高等数学基本知识点及例题(第2学期)

高等数学基本知识点及例题一、导数与积分公式表导数公式：基本积分表：重要定积分公式：第一单元空间解析几何与向量代数1.空间直角坐标系设和为空间两点,则两点间的距离:.使的分点的坐标为:.2.向量的模、方向余弦、单位向量向量的模:.向量的方向余弦:.与同方向的单位向量:.例1设,,.这三个力作用于点，它们的合力为，求：（1）点的坐标．（2）的大小．（3）的方向余弦．解：（1）．设点的坐标为，则，故点的坐标为．（2）．（3）3.数量积、向量积、混合积、向量的投影数量积:,是一个数量.向量积:表示以为邻边的平行四边形面积.混合积:向量的投影:.两向量之间的夹角:.例2设，求与均垂直的单位向量．解：，与均垂直的单位向量为．例3设向量,向量与均垂直，且在向量解：，，得，于是．例4设与垂直,与垂直,求与之间的夹角.解:由与垂直,有,即,又由与垂直,有,即.两式联立,可得,从而,所以,即.4.平面方程截距式方程：例5求过点且平行于向量的平面方程.解:取平面的法向量,又平面过点,故所求平面方程为,即.例6求过直线：且与平面：成角的平面方程．解：过的平面束方程为即：其法向量，又，．所求平面为：．5.空间直线方程对称式：，参数式：一般式:例7求过点且与直线平行的直线的方程.解:直线的方向向量为,由于与平行,可取直线的方向向量,又直线过点,故所求直线的方程为.6.空间曲线的投影一般方程：消去得在三个坐标面上的投影曲线（注：需联立坐标面方程，如）．例8求曲线在面上的投影曲线．解：消去得投影柱面方程：,故曲线在面上的投影曲线为:.例9．求上半锥面（）在三个坐标面上的投影区域．解：投影区域分别为:面：；面：面：7.常见二次曲面方程球面：如;椭球面：;圆柱面：如；圆锥面：如；抛物面：如单叶双曲面：（时为旋转面）；双叶双曲面:（时为旋转面）；双曲抛物面：如例10面上的直线绕轴旋转而成的圆锥面的方程是．(C)(Ａ)(B)(C)(D).第二单元：多元函数微分法及应用多元函数连续、可微与偏导数存在之间的关系连续可微两个偏导数存在例1函数在点处连续是函数在点处的两个偏导数存在的（D）条件。(A)充分(B)必要(C)充要(D)既不充分也不必要2．求多元函数的偏导数多元复合函数求导(链式法则)：(1)求具体函数的偏导数例2设，求。解：，所以(2)求抽象函数的偏函数例3已知函数,其中具有二阶导数，求解:例4已知函数,求解:例5设,其中具有二阶连续偏导数,求.解:3．求函数的全微分：例6求函数当时的全微分.解:因为,所以,例7求函数的全微分.解:因为,所以.隐函数求导例8已知确定,其中为可微分函数,求.解:方程两边对求偏导(看成的函数),有,.同理,方程两边对求偏导,有,所以.例9设，其中具有一阶连续偏导数，求。解:方程组两边对求偏导(看成的函数),有即解线性方程组得。方向导数(1)可微二元函数在点沿任意方向的方向导数存在，且例10求函数在点处沿曲线在这点的内法线方向的方向导数。解：，曲线在一点的切线方向为，所以曲线的内法线方向为，在曲线方程两边对求导数，得，解得，所以曲线在点处的内法线方向为，内法线方向的方向余弦为，故所求方向导数为(2)可微三元函数在点沿任意方向的方向导数存在，且例11求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数。解：，从点到点的方向向量为，方向向量的方向余弦为，故所求方向导数为6．梯度：(1);。例12求函数在点处的梯度。解：，所以所求梯度为(2)函数沿梯度方向的方向导数最大，且最大方向导数为梯度的模。例13在椭球面上求一点，使函数在该点处沿从点到方向的方向导数最大，并求出该最大方向导数。解：设为所求点，则，(*)由于函数在一点处沿梯度方向的方向导数最大，而，因此要求与同向，即存在，使，由此得，代入(*)式解得，因此所求点为，而函数在该点的最大方向导数为梯度的模。7．空间曲线的切线和法平面(1)空间曲线在处的切线方程为：法平面方程为：例14求曲线在点处的切线及法平面方程.解:曲线在点处的切向量为,故所求切线与法平面方程分别为:.(2)空间曲线的切向量为：，或者例15求曲线在点处的切线方程.解:设,则,于是所求切线方程为,或即.8．曲面的切平面和法线(1)设为曲面上一点，则曲面在该点的法向量：切平面方程：法线方程：例16求曲面在点处的切平面和法线方程.解:令,由于,故所求切平面方程为:或即;所求法线方程为:.例17求由曲线绕轴旋转一周所得的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量.解:曲线绕轴旋转一周所得的旋转面方程为,曲面在给定点处指向外侧的法向量为,因此所求单位法向量为:.(2)若曲面方程为，则曲面在点处的法向量.例18若可导且,试证曲面上任一点的法线都与轴相交.解:设是曲面上任一点,过这点的法线为令可得,即法线与轴相交于.多元函数的极值及其求法：(1)设，，则极值类型极小极大无极值不确定例19设函数在处取极值，试求常数，并确定极值的类型。解：因为偏导数存在，因此在处有，把代入上述方程组，解得。又因，于是，，所以函数在处取极小值。例20在以为顶点的三角形闭区域上求一点，使它到三个顶点的距离平方和最大，并求最大值。