考点04分段函数（解析版）

【2022版】典型高考数学试题解读与变式2022版

考点4分段函数以及应用

一、知识储备汇总与命题规律展望

1.知识储备汇总：

(1)分段函数概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同

的式子来表示，这种函数称为分段函数.

(2)分段函数定义域与值域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域

等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

(3)分段函数的图像：分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据

每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实,

而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。

(4)分段函数的求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去

求值，直到求出值为止.

(5)分段函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇(偶)函数，

再由x〉0,-x<0,分别代入各段函数式计算/(x)与/(-x)的值，若有/0)=-/(-幻,当》=0有定

义时/(0)=0,则/(x)是奇函数；若有Kx)=/(-x),则/(x)是偶函数.

(6)分段函数的单调性：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性结合图象处理分段

函数的问题.

(7)分段函数的周期性：对分段函数的周期性问题，利用周期函数定义、性质或图像进

行判定或解决.

(8)分段函数求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求

值，直到求出值为止.

(9)分段函数的最值：先求出每段函数的最值，再求这几个最值的最值，或利用图像求

最值.

(10)求分段函数某条件下自变量的范围：先假设所求的解在分段函数定义域的各段上，

然后相应求出在各段定义域上的范围，再求它们并集即可.

(11)分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个

不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集.

(12)分段函数的解析式：利用待定系数法，求出各段对应函数的解析式，写成分段函数

形式，每个解析式后边标上对应的范围.

2.命题规律展望：分段函数是高考考查的重点和热点，主要考查分段函数求值、分段函数值域与最值、分段

函数的图像与性质、分段函数方程、分段函数不等式等，考查分类整合、转化与化归、函数与方程、数形结

合等数学思想与方法，考题多为选择填空题，难度为容易或中档题.

将本考点近五年内的命题规律从题型、考题类型、难度、分值等方面作以总结，对今后考题规律作以展望.

二、题型与相关高考题解读

1.分段函数求值

1.1考题展示与解读

例1.(2。17山东文9)设小)=|*晨1,若―),贝叫=()

A.2B.4C.6D.8

【命题意图探究】本题考查了分段函数求值及分类整合思想是中档试题.

【答案】C

【解析】由时/(x)=2(x-l)是增函数可知，若“21.则所以0<。<1,由

/(«)=f(a+\)得G=2(。+1-1),解得a=；,则/(工)=/(4)=2(4-1)=6.故选C.

【解题能力要求】分析问题能力、分类整合思想

【方法技巧归纳】求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，然后选定相应关系式代入求解；当给出函

数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检

验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围.

1.2【典型考题变式】

*2+x0<x<21

1.【变式1：改编条件】已知函数/(x)=《,',若/(a)=/(a+2),则/"(—)=()

-2x+8,x>2a

5z17

A.—B.2C.6D.—

162

【答案】B

【解析】由x22时/(x)=—2x+8是减函数可知，若口22,则/(。)关/(。+2),所以0<4<2,由

f(a)=/(a+2)得〃+。=—2(。+2)+8，解得a=1,则//(1)=12+I=2,故选B.

“、Vx,O<x<l,、1

2.【变式2：改编结论】设〃上2(1),肉,若/⑷=5'则)

151-5

B.一B.一仁了或ID.2

44

【答案】C

0<a<\a>\

1,解得a=，或Q=*,

【解析】由题意知，\厂1或，故选C

7a=一2(«-1)=-44

2

f(x-1),X>1Q

【变式3改编问法】已知了(X)是R上的奇函数，且/(x)二，0<x3则)

x

log2»

1

A-2B.C.1D.-1

2

【答案】C.

f(x-l),X>1

【解析】(x)是R上的奇函数，且/(x)=.,则/(-W)=-/邑)

log2x,0<x4l22

-10g2—=1，故选C.

tD若小网=3,则”

【变式4：函数迭代】已知。eR,函数/(x)=,

|x-3|+«,x<2.L\/J

【答案】2

【分析】由题意结合函数的解析式得到关于。的方程，解方程可得。的值.

【解析】/6)]=/(6-4)=/(2)=|2-3|+a=3,故a=2,故答案为：2.

