广东省揭阳市霖盘中学高三数学文期末试卷含解析

广东省揭阳市霖盘中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知两个非零向量与，定义|×|=||||sinθ，其中θ为与的夹角．若=（﹣3，4），=（0，2），则|×|的值为(

) A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8参考答案：C考点：平面向量的坐标运算．专题：新定义；平面向量及应用．分析：根据给出的两向量、的坐标，求出对应的模，运用向量数量积公式求两向量夹角的余弦值，则正弦值可求，最后直接代入定义即可．解答： 解：由=（﹣3，4），=（0，2），所以，，cosθ==，因为θ∈[0，π]，所以sinθ==，所以=．故选C．点评：本题考查了平面向量的坐标运算，解答的关键是熟记两向量的数量积公式，是新定义中的基础题．2.已知i为虚数单位，为复数z的共轭复数，若z+2=9－i，则=（

）A． B． C． D．

参考答案：D3.已知函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象是（）]参考答案：A略4.已知则（）A. B. C.3 D.2参考答案：C，选C.5.已知双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，若双曲线C的一条渐近线与直线平行，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．2参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线方程为=1，（a＞0，b＞0），由双曲线C的一条渐近线与直线平行，得到=，由此能求出双曲线C的离心率．【解答】解：∵双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，∴设双曲线方程为=1，（a＞0，b＞0），∵双曲线C的一条渐近线与直线平行，∴=，即a=b，c==2b，∴双曲线C的离心率e===．故选：A．6.函数的单调递减区间为 （）A． B．(0,1] C．[1,+∞) D．(0,+∞)参考答案：B略7.设函数，则下列结论错误的是（

）A．的值域为

B．是偶函数C．不是周期函数

D．不是单调函数参考答案：C8.设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）A．2 B．﹣2 C． D．参考答案：A【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后它的实部为0，可求实数a的值．【解答】解：复数==，它是纯虚数，所以a=2，故选A9.已知函数,,若f(x)与g(x)的图象上分别存在点M,N,使得点M,N关于直线对称,则实数k的取值范围是(

)A B.C. D.参考答案：D【分析】由题意与的图象上分别存在点M,N,使得点M,N关于直线对称，即，等价于，数形结合求解.【详解】由于与的图象上分别存在点M,N,使得点M,N关于直线对称,则，即所以指数函数与在恒有交点当直线与相切时，由于，设切点此时切线方程：过（0，0）因此：数形结合可知：或时，与有交点又要求在恒有交点，由图像，当时，，当时，综上：解得故选：D【点睛】本题考查了函数的对称性问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算能力，属于较难题.10.已知集合M=，集合

(e为自然对数的底数），则=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的部分图象如图所示，点,，若，则等于

．参考答案：12.定义:如果函数在区间上存在,满足,则称是函数在区间上的一个均值点.已知函数在区间上存在均值点,则实数的取值范围是____;参考答案：(0,2)13.不等式的解集为____________.参考答案：14.设函数f（x）=若f（a）＞a，则实数a的取值范围是

．参考答案：（﹣∞，﹣1）【考点】其他不等式的解法．【分析】先根据分段函数的定义域选择好解析式，分a≥0时，和a＜0时两种情况求解，最后取并集．【解答】解：当a≥0时，，解得a＜﹣2，矛盾，无解当a＜0时，，a＜﹣1．综上：a＜﹣1∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）15.在中，角A、B、C所对的边为，若成等差数列，则角B的最大值是_____________【解析】因为为等差数列，所以，，即，，所以，所以最大值为.参考答案：因为为等差数列，所以，，即，，所以，所以最大值为.【答案】16.在球O的内接四面体ABCD中，且，则A,B两点的球面距离是_______________参考答案：略17.在展开式中含的项的系数为

.（结果用数值表示）参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，BA⊥AD，CD=AD=AP=4，AB=1．（1）求证：CD⊥平面ADP；（2）若M为线段PC上的点，当BM⊥AC时，求二面角C﹣AB﹣M的余弦值．参考答案：（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，PA?平面ADP，所以平面ADP⊥平面ABCD．…（2分）又因为平面ADP∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，所以CD⊥平面ADP．…（4分）（2）AD，AP，AB两两垂直，建立如图所示空间坐标系，则A（0，0，0），B（0，0，1），C（4，0，4），P（0，4，0），．…（6分）设M（x，y，z），，．所（x，y﹣4，z）=λ（4，﹣4，4），．因为BM⊥AC，所以．，（4λ，4﹣4λ，4λ﹣1）﹣（4，0，4）=0，解，所以M=，．…（8分）设为平面ABM的法向量，则，又因为所以．令为平面ABM的一个法向量．又因为AP⊥平面ABC，所以为平面ABC的一个法向量．…（10分）=，所以二面角C﹣AB﹣M的余弦值为．…（12分）法2：在平面ABCD内过点B作BH⊥AC于H，在平面ACP内过点H作HM∥AP交PC于点M，连接MB

