误差的产生及处理

误差的产生及处理一、误差分类检测仪表由于不同程度地受到本身和周围环境的影响，在检测参数时被测量示值和真值有差异，这个差异就是检测误差。（一）按误差出现的规律分类

1系统误差—在相同的条件下，对同一被测量进行多次测量出现的，其大小和符号保持不变，或按一定规律（如线性、多项式、周期性等函数规律）变化的误差。它分为恒值误差（误差大小和符号相同）和变值误差（按一定规律变化）。

产生原因：检测元件转换原理不十分精确；仪表本身材料、零部件、工艺上的缺陷；测试工作中使用仪表的方法不正确。

解决办法：引入修正值，大大减小或消除系统误差。

第2页,共65页，2024年2月25日，星期天变值系统误差分类第3页,共65页，2024年2月25日，星期天2疏忽误差—（又称粗大误差）测量者疏忽大意，不小心或过度疲劳所造成的误差。首先应判断此类误差的存在否，若存在，应将它剔除。3随机误差（又称偶然误差）—在相同条件下多次重复测量同一物理量时，其大小和符号都无规律变化的误差。它是在测量过程中，许多独立的、微小的、事先难以估计的因数作用的综合结果。它是无法消除的，但其总体上服从一定的统计规律，可以用统计的方法加以描述。例如，大量的测量误差属于正态分布，机械摩擦引起的误差属于均匀分布。下面再介绍几个概念。

精密度—表示测量结果中的随机误差的大小程度。即在一定的条件下，进行多次测量时，所得结果彼此之间符合的程度。随机误差小意味着精密度高。第4页,共65页，2024年2月25日，星期天

准确度—表示测量结果中的系统误差的大小程度。系统误差小意味着准确度高。

精确度—精确度是测量结果中系统误差和随机误差的综合，即精密准确的程度。它表示测量结果与真值的一致程度。系统误差和随机误差都小意味着精确度高。

(b)(a)(c)准确度低精密度低准确度低精密度高精确度高第5页,共65页，2024年2月25日，星期天等精度测量—在整个测量过程中，若影响和决定误差大小的全部因数（条件）始终保持不变，如由同一观测者，用同一台仪器，用同样的方法，在同样的环境条件下，同样认真地对同一工件（参数）作相同次数的测量，称为等精度测量。但在实际中，很难做到影响和决定误差大小的全部因数（条件）保持不变。所以一般情况下只是近似认为是等精度测量。

非等精度测量—在整个测量过程中，影响和决定误差大小的因数各异，如不同的测量者、用不同的仪器、不同方法、在不同的环境条件下进行的测量。第6页,共65页，2024年2月25日，星期天（二）按误差因次（单位）分类

（1）绝对误差

（2）相对误差：

实际相对误差(△X/X)、标称相对误差(△X/X0

)

（3）相对百分误差（三）按使用时工作条件分类

（1）基本误差

（2）附加误差（四）按误差的状态分类

（1）静态误差

（2）动态误差第7页,共65页，2024年2月25日，星期天回答问题：1、什么是系统误差？产生的原因是什么？2、什么是随机误差？产生的原因是什么？3、什么是疏忽误差？产生的原因是什么？4、什么是精密度、准确度和精确度？第8页,共65页，2024年2月25日，星期天二、误差分析和处理（一）随机误差的分析与处理

1随机误差的分析

从测量实践可知，在排除了系统误差和疏忽误差后，对某一物理量进行等精度的多次测量时，其测量值中还会有测量误差，这类误差的出现具有随机性，即误差的大小不能预先知道，而当测量次数增大时，这类误差具有统计的规律性，并且测量次数愈多，规律性就愈明显。随机误差的这种统计规律常称为误差分布律。最重要的误差分布律是正态分布，大多数的测量误差属于正态分布。随机误差还有其它形式如均匀分布等分布规律。

第9页,共65页，2024年2月25日，星期天为测量值与约定真值之间的误差设在重复条件下对某个量x进行无限次测量，测量数据列中不包含系统误差和粗大误差，各个测量误差出现的概率密度分布服从正态分布，即99.73%第10页,共65页，2024年2月25日，星期天1.对称性绝对值大小相等的正负误差出现的概率相等。2.单峰性绝对值越小的误差在测量中出现的概率越大。随机误差为0的测量值出现的概率密度最大。3.有界性在一定的测量条件下，随机误差的绝对值是有界的。也就是说，随机误差的分布具有有限的范围，其值大小是有界的。4.误差的抵消性随测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零。

