数学（选修45）练习1.1实数可以比较大小

第1章1.1一、选择题1．已知a＜0,0＜b＜1，则下列结论正确的是()A．a＞ab B．a＞ab2C．ab＜ab2 D．ab＞ab2解析：由题意，得ab－ab2＝ab(1－b)＜0.∴ab＜ab2.答案：C2．若x≠－2且y≠1，则M＝x2＋y2＋4x－2y的值与－5的大小关系是()A．M＞－5 B．M＜－5C．M≥－5 D．M≤－5解析：M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5＝(x＋2)2＋(y－1)2，∵x≠－2，y≠1，∴(x＋2)2＞0，(y－1)2＞0.∴(x＋2)2＋(y－1)2＞0.故M＞－5.答案：A3．若a，b都是正数，P＝eq\f(\r(a)＋\r(b),\r(2))，Q＝eq\r(a＋b)，则P，Q的大小关系是()A．P＞Q B．P＜QC．P≥Q D．P≤Q解析：∵a，b都是正数，∴P＞0，Q＞0.∴P2－Q2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(a)＋\r(b),\r(2))))2－(eq\r(a＋b))2＝eq\f(－\r(a)－\r(b)2,2)≤0(当且仅当a＝b时取等号)．∴P2－Q2≤0.∴P≤Q.答案：D4．设a，b∈[0，＋∞)，A＝eq\r(a)＋eq\r(b)，B＝eq\r(a＋b)，则A，B的大小关系是()A．A≤B B．A≥BC．A＜B D．A＞B解析：由题意，得B2－A2＝－2eq\r(ab)≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B．答案：B二、填空题5．实数a，b，c，d满足下列三个条件：①d＞c；②a＋b＝c＋d；③a＋d＜b＋c.将a，b，c，d按照从小到大的次序排列为__________.解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋d＜b＋c，,a＋b＝c＋d，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d－b＜c－a，,c－a＝b－d.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d－b＜b－d，,a－c＜c－a.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＜b，,a＜c.))又由①，得a＜c＜d＜b.答案：a＜c＜d＜b6．已知0＜a＜1，则a，eq\f(1,a)，a2的大小关系是__________.解析：∵a－eq\f(1,a)＝eq\f(a＋1a－1,a)＜0，∴a＜eq\f(1,a).又a－a2＝a(1－a)＞0，∴a＞a2.∴a2＜a＜eq\f(1,a).答案：a2＜a＜eq\f(1,a)三、解答题7．已知a，b∈R＋且a≠b，比较eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,a)与a＋b的大小．解：∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,b)＋\f(b2,a)))－(a＋b)＝eq\f(a2,b)－b＋eq\f(b2,a)－a＝eq\f(a2－b2,b)＋eq\f(b2－a2,a)＝(a2－b2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－\f(1,a)))＝eq\f(a2－b2a－b,ab)＝eq\f(a－b2a＋b,ab)，又a＞0，b＞0且a≠b，∴eq\f(a－b2a＋b,ab)＞0.故eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,a)＞a＋b.8．甲、乙两水果商分别先后两次从某地购进水果，甲水果商每次购20000kg，乙水果商每次购2万元的水果．已知两次购进的价格不同，试判断甲、解：设两次水果的价格分别为a元/kg，b元/kg(a≠b)，则甲两次购买的平均价格为eq\f(a＋b,2)元/kg，乙两次购买的平均价格为eq\f(40000,\f(20000,a)＋\f(20000,b))＝eq\f(2ab,a＋b)(元/kg)．∵eq\f(a＋b,2)－eq\f(2ab,a＋b)＝eq\f(a－b2,2a＋b)＞0，∴乙购买的平均价格比甲低，乙的购买方式更合算．一、选择题1．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是A．M＜N B．M＞NC．M＝N D．不确定解析：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1＜0，a2－1＜0.∴(a1－1)(a2－1)＞0，即M－N＞0.∴M＞N.答案：B2．若a＜0，－1＜b＜0，则有()A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞aC．ab＞a＞ab2 D．ab＞ab2＞a解析：∵a＜0，－1＜b＜0，∴ab＞0，b－1＜0,1－b＞0,0＜b2＜1.∴1－b2＞0，ab－a＝a(b－1)＞0.∴ab＞a.又ab－ab2＝ab(1－b)＞0，∴ab＞ab2.又a－ab2＝a(1－b2)＜0，∴a＜ab2.故ab＞ab2＞a.答案：D二、填空题3．已知x＜1，则x2＋2与3x的大小关系为________．解析：∵(x2＋2)－3x＝(x－1)(x－2)，x＜1，∴x－1＜0，x－2＜0.∴(x－1)(x－2)＞0.∴x2＋2＞3x.答案：x2＋2＞3x4．lg(x2＋1)与lgx(x＞0)的大小关系是________．解析：∵lg(x2＋1)－lgx＝lgeq\f(x2＋1,x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))，又∵x＞0，∴x＋eq\f(1,x)≥2＞1.∴lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＞0，即lg(x2＋1)＞lgx.答案：lg(x2＋1)＞lgx三、解答题5．已知函数f(x)＝lgeq\f(10x＋10－x,2)，比较f(x＋1)与f(x)＋f(1)的大小．解：f(x＋1)＝lgeq\f(10x＋1＋10－x－1,2)，f(x)＋f(1)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10x＋10－x,2)·\f(10＋10－1,2))).真数作差得，eq\f(10x＋1＋10－x－1,2)－eq\f(10x＋10－x,2)·eq\f(10＋10－1,2)＝eq\f(99,40)(10x－10－x)＝eq\f(99,40)·eq\f(102x－1,10x)，∴当x＝0时，f(x＋1)＝f(x)＋f(1)；当x＞0时，f(x＋1)＞f(x)＋f(1)；当x＜0时，f(x＋1)＜f(x)＋f(1)．6．某人乘出租车从A地到B地，有两种方案．第一种方案：乘坐起步价为10元，超过起步价的里程按每千米1.2元收费的出租车；第二种方案：乘坐起步价为8元，超过起步价的里程按每千米1.4元收费的出租车．按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的路程是相等的．则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合算？解：设A地到B地距离为mkm，起步价内行驶的路程为akm.显然当m≤a时，选起步价为8元的出租车比较便宜．当m＞a时，设m＝a＋x(x＞0)，乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元，乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元