高等数学教案第二章

高等数学教学教案第二章函数的导数与微分授课序号01教学基本指标教学课题第二章第一节导数的概念及基本求导公式课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点导数定义，导数的集合意义，可导和连续之间的关系，导数的四则运算教学难点导数的定义，用导数定义求极限参考教材同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》作业布置课后习题大纲要求理解导数的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。掌握导数的四则运算法则教学基本内容一、基本概念：1、导数的定义定义设函数在的某个邻域内有定义，当在处增量为（在该邻域内）时，相应的函数有增量，如果存在，则称该极限为在点处的导数,记为，，或.这时也称函数在点处可导.如果该极限不存在，称函数在点处不可导.特别地，如果时，也称函数在点处的导数为无穷大.2、左右导数的定义若存在，则称其为函数在处的右导数，记作；若存在，则称其为函数在处的左导数，记作；二、定理与性质：定理1若函数在处可导，则函数在处必连续.定理2若、在点处的导数均存在，则它们的和、差、积、商的导数也都存在，且有（1）；（2）；（3）（）.定理3如果单调函数在某一区间内可导，且，则它的反函数在对应的区间内也可导，且.三、主要例题：例1求函数在处的导数.例2设存在，试求下列各极限：(1);(2)其中例3求（为常数）的导数.例4求（为正整数）的导数.例5求的导数.例6求的导数.例7求的导数.例8已知，求及.例9求曲线在点处的切线斜率，并写出切线及法线方程.例10计算下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）；(5)；(6).例11求函数的导数.授课序号02教学基本指标教学课题第二章第二节导数的计算法则课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点复合函数求导，高阶导数，隐函数求导，参数方程求导教学难点隐函数和参数方程二阶导数参考教材同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》作业布置课后习题大纲要求掌握复合函数的求导法。掌握基本初等函数的导数公式。了解高阶导数的概念。掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。知道某些初等函数n阶导数的求法与公式。会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。教学基本内容一、基本概念：1、二阶导数的概念如果函数的导数仍是的可导函数，那么就称的导数叫做函数的二阶导数，二阶导数记作，，或，即，，或.2、n阶导数的计算一般地，设，如果的阶导数仍可导，便称为的阶导数.其中三阶导数的记号为，，或，时的阶导数的记号是，，或.二阶及二阶以上的导数均称为高阶导数，称为一阶导数.函数具有阶导数时，也称为阶可导.如果函数具有阶导数，则的一切低于阶的导数均存在.3、相关变化率设、均可导，且由确定了与之间存在着某种关系，这样与（变化率）之间也存在着一定的关系，这两个相互依赖的变化率称为相关变化率.我们研究这种关系，就是希望从一个已知的变化率求出另一个未知的变化率.二、定理与性质：定理1（复合函数求导法则）如果在点处可导，在点处可导，则复合函数在点处可导，且有.（即）*定理（高阶导数的运算法则）若,具有阶导数，则（i）（ii），其中.设方程确定了一个函数，将“代入”方程，便得到恒等式，因此若要求，则在该恒等式两边关于求导，且将看作是的函数，从而解得.考虑由参数方程（其中为参数）确定的函数的导数.如果的反函数为，且它满足反函数的求导条件，则可将看作是与的复合函数，利用反函数的求导法则，得，这里是反函数的求导法则中的条件之一.如果、还二阶可导，则有二阶导数.三、主要例题：例1求下列函数的导数：（1）;（2）;（3）;(4)；（5）；（6）；（7）；(8).例2求的导数.例3求函数的导数.例4求幂指函数的导数.例5已知可导，求函数的导数.例6设，求例7设,求.例8证明满足关系式例9求的阶导数.例10设，求例11求的阶导数.例12求的阶导数.*例13求的阶导数.例14设方程所确定的隐函数为，求.例15求由方程所确定的函数在点处的切线方程.例16设求在点处的值.例17求由方程所确定的隐函数对的导数.例18设,求.例19已知圆的参数方程为，，求例20设参数方程为 ，，求例21计算参数方程的一阶导数.例22计算参数方程的二阶导数.