正态分布的随机误差的统计规律性：第11页,共65页，2024年2月25日，星期天问题1：如果随机误差服从正态分布，其数学期望等于多少？被测量服从什么分布？问题2：如果随机误差服从正态分布，如何从多个测量数据来获取真值，或者说估计真值，如何判断这组测量值的精度（或者说在排除系统误差和疏忽误差后，理论上如何求出仪表的精度等级）。

正态分布的随机误差的两个主要数字特征是算术平均值和均方根偏差。

第12页,共65页，2024年2月25日，星期天

不难发现在算术平均值处随机误差的概率密度最大，由多次测量所得的测量值是以算术平均值为中心而集中分布的，而均方根偏差则可描述测量数据的散布范围，均方根偏差越大，测量数据分散范围就越大。显然算术平均值可以作为等精度测量的结果，而均方根偏差可以描述测量数据和测量结果的精度。

下面给出推导过程。

（1）算术平均值

（2）均方根偏差

（3）均方根偏差的估计值（实验标准差）

（4）算术平均值的均方根偏差及其估计值第13页,共65页，2024年2月25日，星期天（1）算术平均值每个测量值的真差：测量列有n个数据：为真值。算术平均值可作为真值的估计值第14页,共65页，2024年2月25日，星期天（2）均方根偏差（3）均方根偏差的估计值（实验标准差、样本标准差）贝塞尔（Bessel）公式第15页,共65页，2024年2月25日，星期天用最接近真值的算术平均值来代替真值来计算均方根误差的估计值。残差或剩余误差定义为：残差的特性：一组测量值残差之和为零，残差的平方和为最小。第16页,共65页，2024年2月25日，星期天当算术平均值为何值时，残差的平方和达到最小？真差与残差的关系：第17页,共65页，2024年2月25日，星期天为算术平均值的真差第18页,共65页，2024年2月25日，星期天当n适当大时，上式中接近于0第19页,共65页，2024年2月25日，星期天上式中S称为实验标准差或样本标准差第20页,共65页，2024年2月25日，星期天对于测量误差属于正态分布的测量值，可用均方根偏差σ来评定一次测量的精度。在等精度多次测量中，可用算术平均值来估算真值，算术平均值的精度如何计算呢？

假定x1,x2,x3,…,xn是服从正态分布的随机变量，其均值都为，方差都为2，且相互独立，则它们的算术平均值

也服从正态分布，其均值为

方差为：（4）算术平均值的均方根偏差及其估计值第21页,共65页，2024年2月25日，星期天

由此得出：

算术平均值的均方根偏差为：算术平均值的实验标准差为：第22页,共65页，2024年2月25日，星期天

2随机误差的处理

拉依达法（一般要求测量次数n>30）（1）对一项精密测量任务的重复测量数据的处理如下：在测量前尽可能地消除系统误差，在此基础上将一系列等精度测量的读数Xi按测量的前后次序列成表格，在估读数据时最多只能估读一位数据；

（2）计算算术平均值；

（3）计算残差（残余误差）第23页,共65页，2024年2月25日，星期天（4）检查若上式不成立，则说明计算算术平均值时存在错误，应复查；是否成立（5）计算实验标准差S第24页,共65页，2024年2月25日，星期天(7）计算算术平均值的均方根误差估计值

结论：依上述步骤计算的结果知：今后在进行同样等精度的一次测量（即依据一个测量数据）时，认为最大的误差为3S，而进行n次测量取均值时，则最大的误差为。(6)检查有无大于3S的|vi|值，若有，应怀疑可能是疏忽误差，并检查该次测量过程有无差错，如有，应抛弃该次测量数据，从（2）项重新开始计算。第25页,共65页，2024年2月25日，星期天例子:对某参数进行了60次测量,其数据列表如下:试求检测过程中出现的最大误差?观测值8.238.248.258.268.278.288.298.308.318.32出现次数135810119751解:算术平均值为:第26页,共65页，2024年2月25日，星期天Σ(x-均值)2=0.025，S=0.0206，3S=0.062检测上表数据，不存在疏忽误差，全部数据有效。可能的最大误差为：±3S=±0.062观测值8.238.248.258.268.278.288.298.308.318.32出现次数135810119751剩余误差-0.047-0.037-0.027-0.017-0.0070.0030.0130.0230.0330.043(x-均值)20.0022090.0013690.0007290.0002890.0000490.0000090.0001690.0005290.0010890.001849第27页,共65页，2024年2月25日，星期天