2.分段函数的最值与值域

2.1考题展示与解读

x3-3x,x<a

例2【2016年高考北京理数】设函数f(x)=«

-2x,x>a

①若。=0,则/(x)的最大值为

②若/(X)无最大值，则实数a的取值范围是

【命题意图探究】本题主要考查分段函数的最值及分类整合思想、数形结合思想.

【答案】2,(-QO,-1).

【解析】如图作出函数g(x)=%3—3x与直线y=-2x的图象，它们的交点是A(—1,2),0(0,0),B(l,-2),

由g'(X)=3X2-3,知尤=-1是函数g(x)的极大值点，

x-3x,x<0因此/(X)的最大值是/(_I)=2：

①当“=0时，/(x)。

-2x,x>0

②由图象知当时，/(X)有最大值是/(一1)=2；只有当。<一1时，由"一3a<—2a,因此/(x)无

最大值，.••所求”的范围是(―哈―1),故填：2,(-oo,-l).

【解题能力要求】分类整合思想、数形结合思想、运算求解能力.

【方法技巧归纳】先根据各段函数的图象与性质求出各段函数在相应区段上的值域，这些值域的并集就是

函数的值域.

2.2【典型考题变式】

【变式1：改编条件】设函数f(x)<XYx+a'1'l的最小值是1,则实数a的取值范围是()

lnx+1,x»l

A.(-oo,4]B.[4,+oo)C.(-oo,5]D.[5,+oo)

【答案】B

【解析】由题知，当xV1时，f(x)=x2-4x+a=(x-2)2+a-4,且为减函数，可得f(x)>f(1)=a-3,

由xNl时，f(x)递增，可得f(x)的最小值为f(1)=1,由题意可得a-3>1,即a>4,故选B.

【变式2：改编结论】设函数/。)=]1一3苍"""，讨论/(x)的值域.

-2x,x>a

【答案】当a<—1时，函数/(x)的值域为(一00,-24)；

当一14。W2时，所以函数/(x)的值域为(—8,2]；

当a>2时，所以函数/(X)的值域为(-co,"-3。].

【解析】如图作出函数力(幻=/一3x与直线y=-2x的图象，它们的交点是A(—1,2),0(0,0),B(l,—2),

由〃(外=3/-3,知x=-l是函数〃(x)的极大值点，x=l是函数/i(x)的极小值点，

当。<一1时，函数y=x'-3x在(一8,0上的值域为(一8,/-3a],函数y=-2x在(a,8)上的值域为

（—8,-2。），因为"一3a-（一2.）=。（。+1）3-1）<0,所以〃一3。<一2。，所以函数/（x）的值域为

（-co,-2a）；

当一l〈aW2时，函数y=/一3x在（一右0上的值域为（―8,2］,函数y=-2x在（a,oo）上的值域为

（-00,-2«）,因为一2a42,所以函数/（x）的值域为（-8,2］；

当。>2时，函数了=》3-3%在（一8,4］上的值域为（-8,。3一3。］,函数y=-2x在（4,8）上的值域为

（―co,—2tz）>因为-2a<a*—3a,所以函数j（x）的值域为（―8,1—3a］：

综上所述，当。<一1时，函数/（x）的值域为（—8,—2a）；

当一lWaW2时，所以函数/（%）的值域为（—8,2］；

当a>2时，所以函数/（X）的值域为（一8,"-3。］.

xE［0,y］

,函数g（x）=asin(-^-x)-2a+2(a>

€（1,U6

0）,若存在XI,X2d［0,1］,使得f（XI）=g（X2）成立，则实数a的取值范围是（)

A.[-¥，1]B.[!,—■]C.D.[-i->2]

323323

【答案】B

【解析】当xe［0,工］时，y=l-Lx,值域是［0,1］；

2636

32r

xe(£,1]时,,，=4x+6x>o恒成立,故为增函数，值域为（1,1］.

（x+l）26

则xW[O,1]时，f(x)的值域为[0,1],

当xC［O,1］时，g(x)=asin(2Lx)-2a+2(a>0),为增函数，值域是［2-2a,2-至

62

,存在xi、X20O,1］使得f(xi)=g(X2)成立，.•.［(),2a,2-包］/,

若［0,l］n［2-2a,2-卫旦］=0,贝U2-2a>l或2-包<0,即a」，或a>&.

