新人教版高中数学必修第二册：强化练6 空间中的垂直关系

专题强化练6空间中的垂直关系

一、选择题

1.（2020河北石家庄第二中学高一下月考,"）已知正方体

ABCD-AiBiCiDi的棱AAi的中点为E,AC与BD交于点。平面a过

点E且与直线OCi垂直，若AB=1,则平面a截该正方体所得截面图形

的面积为（）

AV6

一V6

4-

2

8BD.

V3-

C.一24

2.（2020山东烟台第二中学高一下月考*）如图，在正方形ABCD中,E、

F分别是BC、CD的中点,G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这

个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为

H,那么在这个空间图形中必有（）

A.AG_L平面EFHB.AHJ_平面EFH

C.HF_L平面AEFD.HGJL平面AEF

3.（2020湖北武汉江夏一中、汉阳一中高三下联考,"）在三棱柱

ABC-AiBiCi中，已知ABJ_AC,AAiJ_平面AIBICL则下列选项中，能使

异面直线BQ与AiC相互垂直的条件为（）

A.zAiCA=45°

B.zBCA=45°

C.四边形ABB1A1为正方形

D.四边形BCCiBi为正方形

4.（2020重庆江津中学、禁江中学等六校高三下联考,"）如图,棱长为

1的正方体ABCD-AiBiCiDi中,P为线段ABi的中点,M,N分别为线

C.1D.V2

二、填空题

5.（2020安徽合肥一六八中学高二上期中,4）经过平面a外一点和平

面a内一点与平面a垂直的平面有.

6.（2020湖北襄阳五中、夷陵中学高三下联考,"）三棱锥S-ABC中，

点P是RfABC斜边AB上一点，给出下列四个命题：

①若SA_L平面ABC,则三棱锥S-ABC的四个面都是直角三角形；

②若AC=BC=SC=2,SC±¥®ABC,则三棱锥S-ABC的外接球表面

积为12n;

③若AC=3ZBC=4ZSC=V5,S在平面ABC上的射影是^ABC的内心，

则三棱锥S-ABC的体积为2;

④若AC=3,BC=4,SA=3,SAJ_平面ABC,则直线PS与平面SBC所成

的最大角为45°.

其中正确命题的序号是.

三、解答题

7.(2020天津静海第一中学高一下期中,*)如图所示，在长方体

ABCD-AiBiCiDi中,AB=2,BC=2,CG=4,M为棱CCi上一点.

⑴若CiM=l,求异面直线AiM和CiDi所成角的正切值；

(2)若CiM=2,求证BM_L平面AiBiM.

8.(2020山东滕州一中高一下月考,*)如图，在四棱锥P-ABCD中，底

面ABCD是矩形，点E、F分别是棱PC和PD的中点.

(1)求证:EFII平面PAB;

(2)若AP=AD,且平面PADJ_平面ABCD,证明:AFJ_平面PCD.深度解析

9.(*)如图,四边形ABCD是正方形Q是该正方形的中心尸是平面

ABCD外一点,PO_L底面ABCD,E是PC的中点.求证：

⑴PAII平面BDE;

(2)平面BDEJ_平面PAC.

10.(2020四川南充高三第一次适应性考试,")如图，在四棱锥

P-ABCD中，底面ABCD是矩形,AB=2,BC=a,PA_L底面ABCD.

Q)当a为何值时,BDJ_平面PAC?证明你的结论；

(2)若在棱BC上至少存在一点M,使PM_LDM,求a的取值范围.

P

8

答案全解全析

一、选择题

1.A连接OE,BE,ED,JE.

易得。C/=1+j=|/OE2=i+1=|,ECf=2

...0行+OE2=E*；.OE，OC1,易得BD,平面ACC1A1,

...BDLOCL又OEnBD=O,；.OCi_L平面BDE,...所得截面为ABDE.

SiBDE=|BD-OE=|xV2xy=^

，a截该正方体所得截面图形的面积为手.

4

故选A.

2.B易知AH_LHE,AH，HF,

又HEAHF=H,

...AHJ_平面EFH,.*.B正确；

•.•过A只有一条直线与平面EFH垂直,，A不正确；

易知AG_1_EF,EF，AH,又AGflAH=A,

；.EF_L平面HAG,又EFu平面AEF,

二平面HAG,平面AEF,过H作直线I垂直于平面AEF,则I一定在平面HAG内,

AC不正确；

VHG不垂直AG,，HG_L平面AEF不正确,，D不正确.

故选B.

3.A如图，连接AJ.

易知AAi平面ABC,...AAi_LAB,又ABJ_AC,AAiClAC=A,，ABJ_平面

ACCiAi.