格拉布斯法

步骤（1）～（5）同拉依达法，当下式成立时认为测量值含有粗大误差，应予剔除。

α为显著水平，一般取0.01或0.05；λ(α,n)

为格拉布斯系数，见教材P15表1.3。格拉布斯法可用于测量次数不多的数据，用格拉布斯法判别粗大误差效果更好。其余步骤同上。显著性水平：随机变量落在置信区间以外的可能性。第28页,共65页，2024年2月25日，星期天3随机误差的合成

当检测系统存在m个随机误差，且m个随机误差相互独立时，检测系统总的随机误差的标准差可用下式计算：

在间接测量情况下，设间接测量量y与直接测量量x1,x2,…,xn存在如下函数关系

第29页,共65页，2024年2月25日，星期天按贝塞尔公式计算标准差得检测系统待测量的标准差为第30页,共65页，2024年2月25日，星期天（二）系统误差的分析与处理

系统误差的分析与处理研究四个问题：系统误差的估计与判定、误差综合、误差分配和由基本误差和各附加误差求总误差。1系统误差的估计与判定下面介绍判定系统误差的存在与否的一般方法实验对比法：用精确度高一等级的“标准”仪表对同一被测量进行等精度测量，与被检定仪表的测量结果进行比较，如果两者之间存在差别，说明被检定仪表存在误差，该误差就是系统误差。此种方法适用于判断恒值系统误差。第31页,共65页，2024年2月25日，星期天(a)不存在变值系统误差(b)存在线性系统误差(c)存在周期性系统误差(d)存在线性系统误差和周期性系统误差残余误差观察法：第32页,共65页，2024年2月25日，星期天标准差判据：见教材P16。在工程实际中，对等精度测量的测量列，可用不同的公式计算其标准差σ。贝塞尔（Bessel）公式：佩特尔斯（Peters）公式：上述两式得出的理论标准差的估计值。对于同一测量列，σB和σP估计理论标准差的一致性，取决于测量次数n是否趋于无穷大、测量数据中是否存在系统误差。第33页,共65页，2024年2月25日，星期天判据：若其中，k为置信概率决定的置信系数。当置信概率为95.44%和99.73%时，k分别为2和3。则怀疑测量列中可能存在变值系统误差。第34页,共65页，2024年2月25日，星期天

标准差判据判定测量列是否存在系统误差的实质，是判断测量数据分布的正态性。由于随着测量次数n的增加，μ和c均减小，但其收敛速度是不同的，所以该判据必须满足其有效性条件，即测量次数n>19。

（2）误差综合（误差合成）—已知系统各组成环节的系统误差分量，求取检测系统的系统误差总量，用于现有检测系统或仪表的分析。第35页,共65页，2024年2月25日，星期天设待测参数为y，而影响y的输出的各个量为xi（i=1,2,···,n），xi可以是间接测量中的各被测参数，也可以是影响输出的非被测参数或外界影响因素。y是xi的函数，即：设xi变化量为Δxi，由变化引起的输出变化量为Δy。第36页,共65页，2024年2月25日，星期天

把上式右端按泰勒公式展开，并去掉高阶项，减去y得到：上式为系统误差合成公式，其中为各影响因数或被测参数的系统误差分量的权系数，或称误差传递系数。第37页,共65页，2024年2月25日，星期天例题：用下图所示的电位差计测量电势信号Ex，已知：I1=4mA，I2=2mA，R1=5

+0.01

，R2=10

+0.01

，Rp=10

±0.005

，设检流计、上支路电流I1

、下支路电流I2的误差忽略不计；且测量时的随机误差暂不考虑。

求：当Ex=20mV时，电位差计的测量误差有多大？第38页,共65页，2024年2月25日，星期天

系统误差通常是有规律的，可以用数学物理的方法加以分析和处理，但是有些情况不能完全用数学物理的方法，因为某些系统误差分量的规律和数值尚未确切掌握时，只能作某种程度的估计，此时用概率论的方法较合适。当系统误差分量的数目较少，而它们同时起作用的概率却很大，这时应将各误差分量代数相加。但当系统误差分量的数目比较大时，每个都同时以最严重的情况出现的机会是比较小的，用各误差分量的绝对值相加是不恰当的，应该考虑它们的统计特征。（3）由基本误差和各附加误差求总误差第39页,共65页，2024年2月25日，星期天例子：某检测仪表在正常工作环境（环境温度20℃