…（6分），因为AP⊥平面ABCD，所以HM⊥平面ABCD．又因为AC?平面ABCD，所以HM⊥AC．又BH∩HM=H，BH?平面BHM，HM?平面BHM，所以AC⊥平面BHM．所以AC⊥BM，点M即为所求点．…（8分）在直角△ABH中，AH=，又AC=，所以．又HM∥AP，所以在△ACP中，．在平面PCD内过点M作MN∥CD交DP于点N，则在△PCD中，．因为AB∥CD，所以MN∥BA．连接AN，由（1）知CD⊥平面ADP，所以AB⊥平面ADP．所以AB⊥AD，AB⊥AN．所以∠DAN为二面角C﹣AB﹣M的平面角．…（10分）在△PAD中，过点N作NS∥PA交DA于S，则，所以AS=，NS=，所以NA=．所以．所以二面角C﹣AB﹣M的余弦值为．…（12分）点评：本题考查利用面面垂直证明线面垂直，是证明题常见题型．在未知某点坐标时利用条件求出点的坐标时该题的难点也是高考常考题型考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：常规题型；空间向量及应用．分析：（1）利用面面垂直证明线面垂直．（2）合理建系写出对应坐标，充分理解BM⊥AC的意义求得M点坐标解答：（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，PA?平面ADP，所以平面ADP⊥平面ABCD．…（2分）又因为平面ADP∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，所以CD⊥平面ADP．…（4分）（2）AD，AP，AB两两垂直，建立如图所示空间坐标系，则A（0，0，0），B（0，0，1），C（4，0，4），P（0，4，0），．…（6分）设M（x，y，z），，．所（x，y﹣4，z）=λ（4，﹣4，4），．因为BM⊥AC，所以．，（4λ，4﹣4λ，4λ﹣1）﹣（4，0，4）=0，解，所以M=，．…（8分）设为平面ABM的法向量，则，又因为所以．令为平面ABM的一个法向量．又因为AP⊥平面ABC，所以为平面ABC的一个法向量．…（10分）=，所以二面角C﹣AB﹣M的余弦值为．…（12分）法2：在平面ABCD内过点B作BH⊥AC于H，在平面ACP内过点H作HM∥AP交PC于点M，连接MB

…（6分），因为AP⊥平面ABCD，所以HM⊥平面ABCD．又因为AC?平面ABCD，所以HM⊥AC．又BH∩HM=H，BH?平面BHM，HM?平面BHM，所以AC⊥平面BHM．所以AC⊥BM，点M即为所求点．…（8分）在直角△ABH中，AH=，又AC=，所以．又HM∥AP，所以在△ACP中，．在平面PCD内过点M作MN∥CD交DP于点N，则在△PCD中，．因为AB∥CD，所以MN∥BA．连接AN，由（1）知CD⊥平面ADP，所以AB⊥平面ADP．所以AB⊥AD，AB⊥AN．所以∠DAN为二面角C﹣AB﹣M的平面角．…（10分）在△PAD中，过点N作NS∥PA交DA于S，则，所以AS=，NS=，所以NA=．所以．所以二面角C﹣AB﹣M的余弦值为．…（12分）点评：本题考查利用面面垂直证明线面垂直，是证明题常见题型．在未知某点坐标时利用条件求出点的坐标时该题的难点也是高考常考题型19.（本题满分12分）已知函数，且周期为.（I）求的值；（II）当[]时，求的最大值及取得最大值时的值.参考答案：【知识点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．C3C7（I）;（II），取得最大值为解析：（I）∵.....（2分）

=..................................................................（4分）∵且，

故......................................................................（6分）（II）

由(1)知∵

∴................................................................................（7分）∴.∴.......................................................................................（9分）∴当时，即，取得最大值为............................................（12分）【思路点拨】（I）化简解析式可得，由且，即可求的值;（II）由已知先求得，可求得，从而可求最大值及取得最大值时的值．20.选修4-1：几何证明选讲如图，在ΔABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M。（1）求证：DE是圆O的切线；（2）求证：DE·BC=DM·AC+DM·AB。参考答案：证明：（1）连结OE，∵点D是BC的中点，点O是AB的中点，∴OD平行且等于，∴∠A=∠BOD，∠AEO=∠EOD，∵OA=OE，∴∠A=∠AEO，∴∠BOD=∠EOD

……3分在ΔEOD和ΔBOD中，∵OE=OB，∠BOD=∠EOD，OD=OD，∴ΔEOD≌ΔBOD，∴∠OED=∠OBD=90°，即OE⊥BD∵是圆O上一点，∴DE是圆O的切线

……5分（II）延长DO交圆O于点F∵ΔEOD≌ΔBOD，∴DE=DB，∵点D是BC的中点，∴BC=2DB，∵DE、DB是圆O的切线，∴DE=DB，∴DE·BC=DE·2DB=2DE2

……7分∵AC=2OD，AB=2OF∴DM·AC+DM·AB=DM·(AC+AB)=DM·(2OD+2OF)=2DM·DF∵DE是圆O的切线，DF是圆O的割线，∴DE2=DM·DF，∴DE·BC=DM·AC+DM·AB

……10分21.（本题满分14分）已知函数，．（Ⅰ）若函数和函数在区间上均为增函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）若方程有唯一解，求实数的值．参考答案：（Ⅰ）解：

当时，，当时，，要使在上递增，必须如使在上递增，必须，即由上得出，当时，在上均为增函数

……………6分（Ⅱ）方程有唯一解有唯一解设

（）随变化如下表极小值由于在上，只有一个极小值，的最小值为，当时，方程有唯一解.

……………12分略22.如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4,BC=CD=2,

AA=2,

E、E分别是棱AD、AA的中点.

（1）

设F是棱AB的中点,证明：直线EE//平面FCC；（2）

证明:平面D1AC⊥平面BB1C1C.

参考答案：证明:（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4,CD=2,且AB//CD，所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D，又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1//A1D，所以CF1//EE1，又因为平面FCC，平面FCC，所以直线EE/