重庆市乌江新高考协作体高三下学期开学数学试题

20232024学年（下）期初（开学）学业质量联合调研抽测高三数学试题（分数：150分，时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2022年2月27日，长征八号遥二运载火箭搭载22颗卫星成功发射，创造中国航天“一箭多星”的最高纪录，打破了长征六号火箭创造的“一箭20星”纪录．据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量M（单位：kg）、火箭的质量（除燃料外）m（单位：kg）的关系是．为使火箭的最大速度达到9000m/s，则燃料质量与火箭质量之比约为（参考数据）（）A.18 B.19 C.20 D.21【答案】B【解析】【分析】根据指数、对数运算公式计算即可求得结果.【详解】令，得到，即，所以，即，故选：B.2.在平面直角坐标系中，锐角顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴，终边与单位圆交于点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据单位圆以及角度范围，可得，然后根据三角函数定义，可得，最后根据两角和正弦公式，二倍角公式，简单计算，可得结果.【详解】由题可知：，又为锐角所以，根据三角函数的定义：所以由所以故选：A【点睛】本题考查三角函数的定义以及两角和正弦公式，还考查二倍角的正弦、余弦公式，难点在于公式的计算，识记公式，简单计算，属基础题.3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，令Tm＝|am+am+1+…am+4|（m∈N*），则Tm的最小值为（）A.9 B.8 C.5 D.3【答案】C【解析】【分析】先求出等差数列的通项公式，再根据等差数列的性质，即可分析到的最小值．【详解】解：由等差数列的前n项和，当时，当时，所以

当，也成立，所以．

根据等差数列的性质可得，当且仅当时取等号．

故选：C．4.已知为虚数单位，则（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算即可求解.【详解】因为，故选：.5.下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据选取特殊值可排除AB，利用偶函数的定义可以排除C，根据奇函数和复合函数的单调性质判断D.【详解】对于A选项，因为的定义域为，但，，故，所以函数不是奇函数，不符合条件，A错误；对于B选项，函数的定义域为，，，，函数在不是增函数，不符合条件，B错误；对于C选项，函数的定义域为，，函数为偶函数，不符合条件，C错误；D选项，因为函数的定义域为，，所以函数为奇函数，将函数式变为，因为函数在单调递增，且，所以函数在单调递增，且，所以函数在单调递减，且，所以随着增大，函数的函数值也增大，即是单调递增函数，符合条件.故选：D.6.已知函数，，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】可判断函数上单调递增，且，所以.【详解】在上单调递增，且，所以.故选：B【点睛】本题主要考查了函数单调性的判定，指数函数与对数函数的性质，利用单调性比大小等知识，考查了学生的运算求解能力.7.已知点是双曲线右支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，为的内心，若成立，则双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设圆与的三边、、分别相切于点，连接,，，可看作三个高均为圆半径的三角形利用三角形面积公式，代入已知式，化简可得，再结合双曲线的定义与渐近线方程可得所求．【详解】如图，设圆与的三边、、分别相切于点，连接，则，，，它们分别是，，的高，，，，其中是的内切圆的半径．，，两边约去得：，，根据双曲线定义，得，，，，，可得双曲线的渐近线方程为,即为，故选A．【点睛】本题主要考查双曲线的定义以及双曲线的渐近线，着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质，属于中档题．解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.8.已知函数，若，，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用奇函数得到，再判断，利用二次求导判断在上单调递增，从而可判断.【详解】因为，所以在上是奇函数.所以对求导得，令，则当时，，所以在上单调递增，则时，，即，所以在上单调递增.因为，所以，因为在上单调递增，所以.令，则所以当时，单调递减；当时，单调递增.所以，而，即，所以，即.所以，即，则所以所以，即.故选：A【点睛】关键点睛：构造函数，判断.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.9.已知函数=，下列结论不正确的是（

