2020年电大《高数B》形成性考核1

高等数学（B）（1）作业答案

高等数学（B）（1）作业1

初等数学知识

一、名词解释：

邻域一一设。和6是两个实数，且满足不等式卜-的实数光的全

体，称为点。的6邻域。

绝对值一一数轴上表示数。的点到原点之间的距离称为数。的绝对值。记为

时。

区间一一数轴上的一段实数。分为开区间、闭区间、半开半闭区间、无穷区

间。

数轴一一规定了原点、正方向和长度单位的直线。

实数一一有理数和无理数统称为实数。

二、填空题

1.绝对值的性质有时20、喇=同母、1=曰S*0）、-|a|<«<|«|>

,+母＜|4+|4、＞|«|-1/?|o

2.开区间的表示有（。力）、ab-

---------•---》x

3.闭区间的表示有［。，勿、ab

4.无穷大的记号为我。

5.（-8,+8）表示全体实数,或记为一8cx<+00。

6.（-oo,。）表示小于6的实数,或i己为一8<衣<万。

7.（a,+8）表示大于a的实数,或记为a<x<+oo。

8.去心邻域是指（a-&a）U（a，a+£）的全体。用数轴表示即为9.MANZU

----------------0—b-0------------》X

a-£aa+W

9.满足不等式-2K，<T的数x用区间可表示为(-1,-占。

x2

三、回答题

1.答：(1)发展符号意识，实现从具体数学的运算到抽象符号运算的转变。

(2)培养严密的思维能力，实现从具体描述到严格证明的转变。

(3)培养抽象思维能力，实现从具体数学到概念化数学的转变。

(4)树立发展变化意识，实现从常量数学到变量数学的转变。

2.答：包括整数与分数。

3.答：不对，可能有无理数。

4.答:等价于(1,5]。

13

5.答：仁)。

四、计算题

1.解：(x_l)(x—2)〉0n或=>x〉2处。

x-2>0[x-2<0

•••解集为(―8,l)U(2,+8)。

2.解：x2-6x+5>0=>(x-l)(x-5)>0=^^或《

x-520[x-5<0

=xN5或；.解集为(―8,l]U[5,+8)。

3.解：—+3X—io=()=(x—2)(》+5)=0=玉=2,&=—5为方程的解。

函数(P3)