±5℃，电源电压220VAC±5％。湿度<80%，输入信号频率<1khz）条件下的基本误差(用相对百分误差表示)为δB=2.5%。同时通过实验得知，当仪表在超出上述范围时产生的附加误差为：温度附加误差为δt=±0.2%/℃，湿度附加误差为δΦ=±1％，电源电压附加误差为δE=±2％，输入信号频率附加误差为δf=±2.5％。如果该仪表工作环境温度为35℃，电源电压为E=220V，湿度为90%，信号频率为2khz，试估计该仪表可能产生的误差。第40页,共65页，2024年2月25日，星期天该仪表可能产生的各项误差为：基本误差：δB=2.5%温度附加误差为：δt=(35-25)×(±0.2%)=±2%湿度附加误差为：δΦ=±1％电源电压附加误差为：δE=0输入信号频率附加误差为：δf=±2.5％考虑到最不利的情况，即这五个误差同时处于最大值，则仪表的总误差为：这个估计值显然偏大，不切实际。这个估计值比较符合实际。采用不定系统误差的处理办法，总误差为：第41页,共65页，2024年2月25日，星期天设各系统误差分量为i，i=1，2，…,n

把各误差分量看作是一个随机变量，假设都服从正态分布，各自的均方差为i，并且以99.73%的概率落入±3

i的区域内，技术指标上规定的误差数值就是这样的误差区。

即±

iX满=±3

iX满为仪表量程

故

如果这些误差互不相关，则依据随机变量和的方差的计算公式可得到：其中为各随机变量和（总误差随机变量）的均方差

总的误差为：

第42页,共65页，2024年2月25日，星期天（4）误差分配—把检测系统或仪表的系统误差总量分配给各个组成环节，用于检测系统或仪表的设计。

在设计检测仪表时，总存在误差合理分配的问题，即组成检测仪表的各个环节的误差应该多大，才能保证检测仪表的总误差不超出给定的数值。系统误差分配的原则如下：

（A）要从各元件的实际情况出发，即按各元器件的技术性能，可能达到的水平提出要求，不要提出过高的要求；

第43页,共65页，2024年2月25日，星期天

（B）具体分配，先给误差容易确定的元器件分配，然后余下的按均等分配，再根据可能性作适当调整；

（C）误差分配中要考虑经济性，即既能保证误差要求，又要考虑经济性；

（D）应该充分利用误差正、负可以抵消的有利因素，同时也应当注意误差影响系数大的因素；

（E）对于元器件的误差不能知道其确切值时，一般取最大允许误差。第44页,共65页，2024年2月25日，星期天举例：某测量仪表中的分压器（见下图）有五挡。总电阻R要求能精确地保持11111

，且其相对误差小于0.01%。已知：R1=10000

，R2=1000

，R3=100

，R4=10

，R5=1

，问各电阻的误差如何分配？

第45页,共65页，2024年2月25日，星期天（三）误差的总合成若待测参数y的系统误差和随机误差均相互独立，总的合成误差Δy可用下式计算：其中，为以绝对误差形式给出的系统误差；为以绝对误差形式给出的、表征随机误差的极限误差。σ为随机误差的标准差。k为由置信概率决定的置信系数。当置信概率为95.44%时，k=2；当置信概率为99.73%时，k=3。第46页,共65页，2024年2月25日，星期天以上误差合成的公式是简单、粗略的估计式，一般用在和相差较大的场合。在误差合成时，不管是系统误差还是随机误差，要根据误差的特点选用合适的误差合成公式来计算，不能盲目套用。第47页,共65页，2024年2月25日，星期天三、消除和减小误差的一般方法

为了提高检测仪表和检测系统的测量精确度，必须尽可能地消除和减小测量误差。系统误差、随机误差和粗大误差三类误差的特点各异，因而处理的方法也各不相同。

粗大误差存在于个别的可疑数据中，可用物理或统计的方法判断后剔除。下面主要讨论消除和减小随机误差和系统误差的一般方法。

第48页,共65页，2024年2月25日，星期天1减小随机误差的方法

随机误差由于其来源不可完全预知性和不可克服性，误差是不可以完全消除的。但随机误差服从统计规律，所以随机误差的处理一般采取提高检测系统精确度、抑制干扰和统计处理等方法。（1）提高检测系统精确度