*例23一长为5米的梯子斜靠在墙上.如果梯子下端以0.5米/秒的速率滑离墙壁，试求梯子下端离墙3授课序号03教学基本指标教学课题第二章第三节微分的概念与应用课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点微分的定义，四则运算，和导数的关系教学难点一阶微分的形式不变性参考教材同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》作业布置课后习题大纲要求了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。教学基本内容一、基本概念：定义设函数在某区间内有定义，，，如果函数的增量可表示成，其中为不依赖于的常数，而是比的高阶无穷小，那么称函数在点处是可微的，而叫做函数在点相应于自变量增量的微分，记作，即.如果函数在区间内每一点都可微，则称是内的可微函数.函数在任意一点处的微分就称为函数的微分，记为，即有.取（函数即为自变量），则有，即，这样微分可记为，并且有.二、定理与性质：定理函数在处可微的充分必要条件是在处可导.三、主要例题：引例一块正方形金属薄片因受温度变化的影响，其边长由变到，问此薄片的面积改变了多少？例1设，求（1）；（2）及.例2求函数在时，分别等于和时的增量与微分.例3设，求.例4设，求.例5设，求.例6设是由方程确定的隐函数，求.例7利用微分计算的近似值.例8计算的近似值.授课序号04教学基本指标教学课题第二章第四节微分中值定理及其应用课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点罗尔定理及其应用，拉格朗日定理及其应用，洛必达法则教学难点柯西定理参考教材同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》作业布置课后习题大纲要求理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理。掌握洛必达(L’Hospital)法则求不定式的极限。教学基本内容一、基本概念：二、定理与性质：引理（费马定理）设函数在点的某个领域内有定义并且在处可导，如果对任意的，有，那么.定理1(罗尔定理)如果函数满足⑴在闭区间上连续；⑵在开区间内可导；⑶在区间端点处的函数值相等，即，那么在内至少有一点，使函数在该点的导数等于零：.定理2（拉格朗日定理）如果函数满足⑴在闭区间上连续；⑵在开区间内可导；则至少存在一点，使（或）.推论1若函数在区间内，则在区间内恒有（常数）.推论2若函数,在区间内，则在区间内恒有，其中为任意常数.定理3（柯西定理）设函数、满足（1）上连续；（2）内可导；（3）当时，则至少存在一点，使.定理4(洛比达法则)设（1）当时，函数,都趋于零；（2）在点的某邻域内（点本身可以除外）,都存在，且；（3）存在（或为无穷大），则（或为无穷大）.定理4’如果（1）当时，函数,都趋于零；（2）存在，当时，,都存在，且；（3）存在（或为无穷大），则（或为无穷大）.三、主要例题：例1.例2.例3.例4验证函数在区间上满足罗尔定理的三个条件，并求出满足的点.例5证明在上不可能有两个零点.例6对于函数，在闭区间上验证拉格朗日定理的正确性.例7证明例8证明当时,例9设函数在[0,1]上连续,在(0,1)内可导.试证明至少存在一点,使例10求极限.例11求例12求.例13求.例14求极限（）.例15求极限（）.例16求极限（）.例17求极限.例18求().例19求例20求.授课序号05教学基本指标教学课题第二章第五节泰勒中值定理课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点泰勒公式展开，用泰勒公式求极限教学难点泰勒公式表达式参考教材同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》作业布置课后习题大纲要求了解泰勒公式教学基本内容一、基本概念：二、定理与性质：定理1（泰勒中值定理）设函数在含有的开区间内具有直到阶的导数，则当内时，可以表示为的一个次多项式与一个余项之和，其中，这里介于,之间.定理2若函数在含有的开区间内具有直到阶的连续导数，则当时，有.三、主要例题：例1写出函数带有拉格朗日余项的阶麦克劳林公式.例2证明.例3证明，其中.例4写出函数在处带有拉格朗日余项的四阶泰勒公式.例5求在处带有皮亚诺余项的泰勒展开式.例6求函数的带有皮亚诺型余项的阶麦克劳林公式.例7利用带有皮亚诺型余项的麦克劳林展式计算极限.