专题5.2矩形的判定专项提升训练（重难点培优）-【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题（解析版）【浙教版】

【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】专题5.2矩形的判定专项提升训练（重难点培优）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022•南京模拟）下列条件之一能使平行四边形ABCD是矩形的为（）①AC⊥BD②∠BAD＝90°③AB＝BC④AC＝BD．A．①③ B．②④ C．③④ D．①②③【分析】根据矩形的判定和菱形的判定判断即可．【解答】解：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，∴①错误；∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，∴②正确；∵AB＝BC，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，∴③错误；∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，∴④正确；即正确的有②④．故选：B．2．（2022秋•福田区期中）在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【分析】首先利用平行四边形的性质证明AE∥CF，AE＝CF，可证明四边形AECF是平行四边形，再根据AC＝BC，E是AB的中点，可根据等腰三角形底边上的中线与底边上的高线重合证明∠AEC＝90°，即可证明平行四边形AECF是矩形．【解答】四边形AECF是矩形；证明：连接AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴AE∥CF，∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC＝BC，E是AB的中点，∴CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．故选：B．3．（2022春•兴隆县期末）如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．下列条件中，可判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AC＝BD B．△AOB是等边三角形 C．AO＝CO＝BO＝DO D．∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB＝360°【分析】根据矩形的性质可知矩形的对角线平分且相等可得AO＝CO＝BO＝DO，故求解．【解答】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故不能；B、△AOB是等边三角形不能判定四边形ABCD为矩形；C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故能判定；D、四边形的内角和是360°，故不能．故选：C．4．（2021秋•霍邱县校级月考）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．AB∥DC，AB＝CD B．AB∥CD，AD∥BC C．AC＝BD，AC⊥BD D．OA＝OB＝OC＝OD【分析】根据矩形的判定方法，一一判断即可解决问题．【解答】解：A、AB∥DC，AB＝CD，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；B、AB∥CD，AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；C、AC＝BD，AC⊥BD，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；D、OA＝OB＝OC＝OD可以判断四边形ABCD是矩形．正确；故选：D．5．（2022春•北辰区期末）如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形 B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形 C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形 D．如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形【分析】由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；又有∠BAC＝90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形；如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF，∴∠FAD＝∠ADF，∴AF＝FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形；如果AD⊥BC且AB＝AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形．故以上答案都正确．【解答】解：由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；又有∠BAC＝90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形．故A、B正确；如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF，∴∠FAD＝∠ADF，∴AF＝FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，而不一定是矩形．故C错误；如果AD⊥BC且AB＝AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形．故D正确．故选：C．6．（2021秋•中牟县期末）检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（）A．测量两条对角线，是否相等 B．测量两条对角线，是否互相平分 C．测量门框的三个角，是否都是直角 D．测量两条对角线，是否互相垂直【分析】对角线相等的平行四边形是矩形或有三个角是直角的四边形是矩形的原理即可突破此题．【解答】解：根据“三个角是直角的四边形是矩形”可以得到测量门框的三个角，是否都是直角即可检验该四边形是不是矩形，故选：C．7．（2021春•新市区校级期末）四边形ABCD的对角线AC、BD于点O，下列各组条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD B．∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＝∠B C．OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90° D．∠A＝∠C，∠B+∠C＝180°，∠AOB＝∠BOC【分析】矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此利用排除法可判断．【解答】解；A、AB＝CD，AD＝BC，可以判定为平行四边形，又有AC＝BD，可判定为矩形，故此选项错误；B、∠A＝∠C，∠B＝∠D，可以判定为平行四边形，又有∠A＝∠B，可得到∠A＝90°，可判定为矩形，故此选项错误；C、OA＝OC，OB＝OD，可以判定为平行四边形，又有∠BAD＝90°可判定为矩形，故此选项错误；D、A，B，C都错误，故此选项正确．