解：此即要求函数在闭三角形区域上的最大值。由得，且。在上，在上的最大值为3；同理，在上的最大值亦为3。在上，，它在上的最大值为3，因此在闭三角形区域上的或处取得最大值(2)设函数在条件下的条件极值在处取到，且则有。例21在曲面上求一点，使它到平面的距离最近。解：曲面上点到已知平面的距离为，即由于取最小值与取最小值是等价的，因此作拉格朗日函数：，由，解得唯一解。由于所讨论的问题存在最小值，因此所求点为。第三单元重积分1．二重积分大小比较若，则。例1：比较二重积分与的大小：（1）是顶点为的三角形区域；（2）是矩形区域：。解：（1）因为，所以，所以。于是，故。（2）因为，所以，。所以，故。2．二重积分的计算：（1）在直角坐标系下：若区域则若区域则例2：计算，其中是由直线及曲线所围成的闭区域。解：。或。例3：，其中是由直线所围成的闭区域；解：（注意坐标系与积分次序选择）（2）在极坐标系下：若区域则：例4：，其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；解：。例5：，其中是由直线所围成的闭区域；解：；或3．交换积分次序例6：交换下列累次积分次序：（1）；（2）。（3）二次积分的值等于（交换积分次序）。4.不同坐标系下三重积分计算（1）在直角坐标系下：先一后二：（有六种不同的积分次序）若，则：先二后一：若，为过且垂直于轴的平面与的截面在平面的投影，则：（当，且的面积可用初等方法求出时，可考虑此方法）例7：计算，其中为平面所围成的四面体。解：。例8：，其中为平面与曲面所围成的闭区域。解：。（2）柱面坐标系下：若，则：例9：，其中为由曲面与曲面所围成的闭区域。解：。例10：，其中为由曲面与平面所围成的闭区域。解：。（3）球面坐标系下：若，则，例11：，其中为由球面所围成的闭区域。解：。例12：，闭区域为由不等式所确定；解：。例13：，其中为由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围成的立体。解一：曲面方程为：，设则：。解二：设，则：。解三：先二后一：。5．重积分的应用（1）体积的计算表示由曲面，围成的立体的体积，为围成区域在xOy面的投影。当一个曲面为坐标面时，即为曲顶柱体体积。表示的体积，例14．求半径为a的球面与半顶角为a的内接锥面所围成的立体的体积。解：在球坐标系下空间立体所占区域为，则立体的体积为。（2）质量面密度为平面薄片的质量为；密度为空间物体的质量为。例15：设球体内任一点处的密度为，试示球体的质量。解：。（3）质心（重心）坐标面密度为平面薄片的重心坐标：均匀平面薄片的重心：将二重积分符号换成三重积分符号得到空间物体的重心坐标。例16：求位于两圆和之间均匀薄片的质心。解：利用对称性可知，；。（4）转动惯量面密度为平面薄片对轴及原点的转动惯量：密度为空间物体对轴及原点的转动惯量：例17．求均匀球体对于过球心的一条轴的转动惯量。解：取球心为原点，轴为轴,所占域为，则（）。例18：计算，其中；解：6．选择题（1）设由围成，是在第一象限的部分，则（2）设围成，是在第一象限的部分，则下列不等式不成立的是（3）设，则下列不等式不成立的是（4）设，则第四单元曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分的计算方法平面曲线1.设曲线的方程，具有连续偏导数，则2.设曲线的方程，则3.设曲线的方程，则空间曲线设空间曲线的方程，则二、对坐标的曲线积分的计算方法平面曲线1.设曲线的方程对应起点，对应终点，则2.设曲线的方程且对应起点，对应终点，则空间曲线设空间曲线的方程，对应起点，对应终点，则三、两类曲线积分之间的关系平面曲线其中为曲线上点处顺着L方向的单位切向量.空间曲线其中为曲线上点处顺着L方向的单位切向量.四、格林公式与斯托克斯公式格林公式其中为闭曲线所围成的平面区域.斯托克斯公式其中的侧与L的正向符合右手法则.积分与路径无关的条件：空间曲线积分与路径无关的充要条件全微分的原函数：格林公式切向形式：设为曲线在处的单位切向量，则五、对面积曲面积分：计算求解步骤：1）（曲面表示），2）（计算dS）dS=3)(计算二重积分)六、对坐标曲面积分：基本公式（上+,下-）（前+,后-）（右+,左-）七、两类曲面积分之间的关系（可以把对坐标的曲面积分化为对面积的曲面积分求解）八、高斯公式：散度：高斯公式的向量形式：注：当曲面不是封闭时，通常要添加辅助面后再使用高斯公式。一、曲线积分典型例题1.计算，其中为直线从点到点的一段弧.解：2.计算，其中为.解：.3.计算，其中抛物线且起点为原点，终点为.解：，则4.计算，其中为圆周按逆时针方向绕行.解：.注：此题由于在内有奇点，故不能直接应用格林公式；但应用被积函数中的积分变量满足积分曲线的方程可化简被积函数，从而使它满足了格林公式的条件.5.求，其中积分曲线，从点到.解：添加直线，从到，使曲线闭合，则，又，故.注：在计算对坐标的曲线积分时，如直接计算较难，可通过添加辅助曲线段（通常是直线或圆弧等）使与原曲线围成封闭曲线，然后利用格林公式（注意格林公式的两个条件需满足）.二、曲面积分典型例题例2.设取上侧，计算解：例3.设在力