大学物理下册课后题答案2

大学物理下册课后习题答案

习题八

8-1电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点.试问:(1)在这三角形的中

心放•个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力

之和都为零？(2)这种平衡与三角形的边长有无关系

解：如题8-I图不

(1)以A处点电荷为研究对象,由力平衡知：q'为负电荷

1q2

2cos30°国

4元Ea24冗&博甸2

3

解得q

⑵与三角形边长无关.

FF

/5

Bq乙—tc

mg

题8-1图题8-2图

8-2两小球的质量都是m,都用长为1的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线

夹角为2()，如题8-2图所示.设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带

的电量.

解：如题8-2图示

TcosO=mg

TsinO=F=1q2

4年(21sin0)2

解得q=21sinO,/4兀BKmgtanO

°q

8-3根据点电荷场强公式E=,当被考察的场点距源点电荷很近(rO)时，则场强

4ZL£r2

00,这是没有物理意义的，对此应如何理解？

解：E=口尸仅对点电荷成立，当r今0时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求

4兀£r2o

场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大.

8-4在真空中有A,B两平行板，相对距离为d,板面积为S,其带电量分别为+q和一q.则

q2

这两板之间有相互作用力f,有人说f=，又有人说，因为f=qE，E=q,所

4)tcd28S

q2

以£=.试问这两种说法对吗为什么f到底应等于多少

£0S

解：题中的两种说法均不对.第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把

q

合场强E="看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的.正确解答应为一个

EOS

qqq2

板的电场为E=另一板受它的作用力f=q=，这是两板间相互作用

及>28S28S

ooo

的电场力.

8-5—电偶极子的电矩为J5=q[,场点到偶极子中心0点的距离为r'矢量尸与「的夹角为

0,（见题8・5图），且"aaI.试证P点的场强E在I•方向上的分量E和垂直于r的分量E分

别为r0

EpcosOEPsinO

72冗£r3'e-4冗£r3

证：如题8-5所示，将P分解为与尸平行的分量psinO和垂直于尸的分量psinO.

:r»1

：.场点P在r方向场强分量

_pcosO

E

2兀£r3

垂直于r方向，即0方向场强分量O

_psinO

E0

4兀£r3

o

dEo

A

0

LaB1

题8-5图题8-6图

8-6长I=15.0cm的直导线AB上均匀地分布着线密度入=5.Ox1Q-9c•m-1的正电荷.试求：

（1）在导线的延长线上与导线B端相距a=5.0cm处P点的场强：（2）在导线的垂直平分线上与

导线中点相距d=5.0cm处Q点的场强.

解：如题8-6图所示

⑴在带电直线上取线元dx‘其上电量dq在]P点产生场强为

汕

dE

p4和(a-x)2

E=ff；

dE。入dx

pP4兀E(a-x)2

o2

入[―11

知-I]

oa--a+—

22

Al

兀E(4a2-/2)

用1=15cm,入=5.0xlO-9C8n-1,a=12.5cm代入得

E=6.74x102NC-1方向水平向右

P_1汕

⑵dE二方向如题8-6图所示

同理Q4兀tX2+d2

02

由于对称性IdE=0,即E只有y分量,

IQx.Q

2

1入d.xd2

-dE=

54邠x2+d2,・/x2+d2

o2\i2

d入Ld.x

E=fdE=—±归

QyIQy4冗8L3

2-2(x2+d2)2

入1

2；ce../r2+4d2

0\J

以入=5.0xlO-9C*cm-l,1=15cm,d,..=5cm代入得

2

E=E=14.96x102NC-1,方向沿y轴正向

QQy

8-7一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为入，求环心处0点的场

强.解：如8-7图在圆上取dl=Rdcp

题8-7图

dq=勾l=R闷cp'它在0点产生场强大小为

砍dcp

dE=方向沿半径向外

4冗tR2

O

入

则dE=dEsincp=sincpdcp

X44儿ER

dE=£1£鼠(冗一<»=期卬唧

4兀ER

入入—。

积分Ej。冗4%ERsin<pd宜臾E°R

E-ft4jlERcos<pd<p-0

入°O

E=E=方向沿x轴正向.