一、名词解释

函数一一设X与y是两个变量，若当x在可以取值的范围D内任意取一个数

值时，变量y通过某一法则f,总有唯一确定的值与之对应，则称变量y是变量

x的函数。其中D叫做函数的定义域，f称为对应法则，集合G={y|y=f(x),xeD}

叫做函数的值域。

奇函数一一若函数y=/(x)的定义域关于原点对称，若对于任意的X,恒有

/(-X)=-/(%)，则称函数y=/(x)为奇函数。

偶函数一一若函数y=/(x)的定义域关于原点对称，若对于任意的x,恒有

/(-x)=/(x),则称函数y=/(x)为偶函数。

定义域一一自变量的取值范围，记作xe。。

值域---所有函数值组成的集合，记作G={y|y=f(x),xe£>}o

初等数学一一包括几何与代数，基本上是常量的数学。

三角函数：称y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx为

三角函数。

指数函数一一称函数y=/(a>0,为指数函数。

复合函数设y=/(〃)，“=°(x),若“=火幻的值域包含在y=/(“)的定

义域中，则y通过〃构成x的函数，记作y=/(0(x)),称其为复合函数，〃称为

中间变量。

对数函数一一称函数y=log〃Ma>0,且awl)为对数函数。

反函数一一若函数y=/(x)的值域为G,若VyeG,都有一个确定的且满

足y=/(x)的x值与之对应。则由此得到一个定义在G上的以)，为自变量、x为

因变量的新函数，称它为y=/(x)的反函数，记作x=/T(y)。

幕函数一一称函数y=/(1为实数)为幕函数。

常函数一一称函数y=c(c为常数)为常函数。

常量一一在某一变化过程中，始终保持不变的量。

变量一一在某一变化过程中，可以取不同数值的量。

二、填空题

1.函数概念最早是由莱布尼兹引进的。有了函数概念，人们就可以从数量

上描述运动。

2.在历史上第一个给出函数一般定义的是狄里克雷,并给出了一个不能画

AY皋牙理豺

出图形的函数。这就是著名的狄里克雷函数，其表达式是f(x)='7广著。

Lx是有理数

3.函数的三种表示法：解析法、图像法、列表法。

4.函数表达了因变量与自变量之间的一种对应规则。

5.单值函数是当自变量在定义域中取定了一数值时,与之对应的函数值是

唯一的函数。

6.奇函数的图像特点是关于原点对称,偶函数的图像特点是关于y轴对称。

7.单调函数的图像特点是总是上升或总是下降。

8.反函数的图像特点是关于直线y=x对称。

三、回答题

1.答：设函数y=/(x)在集合。上有定义，如果存在一个正数对所有

的xe。，恒有依刈,则称函数y=/(x)为有界函数。

2.答：(1)当一个函数y=/(x)在区间(a,力内有界时，正数M的取法不

是唯一的。

(2)有界性是依赖于区间的。

3.答：VX],x2e(a,b),.Hr,<x2,贝犷(苞)</(看)，则称函数y=/(x)在

区间(。，与内单调增加。否则，称为单调减少。

4.答：若函数y=/(x)在区间(a,。)内单调，其值域是(c,d),则函数

y=/(x)存在反函数y=/T(x),其定义域是(c,d),值域是(a,b)0

四、作图题

(1)y=x2解:是抛物线。

(2)y=_?解:是立方抛物线。

(3)y=sinx解:是正弦曲线。

(4)y=cosx解:是余弦曲线。

(5)y=tanx解:是正切曲线。

(6)y=x2解:是半抛物线。

(7)y=lnx解:是自然对数函数。

(8)y=2X解:是指数函数(a>l)。

(9)y=log,x解:是对数函数(a>l)。

(10)y=log]X解:是对数函数(a<l)o

2

(ll)y=e-、解：是指数函数(a<l)。

(12)y=e*解：是指数函数(a>l)。

第(7)题图第(8)题图第(9)题图

第(12)题图

五、计算题

(1)解：S="2=»(-^-)2=^―0

2447r

⑵解:设长为x,宽为y,则产+2),=60=厂=20

y=10[y=10

面积s=20x10=200bm2。

(3)解：x+l>0=>x>-l,所以定义域为(―1,+8)。

2

(4)解：f(2)=log25,/(g)=log2；,/(6T4-Z?)=log2(<2+2ab+b~4-1)

24

/(x)=log2(x4-l)o

(5)解：由y=」解得x=2r,交换X和y,得到y=上的反函数

x+2I-y犬+2

2Y

y=----，由x-lwOnxol,故定义域为(-8,l)U(l，+8)。

\-x

(6)解：复合函数为y=(V^T—1尸+l=x—27^1+3

六、讨论题

答：(1)复合函数是函数之间的一种运算；

(2)并不是任何两个函数都能构成一个复合函数；

(3)复合函数可以是由多个(大于两个)函数复合而成；

(4)y=/(〃)，”=0(x)中，后者的值域正好是前者的定义域；

(5)构成复合函数的各简单函数，除了最后一个外，都是基本初等函数。

极限(P9)

一、名词解释

极限-----个数列或函数其变化趋势的终极状态。

无穷小量一一极限为零的变量或者常数0。

连续----设函数y=/(x)在x=x()及其一个邻域内有定义，且等式

lim/(x)=/'(Xo)成立，则称函数y=/(x)在x=x()连续。

1X0

数列极限---对数列｛x“｝来说，若〃—>8时，x“—>4,则称数列｛x“｝的极

限为a,记作limx“=a。

?I—>00

函数极限一一设函数y=/(x)在x=x0的附近有定义，当xf与时，

f(x)A,则称函数y=/(x)在xf/时的极限为A，记作lim/(x)=A

无穷大量一一若lim/(x)=8,则称/(x)为该极限过程下的无穷大量。

二、填空题

1.从极限产生的历史背景来看，极限概念产生于解决微积分的基本问题:

求面积，体积，弧长，瞬时速度以及曲线在一点的切线问题。

2.极限概念描述的是变量在某一变化过程中的终极状态。

3.在中国古代，极限概念已经产生，我国春秋战国时期的《庄子•天下篇》

中说：“一尺之十,日取其半,万世不竭”,就是极限的朴素思想。

4.公元3世纪，中国数学家刘徽的割圆术,就用圆内接正多边形周长去逼

近圆周长这一极限思想来近似地计算圆周率三的。

5.极限概念产生于求面积求切线两个实际问题。

三、回答题

1.简述连续性概念。

答：设函数y=/(x)在x=x0及其一个邻域内有定义，且等式

lim/(x)=成立，则称函数y=/(x)在x=x()连续。y=/(x)在(a,b)内

连续是指函数y=/(x)在(a,b)内的每个点处均连续。

2.间断点分成几类？

比l吐」第一类间断点：在该廊勺左右极限均存在

答：口］断占4

"、'［第二类间断点：左右极艮中至少有一个不存在

3.什么是单侧连续？

答：设函数y=/(x)在x=x0及其右邻域内有定义，且等式lim“/(x)=/(x0)

成立，则称函数y=/(九)在x=x0右连续。同理可定义左连续。

4.什么是连续函数？

答:若函数y=/(x)在(a,b)内的每个点处均连续，且在左端点处右连续,

右端点处左连续，则称函数y=/(x)在［a,b］上连续。

5.简述复合函数的连续性定理。

答：设函数y=/(z)在点z=z()处连续，函数z=e(x)在点x=x()处连续，而

Zo=0(xo),并设y=/［e(x)］在点x=x()的某一邻域内有定义，则复合函数

y=/即。)］在点x=/处连续。

四、论述题

极限思想的辩证意义是什么？

答：极限概念描述的是变量在某一变化过程中的终极状态，是一个无限逼近

的过程，是一个客观上存在但又永远达不到的数。在解决实际问题时，“无限”

的过程标志着可以得到精确的答案，他是为解决实际问题的需要而产生的，反过

来又成为解决实际问题的有力工具。

五、计算题

z\V4〃~+2枕24

(1)解：lim——-----=lim------*=—

3n+1"T，।13

3+二n

x

(2)解：lim---=lim

sin2xv->osm2x44

2x

(3)解:lim(V^7T-向=1^-==~六=0

(4)解：lim(l--)x=lim[(l+—=e-'