2223

；.a的取值范围是［2，1］,故选B.

23

3.分段函数的解析式

3.1考题展示与解读

cos(2JLX-2TI(2),x<a,

例3.(2021年高考天津卷9)设acR,函数=,，若函数/(x)在区

Y-2(Q+1)X+Q2+5

间(0,+8)内恰有6个零点，则〃的取值范围是()

9711河7U%3

A.22U511B.2,fU/3D.

‘4444444

【解题能力要求】本题主要考查分段函数、函数零点、数形结合思想、转化与化归思想，是难题.

【答案】A

【分析】由9-2(。+1)》+。2+5=0最多有2个根，可得cos(2m-2m)=0至少有4个根，分别讨论

当x<。和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.

【解析】+5=0最多有2个根，；.cos(2⑪-2a)=0至少有4个根，由

兀k1k111

2TCX-——+ku，々£Z可彳!£x=—I—+a,keZ,由0<—H—F。<anJ*得-2a—<&<—.

2242422

[79

(1)x<a时，当一54一2”一5<-4时，/(x)有4个零点，即

1n11

当-64-2。一5<-5,/(%)有5个零点，即

当一7<—2。—5<-6,4％)有6个零点，即

(2)当xNa时，/(x)=工2—2(Q+1)X+Q~+5,△=4(a+l)—4(〃+5)=8(a—2),

当〃<2时，/<0,〃工)无零点：当〃=2时，A=0,有1个零点；

当〃>2时，令/(〃)=/一2々(〃+1)+。2+5=—2。+520,则2<Q4g,此时/(x)有2个零点；.•・若

。>|时，〃力有1个零点・

综上，要使“X)在区间(0,+8)内恰有6个零点，则应满足

79

—<a<—

4444T4，则可解得a的取值范围是［2：呜5《11

或，或《4

24

2<a<—a=2或。>—a<2

22

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分了<。和xNa两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.

【方法技巧归纳】较复杂的函数零点个数问题，常转化为对应方程解得个数问题，再通过移项、局部分离

等方法转化为两边都是熟悉函数的方程解得个数问题，再转化为这两个函数的交点个数问题，画出对应函

数的函数的图象，利用数形结合思想求解.

3.2【典型考题变式】

]2-凡x<2,

【变式1：改变条件】已知函数/(x)=<函数g(x)=8-/(2-x),其中。eH,若函

--2)2,x>2,

数y=.f(x)—g(x)恰有4个零点,则》的取值范围是()

77、

(A)一,+8(B)—00,—©°彳(D)2

447?

【答案】D

2-|x|,x<2,2—12—x|,x>0

【解析】由/(x)=<得〃2-x)=

(x-2)2,x>2,x<0

2-|x|+x<0

所以>=/(%)+/(2-x)=<4-|x|-12-x|,0<x<2,

2—12—x|+(x—2)",x>2

x2-x+2,x<0

即y=/(x)+/(2-幻=2,04x42

x2-5x+8,x>2

y=/(x)一g(x)=八>)+/(2-》)—>所以丁=〃工)—8(司恰有4个零点等价于方程

/(x)+/(2—x)—b=0有4个不同的解,即函数y=6与函数y=/(x)+f(2—x)的图象的4个公共点,

7

由图象可知一<〃<2.

4

E—知函数…僵2。"―)

kx+k-1恰有三个不

x2+2x+l,x<0

同的零点，则k的取值范围是()

(-2+75OJU{1}

A.(-2-42,0)U或}B.

(-2+我,0]U{1}

C.(-2^2-0]U{^}D.

2

【答案】D

l-xx》0kXV

【解答】函数f(x)=<1+x',可得f(1-x)

x2+2x+l,x<0(x-2)2,x>l

函数g(x)=f(l-x)-kx+k」•恰有三个不同的零点，即为f(1-x)=kx-kJ有三个不同的实根，作出

22

y=f(1-x)和y=kx-k+★的图象，

当直线y=kx-k+L与曲线y：，(xWl)相切于原点时，即kJ时，两图象恰有三个交点；

22-x2

当直线y=kx-k+>1■与曲线y=(x-2)2(l<x<2)相切，设切点为(m,n),

可得切线的斜率为k=2(m-2),且km-k+^=(m-2)2,解得>k%/，-2,艮-2<k<)时，

两图象恰有三个交点；综上可得，k的范围是(圾-2,O]U{1},故选D.