x2兀ER

8-8均匀带电的细线管成正方形，边长为I'总电量为q.⑴求这正方形轴线上离中心为r

处的场强E；(2)证明：在r>>l处，它相当于点电荷q产生的场强E

q

解；如8-8图示，正方形一条边上电荷不在P点产生物强dE方向如图，大小为

礼。sO-COSo)P

4冗8|.r2+一

o\!4

3

cosO=-cosO

2,

dE-x入_________________

p12

叶4N2

拈在垂直于平面上的分量dE=dEcosP

pJA.1pr

dE=

,i12；12II2

4冗8」2+—1r2+—Jr2+—

题8-8图

由于对称性，P点场强沿OP方向，大小为

4Air

E=4xdE

p12\2

4兀f：(r2+—)r2+一

o4\2

-入=q

41

qr

,,Eo=---------------------方向沿OP

知(r2+马/2+-

o4\2

8-9(1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个

面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电

通量是多少？*31如膜-9⑶图所示，在点电荷q的电场中取半径为R的圆平面.q在该平

“R

面轴线上的A点处，求：通过圆平面的电通量.(a-arctan—)

X

解：(1)由高斯定理1£75=匚

S

C

立方体六个面，当q在立方体中，闻寸，每个面上电通量相等

q

.各面电通量＜D=

e6C：

(2)电荷在顶点时，将立身体延伸为边长2a的立方体，使q处于边长2a的立方体中心，则

q

边长2a的正方形上电通量＜1＞=

e6£

对于边长a的正方形，如果它不包含3所在的顶点，则＜P=q

24c:'

4

如果它包含q所在顶点则＜D=0.

-A-

(3)?通过半径为R的圆平面的电通量等于通过半径为V飞了+x2的球冠面的电通量，球冠

面积大

X

S=2兀(R2+X2)[I・]

)R2+X2

■巾=里$=q[|_x]

£。兀

4(R2+X2)2£Q+X2

*关于球冠面积的计算：见题8-9(c)图

S=f咀rsina.心

o

=2町2f跺ina.中

=2兀r&1-cosa)

8-10均匀带电球壳内半径6cm外半径10cm,电荷体密度为2X10-sCm3求花球心5m,

8cm2叫点的飞

2q

解：高斯定理EdS=__2_,£4叮2=---------

8

当r=5cm时，Iq=O,E=O

4兀

r=8cm时,Iq=p一(r3-r?)

3内

卢(3-2)

E=3'、3.48X104N.C-1'方向沿半径向外.

4兀Er2

4兀

r=12cm时，Lq=P—(r3-r3)

3外内

3-r3)

3外庆

E=4.10X104N.C-1沿半径向外.

4兀£r2

8”羲彳帝F魂V也建奥赞%呻毁虬端杈球分别带有电量入和

!2122

q

解：高斯定理EdS=

8

取同轴圆柱形高斯面，侧瑜S=2兀rl

5

则f)E・dS=E2兀!4

s

对⑴气LqO,E=0

(2)R<rl<RLq=l入

12

E=入沿径向向外

2月Er

(3)or>RLq=O

2

.：E=O

O,2

0n

题8-12图

8-12两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为G和CJ,试求空间各处场

噬

伽；如题8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为CJ与6

两面间，

C面外,

I

G面外，

2

兀垂直于两平他由G面指为G面.

8-13半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为P,若在球内挖去一块半径为r<R的小

球体，如题8-13图所示.试求：两球心O与0'点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀

的.

解：将此带电体看作带正电P的均匀球与带电——P的均匀小球的组合，见题8-13图（a）.

（1）+p球在0点产生电场E=0,

104

々ir3P

-P球在0点产生电场E.0OO,

204兀Ed3

r3p

0点电场E=00';

o3Ed3

o4

一Till3p____

（2）+p在O'产生电场E.=300'

10'4兀Ed3

-P球在O'产生电场E=0

O'点电场E=00'

O'3E

6

题8-13图(a)题8-13图(b)

⑶设空腔任一点P相对O'的位矢为r',相对O点位矢为尸(如题8-13(b)图)

则E=£!_

PO3£'

0

E-k

©O'3£Pd

REFrr。P

8厉||3

,pIIp+pII8cMl3C

o0

占腔内场强是均匀的.°

8-14一电偶极子由q=1.0X10-6C的两个异号点电荷组成，两电荷距离d=O.2cm,把这电

偶极子放在1.0X10sN・C-l的外电场中，求外电场作用于电偶极子上的最大力矩.