XT00XXT8—X€

六、讨论

解：limf(x)=lim(l-x)=1

x—o+x->o+

lim/(x)=lim0=0

xfo-XT(F

limf(x)wlimf(x),函数在x=0处极限不存在。

高等数学(B)(1)作业2

导数

一、名词解释

导数一一设函数y=/(x)在x=x0及其邻域内有定义，

若杷出=典八"。*弋一人”。)存在,则称此极限值为函数y=/(x)在x=x0

1

点处的导数值。记为，f(x0),y，包等。

x=x0dxx=x0

平均变化率一一称包=/K+ADT(x°)为平均变化率。

AxAx

瞬时变化率——称lim电=lim/(■+-"%)为瞬时变化率。

©->°Ar-Ar

导函数一一对于区间(a,b)内的每一点x都有导数值，这样由这些导数值

构成的函数称为丁=/(x)的导函数。

高阶导数一一二阶及二阶以上的导数。

驻点一一使得/'(幻=0的点。

极值一一设函数y=/(x)在x=x0及其邻域内有定义，且在x=%o的邻域内

/(幻《/(々)恒成立，则称x=x0为极大值点，称/(%)为极大值。同理可定义极

小值。极大值与极小值统称为函数的极值。

二、填空题

1.导数的物理意义是蛔速度。

2.导数的几何意义是曲线在一点处切线的些率。

3.导数的第三种解释是变化率。

4.导数是一种特殊的极限，因而它遵循极限运篁的法则。

5.可导的函数是连续的，但是连续函数不一定可导。

三、回答题

1.什么是费马定理？

答：设函数y=/(x)在％=尤0的某邻域”(入0)内有定义，并且在后处可导，

如果对任意的工€〃(玉))，Wf(x)<f(x0)(或.f(x)2J'(Xo)),那么/"(》0)=0。

2.什么是罗尔定理？

答：设函数y=/(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可导，并且

满足/(a)=/S),那么至少存在一点4G(a,b),使得/©=0。

3.什么是拉格朗日定理？它的辅助函数是怎样构成的？

答：设函数y=/(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可导，那么

至少存在一点Je（a,b）,使得/S）—/（a）=/'C）（O-a）。

辅助函数为：0。）=/（幻_"?―/（"）（x—0。

b-a

4.函数的性质有哪些？

答：函数的性质有：有界性，奇偶性，周期性，单调性。

5.导数的绝对值大小告诉我们什么？它反映在函数曲线上情况又怎样？

答：导数绝对值大小反映曲线的陡峭程度，导数的绝对值越大，则曲线越陡

峭，否则，曲线越平缓。

6.什么是极大值（或极小值）？

答：设函数y=/（x）在x=x0及其邻域内有定义，且在x=%的邻域内

/（X）</（工0）恒成立，则称X=X。为极大值点，称/（x0）为极大值。

设函数y=/（X）在x=%及其邻域内有定义，且在x=%的邻域内

/（X）2/（工0）恒成立，则称X=%0为极小值点，称/00）为极小值。

7.请举例说明费马定理只给出了极值的必要条件而不是充分条件。

答：例如：直线y=c（c为常数），在任意一点都满足费马定理的条件，且导

数值都是0,但是在任意一点处都不是极值点。

8.最大值与极大值是一回事吗？

答：不是一回事。连续函数在某个闭区间上可能有多个极大值和极小值，但

是最大值和最小值却各有一个。

9.求最大值或最小值通常要经过哪几个步骤？

答：（1）找出驻点和那些连续但不可导的点来，并计算出这些点的函数值;

（2）计算出比区间端点处的函数值；

（3）将以上个函数值进行比较，可得到最大值与最小值。

（4）如果是应用问题，则需先分析题意，设变量，列出函数关系，在求出

唯一驻点，它就是答案。

四、计算题

1的Ay/（3+AX）-/,（3）（3+AX）2-32「“八、幺

1.解：lrim=lrim--------------=hm-----------=lim（6+Ar）=6

Arf0Axf0A,Axf0Ar->0

3.解：y'=Zxsinx+x?cosx

4.解：-

xlnn

5.解：y'=cos(cosx3)(-sinx3)3x2=-3x2cos(cosr3)sinx3

6.解:y'-一―(-sinx)=-tanx

cosx

7.解：当尤>()时，yf=(Inx)f=—

x

一11

当了<0时，yf=[ln(-x)]r=——=—综上所述，(1中|)，=一

-xx

8.解:

9.解:

ff2(1+%之)-2x2x2—2,x~

y~(i+/)2~(i+x2y

10.解:yr=cosx=sin(l——+%)

yn--sinx-sin(2•一+x)

y=-cosx=sin(3•一+x)

y(n)=sin(«~+x)

五、应用题

1.解：V=d成3,R=t,：.v=-m3

33

丫'=3万3/=4"2,当夫=1()时，，=1(),仆=400万，

3

答：体积V增加的速率为400%cm/s.

2.解：设一边长为X,则另一边长为bx,

矩形面积S=x(l-x)=x——,S'=1-2x,令S，=(),解得x='。

2

答：从中间截断，可得到最大矩形的面积。

2.解：设宽为九米，则长为51?空米，围墙长度为L=2x+51空2。

xx

Z/=2—当=2—1512,令乙，=0,/|////

xx

即2——512=0,解得x=±16x

舍掉x=—16,512/x

答：当宽为16米，长为32米时，才能使材料最省。

微分(P17)

一、名词解释

微分---设函数y=/(x)在点x处可导，则移'(x)Ax为函数y=/(x)在点x处

的微分，记作力，即dy=/f(x)Ax

函数的一阶微分形式的不变性一一无论〃是自变量也好，还是中间变量也

好，dy=f\uydu总是成立的。

微分的线性化一一

由lim—=f'(x0)知，Ay=/'(/小+皈提HlAx高阶的无穷小，其中

加T°Ax

/'(Xo)Ar为线性主部，也就是微分。

二、填空题

1.微分有双重意义，一是表示微小的量,二是表示一种与求导密切相关的

运算。

2.微分学包括两个系统：概念系统与算法系统。

3.导数是逐点定义的，它研究的是函数在一点附近的性质。

4.微分中值定理建立了函数的局部性质和整体性质的联系,建立了微积分

理论联系实际的桥梁。

三、回答题

1.微分学基本问题是什么？

答：求非均匀变化量的变化率问题。

2.微分学的基本运算是什么？

答：求导运算和求微分的运算。

3.微分的线性化有什么应用？

答：可进行近似计算等。

四、计算题

1.⑴解：---\r,:.dy=--\-dx

“4xxx

，c、5，4V-x4vIn4l-xln4,l-xln4.

