2024年初二下册数学期末考试专项复习分式的概念和性质（提高）知识讲解

2024年初二下册数学期末考试专项复习分分式的概念和性质（提高）【学习目标】1.理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算.【要点梳理】【高清课堂403986分式的概念和性质知识要点】要点一、分式的概念一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如是整式而不能当作分式.（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如是分式，与有区别，是整式，即只看形式，不能看化简的结果.要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了.要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.要点诠释：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.要点六、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.【典型例题】类型一、分式的概念【高清课堂403986分式的概念和性质例1】1、指出下列各式中的整式与分式：，，，，，，，，．【思路点拨】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【答案与解析】解：整式有：，，，，；分式有：，，，．【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母．此题判断容易出错的地方有两处：一个是把π也看作字母来判断，没有弄清π是一个常数；另一个就是将分式化简成整式后再判断，如和，前一个是整式，后一个是分式，它们表示的意义和取值范围是不相同的．类型二、分式有意义，分式值为0【高清课堂403986分式的概念和性质例2】2、当取什么数时，下列分式有意义？当取什么数时，下列分式的值为零？（1）；（2）；（3）．【答案与解析】解：（1）当，即时，分式有意义．∵为非负数，不可能等于－1，∴对于任意实数，分式都有意义；当时，分式的值为零．（2）当即时，分式有意义；当即时，分式的值为零（3）当，即时，分式有意义；当时，分式的值为零，由①得时，由②得，互相矛盾．∴不论取什么值，分式的值都不等于零．【总结升华】分母不为零时，分式有意义；分子的值为零，而分母的值不为零时，分式的值为零．举一反三：【变式1】（2016春•绍兴期末）下列分式中不管取何值，一定有意义的的是（）A． B． C． D． 【答案】C.【变式2】当取何值时，分式的值恒为负数？【答案】解：由题意可知或解不等式组该不等式组无解．解不等式组得．所以当时，分式的值恒为负数．类型三、分式的基本性质【高清课堂403986分式的概念和性质例4】3、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数.(1)；(2)；(3).【答案与解析】解：(1)；(2)；(3).【总结升华】(1)、根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用；(2)、添括号法则：当括号前添“＋”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号.举一反三：【变式】下列分式变形正确的是（）A．B．C．D．【答案】D；提示：将分式变形时，注意将分子、分母同乘（或除以）同一个不为0的整式这一条件．其中A项分子、分母乘的不是同一整式，B项中这一条件不知是否成立，故A、B两项均是错的．C项左边可化为：，故C项亦错，只有D项的变形是正确的．类型四、分式的约分、通分4、约分：（1）；（2）；通分：（3）与；（4），，．【答案与解析】解：（1）；（2）；（3）最简公分母是．，．（4）最简公分母是，，，．【总结升华】如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，也就是分子、分母系数的最大公约数与相同字母的最低次幂．通分的关键是确定几个分式的最简公分母，若分母是多项式，则要因式分解，要防止遗漏只在一个分母中出现的字母以及符号的变化情况．类型五、分式条件求值5、若，求的值．【思路点拨】本题可利用分式的基本性质，采用整体代入法，或把分式的分子与分母化成只含同一字母的因式，使问题得到解决．【答案与解析】解法一：因为，可知，所以．解法二：因为，所以，且，所以．【总结升华】本题的整体代入思想是数学中一种十分重要的思想．一般情况下，在条件中含有不定量时，不需求其具体值，只需将其作为一个“整体”代入进行运算，就可以达到化简的目的．举一反三：【变式1】已知，求的值．【答案】解：设，则，，．∴．【变式2】（2015春•惠州校级月考）若0＜x＜1，且的值．【答案】解：∵x+=6，∴（x﹣）2=（x+）2﹣4=36﹣4=32，∴x﹣=±4，又∵0＜x＜1，∴x﹣=﹣4．故答案为﹣4．【巩固练习】一.选择题1．（2015•南宁模拟）要使分式有意义，x的取值范围为（）A.x≠﹣5B.x＞0 C.x≠﹣5且x＞0 D.x≥02.（2016·富顺县校级模拟）把分式的均扩大为原来的10倍后，则分式的值（）A．不变 B．为原分式值的10倍 C．为原分式值的D．为原分式值的3．若分式有意义，则满足的关系是（）A． B． C． D．4．若分式的值是负数，则满足（）A．＜0 B．≥1 C．＜1 D．＞15．下面四个等式：其中正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个6．化简的正确结果是（）A． B． C． D．二.填空题7.使分式有意义的条件为______．8.（临清市期末）若，则=．9．（2016春·龙岗区期末）要使分式的值等于零，则的取值是．10．填空：11．填入适当的代数式，使等式成立．（1）（2）12.分式约分的结果是______．三.解答题13.