2-|x|,x<2,

【变式3：改编结论】已知函数/(x)={,函数g(x)=匕-/(2-x),其中力eR,若方

(%—2)',x>2,

程7(x)-g(x)=O恰有2个不同的解，则人的取值范围是()

(A)(2,+oo)D[}(B)(2,+oo)(C)(0,((D)(:,2)

【答案】A

2-Mx<2,2-|2-.r|,x>0

【解析】由/(力=♦/2得/(2—x)=1

(x-2)一，x>2,x2,x<0

2-|x|+X?,x<0

所以y=/(x)+/(2—x)=4—|x|-12-x|,0<x<2,

2—12—x|+(x-2)2,x>2

x2-x+2,x<0

即y=/(x)+/(2_jc)=，2,0<x<2

x2-5x+8,x>2

/。)+/(2-幻一6=0有2个不同的解,即函数丁=力与函数丁=/(幻+/(2-%)的图象的4个公共点,

7

由图象可知6>2或匕=-,故选.A

4

【变式4：改编问法】已知/(x)是定义在R上的奇函数，当x»0时，f(x)^x2-4x,则方程f(x)=x-2

解的个数为.

【答案】3

【解析】"1x<0n寸，-x>0.所以f(—x)=(--X)~+4-x>

因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以一f(x)=f(-x)=x2+4x,所以7(X)=—X2-4X,

—x~-4x,x<0——5x+2,x<0

所以/(%)=.，所以g(x)=/(x)-x+2=,

x2-4x,x>0x2-5x+2,x>0

由y=g(x)的图象知，y=g(x)有3个零点，所以方程/(x)=x—2解的个数为3.

4.分段函数图像

4.1考题展示与解读

X=3r-4z3,1

例4.(2021高考上海卷14)已知参数方程,-----1,1,下列选项的图中，符合该方程的

y=2tyJl-P

是()

【答案】B

【解析】当f=0,%=0,y=0,・•・过原点，排除A；当♦=1时x=-l,y=0,排除。和£>；当

尤=0,3/-4/=0,4=0,，2=一^^，’3时，M=。，%，%=¥，故选

4.2【典型考题变式】

【变式1：改编条件】已知函数f(x)=e',g(X)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点，贝ija

Inx,x>0

的取值范围是()

A.[-1,0)B.10,+a>)C.[-1,+oo)D.[1,+ao)

【命题意图探究】本题主要考查利用分段函数图像解含参数函数零点问题，是难题.

【答案】C

【解析】由g(x)=0得/(x)=-x-a,作出函数/(x)和尸-x-a的图象如图，当直线尸-x-a的截距

-a<\,即生7时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g(x)存在2个零点，故实数a的取值范围是

[-1.+oo),故选C.

【解题能力要求】数形结合思想、转化思想、分类整合思想、运算求解能力

【方法技巧归纳】一般不等式恒成立求参数1.可以选择参变分离的方法，转化为求函数最值的问题；2.也可

以画出两边的函数图象，根据临界值求参数取值范围；3.也可转化为尸(力>()的问题，转化讨论求函数的

最值求参数的取值范围.

【变式2：改编条件】已知函数〃到={2丁4°',若函数g(x)=〃x)—Mx-l)恰有两个零点，则实

>0

数攵的取值范围是

A.(^o,-l)u(4,+oo)B.(-w,-l]u[4,+oo)C.[-l,0)U(4,-H»)D.[-l,0)u[4,+oo)

【答案】C

【解析】g(x)=/(x)-M%-1)恰有两个零点，等价于y=与y=z(x-l)有两个交点，同坐标系,

画出y=〃x)与〉=攵"-1)的图象，直线过(0,1)时，k=-\,直线与yudGNO),相切时A=4,

由图知，1,0)D(4,+OO)时，两图象有两交点，即上的取值范围是[―1,0)D(4,+»),故选C.