⑵解：y'=——6——=---，；.dy=---dx

(3)解：yr=2sinxcosx=sin2x,dy=sin2xdx

(4)解：yr=sinx+xcosx,dy=(sinx+xcosx)dx

2.解：AV=g万(38.043一83)cm

3.解：设f(x)=盯，取q=LAx=0.03

则f(x0+Ax)B/(x0)+/'(Xo)•Ar，

1.2

VtO3«/(I)+/Xw=VT+-X3x0.03=l+0.01=1.01

3x=l

五、证明题

证明：令，(x)=e',取％=0,Ax=x,

则靖=/(x)=/(Ar)=/(0+Ax)a/(0)+/'(O)Ac=e°+e*-x=l+x,

x=0

/.exal+x,证毕。

高等数学(B)(1)作业3

不定积分

一、名词解释

原函数---如果函数/(X)与尸(X)定义在同一区间(a,b),并且处处有：

F(x)=/(x)或"(x)=f(x)dx,则称F(x)是f(x)的一个原函数。

不定积分一一若F(x)是/(%)的一个原函数，则称/(x)+C为f{x}的不定积

分。记作=F(x)+C.

不定积分几何意义一一表示形状完全一样只是位置不同的一族曲线。

二、填空题

1.在数学中必须考虑的运算有两类：正运算与逆运算。

2.对应于加法运算的逆运算是减法，对应于乘法运算的逆运算是轨，对

应于正整数次乘方运算的逆运算是开方，对应于微分运算的逆运算是积分。

3.关于逆运算我们至少有两条经验：一是逆运算一般说比正运算困难,二

是逆运算常常引出新结果。如减法引出负数,除法引出有理数,正数开方引出无

理数,负数开方引出虚数。

三、回答题

1.什么叫函数f(x)在区间(a,b)的原函数？有多少个？它们彼此之间有

什么关系？

答：若F'(x)=/(x),则称~x)是/(x)的一个原函数，有无穷多个，彼此之

间相差一个常数。

2.什么叫函数f(x)在区间(a,b)的不定积分？

答：函数f(x)的原函数的全体，称为函数f(x)的不定积分。

3.两个函数的不定积分相等是什么意思？

答：这两个函数相等。

4.说明数学运算中存在的正运算与逆运算。

答：减法是加法的逆运算；除法是乘法的逆运算；开方是乘方的逆运算；不

定积分是微分的逆运算；等等。

5.说明原函数和不定积分的关系。

答：原函数的全体就是不定积分。

四、计算题

1.求下列函数的原函数

(1)解：因为J5公=5x+C,所以该函数的原函数为/(x)=5x+C

(2)解：J-2M=-x2+C,，该函数的原函数为f(x)=-x2+C

(3)解：vJ4e2'dx=4x1je2xd(2x)=2e2x+C,

该函数的原函数为")=2/，+C

j_[,+ig±

(4)解：vj6\[xdx=6Jx3tZx=6x----x3=—x^+C

3+1

9i

・•.该函数的原函数为XX)=33+C

(5)解：vj6x5dx=6xlx5+l+C=x6+C,

，该函数的原函数为'(x)=x6+C

(6)解：•.・J拒公=VIr+C,.•.该函数的原函数为/(x)=V^x+C

(7)解：：Jdx=6+C,;.该函数的原函数为'(x)=V7+C

(8)解：•••J-Sinx"=85》+。,：.该函数的原函数为/(%)=8$》+。

(9)解：]r6公=一(*-5+C,.•.该函数的原函数为/(幻=一1厂5+C

(io)解：|■e%e=je4+c,.•.该函数的原函数为/(e)=Le4+c

2.求下列各不定积分

(1)解：jx4dx=^x5+C

3-I3+])5

(2)解：｛x4xdx=ix2dx=-----x2+C=—x^+C

二+i5

2

(3)解:jd+4*)dx=ln|X+三+C

(4)解：Jtan2xdx=j(sec2x-V)dx=tanx-x+C

(5)解：\exdx=ex-^C

(6)解：|—?—公=j--d(x+l)=ln|x+1|+C

x+1x+1

(7)解：|sinJCcosxdx=jsinAZ/sinx=^sin2x+C

⑻解J女迫一血kjx上去=X血一力」</(l+x2)