故选：D．8．（2020春•永城市期末）小强和小壮在做一道习题：若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是矩形．小强补充的条件是∠A＝∠B；小壮补充的条件是∠A+∠C＝180°．你认为下列说法正确的是（）A．小强和小壮都正确 B．小强正确，小壮错误 C．小强错误，小壮正确 D．小强和小壮都错误【分析】根据矩形的判定方法进行分析即可．根据平行四边形的性质可得AD∥BC，进一步得出∠A+∠B＝180°，∠A＝∠C，当∠A＝∠B时，∠A＝∠B＝90°可判定，当∠A+∠C＝180°时，∠A＝∠C＝90°可判定．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠A+∠B＝180°，∠A＝∠C，当∠A＝∠B时，∴∠A＝∠B＝90°∴平行四边形ABCD是矩形；当∠A+∠C＝180°时，∴∠A＝∠C＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形．故选：A．9．（2022秋•运城月考）如图，在▱ABCD中，下列条件①AC＝BD；②∠1+∠3＝90°；③OB＝AC；④∠1＝∠2，能判断▱ABCD是矩形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由矩形的判定方法和平行四边形的性质分别对各个条件进行判断即可．【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形；②∵∠1+∠3＝90°，∴∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形；③∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD＝BD，∵OB＝AC，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形；④∵四边形ABCD是矩形，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AB∥CD，∴∠1＝∠OCD，∵∠1＝∠2，∴∠OCD＝∠2，∴OC＝OD，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形；综上所述，能判断▱ABCD是矩形的有4个，故选：D．10．（2022•恩施州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（）A．当t＝4s时，四边形ABMP为矩形 B．当t＝5s时，四边形CDPM为平行四边形 C．当CD＝PM时，t＝4s D．当CD＝PM时，t＝4s或6s【分析】根据题意，表示出DP，BM，AP和CM的长，当四边形ABMP为矩形时，根据AP＝BM，列方程求解即可；当四边形CDPM为平行四边形，根据DP＝CM，列方程求解即可；当CD＝PM时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，②四边形CDPM是等腰梯形，分别列方程求解即可．【解答】解：根据题意，可得DP＝tcm，BM＝tcm，∵AD＝10cm，BC＝8cm，∴AP＝（10﹣t）cm，CM＝（8﹣t）cm，当四边形ABMP为矩形时，AP＝BM，即10﹣t＝t，解得t＝5，故A选项不符合题意；当四边形CDPM为平行四边形，DP＝CM，即t＝8﹣t，解得t＝4，故B选项不符合题意；当CD＝PM时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，此时CM＝PD，即8﹣t＝t，解得t＝4，②四边形CDPM是等腰梯形，过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示：则∠MGP＝∠CHD＝90°，∵PM＝CD，GM＝HC，∴△MGP≌△CHD（HL），∴GP＝HD，∵AG＝AP+GP＝10﹣t+，又∵BM＝t，∴10﹣t+＝t，解得t＝6，综上，当CD＝PM时，t＝4s或6s，故C选项不符合题意，D选项符合题意，故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•砀山县校级月考）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC＝BD，请添加一个条件AB＝CD（答案不唯一），使四边形ABCD是矩形．【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定定理即可得到结论．【解答】解：添加一个条件为：AB＝CD，使四边形ABCD是矩形．理由如下：∵AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AB＝CD（答案不唯一）．12．（2022春•铁东区期末）一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是有一个角为直角的平行四边形是矩形．．【分析】根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”进行判断即可．【解答】解：∵在一边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次得到的两条边平行，∴得到了一个平行四边形，∵与两边分别垂直，∴就能得到矩形踏板，故答案为：有一个角为直角的平行四边形是矩形．13．（2022春•平谷区期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DF∥EG．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是∠DFG＝90°（答案不唯一）．（写出一个即可）【分析】由三角形中位线定理得DE∥BC，再由DF∥EG，得四边形DFGE是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论．【解答】解：添加条件为：∠DFG＝90°，理由如下：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∵DF∥EG，∴四边形DFGE是平行四边形，又∵∠DFG＝90°，∴平行四边形DFGE是矩形，故答案为：∠DFG＝90°（答案不唯一）．14．（2022春•成都期末）如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD．添加一个适当的条件：当O是AB的中点时，四边形ACBD为矩形．【分析】证∠OCB＝∠OBC，则OC＝OB，同理OD＝OB，再由OA＝OB，证出四边形ACBD是平行四边形，然后证AB＝CD，即可得出结论．【解答】解：添加条件为：O是AB的中点，理由如下：∵CD∥MN，∴∠OCB＝∠CBM，∵BC平分∠ABM，∴∠OBC＝∠CBM，∴∠OCB＝∠OBC，∴OC＝OB，同理可证：OB＝OD，∴OB＝OC＝OD，∵O是AB的中点，∴OA＝OB，∴四边形ACBD是平行四边形，∵CD＝OC+OD，AB＝OA+OB，∴AB＝CD，∴平行四边形ACBD是矩形，故答案为：O是AB的中点．15．（2022秋•铁岭期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动，若AC＝12，BD＝8，则经过2或10秒后，四边形BEDF是矩形．