程组系数矩阵非奇异,即依据Cramer法则,法方程组有唯一解第31页即是最小值所以所以第32页作为一个简单情况,基函数之间内积为平方误差第33页例1.回到本节开始实例，从散点图能够看出纤维强度和拉伸倍数之间近似与线性关系故可选取线性函数为拟合函数，其基函数为建立法方程组依据内积公式，可得第34页法方程组为解得平方误差为第35页拟合曲线与散点关系如右图:第36页例2.求拟合以下数据最小二乘解x=.24.65.951.241.732.012.232.522.772.99y=.23-.26-1.10-.45.27.10-.29.24.561解:从数据散点图能够看出所以假设拟合函数与基函数分别为第37页6.7941-5.347563.2589-5.34755.1084-49.008663.2589-49.00861002.51.6163-2.382726.7728经过计算,得法方程组系数矩阵及常数项矩阵为Go!第38页用Gauss列主元消去法,得-1.0410-1.26130.030735拟合平方误差为图象如图第39页例3.在某化学反应里,测得生成物浓度y%与时间t数据以下，试建立y关于t经验公式x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16y=4.00,6.40,8.00,8.80,9.22,9.50,9.70,9.86,10.00,10.20,10.32,10.42,10.50,10.55,10.58,10.60解:含有图示图形曲线很多，本题特提供两种形式第40页例：xy(xi,yi),i=1,2,…,m方案一：设baxxxPy+=

)(求a

和b

使得最小。

=-+=miiiiybaxxba12)(),(jButhey,thesystemofequationsforaandbisnonlinear!Takeiteasy!Wejusthavetolinearizeit…线性化

/*linearization*/：令，则bXaY+

就是个线性问题将化为后易解a

和b。),(iiYX),(iiyx第41页方案二：设xbeaxPy/)(-=

(a>0,b>0)线性化：由可做变换xbay-

lnlnbBaAxXyY-====,ln,1,lnBXAY+

就是个线性问题将化为后易解A

和B),(iiYX),(iiyx第42页两边取对数,得得即为拟合函数基函数为解法方程组得平方误差为第43页用最小二乘法得即不论从图形还是从平方误差考虑在本例中指数函数拟合比双曲线拟合要好平方误差为第44页定义权函数：①

离散型/*discretetype*/依据一系列离散点拟合时，在每一误差前乘一正数wi

，即误差函数

，这个wi

就称作权/*weight*/，反应该点主要程度。

=-=niiiiyxPw12])([②

连续型

/*continuoustype*/在[a,b]上用广义多项式P(x)拟合连续函数f(x)时，定义权函数

(x)

C[a,b]，即误差函数

=。权函数

(x)必须满足：非负、可积，且在[a,b]任何子区间上

(x)0。加权最小二乘法第45页各点主要性可能是不一样重度:即权重或者密度，统称为权系数

定义加权平方误差为(9)第46页使得第47页由多元函数取极值必要条件得即第48页引入记号定义加权内积(10)第49页矩阵形式(法方程组)为方程组(10)式化为(11)(12)第50页平方误差为作为特殊情形,用多项式作拟合函数法方程组为(13)第51页例：连续型拟合中，取则Hilbert阵！改进：若能取函数族

={

0(x),

1(x),…,

n(x),…}，使得任意一对

i(x)和

j(x)两两（带权）正交，则B就化为对角阵！这时直接可算出ak=第52页用正交多项式作最小二乘拟合*即正交多项式怎样选取呢