解：？电偶极子P在外场E中受力矩

M=pxE

,•M=pE=qlE代入数字

max

M=1.0x10-6x2x10-3xl.OxlOs=2.0x10-4Nm

max

8-15两点电荷q=1.5X10-aC,q_=3.OXIO-sC,相距r=42cm,要把它们之间的距离变为

[2=25cm.需作多少功？

解：A=tp<|r=fj'=罕(L_L)

4兀£r248

'i2o元rr

O1O

二一6.55x10-6J

题8-16图

OC16

r如题8-16图所示，在A,B两点处放有电量分别为+q'-q的点电荷，AB间距离为

现将另-正试验点电荷q。从0点经过半圆弧移到C点，求移动过程中电场力作的

功

除,：如题8-16图示--I

U=(+十)=0

o一4阳RR

U二(-^--4^)=-q

o4兀83RR*6冗£R

oqq。

.,A=q.(U-U_)=

ooc伍c：R

8-17如题8・17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为入的正电荷，两直导线的长度和半

圆环的半径都等于R.试求环中心0点处的场强和电势.

7

解：（1）由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在0点产生的场强互相抵消，取

dl=RdO

则dq=砍dO产生0点dE如图，由于对称性，O点场强沿y轴负方向

tY

2,£R

(2)AB电荷在0点产生电势，以U00=O

u二fA入dx-f2R汕入=

i-B4祁x-R4用x4和

A)oo

同理CD产生U=-In2

i

兀R入入

半圆环产生U==

34兀ER4E

oo

U=U+U+U=入ln2+入

0123为848

00

8-18一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2X104fll•S-1的匀速率作圆周运动.求带电直线

上的线电荷密度.能子质量m=9.1X10akg,电子电量e=1.6OX1O-19C）

解：设均匀带电直线电荷密明入，在电子轨道处场强

入

E=_____

2元Er

oe入

电子受力大小F=eE=---------

e2兀Er

e入V20

.•---------=m一

2冗Err

o

、2几Emv2，八U-

得入==12.5x1Q-13C•m-1

e

8-19空气可以承受的场强的最大值为E=30kV-cm-1,超过这个数值时空气要发生火花放

电.今有一高压平行板电容器，极板间距离为d=O.5cm,求此电容器可承受的最高电

压.解：平行板电容器内部近似为均匀电场

,・U=Ed=1.5x104V

8-20根据场强E与电势U的关系E=-VU,求下列电场的场强：（1）点电荷q的电场；

（2）5电I为q,半径为R的均匀带电圆环轴上一点：*3）偶极子p=ql的r>>1处观题

8-20图）

00

解：（1）点电荷u=

4TK:r

6Vqo_

E-rr为r万向单位矢量.

祈047ar2oo

（2）总电量q,半径为R9l勺均匀带吗i环轴上一点电势

U=--------

4阳JR2+x2

E=£江阳解璘/

（3）偶极子p=q「在r>>l处的一点电势

_q11,qlcosO

UTT-知［rI・|I=

.八、4兀£r2

o(r--cosO)(M1+―cosO)

aupcosO

E=-

r6r2TECr3

I8U_psinO

r804兀£r3

8-21证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板（版-21图）来说，（1）相向的两面上，电

荷的面密度总是大小相等而符号相反；（2）相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符

号相同.

证：如题8・21图所示，设两导体A、B的四个平面均匀带电的电荷面密度依次先.6

u

3'4

AB

(S)「

：D

。20304

D

题8-210

0））则取与平面垂直且底面分别在A、B内部的闭合柱面为高斯面时，有

□E-dS=（cr+cr）S=0

「a+（j'=0

说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反；

0在A内部任取一点P,则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而

成的，即61G

1G一G

2c2c2c-

0000

X•:a+a=0

•23

G«6

说明相背两面上电荷面密度总是大,、相等，符号相同.

8-22三个平行金属板A,B和C的面积都是200m2,A和B相距4.Omm,A与C相距2.0

9

mm.B,C都接地，如题8-22图所示.如果使A板带正电3.OX1Q-1C,略去边缘效应，问B

板和C板上的感应电荷各是多少？以地的电势为零，则A板的电势是多少？

解：如题8-22图示，令A板左侧面电荷面密度为a,右侧面电荷面密度为G

题8-22图

(1)■：UAC=UAB,即

Ed=Ed

ABAB

J扭=2

dAC

噢

且+CJ

2

q2q

得cr=±cr=..A

23ST

S。=勺S==-2x10-1C

q

3A

q=勺S=-1x10-1C

B

(2)U=Ed=-±d=2.3x103V

AACAC£AC

8-23两个半径分别为R和RCR<R)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q,试计

算：

(1)外球壳上的电荷分布及电势大小;

⑵先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势;

*(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量.