【分析】设运动的时间为t秒，则AE＝CF＝t，由平行四边形的性质得OE＝OF＝6﹣t或OE＝OF＝t﹣6，再根据OE＝OD列方程6﹣t＝4或t﹣6＝4，求出t的值即可．【解答】解：设运动的时间为t秒，∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，BD＝8，∴OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝4，，∵AE＝CF＝t，∴OE＝OF＝6﹣t或OE＝OF＝t﹣6，∴四边形BEDF是平行四边形，∴当EF＝BD时，四边形BEDF是矩形，∴OE＝OD，∴6﹣t＝4或t﹣6＝4，∴t＝2或t＝10，∴经过2秒或10秒，四边形BEDF是矩形，故答案为：2或10．16．（2022春•丹阳市校级月考）将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为，如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移，在平移的过程中，当点B的移动距离为1时，四边形ABC1D1为矩形．【分析】当点B的移动距离为时，∠C1BB1＝60°，则∠ABC1＝90°，根据有一直角的平行四边形是矩形，可判定四边形ABC1D1为矩形．【解答】解：如图：当四边形ABC1D是矩形时，∠B1BC1＝90°﹣30°＝60°，∵B1C1＝，∴BB1＝，当点B的移动距离为1时，四边形ABC1D1为矩形，故答案为：1．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2021秋•榆阳区期末）如图，点F、C在AD上，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，∠CEF＝90°．求证：四边形BCEF是矩形．【分析】求出∠A＝∠D，根据全等三角形的判定得出△AFB≌△DCE，根据全等三角形的性质得出BF＝EC，∠AFB＝∠DCE，求出∠BFC＝∠ECF，根据平行线的判定得出BF∥EC，根据矩形的判定定理证明即可．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，在△AFB和△DCE中，，∴△AFB≌△DCE（SAS），∴BF＝EC，∠AFB＝∠DCE，∵∠AFB+∠CFB＝180°，∠DCE+∠ECF＝180°，∴∠BFC＝∠ECF，∴BF∥EC，∵BF＝EC，∴四边形BCEF是平行四边形，∵∠CEF＝90°，∴四边形BCEF是矩形．18．（2021秋•蓝田县期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DF⊥BC于点F，点E在边AD上，AE＝CF，连接BE．求证：四边形BFDE是矩形．【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，再证ED＝BF，则四边形BFDE是平行四边形，然后证∠DFB＝90°，即可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵ED＝AD﹣AE，BF＝BC﹣CF，AE＝CF，∴ED＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形，又∵DF⊥BC，∴∠DFB＝90°，∴平行四边形BFDE是矩形．19．（2022秋•奉贤区月考）如图，已知四边形ABCD和四边形ABEF都是平行四边形，分别连接FD、EC．（1）求证：四边形CDFE是平行四边形；（2）设AB与EC交于点G，如果EG＝CG，∠AFD＝∠ADF，求证：四边形CDFE是矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，AB∥EF，AB＝EF，则CD∥EF，CD＝EF，即可得出结论；（2）先证AF＝AD，再由平行四边形的性质证出BC＝BE，然后由等腰三角形的性质得AB⊥CE，则EF⊥CE，即可解决问题．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵四边形ABEF是平行四边形，∴AB∥EF，AB＝EF，∴CD∥EF，CD＝EF，∴四边形CDFE是平行四边形；（2）∵∠AFD＝∠ADF，∴AF＝AD，∵四边形ABCD平行四边形，∴AD＝BC，∵四边形ABEF是平行四边形，∴AF＝BE，∴BC＝BE，∵EG＝CG，∴AB⊥CE，由（1）得：AB∥EF，∴EF⊥CE，∴∠CEF＝90°，又∵四边形CDFE是平行四边形，∴平行四边形CDFE是矩形．20．（2022春•相城区校级期中）已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点G、H分别是AD、BC的中点，点E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）当AB与BD满足条件BD＝2AB时，四边形GEHF是矩形．【分析】（1）由三角形中位线定理得GF∥OA，GF＝OA，同理EH∥OC，EH＝OC，再由平行四边形的性质得OA＝OC，则EH∥GF，EH＝GF，即可得出结论；（2）连接GH，由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，再证四边形ABHG是平行四边形，得AB＝GH，然后证GH＝EF，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵G，F分别为AD，DO的中点，∴GF为△AOD的中位线，∴GF∥OA，GF＝OA，同理可得：EH∥OC，EH＝OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∴EH∥GF，EH＝GF，∴四边形GEHF是平行四边形；（2）解：当BD＝2AB时，四边形GEHF是矩形．理由：如图，连接GH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，∵G，H分别是AD，BC的中点，∴AG＝BH，AG∥BH，∴四边形ABHG是平行四边形，∴AB＝GH，∵E，F分别是BO，DO的中点，∴BE＝OE＝OF＝DF，∴BD＝2EF，∵BD＝2AB，∴EF＝AB，∴GH＝EF，∴平行四边形GEHF是矩形．21．（2022春•涪陵区校级期中）如图，已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点，过B点作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：FB＝AO；（2）平行四边形ABCD满足什么条件时，四边形AFBO是矩形？说明理由．【分析】（1）证△BEF≌△OEC（AAS），即可得出结论；（2）先证四边形AFBO是平行四边形，再由菱形的性质得AC⊥BD，则∠AOB＝90°，然后由矩形的判定即可得出结论．【解答】（1）证明：∵E是BO的中点，∴OE＝BE，∵BF∥AC，∴∠BFE＝∠OCE，在△BEF和△OEC中，，∴△BEF≌△OEC（AAS），∴BF＝OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∴FB＝AO；（2）解：平行四边形ABCD是菱形时，四边形AFBO是矩形．理由如下：由（1）可知，FB＝AO，∵FB∥AC，∴四边形AFBO是平行四边形，∵平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴平行四边形AFBO是矩形．22．（2022•六盘水）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是矩形？请写出证明过程．【分析】（1）由ASA证△ABE≌△CDF即可；（2）由（1）可知