Jl+x22J1+x2

I,

=xarctanx-----ln(l+x)+C

定积分(P26)

一、名词解释

定积分一一设函数y=/(x)在区间小切上连续,在区间[a,句内插入"-1

个分点：a=x()<X]<%2(…〈七1<%”=匕，把区间[。，加分成〃个小区间

[Xj,xM],其长度为Ax,.=七+]-为，其中i=0,1,2,3,…，n-1,在每个小区

间[七，七+J上任取一点多：xf.<S)i<xj+},并作乘积七，再求出部分和

S„=£/©,)¥，令人=max^Ax,),若崛S“=S(S为常数)，则称S为函数

z=0

y=/(x)在区间a,上的定积分，记作J/(%)公=1加2/©)&/

/=0

定积分几何意义一一若函数y=/(x)20,则定积分，表示由曲线

y=/(》)、直线x=a、x=人以及x轴所围的曲边梯形的面积。

定积分中值定理——设函数y=/(x)在区间a,加上连续，则在

[a,加上至少存在#,使得jf(x)dx=f^)(b-a),其中b]0

微积分基本定理一一设函数y=/(x)在区间a,加上连续，则1/Xx)dx

=F(x)b=F(b)-F(a),这里尸'(x)=/(x)

a

牛顿―莱布尼兹公式一一即微积分基本定理中的公式。

二、填空题

1.定积分是对连续变化过程总效果的度量,求曲边形区域的面积是定积分

概念的最直接的起源。

2.积分学的基本问题是非均匀变化量的求积问题。它的数学模型是

n—\

lim^/(^.)Ax(.,它的物理原形是求变速运动的路程,它的几何原形是求曲边

/=0

梯形的面积。

3.微分学的基本问题是求非均匀变化量的变化率问题,它的数学模型是

lim包，它的物理原形是求瞬时速度,它的几何原形是求切线斜率,它的基本

AsOAx

运算是求导运算和求微分的运算。

4.微分学研究的是函数的局部性态,无论是微分概念，还是微商概念，都

是逐点给出的。数学家研究函数的局部性质，其目的在于以局部定整体。

5.积分学包括不定积分和定积分两大部分，不定积分的目的是提供积分方

法。

三、回答题

1.定积分有哪些应用？

答：物理学应用，几何学应用等。例如，路程问题，曲边梯形面积问题等。

2.定积分的性质有哪些？

答：由以下9条：

(I)f［/(x)±g(x)团g(x)dx；

JaJaJa

(2)Jkf(x)dx=k,f(x)dx；

(3)Jf(x)dx=-£f(x)dx；

(4)Pf(x)dx=0；

Ja

(5)J/(x)dx=jf(x)dx+jf(x)dx；

pb

(6)Jdx=b-a；

(7)若在［a,加上，/(x)Wg(x),则，'/(x)dxWj：g(x)dx；

(8)设M,m分别是函麴=/(x)在［a,可上的最大值和最小值，

则：m(b-d)<^f(x)dx<M(b-a)；

(9)设函数y=/(x)在区间a,加上连续，则在［a,加上至少存在一唐，

使得=/4)(》—a),其中b］0

3.简述积分区间上限为变量时定积分定理。

答：设函数y=/«)在闭区间”，句上有定义且连续，则［/⑺刈在［a,切上可

导,且［［/«)〃］'=/(九)。

4.建立定积分步骤有哪些？

答：分为4步：

4一1，一!

(1)分割；(2)作积/©)Ax..；(3)作和；(4)取极限limZ/©)©,，

/=o八°i=0

其中2=max{Ar.}。

0</<n-l

四、计算题

1.利用定积分性质，比较下列积分值大小。

233

(1)解：♦当x£[0,1]时，x>X9/.Jxdx

(2)解:,・,当xc[L2]时，x3>x2,/.Jx3dx>Jx2dx

(3)解：•・,当xw[L2对JnxAln。，JInxdx>|'n2^dx

2.求函数y=2尢？+3x+3在区间1,4]上的平均值。

解：平均值A=—广(2x2+3x+3)dx=』(2/+3炉+3幻4=丝.