【答案】A

【解析】函数y=f(x)—|x|零点个数，即为方程/Xx)=|x|解得个数，即为函数y=/(x)与函数y=|x|交

点个数，

画出函数『(％)的图象与函数y=|x|，由图像知，函数y=/(x)与函数y=|x|交点个数0,

所以函数y=/(x)-|x|零点个数为0,故选A.

【解析】函数f(x)='，当乂〈0时・，函数是二次函数，开口向下，对称轴为x=-l,排除

-X2_2X,X<CO

选项B,C；当xNO时，是指数函数向下平移1单位，排除选项A,故选D.

5.分段函数性质

5.1考题展示与解读

例5【2016高考天津理数】已知函数/(x)=仃+(4"-3"+3","<0,(公仇且“力)在R上单调递减，

logfl(x+l)+l,x>0

且关于X的方程|/(x)|=2-x恰好有两个不相等的实数解，则。的取值范围是()

2?3123123

(A)(0,-](B)[一，-](C)一]U{—}(D)-)|J{-}

334334334

【命题意图探究】本题主要考查分段函数的性质及函数方程解的个数问题，考查数形结合思想、运算求解

能力，是中档题.

【答案】C

4a-3

>0

2

【解析】由/(%)在R上递减可知，0<。<1,由方程|/(x)|=2-x恰好有两个不相等

3a>1

I173

的实数解，可知3。<2,一―1<2,-<«<-,又•••。=巳时，抛物线y=%2+(4a—3)x+3a与直线

a334

]23

y=2-x相切，也符合题意，•••实数a的去范围是故选C.

【解题能力要求】数形结合思想、分类整合思想、运算求解能力.

【方法技巧归纳】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.

5.2【典型考题变式】

'x_2Yi

【变式1：改编条件】已知函数f(x)ea*，XFL在定义域(-8,+8)上是单调增函数，则实数

2a+lnx,x>l

a的取值范围是()

A.(-oo,旦]B.[―,+oo)C.[―,—]D.(―,—)

233232

【答案】C

'x_2

【解析】由于函数f(x)='ax'x个!在定义域(一8,+8)上是单调增函数，2a^e-a,解得亚■.排

2a+lnx,x>l3

除A,D,当a=2时，x=l可得e*-2x?=e-2；2a+lnx=4>e-2»显然不成立，排除B,故选C.

【变式2：改编结论】已知〃x)=J。；一(不等式/(x+a)>〃2nr)在[a,a+l]上恒

—x-2x4-3,x>0,

成立，则实数a的取值范围是()

A.(-00,-2)B.(-co,0)C.(0,2)D.(-2,0)

【答案】A

2

【解析】二次函数Y—4X+3的对称轴是x=2,所以该函数在(-oo,0］上单调递减；.-.X-4X+3>3,

同样可知函数一/-21+3,.-.-X2-2X+3<3,在(0,+8)上单调递减，；在R上单调递减,；，

所以由〃x+a)>“2a-x)得到x+a<2a-x.即2x<a,2x<a在［a,a+l］上恒成立，

.-.2(a+l)<a;.-.a<-2,所以实数。的取值范围是(—8,-2),故选A.

yY^>Q

【变式3：改编问法】已知函数f(x)二：,则下列结论错误的是()

sinx,x&0.

A.f(x)不是周期函数

B.f(x)在［玲，+8］上是增函数

C.f(X)的值域为［-1,+00)

D.f(x)的图象上存在不同的两点关于原点对称

【答案】D

XX^^"0TT

【解析】函数f(x)X:'的图象如图所示，则f(x)不为周期函数，A正确；f(x)在［

sinx,x40.2

+8)递增，B正确；f(x)的最小值为-1,无最大值，则C正确；由于xVO时，f(x)=sinx,与原点对

称的函数为y=sinx(x>0),而sinx=x在x>0无交点，则D不正确，故选D.

6.分段函数的综合应用

6.1考题展示与解读

型、f2-v,x^0

例2【2018全国卷I】设函数/(4)=<八，则满足〃x+D</(2x)的x的取值范围是()

1,x>0

A.(f,T］B.(0,+oo)C.(-1,0)D.(一8,0)

【命题意图探究】本题主要考查分段函数不等式及分类整合思想，是中档题.