）A.定义域为 B.定义域为C.定义域为 D.定义域为【答案】ABD【解析】【分析】根据函数的定义，求得的取值范围.【详解】若函数有意义，需满足，即，则，即的定义域为；故选：ABD10.对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为（）A.若a＞b，则B.若a＞b，则ac2≥bc2C.若a＞0＞b，则a2＜﹣abD.若c＞a＞b＞0，则【答案】BD【解析】【分析】通过特例法可证错误；由不等式的性质可证正确.【详解】A．根据a＞b，取a＝1，b＝﹣1，则不成立，故A错误；B．∵a＞b，∴由不等式的基本性质知ac2≥bc2成立，故B正确；C．由a＞0＞b，取a＝1，b＝﹣1，则a2＜﹣ab不成立，故C错误；D．∵c＞a＞b＞0，∴（a﹣b）c＞0，∴ac﹣ab＞bc﹣ab，即a（c﹣b）＞b（c﹣a），∵c﹣a＞0，c﹣b＞0，∴，故D正确．故选：BD．【点睛】本题考查由不等式的性质判断不等式是否正确，命题真假的判断，属于基础题11.若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数都满足和恒成立，则称直线为和的“隔离直线”，已知函数，，，下列命题正确的是（）A.与有“隔离直线”B.和之间存在“隔离直线”，且的取值范围为C.和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是D.和之间存在唯一的“隔离直线”【答案】ABD【解析】【分析】对于A，取直线，讨论与的符号判断A；对于B，C，令隔离直线为，利用二次不等式恒成立计算判断B，C；对于D，函数与有公共点，求出在点处的切线，再证明此切线与图象关系作答.【详解】对于A，取直线，当时，，即成立，当时，令，，则在递减，在上递增，，，即成立，直线是与的“隔离直线”，A正确；对于B，C，令和的“隔离直线”为，则，，则，有，，有，当时，不等式成立，当时，的对称轴，而时，，则，即，显然满足此不等式，有，而，解得，同理，，B正确，C不正确；对于D，因，即和的图象有公共点，若和有隔离直线，则该直线必过点，设过点的直线方程为，即，由，，即恒成立，则，解得，即这条直线为，令，求导得：，当时，，当时，，即在上递减，在上递增，，即，，和之间存在唯一的“隔离直线”，D正确.故选：ABD【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，则___________.【答案】2【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标运算求解.【详解】由题意可得：.故答案为：2.13.函数的图象如图，则的值为______．【答案】【解析】【分析】根据图象可确定最小正周期，由此可得，由此可求得结果.【详解】由图象可知：最小正周期，，.故答案为：.14.如图，在棱长为的正方体中，，在线段上，，分别在线段，上，且，，，动点在平面内，若，与平面的所成角相等，则线段长的最小值是______．【答案】【解析】【分析】第一步：利用线面角的定义确定直线，与平面的所成角；第二步：根据第一步中两角相等推出；第三步：在平面中以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，利用条件得出点的轨迹为一个圆，然后利用几何意义求出线段的最小值.【详解】因为，且，故，又因为，且，所以平面，因为，同理可得平面，所以，与平面所成角分别为，，则．又因为，，且，所以，又因为，所以．在平面中，以线段所在直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则，，，设，由可得，，化简整理得，所以点在圆心为，半径为的圆上，此时线段长的最小值是．故答案为：.【点睛】思路点睛：立体几何压轴题可以从以下方面入手：(1)涉及线面角、面面角的一般根据定义找角，然后利用所给角的特征，推出条件，再利用解析几何的知识求解.(2)涉及球的外接问题的，一般要求找球心和截面几何图形的圆心，利用球心与圆心的连线垂直截面，进而根据勾股定理列等式，再利用解析几何的知识求解.(3)涉及几何体的体积问题的，一般是用割补法求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆过点和点，圆心在直线上.（1）求圆的方程，并写出圆心坐标和半径的值；（2）若直线经过点，且被圆截得的弦长为4，求直线的方程.