4-lJ133212

3.y=[sintdt

设f7t

X——

4

x,..dy

解:sintdt)=sinx,71sinx

'dxX——x=%一2

44

4-设闫:名,求张

x'-^—dxy=^~

解:

l+Al+A

5.计算下列定积分

J3

(1)解：Jx3dx20

41

『以=泞,2j3314

(2)解:=-(42-12)=—

133

*2JT2%

(3)解:sinxdx=-cosx=一口一(-1)]=一2

Jzr71

fOfO

(4)解:Je-xdx=-J।e-xd(-x)=Y=—(e°—e-1)=——1

)-1e

r-2x,r-2x+3-3,3

(5)解:I--------ax=--------dx

x+3LX+3

-2-2

=x-31n|x+3|=-l-3(lnl-ln2)=31n2-l

-1—1

/八々刀r41,1f411..1f411f41

(6)解：-----dt=—\(-----------------)dt——-------dt--------dt

4r2-96Ji2-32r+36Jl2r-36J12r+3

ln|2r-3|4--ln|2r+3|4=—ln5-—In—=-ln5--Inll

1214121H12125612

6.解：如下图，体积V=5f“x)dx=4axdx=4的gx?j=32/zzz

第6题图第7题图第8题图第9题图

7.解:如上图，

体积v-(1——(1—%(x—g.

5」refy=2x+3"=-1(x=3

8.解：如上图，｛।或1,

」=尤3=11乃=9

面积S=J：［(2x+3)-马公=(》2+3》_夫3)3广彳

4

9.解：如上图，S=£exdx=ex=eA—e2

高等数学(B)(1)作业4

微积分简史

注意：以下六题自己从书中相应位置的内容去概括，要抓住重点，言简意赅,

写满所留的空地。

1.论述微分学的早期史。

答：见书P216——217

2.简述费马对微分学的贡献。

答:见书P217——218

3.简述巴罗对微分学的贡献。

答：见书P218——220

4.论述积分学的早期史。

答：见书P206——210

5.论述微积分对人类历史的贡献。

答：见书“一、前言”一开始的部分(前两段)。

6.牛顿和莱布尼兹对微积分的发现做出了什么贡献？

答：见书P222---225o

微分方程(P33)

一、回答题

1.微分方程的定义。

答：含有未知函数的导数或微分的方程。

2.何为微分方程的通解、特解、初始条件？

答：满足微分方程的所有函数，叫做微分方程的通解；满足微分方程的一个

解或者部分解，称为微分方程的特解。微分方程最初所满足的条件，叫做初始条

件。

3.何为变量可分离的微分方程？

答：把形如挛=/(尤)g(y)的微分方程，称为微分方程。

ax

4.微分方程与建模有和关系。

答：抛弃具体意义，只关心微分方程的形状，研究如何解方程，等这些工作

做熟练了，反过来又可以用它解决实际问题。

5.建模思想和步骤是什么？

答：建模思想就是将各种各样的实际问题化为数学问题，通过建立数学模型,

最终使实际问题得到解决。

步骤：(1)明确实际问题，并熟悉问题的背景;

(2)形成数学模型；

(3)求解数学问题；

(4)研究算法，并尽量使用计算机；

(5)回到实际中去，解释结果。

二、计算题

1.求下列微分方程的解。

(1)解：y=J(2x—3)公=--3x+C,代入初始条件得C=—1,

满足初始条件的特解为y=d—3x-l

“ri--]J-+18-

(2)解：y-jAy/xdx-4jrx2Jx=4x-x2+C=-x2+C

2+1

代入初始条件得C=-g，满足初始条件的特解为y=|1-g

(3)解：y=]6/'公=：。32(3元)=203*+。，代入初始条件得。=2,

满足初始条件的特解为y=2e3'+2

「21

y=3x--r

r-

2.解：由题意：y=J(3x2----])dx=/-----1~c,

JCX

y1=2

x=-1

代入初始条件得。=-4,.•J(X)=X3+J_+4

X

y=200-0.2x

2

3.解:由题意:y=J(200—0.2x)〃=2()()x-O.lx+C

y~100000,

•x=1000

代入初始条件得C=0,.•.所求的函数关系是y=20Qx-x2

RkR

=R°，分离变量：空=皿

4.解：由题意：\R

r=0°R

=殳

R

”16002

两边积分：用=］皿=>lnR=〃+lnCnH,

代入初始条件夫|八=凡得：C=R。，这时：R=&'’