,.•AiCu平面ACCiAi,/.ABJLAIC,

当异面直线BCi与AiC相互垂直时，由ABDBC尸B,可得AiC,平面ABCi,

•••ACiu平面ABCi,AiC±ACi,.,.四边形ACCiAi为正方形,，zAiCA=45°,

反之亦然，即NAICA=45°时，可得BCi±AiC成立.

故选A.

4.C如图，连接CiD,过M作MH±CiD于H,连接HN,过H作HH—GDi于

Hi,

则MHHAD,.•.繇器.

平面CCiDiD,，MHJ_平面CCiDiD.

易知HHWDD】,.嗡喘，即冷部

VAD=DDi,.•.MH=HHi,

在RfMHN中,MN2=MH2+HN2,

VHN>HHi,

.•.MH2+HN22MH2+H/2MH4

即MN2>2MH2,MN>V2MH,.*.PM+yMN>PM+MH>l,

即PM+yMN的最小值为1.

故选C.

二'填空题

5.答案1个或无数个

解析设平面a外一点为A,平面a内一点为。

若OA，a,则过0A的任一平面都垂直a,所以过0A存在无数个平面与平面a垂

直；

若0A不垂直于a,则过点A有唯一的直线I与平面a垂直,0A与I确定唯一的平

面与a垂直,所以过0A存在唯一的平面与平面a垂直.

故答案为1个或无数个.

6.答案①②④

解析对于①,..飞人，平面ABC,AB、AC、BCu平面ABC,；.

SA±AB,SA±AC,SA±BC,

又BC，AC,SAnAC=A」BC_L平面5人（：「.飞€：匚平面5人（：,..出€：_15（：,，三棱锥

S-ABC的四个面都是直角三角形，①正确；

对于②，若AC=BC=SC=2,SC，平面ABC,则三棱锥S-ABC的外接球可以看作棱

长为2的正方体的外接球,1.2R=2V3（R为外接球的半径）,球的表面积为12n,②正

确;

对于③，设AABC的内心是0,则SO,平面ABC,连接OC,则有

SO2=SC2-OC2=5-2=3,，SO=W,...三棱锥S-ABC的体积

vWxSAABcxSO=gxgx3x4xV^=2V^,③不正确；

对于④，若SA=3,SA，平面ABC,则直线PS与平面SBC所成的角最大时,P点与

A点重合，易知AS与平面SBC所成的角为NASC,在RfSCA^,tanzASC=1=l,

，NASC=45°,.•.直线PS与平面SBC所成的最大角为45°,④正确.

故答案为①②④.

三'解答题

7.解析(1)：CIDIIIBIAL，NBIAIM是异面直线AIM和QDi所成的角.

\,在长方体ABCD-AiBiCiDi中,AiBiJ_平面BCCiBi,AA1B1±BiM,

VBiCi=BC=2zCiM=l,

+MC^=V4+T=V5/

/.tanzBiAiM=-^-=y,

即异面直线AiM和CiDi所成角的正切值为日

(2)证明:当CiM=2时,BiM=BM=”C2+CM?=2近,

平面BCCIBLBMU平面BCCiBi,

/.AiBi±BM.

又AiBiABiM=Bi,...BMJ_平面AiBiM.

8.证明(1)VE.F分别是棱PC和PD的中点,，EFllCD,又在矩形ABCD

中,ABllCD,.•.EFIlAB,•.•ABu平面PAB,EFa平面PAB,，EFII平面PAB.

(2)在矩形ABCD中,AD，CD,又平面PADJ_平面ABCD,平面PADCI平面

ABCD=AD,CDu平面ABCD,，CDL平面PAD,又AFu平面PAD,/.CD±AF.

•.•PA=AD,F是PD的中点，

.,.AF±PD,

•••PDu平面PCD,CDu平面PCD,PDnCD=D,，AF_L平面PCD.

方法总结

证明线面平行的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法可利

用三角形的中位线或平行公理;线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相

交的，而要求证的线线垂直又可以转化为已知的线面垂直（有时来自面面垂直）来

考虑.

9.证明Q）如图，连接0E,；0、E分别是AC、PC的中点,...PAII0E,

又PAQ平面BDEQEu平面BDE,，PAII平面BDE.

（2）：P0,底面ABCD,BDu底面ABCD,

，PO_LBD,又正方形中BD±AC,POnAC=O,

.,.BD_L平面PAC,而BDu平面BDE,

...平面BDE_L平面PAC.

p

10.解析Q)当a=2时,BD_L平面PAC.

证明如下:当a=2时，矩形ABCD为正方形，则BD±AC.

平面ABCD,BDu平面ABCD,

.,.BD±PA,

又ACnPA=A,ACu平面PAC,PAu平面PAC,

；.B