【答案】D

【解析】当xWO时，函数f(x)=2T是减函数，则/(x)2/(O)=l,作出/(X)的大致图象如图所示，结

x+1<0

晨+120

合图象可知,要使f(x+1)<要2x),则需《2x<0或,所以x<0，故选D.

2x<0

2x<x+1

【解题能力要求】分类整合思想、运算求解能力.

【方法技巧归纳】分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解

出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集.

6.2【典型考题变式】

ln(x+l),x>0

【变式1：改编条件】己知函数f(x)q„，则不等式f(x+2)<f(x?+2x)的解集是()

-2x,x<0

A.(-2,1)B.(0,1)C.(-oo,-2)U(1,+8)D.(1,+oo)

【答案】C

ln(x+l),x>0

【解析】函数f(x)=i°,可得x>0,f(x)递增；x<0时，f(x)递增；且x=0时函数连

-2x>x<0

续，则f(x)在R上递增,不等式f(x+2)<f(x2+2x),

可化为X+2〈X2+2X,即X2+X-2>0,解得X>1或X<-2,则原不等式的解集为(-8,-2)U(1,

故选C.

【变式2：改编结论］已知函数=若正实数”,仇。互不相等，且="》)=/•©,

2—Inx,x>e

则的取值范围为()

A.(e,e2)B.(l,e2)C.D.

【答案】A

【解析】作出/(x)的图像，不妨设a<匕<c,由图知，0<。<1<人<e<c<e2,由题知，|lna|=|ln6，

即一ina=ln。，所以lna+ln〃=ln(a/?)=0,所以。》=1,则a8c=cGQe?),故选A

A.[4,5)B.(4,5]C.[4,+oo)D.(-oo,4]

【答案】A

【解析】当x>0时，f(x)=x+9--3=1,可得f(x)在x>2递增，在0Vx<2处递减，由f

(x)=e(叶1产，x<0,当xV-1U寸，f(x)递减；-1VxV0时，f(x)递增，可得x=-1处取得极小值

1,作出f(x)的图象，以及直线y二a,可得£"]+1)=e^x2+^=X3-^—3=X4-^---3,即有xi+l+x2+l=O,

x3x4

_,4d4(xo-x)_/

可得X1=-2-X2，-1<X2<0,X3-X4=--------------------d--，不I得X3X4=4,X]X2+X3X4=4-2X2-X22=-(X2+I)

叼X3X3x4

三、课本试题探源

必修1P39页习题1.3A第6题：己知函数/(x)是定义域在R上的奇函数，当尤20时，/(x)=x(l+x).

画出函数/(x)的图象，并求出函数的解析式.

【解析】当天＜0时，一九＞0,所以/(一%)=—%(1—x),

因为函数f\x)是定义域在R上的奇函数，

所以一于(x)=/(-%)=,

所以f(x)=x(l—x)，

所以函数的解析式/(x)=卜(—)/＜°,

.x(l+x)，xN0

函数图象如下图所示：

一、单选题

f102^(2-x),x<\

1.(2021•四川成都零模(文))已知函数/Xx)=,则f(-2)+/(ln4)=()

[e',x>l

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】

分别求出〃-2)和/(加4)的值再求它们的和，从而可得正确的选项.

【详解】

,n4

/(-2)=log24=2,/(ln4)=e=4,故/(-2)+/(ln4)=6,

故选：C.

【点睛】

易错点睛：本题考查分段函数的函数值的计算，注意根据自变量的大小选择合适的解析式来计算，本题属

于基础题.