|/=0

代入初始条件篙6。。吟得：?=5

3-2，=—小入RM%髀得

_ln2

R=Rp1600/„c-一~

为e，化简得：R=«21600

所以镭的量R与时间t的函数关系为R=R（）21600

高等数学(B)(1)综合练习

一、名词解释

1.函数一一设X与y是两个变量，若当x在可以取值的范围D内任意取一

个数值时，变量y通过某一法则f,总有唯一确定的值与之对应，则称变量y是

变量x的函数。其中D叫做函数的定义域，f称为对应法则，集合

G={y|y=f(x),xwD}叫做函数的值域。

2.奇函数一一若函数y=/(x)的定义域关于原点对称，若对于任意的x,

恒有/(-%)=-/(X),则称函数)=/(x)为奇函数。

3.连续一一设函数y=/(x)在x=及其一个邻域内有定义，且等式

lim/(x)=/(%)成立，则称函数y=/(x)在x=x(,连续。y=/(x)在(a,b)内

XT%

连续是指函数y=/(x)在(a,b)内的每个点处均连续。

4.定积分-设函数y=.f(x)在区|可a,上连续，在区间［a,句内插入

1个分点：a=x0<x}<x2<---<<xn=b,把区间［a,句分成〃个小区间

［为,x,+I］,其长度为Ax’=七+1-七，其中i=0,1,2,3,…，n-1,在每个小区

间［4x’+J上任取一点,：X,.<<xM,并作乘积了够)以；，再求出部分和

S”岂f&心i，令/l=max{必}，若limS“=S(S为常数)，则称S为函数

054"-12—>0

1=0

y=/(x)在区间a,加上的定积分，记作If(x)dx=lim/(^,)^,

/■=()

5.微分方程一一含有未知函数的导数或微分的方程。

二、填空题

1.函数y=3*的反函数是(y=log3X)；

2.若函数/(x)在(a,内可导且单调增加，则Vxe(a,b),有

((%)住)0；

3.lim(l+-)4v=(/)；

XfooX

4.(Jf{x)dx\=sinx,贝U/(x)=(sinx)；

5.若函数y=ad+"+c在点x=l的一阶导数为零，则在该点取得极值且为

(a+b+c)；

三、判断题

1.若f(x)在(a,b)内严格单调，则f(x)在(a,b)内存在反函数；(J)

2.若f(x)与g(x)在(-oo,+oo)都是偶函数，则f(x)g(x)在实数范围内也是偶函

3.若数列｛4｝单调增加，则数列｛4｝存在极限；（X）

4.若函数f（x）在点a可导，则函数f（x）在点a连续；（J\

5.函数f（x）在（a,b）内的极大值必定大于它在该区间内的极小值。（X）

四、单选题

1.函数/（x）=x+，在（一oo,0）U（0,+℃）内（D）。

X

A.没有极大值点；B.没有极小值点；

C.既没有极大值点也没有极小值点D.既有极大值点也有极小值点

2.设函数/（幻连续，则公等于（A）

A./（x）；B.f（x）dx；

C./W+C；D.

ax

3.下列函数中，（C）为复合函数。

A.y=—；B.y=3'；

x

C.y=Jl+lnx；D.y=log2x.

4.设函数/（%）在点处可导，则/内。_：；一/（”B）。

A.与h都有关；B.仅与与有关，而与h无关；

C.仅与h有关，而与与无关；D.与与,h都无关。

5.若在区间[a,b]±f（x）＞0,在（a,b）内/'（x）＜0,根据定积分的几何意

义，则jf(x)dx(A)o

A.大于/(b)(Z?-a)；B.小于/(Z?)3-a)；

C.等于/S)(O-a)；D.大于/(a)(O-a).

五、计算题

i.求函数/(尤)=二LL的定义域。

V3-X2

解：由题意知3-->o=—.•.函数的定义域为

2.用导数定义求函数/(x)=x2-x+2在点x=l的导数。

.y^(l+Ax)—f(1).(1+Ax)"—(1+Ax)+2—2.Ax-+AY

解：lim------------=hm------------