【答案】（1）圆：，圆心，（2）或【解析】【分析】（1）设圆的方程为，由圆心所在直线和圆过点和点可得方程组，求解即可；（2）由被圆所截弦长可得圆心到直线l的距离d，后由点到直线距离公式可得答案，但要注意直线斜率不存在的情况.【小问1详解】设圆的方程为，则，解得，所以圆的方程为：，圆心为，半径为；【小问2详解】由（1）知，圆心到直线的距离为，于是当直线的斜率不存在时，直线方程为，符合题意；当直线斜率存在时，不妨设直线方程为，即，令，解得，直线方程是，综上所述，直线的方程是：或.16.遗传学在培育作物新品种中有着重要的应用．已知某种农作物植株有，，三种基因型，根据遗传学定律可知，个体自交产生的子代全部为个体，个体自交产生的子代全部为个体，个体自交产生的子代中，，，，个体均有，且其数量比为．假设每个植株自交产生的子代数量相等，且所有个体均能正常存活．（1）现取个数比为的，，植株个体进行自交，从其子代所有植株中任选一株，已知该植株的基因型为，求该植株是由个体自交得到的概率；（2）已知基因型为AA的植株具备某种优良性状且能保持该优良性状的稳定遗传，是理想的作物新品种．农科院研究人员为了获得更多的植株用于农业生产，将通过诱变育种获得的Aa植株进行第一次自交，根据植株表现型的差异将其子代中的个体人工淘汰掉后，再将剩余子代植株全部进行第二次自交，再将第二次自交后代中的个体人工淘汰掉后，再将剩余子代植株全部进行第三次自交……此类推，不断地重复此操作，从第次自交产生的子代中任选一植株，该植株的基因型恰为AA的概率记为（且）①证明：数列为等比数列；②求，并根据的值解释该育种方案的可行性．【答案】（1）（2）①证明见解析；②证明见解析【解析】【分析】（1）分析遗传特性，求概率即可.（2）①找到易求的，再利用递推关系求解即可.②发现当实验次数够多时，概率趋近于1即可.【小问1详解】由题意得若对植株进行自交，产生，，的概率比为，故在个数比为的，，植株个体进行自交时，其亲代，，的概率比为，而亲代进行自交，产生，，的概率比为，故概率为，【小问2详解】①记第代的概率为，子一代进行自交时，子二代进行自交时，故可递推出，易得，而令，而，则有，故数列为等比数列得证.②由上问知，且当时，，故该方案可行.17.如图，在长方体中，，，M为的中点．（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）．【解析】【分析】（1）由题意以D为原点建立空间直角坐标系，再设，根据证明即可；（2）求解平面的法向量，再根据直线与平面的夹角公式求解即可.【小问1详解】证明：以D为原点，以DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图空间直角坐标系，设，则，，，，，．因为，所以，即．【小问2详解】时，，由（1）知，，．设平面的法向量为，则，得，令，则，，所以为平面的一个法向量．设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．18.中国最早用土和石片刻制成“土主”与“日暑”两种计时工具，成为世界上最早发明计时工具的国家之一.铜器时代，使用青铜制的“漏壶”，东汉元初四年张衡发明了世界第一架“水运浑象”，元初郭守敬、明初詹希元创制“大明灯漏”与“五轮沙漏”，一直到现代的钟表、手表等.现在有人研究钟的时针和分针一天内重合的次数，从午夜零时算起，假设分针走了会与时针重合，一天内分针和时针重合次.（1）建立关于的函数关系；（2）求一天内分针和时针重合的次数.【答案】（1）.（2）22次.【解析】【分析】（1）计算出分针以及时针的旋转的角速度，由题意列出等式，求得答案；（2）根据时针旋转一天所需的时间，结合（1）的结果，列出不等式，求得答案.【小问1详解】设经过分针就与时针重合，为两针一天内重合的次数.因为分针旋转的角速度为，时针旋转的角速度为，所以，即.【小问2详解】因为时针旋转一天所需的时间为（），所以，于是,故时针与分针一天内只重合22次.19.我国南北朝时期的数学家祖冲之（公元429年500年）计算出圆周率的精确度记录在世界保持了千年之久，德国数学家鲁道夫（公元1540年1610年）用一生精力计算出了圆周率的35位小数，随着科技的进步，一些常数的精确度不断被刷新．例如：我们很容易能利用计算器得出函数的零点的近似值，为了实际应用，本题中取的值为0.57．哈三中毕业生创办的仓储型物流公司建造了占地面积足够大的仓库，内部建造了一条智能运货总干线，其在已经建立的直角坐标系中的函数解析式为，其在处的切线为，现计划再建一条总干线，其中m为待定的常数．注明：本题中计算的最终结果均用数字表示．（1）求出的直线方程，并且证明：在直角坐标系中，智能运货总干线上的点不在直线的上方；（2）在直