从检测系统的原理、设计和结构上考虑，机械部件间的摩擦、传动机构间隙等是引起随机误差的主要原因。因此，设计中尽量避免采用存在摩擦的可动部分，减小可动部分器件的重量与质量，采用负反馈结构的平衡式测量和应用无间隙传动链等，以减小随机误差。

第49页,共65页，2024年2月25日，星期天（2）抑制噪声干扰

噪声是随机误差的主要来源。因此，采用各种有效的抑制干扰措施，如屏蔽、接地、滤波、选频、去藕、隔离传输等，能有效地减小随机误差。（3）对测量结果的统计处理

随机误差具有补偿性，大部分测量系统的误差分布符合正态规律，因此，可以估计随机误差影响的可能变化区间，即可以估计误差的上界值。从这个意义上说，通过对测量数据的统计平均，求取算术平均值和标准差，可精确地给出测量结果的范围。提高测量次数，可提高算术平均值和

标准差的估计准确度，减小随机误差对测量结果的影响。

第50页,共65页，2024年2月25日，星期天减小系统误差的方法

由于减小和消除系统误差的方法与具体的测量对象、测量方法、测量人员的经验有关，必须有针对性地处理，因此，没有普遍有效的处理方法。下面主要介绍最基本、最常用的几种方法。

第51页,共65页，2024年2月25日，星期天（1）消除误差源法

在测量过程中对可能产生系统误差环节进行分析，从产生误差根源上消除系统误差。例如，在热电阻温度检测系统中，热电阻的阻值随被测温度而变，如果处理不当，连接热电阻的导线的电阻将被视为热电阻的阻值，从而引起检测系统误差。为减少导线电阻的影响可采用提高热电阻的阻值；或从热电阻根部同时引出三根或四根导线(而不是传统的两根线)，并以一定的方式接到测量电路中，达到减少导线电阻变化对测量结果的影响。

第52页,共65页，2024年2月25日，星期天（2）引人修正值法

预先将检测装置的系统误差检定或计算出来，作出误差表或误差曲线，然后取与误差数值大小相同、符号相反的值作为修正值，将实际测得值加上相应的修正值，即可得到减小该系统误差的测量结果。由于修正值本身也含有一定的误差，且修正值难以实现完全补偿，所以经修正后的测量结果中仍残留少量系统误差，这种残留的系统误差可按随机误差进行处理。第53页,共65页，2024年2月25日，星期天（3）比较法

也称为标准量比较法，其基本思路是用准确度较高的，不含或含很小系统误差的检测装置与被测量进行完全或部分比较，以消除或减小测量中的系统误差。

比较法分为零示法和微差法

零示法通过平衡原理确定被测量，平衡时用基准量表征被测量，所以可获得较高的测量准确度。第54页,共65页，2024年2月25日，星期天调整滑动电位器R，当检流计G零指示时，R两端产生的标准电压Vs与被测电压Vx一致，由于这种方法用可调标准量完全平衡被测量，所以称为零示法。测量中的系统误差取决于标准电压E、精密电位器R、高灵敏度检流计G的系统误差，由于标准量具具有较高的准确度，所以能有效减小测量中的系统误差。上图所示为零示法测量原理第55页,共65页，2024年2月25日，星期天下图所示为微差法测量原理

为了克服零示法中R在测量中产生的误差，改滑动电位器R为R1、R2两高准确度固定电阻，以进一步减小R的系统误差，如图所示。此方法中，Vx=Vs+VG。

这种方法的特点是将被测量与同它只有微小差别的已知同种标准量相比较，即总量比较、微量测量，所以也称为微差法测量。第56页,共65页，2024年2月25日，星期天

微差法在测量过程中使用更方便，具有较大的测量灵活性，并且实现了用准确度较低的仪表(见上图中的mV表)而得到较高的测量准确度。微差法测量适于在线控制参数的测量。

第57页,共65页，2024年2月25日，星期天（4）替代法

在不改变测量条件的基础上，用标准量替代被测量，实现相同的测量效果，是用标准量确定被测量的方法。替代法能有效地消除检测装置的系统误差。例如，等臂天平称重时，为了克服天平两臂不完全相等而引人的系统误差，可采用替代法。具体做法是首先将被测重物放人天平称物盘并调整使之平衡后，移去被测重物添放标准珐码，使之重新平衡，此时替代被称重物的珐码质量即为被称重物质量。

第58页,共65页，2024年2月25日，星期天对照法电阻测量