解：(1)内球带电+q;球壳内表面带电则为——q,外表面带电为+q,且均匀分布，其电势

题8-23图

U=tE'dr=f=.q

RR4兀C°r24兀£.R

(2)外壳接地时，外表面电荷+q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为一q.所以球壳电

势由内球+q与内表面一q产生：a

u=q--=。

4冗ER4%ER

0202

9)设此时内球壳带电量为q'；则外壳内表面带电量为一qH外壳外表面带电量为一q+q'

(电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且

10

qq.+_q+q，

u=0

A4冗£R4兀ER4兀ER

a02

得飞

I2

外球壳上电势

q'-q+q*_CR.-R_)q

u=q一

B4兀ER4兀4/LER4兀tR2

0202

8-24半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联,在与球心相距为d=3R处有

一点电荷+q,试求：金属球上的感应电荷的电量.

解：如题8-24图所示，设金属球感应电荷为q',则球接地时电势U0=O

由电势叠加原理行:

q

q1+0

o4/cER4兀E3R

3

8-25有三个大小相同的金属小球，小球1,2带有等量同号电荷，相距甚远，其间的库仓力

为F.试求：

o

Q)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1,2后移去，小球1,2之间的库仓力；

(2)小球3依次交替接触小球1,2很多次后移去，小球1,2之间的库仑力.

F-92

解：由题意知r一

o4儿£r2

⑴小球3接触小球1后，小球3和小9求1均带电

小球3再与小球2接触后，小球2与小球3均带电

3

q"=—q

4

：.此时小球1与小球2间相互作用力

I4兀Er24兀Er28。

o2q

(2)小球3依次交替接触小球1、2很多次后，每个小球带电量均为一-.

3

22

丁q^q

：.小球1、2间的作用力FJ=^4F

24兀c:r29°

*8-26如题8-26图所示，一平行板电容器两极板面积都是S,相距为d,分别维持电势

U=U,U.R=O不变.现把一块带有电量q的导体薄片平行地放在两极板正中间，片的面

积也是S,片力勺厚度略去不计.求导体薄片的电势.

11

解：依次设A,C,B从上到下的6个表面的面电荷密度分别为cr,cr,cr,cr,cr,cr

由静电平衡条件’电荷守恒定律B维持u=u可得以下1个程

如图所示.♦

题8-26图

qicU

a+a=——CU=

।2SS0d

q

a+a=

34s

qEU

6+6二——0

56Sd

a+a=0

a+a=0

6=6+6+6+6+6

_q

解得6=6—

162S

8Uq

6=-6=0—

23d2S

EU.q

6=-G=0+—

5d2S

dU

=…一=+a

所以CB间电场E4-

2Ed2ES

E”-qd)

u=u=-(U4

CCB222-2ES

0

uu

注意:因为C片带电,所以U#一,若C片不带电，显然u=——

c2c2

8-27在半径为R的金属球之外包有一层外半径为R的均匀电介质球壳，介质相对介电常

数为8,金属球带电Q.试求：

(1)电介质内、外的场强；

(2)电介质层内、外的电势；

(3)金属球的电势.

解：利用有介质时的高斯定理jj.dSq

s

⑴介质内(R<r<R)场强

I2

D=J!-,E=:

413内4兀88r3,

0r

介质外(rvR)场强

2

15=2!—.E=0尸

4叮3,外4兀Er3

o

(2)介质外(「>口2)电势

u=I,E-dr=.Q

「外4JIXr

介质内(R<r?R)电势

U=f®E，dr+fooE'dr

r内，并

a

1J.Q

(-----)+

4元88rR4兀ER

0r02

Q1.£-1

(-H-----)

4兀88rR

0r2

(3)金属球的电势

U二f巳'df+f]<E"dr

=f；Qdr;100Qdr

R4兀££,

0r2R4兀£

Q'(X一)。

4兀8CRR

0rI

8-28如题8-28图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为8的电介质.试

求：在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值.

解：如题8-28图所示，充满电介质部分场强为E,真空部分场强为E,自由电荷面密度

分用物与2-c2

由.II得

D=a1D=a

1122

而D=cE,D=££E

I012Or2

E=E=—

i2d

aD

•=-—=8

aI2>.

题8-28图题8