2.(2022四川射洪模拟(理))定义函数=其中㈤表示不超过x的最大整数,例如:

[1.3]=1,[-1.5]=-2,⑵=2.当xe[0,〃)(〃eN*)时,/⑶的值域为A,,.记集合A,,中元素的个数为%,则

20201

E一7的值为()

，=2qT

4040「2019—2019八2019

2021202120201010

【答案】D

【分析】先根据条件分析出当xe[O,")时，集合A“中的元素个数为%=士产，进而可得

占=2(=T，再结合裂项相消法进行求和可得结果-

(),XG[0J)0,XG0,1)

l,xe[l,2)x,xe12)

【详解】因为印=■2,xe[2,3),所以x[x]=.2JC,XG[2,3)

〃一1,X£["-1,〃)(w-l)x,xe[H-1,77)

所以x[x]在各个区间中的元素个数分别为：11，2,3,4,......,n-l,

所以当xw[0,时，〃x)的值域为4,集合A,中元素个数为：

an=1+1+2+3+-+(〃-1)=-"(1)+1="-2,所以一!--=2f—!---\n>2),

"22iz„-1V«-1nJ

一穹iJiiA]y2oi9,

所以Wq-l=[~2)+匕一§卜”+12019-2020J=(-2020卜1010'故1：D-

3.(2021•山东高三其他模拟)已知函数f(x)=L：、’,“)八，满足对任意为都有

(a-2)x+3a9(x>l)

/(x.)-/(x).

二八〃2<0成立,则a的取值范围是()

X]x2

A.«e(O,l)B."eC.D.ae

4,)

【答案】C

【分析】

将条件<0等价于函数函数f(x)为定义域上的单调减函数,由分段函数的单调性要求，结合

指数函数、一次函数的单调性得到关于〃的不等式组，求解即得.

【详解】

由题意，函数f(x)对任意的不片今都有<0成立,

%一工2

即函数/(x)=为R上的减函数，

0<a<1

3

可得。一2<0，解得0<a«—,

4

\>a-2+3a

故选:C.

4.(2021•江苏南京模拟(理))我们知道,任何一个正实数N都可以表示成N=axl0"(14a<个,MGZ).定

N的整数部分的位数,“20/

义:W(N)=N的非有效数字儆个数,〃<0'如

W(1.2X102)=3,W(1.23X10)=2,W(3X102)=2,W(3.001xl0')=l,则下列说法错误的是(

A.当时，W(M-N)=W(M)+W(N)

B.当〃<0时，W(N)=-n

C.当”>0,W(N)=〃+1

D.若丁=2吗22=0.301,贝lJW(N)=31

【答案】A

【分析】A.理解W(N)的含义，举例分析即可；B.根据〃<0分析所表示数的特点，由此可得W(N)的结

果；C.根据〃>0分析所表示数的特点，由此可得W(N)的结果；D.先将N化为

N=axl0"(14a<10,〃eZ)的形式，然后计算出W(N)的值.

【详解】当Ne[0,100)时，N的整数部分位数为2,当Ne[100,1000),N的整数部分位数为3,

一般地，Ne[10"』0"”)(”=0,1,2,3,4,……)时，N的整数部分位数为”+1；

当Nw[0.1,l)时，N的非有效数字0的个数为1,当N^OOIQI)!]寸，N的非有效数字0的个数为2,

一般地，Ne[10",10"，(〃=-l,-2,-3,T,-5，……)时，N的非有效数字。的个数为一〃，

A.取M=l()2,N=10,所以W(M)=3,W(N)=2,W(".N)=W(1()3)=4,

W(M)+W(N)=3+2=5,所以W(M.N)NW(V)+W(N),故错误；

B.当〃<0时，N=«xl0"e[10M0,,+'),N的非有效数字0的个数为-〃，所以W(N)=-"，故正确;

C.当〃>0时，7V=«X10),G[10M0),+I)，N整数部分位数为n+1,所以W(N)=〃+1,故正确;

D.因为％=2叫所以lgN=1001g2=30.1,所以N=l()3。/，所以Ne。。30,©),

所以W(N)=30+l=31,故正确，故选：A.

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于理解卬(N)的含义以及计算的方法，通过对N=axl()”的分

析，首先判断“与。的关系，然后决定采用哪一种计算方法(类似分段函数).

[l+log^Ixl,x<-1

5.(2021•安徽皖江名校联考)已知函数=LJ,方程“x)-l=0有两解，则。的取值

(x+1)+2a,x>-l

范围是()

A.(―,1)B.(0,—)C.(03)D.(l,+oo)

【答案】B

【分析】根据已知条件对a进行分类讨论：0<