2025届高考数学精准突破复习：新高考数学函数（导数）解题方法

2025届高考数学精准突破复习

新高考数学函数（导数）求解方法（一）放缩（2024·广州一模）已知函数，.（2）证明：当时，.（二次求导后放缩）（2024·郑州一模）设.（1）当时，证明：；（2）证明：.（三角放缩+裂项）（变式）设函数.（1）求的极值；（2）求证：.（2024·绍兴二模）已知.（2）当时，，求实数a的取值范围.（以a和sinx放缩）（二）同构（2022·新高考I卷）已知函数和有相同的最小值．（1）求a；（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．（典型同构式）（2024·重庆调研）若对任意，恒成立，则a的取值范围是.（指对数互换式同构）已知函数，，.（2）若不等式对任意的恒成立，求a的取值范围.（不完全同构）已知正项数列满足，，表示的前n项和，则.若函数f(x)是定义域在R上的连续函数，且f[lnf(x)]=(x2+lnxx)ex（x>0，e是自然对数的底数），则f(ln2024)=A.2024e2024 B.ln2024e C.ln20242024e D.ln20242024（2024·南昌二模）已知且.（2）设，已知，有不等式恒成立，求实数的取值范围.（典型同构式）（三）隐零点已知函数，.当时，恒成立，求b的取值范围.（典型隐零点问题）（2024·湖丽衢二模）设函数，.（2）若对定义域内任意的实数x，恒有，求实数a的取值范围.（四）换元求导（2023·全国甲卷·理科数学）已知函数，.（2）若，求a的取值范围.（二倍角+换元求导）（2024·南宁一模）已知函数，.设，，求证：.（指对数互换+换元）（2024·开封二模）已知函数，.（2）若方程在上存在实根，试比较与的大小.（嵌套函数+换元求导）（变式）已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数在上有两个零点，求证：.（五）必要性探路（2024·台州二模）已知关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是.（必要性探路）（变式）已知，.（1）若，设，求h(x)的极值；（2）若f(x)和g(x)有两个交点，设交点的横坐标分别为x1，x2，求证：.2024年新高考数学函数（导数）求解方法专题整理注：原题和答案经编者重构以适应各专题方法（一）放缩（2024·广州一模）已知函数，.（2）证明：当时，.（二次求导后放缩）【答案】令，.因为，所以，.所以，，，得证.（2024·郑州一模）设.（1）当时，证明：；（2）证明：.（三角放缩+裂项）【答案】（1）求导得.令，，所以，所以，.（2）由三角放缩（第一小问已证）得.由（1）得当时，，即，.令，则.所以左边.（变式）设函数.（1）求的极值；（2）求证：.【答案】（1）定义域.，.所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以有极小值；无极大值.（2）构造函数.先证和（证明略），得，所以.由（1）得当时，，即.所以.（2024·绍兴二模）已知.（2）当时，，求实数a的取值范围.（以a和sinx放缩）【答案】当时，.①，.令，，.所以，，符合题意.②，，，所以单调递增.因为，，所以存在使.当时，，单调递减，此时，不符合题意.综上所述，.（二）同构（2022·新高考I卷）已知函数和有相同的最小值．（1）求a；（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．（典型同构式）【答案】（1）令，.令，.所以，.（2），.设交点从左到右分别为，.画出图象（具体求导过程略）：因为，所以.因为，所以；因为，所以.因为，所以.，所以，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．（2024·重庆调研）若对任意，恒成立，则a的取值范围是.（指对数互换式同构）【答案】【解析】因为，即.因为，所以，因此.当时，，即.令，，单调递增.所以，.令，令，.所以.已知函数，，.（2）若不等式对任意的恒成立，求a的取值范围.（不完全同构）【答案】由题意得，即，，.令，，.当时，单调递增；当时，单调递减.所以.令，即，.设，，.已知正项数列满足，，表示的前n项和，则.【答案】【解析】由题可知，.设，在上恒成立，即在上单调递减.所以，.所以.所以，即.若函数f(x)是定义域在R上的连续函数，且f[lnf(x)]=(x2+lnxx)ex（x>0，e是自然对数的底数），则f(ln2024)=A.2024e2024 B.ln2024e C.ln20242024e D.ln20242024【答案】D【解析】由题意得f[lnf(x)]=(x2+lnxx)ex=(x2+xlnx)ex=xex(x+lnx)=elnxex(x+lnx)=ex+lnx(x+lnx).出现相同项x+lnx，可知lnf(x)=x+lnx=lnex+lnx=lnxex，易得f(x)=xex.代入函数f(x)得f(ln2024)=ln2024×eln2024=2024ln2024=ln20242024.（2024·南昌二模）已知且.（2）设，已知，有不等式恒成立，求实数的取值范围.（典型同构式）【答案】，两边取对数得，即设，令得，当时，单调递减.又因为，所以在单调递减，由，则在恒成立，即上式等价于，由在单调递减，所以.（三）隐零点已知函数，.当时，恒成立，求b的取值范围.（典型隐零点问题）【答案】定义域.当时，，即.令，.令，，所以单调递增.因为，，所以存在使.当时，，单调递减；当时，，单调递增.因为，所以，即.所以.（2024·湖丽衢二模）设函数，.（2）若对定义域内任意的实数x，恒有，求实数a的取值范围.【答案】定义域.设，.因为，所以令，，单调递增.因为，且时，.所以存在使得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.因为，，所以.设，恒成立，.所以，即.代回得.（四）换元求导（2023·全国甲卷·理科数学）已知函数，.（2）若，求a的取值范围.（二倍角+换元求导）【答案】设，.设，设，，单调递减，.①：，单调递减，，符合题意.②：存在使.在上单调递增，在上单调递减.所以，不符合题意.综上所述，.（2024·南宁一模）已知函数，.设，，求证：.（指对数互换+换元）【答案】要证，即证.设，，即证.因为，所以.设，即，，即证.因为，，，所以.设，.设，，单调递减，.所以，.（2024·开封二模）已知函数，.（2）若方程在上存在实根，试比较与的大小.（嵌套函数+换元求导）【答案】对求导得：当时，单调递增；当时在单调递减，在单调递增.①，单调递增，，或0，不符合题意；②，设实根为，，化简得.设，即.设，.当时，，单调递减，，不符合题意.当时，令，，单调递增；令，，单调递减.因为，，所以存在使，符合题意.所以..设，，单调递增.所以.（变式）已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数在上有两个零点，求证：.【答案】（1）定义域..若，，单调递增；若，令，.当时，，单调递减；当时，，单调递增.（2）当时，，无解，不符合题意.当时，.令，设，.若，，单调递减，，不符合题意；若，当时，，单调递减；时，，单调递增.当时，注意到，所以是在上有两个零点的必要条件，即，.所以.因为，，所以.（五）必要性探路（2024·台州二模）已知关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是.（必要性探路）【答案】【解析】因为当时，，所以.令，，.设，恒成立，单调递增.因为，所以，.下证当时，原不等式恒成立：，符合原不等式，故.（变式）已知，.（1）若，设，求h(x)的极值；（2）若f(x)和g(x)有两个交点，设交点的横坐标分别为x1，x2，求证：.【答案】（1）定义域.因为，，.令，解得x=1.当0<x<1时，，单调递减；当x>1时，，单调递增.所以