授课序号06教学基本指标教学课题第二章第六节函数的性态与图形课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点极值定义及求法，凹凸性及拐点求法教学难点图形描绘参考教材同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》作业布置课后习题大纲要求理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。教学基本内容一、基本概念：1、单调性：设函数的定义域为，区间，如果对于区间上任意两点、，当时，恒有，则称函数在区间上单调增加；当时，恒有，则称函数在区间上单调减少.单调增加或单调减少的函数统称单调函数.2、极值：设函数在内有定义，，如果存在着点的一个邻域，当时，恒有（或），则称为的极大值（或极小值），称为的极大值点（或极小值点）.3、凹凸性：如果在曲线的图形上任意弧段位于所张弦的下方，这样的曲线称为凹弧；如果在曲线的图形上任意弧段位于所张弦的上方，这样的曲线称为凸弧设函数在区间上连续，如果对区间上的任意两点、，恒有，则称的图形（曲线）是凹的；如果对区间上的任意两点，，恒有，则称的图形（曲线）是凸的4、图形描绘：要利用导数描绘函数的图形，其一般步骤如下:第一步确定函数的定义域,研究函数特性如:奇偶性、周期性、有界性等,求出函数的一阶导数和二阶导数;第二步求出一阶导数和二阶导数在函数定义域内的全部零点，并求出函数的间断点和导数和不存在的点,用这些点把函数定义域划分成若干个部分区间;第三步确定在这些部分区间内和的符号,并由此确定函数的增减性和凹凸性，极值点和拐点;第四步确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其它变化趋势;第五步算出和的零点以及不存在的点所对应的函数值，并在坐标平面上定出图形上相应的点；有时还需适当补充一些辅助作图点(如与坐标轴的交点和曲线的端点等)；然后根据第三、四步中得到的结果，用平滑曲线联接而画出函数的图形.二、定理与性质：定理1（单调性的判别法）设函数在区间上连续，且在内可导，若在内，则在上单调增加；若在内，则在上单调减少.定理2（极值的必要条件）设函数在点处可导，且在点处取得极值，则必有.定理3（极值第一充分条件）设函数在的邻域内连续，在内可导，（1）如果在的左邻域内有，在的右邻域内有，则在点处取得极大值；（2）如果在的左邻域内有，在的右邻域内有，则在点处取得极小值；（3）如果，恒正或恒负，则函数在点处无极值.定理4（极值第二充分条件）设函数在点处具有二阶导数，且，，则当时，函数在点处取得极大值；当时，函数在点处取得极小值.定理5设函数在区间上连续，在内具有一阶及二阶导数，则（1）若在内，则在上的图形是凹的；（2）若在内，则在上的图形是凸的.三、主要例题：例1讨论函数的单调性.例2讨论函数在内的单调性.例3讨论函数的单调性.例4判定函数的单调区间.例5函数在导数不存在，显然函数在内严格单调减少，在内严格单调增加.例6函数在导数不存在，而也是单调区间的一个分界点.事实上，该函数在内严格单调增加，在内严格单调减少.例7试证明当时，有.例8证明方程在区间内有且只有一个实根.例9求出函数的单调区间和极值.例10求函数的极值.例11求函数在区间上的极值.例12求函数的极值.例13判断曲线的凹凸性.例14判断曲线的凹凸性.例15指出曲线的拐点及凹凸区间.例16证明曲线没有拐点.例17求曲线的拐点.例18求曲线的渐近线.例19作函数的图形.例20作函数的图形.授课序号07教学基本指标教学课题第二章第七节导数的实际应用课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点最大值及最小值求法及其简单应用教学难点有向弧与弧微分概念参考教材同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》作业布置课后习题大纲要求会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。教学基本内容一、基本概念：1、求最大值和最小值:（1）找出内所有驻点及不可导点；（2）比较及与的大小；（3）；.2、弧微分：若函数在区间内具有一阶连续导数，其图形为一条处处有切线的曲线，且切线随切点的移动而连续转动，这样的曲线称为光滑曲线.对于光滑曲线，.若曲线表达式由参数方程给出，则有；若曲线表达式为极坐标形式，则有.3、曲率：设曲线是光滑的，在上任取一点作为度量弧长的基点.设曲线上点对应弧，点处曲线的切线倾斜角为.点是上邻近的另一个点，对应弧，点处曲线倾斜角为（见图（10））.当动点由点沿移动到点时，切线转过的角度为，比值称为弧段的平均曲率，记作即（即单位弧段上切线