（高考新构架19题）湖南省常德市2024届高三下学期3月模拟考试数学试题（含答案）

PAGE 数学试题第4页(共4页)2024年常德市高三年级模拟考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则A.B.C.D.2.已知等差数列的前项和为，，，则A.B.C.D.3.已知奇函数是定义域为R的连续函数，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是A.函数在R上单调递增B.函数在上单调递增C.函数在上单调递增D.函数在上单调递增4.如图，现有棱长为6cm的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥，且分别为棱靠近的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的体积的最大值为A.B.C.D.5.已知，，则A.B.C.D.6.已知平面向量均为单位向量，且夹角为，若向量与共面，且满足，则A.B.C.D.7.已知，则=A．9B．10C．18D．198.设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为80%.从两箱产品中任取一件,经检验不合格,放回原箱后在该箱中再随机取一件产品,则该件产品合格的概率为A.B.C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是A.数据6，5，3，4，2，7，8，9的上四分位数(75%分位数)为7B.样本数据与样本数据满足，则两组样本数据的方差相同C.若随机事件，满足：，则，相互独立D.若，且函数为偶函数，则10.过点的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的中点为，抛物线的焦点为，下列说法正确的是A.以AB为直径的圆过坐标原点B.C.若直线的斜率存在，则斜率为D.若，则1211.若函数的零点为，函数的零点为，则A.B.C.D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知曲线在处的切线与圆相交于A、B两点，则____________．13.若复数满足：，则________.14.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点，直线与双曲线的另一交点为，若为等腰三角形，且的面积是的面积的2倍，则双曲线C的离心率为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)在中，内角,,的对边分别为,,，且．(1)求角；(2)若,,成等差数列，且的面积为，求的周长．16．某市组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普及的人数，得到下表：时间（天）123456789每天普及的人数y8098129150203190258292310(1)从这9天的数据中任选4天的数据，以X表示4天中每天普及人数不少于240人的天数，求X的分布列和数学期望；(2)由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下的数据求出每天普及的人数y关于天数的线性回归方程.（参考数据：附：对于一组数据，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：）.17．(本小题满分15分)如图，在四棱锥中，平面平面，，，，.(1)证明：平面；(2)已知三棱锥的体积为，点为线段的中点，设平面与平面的交线为，求直线与平面所成角的正弦值.18．(本小题满分17分)已知O为坐标原点，椭圆C：的上、下顶点为A、B，椭圆上的点P位于第二象限，直线PA、PB、PO的斜率分别为，且.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过原点O分别作直线PA、PB的平行线与椭圆相交，得到四个交点，将这四个交点依次连接构成一个四边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请求出其取值范围.19．(本小题满分17分)已知函数.(1)判断函数在区间上极值点的个数并证明；(2)函数在区间上的极值点从小到大分别为，设为数列的前项和.①证明：；②试问是否存在使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.2024年常德市高三年级模拟考试数学参考答案一一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案CDCBABDA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案BCABCBCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．13．14．或四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分13分)解：(1)由正弦定理，2分由余弦定理5分又，6分(2)由,,成等差数列，①7分的面积为，，即②9分由(1)③由①②③解得：12分，故的周长为1513分16.(本小题满分15分)解：(1)每天普及人数不少于240人的天数为3天，则X的所有可能取值为0,1,2,31分，，，5分故X的分布列为X0123P7分(2)设原来数据的样本中心点为，去掉第5天的数据后样本中心点为，8分10分故13分，∴15分17.(本小题满分15分)解：(1)证明：取AD的中点O，，1分又平面平面，平面平面=，平面3分又平面，4分，，，，5分又，平面，平面6分(法二：，，，，3分又平面平面，平面平面，平面平面6分阅卷说明：若考生用方法二：第（2）问建系没有证明的平面扣2分）(2)，8分取PB的中点M，又为的中点，，又，平面即为平面，为平面与平面的交线10分取AB的中点Q，连结OQ，由(1)可知，OA、OP、OQ两两垂直.如图建立空间直角坐标系，则，，，，11分设平面的法向量为，，则，取，则，13分设直线与平面夹角为，则故直线与平面夹角的正弦值15分18.(本小题满分17分)解：(1)由题易得设，则1分∵，∴3分化简得：①又在椭圆上，②由①②得又，∴5分故椭圆C的标准方程6分(2)设直线PA的平行线与椭圆相交于点E、F（E在上方）；直线PB的平行线与椭圆相交于点G、H（G在上方）.∴直线EF的方程为，直线GH的方程为.又，∴8分联立，解得∴10分联立，解得∴12分设直线EF的倾斜角为，直线GH的倾斜角为，∴则14分∴四边形面积为故该四边形的面积为定值17分19.(本小题满分17分)解：（1），设，又1分当时，在上单调递减，，在上无零点2分当时，在上单调递增，，在上有唯一零点3分当时，在上单调递减，，在上有唯一零点4分综上，函数在区间上有两个零点且在零点左右函数符号发生改变，故函数在区间内恰有两个极值点5分（2）①由（1）知在无