（2015春•泰兴市校级期中）（1）当x=﹣1时，求分式的值．（2）已知a2﹣4a+4与|b﹣1|互为相反数，求的值．14.已知，求的值．15.（1）阅读下面解题过程：已知求的值．解：∵即（2）请借鉴（1）中的方法解答下面的题目：已知求的值．【答案与解析】一.选择题1.【答案】D；【解析】解：由题意得：x+5≠0，且x≥0，解得：x≥0，故选：D．2.【答案】C；【解析】，则分式的值变为原分式的.3.【答案】D；【解析】由题意，，所以.4.【答案】D；【解析】因为所以即＞1.5.【答案】C；【解析】①④正确.6.【答案】B；【解析】.二.填空题7.【答案】.8.【答案】；【解析】解：设=k，则a=2k，b=3k，c=4k．∴===．故答案为．9.【答案】-1；【解析】，所以.10.【答案】（1）－；（2）＋；11.【答案】（1）；（2）；【解析】；.12.【答案】；【解析】.三.解答题13.【解析】解：（1）===（2）a2﹣4a+4=（a﹣2）2≥0，|b﹣1|≥0，∵a2﹣4a+4与|b﹣1|互为相反数，∴a﹣2=0，b﹣1=0，∴a=2，b=1∴==14.【解析】解：方法一：∵，等式两边同乘以，得．∴．∴．方法二：∵，∴．15.【解析】解：∵∴，∴∴.【巩固练习】一.选择题1．（洪江市期末）下列计算正确的是（） A.+= B.+=0 C.﹣=0 D.+=02．等于（）A． B．C． D．3．的计算结果是（）A． B．C． D．4.（2016·攀枝花）化简的结果是（）A.B.C.D.5．等于（)A． B． C． D．6．等于（）A． B． C． D．1二.填空题7.分式的最简公分母是______．8．分式的最简公分母是______．9．计算的结果是____________．10.（2016·新县校级模拟）计算：．11._________.12．若＝2，＝3，则＝______．三.解答题13.（2015•保康县模拟）化简：+．14．已知，用“＋”或“－”连结M、N，有三种不同的形式：M＋N、M－N、N－M，请你任选其中一种进行计算，并化简求值，其中∶＝5∶2．15．已知，求代数式的值．【答案与解析】一.选择题1.【答案】D；【解析】解：A、+=，故错误；B、原式=+=，故错误；C、原式==﹣，故错误；D、原式=﹣=0，故正确．故选D．2.【答案】A；【解析】.3.【答案】C；【解析】.4.【答案】A；【解析】.5.【答案】A；【解析】.6.【答案】D；【解析】.二.填空题7.【答案】；8.【答案】；9.【答案】；【解析】.10.【答案】；【解析】．11.【答案】；【解析】.12.【答案】；【解析】.三.解答题13.【解析】解：原式=+=+=．14.【解析】解：M－N＝.因为∶＝5∶2，设所以原式＝.15.【解析】解：因为所以原式.分式的加减（基础）【学习目标】1．能利用分式的基本性质通分．2．会进行同分母分式的加减法．3．会进行异分母分式的加减法．【要点梳理】【高清课堂403995分式的加减运算知识讲解】要点一、同分母分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则可用式子表为：.要点诠释：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.要点二、异分母分式的加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.上述法则可用式子表为：.要点诠释：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.【典型例题】类型一、同分母分式的加减【高清课堂403995分式的加减运算例1（5）（6）】1、计算：（1）；（2）； （3）；（4）【答案与解析】解：（1）；（2） （3）；（4）.【总结升华】本例为同分母分式加减法的运算，计算时注意运算符号，结果一定要化简．举一反三：【变式】（2016春·广州校级月考）化简：【答案】解：原式===类型二、异分母分式的加减 2、计算：（1）；（2）；（3）．【思路点拨】（1）题中的两个分母都是单项式，最简公分母为；（2）题是异分母分式的加减，为了减少错误应先把分母按字母降幂排列，并且使最高次项系数为正，再将分母因式分解；（3）题是分式与即的和，可将整式部分当成一个整体，且分母为1，使运算简化．【答案与解析】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式．【总结升华】（1）异分母分式的加减法关键是确定最简公分母；（2）整式和分式相加减时，把整式看作分母是1的“分式”，按异分母分式的加减法的步骤进行运算．举一反三：【变式】计算：（1）；（2）.【答案】解：（1）．（2）.类型三、分式的加减运算的应用3、（白云区期末）设A、B两地的距离为s，甲、乙两人同时从A地步行到B地，甲的速度为v，乙用v的速度行走了一半的距离，再用v的速度走完另一半的距离，那么谁先到达B地，说明理由．【思路点拨】分别求出甲乙两人走完全程的时间，比较即可．【答案与解析】解：甲走完全程的时间为，乙走完全程的时间为+=+=•，∵•＞，∴甲先到达B地．【总结升华】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4、将一个分数的分子、分母同时加上一个正数，这个分数是变大了，还是变小了？请先举例发现其中的规律，再设法说明理由．【答案与解析】解：应选择不同特点的分数来试验探索．；；；；…我们发现：对于正的真分数，分子、分母都加相同的正数时分数变大；对于正的假分数，分子、分母都加相同的正数时分数变小；对于负分数，结论与上两条恰好相反．说明：（1）对于（，均为正整数，且），分子、分母同时加上正数，则变成．因为，所以．①（2）对于（，均为正数，且），分子、分母同时加上正数，则变成了，因为，所以．②（3）对于负分数的情形，只要将①、②两式两边同乘－1即得结论．【总结升华】通过特例发现问题，得出一般结论，并去证明，是我们常用研究、探索问题的手段．【巩固练习】一.选择题1．（洪江市期末）下列计算正确的是（） A.+= B.+=0 C.﹣=0 D.+=