福建省南平市新星学校高三数学理期末试题含解析

福建省南平市新星学校高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将函数h（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数f（x）的图象，则f（）=（） A．4 B． 2﹣ C． ﹣2 D． 2+参考答案：考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题： 常规题型；三角函数的图像与性质．分析： 函数h（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到函数y=2sin[2（x﹣）+]的图象；再向上平移2个单位，得到函数f（x）=2sin（2x﹣）+2的图象；代入x=求出f（）的值．解答： 解：将函数h（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到函数y=2sin（2x﹣）的图象；再向上平移2个单位，得到函数f（x）=2sin（2x﹣）+2的图象；∴f（）=2sin（2×﹣）+2=故答案为2+．点评： 本题的易错点是函数h（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到函数y=2sin[2（x﹣）+]的图象；而不是函数y=2sin（2x﹣+）的图象．2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，B=30°，△ABC的面积为，则b=A．

B．

C.

D．参考答案：B成等差数列，．平方得．又的面积为，且，故由，得，．由余弦定理，解得．又∵为边长，∴．故B正确.

3.下列命题中正确命题的个数是（

）（1）命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；（2）在回归直线中，增加1个单位时，减少2个单位；（3）若且为假命题，则均为假命题；（4）命题使得，则均有.A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：A4.用一个平面去截正四面体，使它成为形状，大小都相同的两个几何体，则这样的平面的个数有(

) A．6个 B．7个 C．10个 D．无数个参考答案：D考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据几何体的性质判断正四面体是中心对称几何体，利用中心对称几何体的性质判断即可．解答： 解：∵正四面体是中心对称图形，∴平面过正四面体的中心，则分成为形状，大小都相同的两个几何体，可判断这样的平面有无数个，故选；D点评：本题考查了常见的几何体的性质，关键是确定几何体的性质为中心对称，难度不大，属于中档题．5.已知函数，则的大小关系是A、

B、C、

D、参考答案：B因为函数为偶函数，所以，，当时，，所以函数在递增，所以有，即，选B.6.设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D7.用,,表示空间中三条不同的直线,表示平面,给出下列命题:

①若,,则∥;

②若∥,∥,则∥;③若∥,∥,则∥;

④若,,则∥.其中真命题的序号是A．①②

B．②③

C．①④

D．②④

图1参考答案：D8.已知，函数是其反函数，则函数的大致图象是

（

）参考答案：D略9.一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是(

) A．57.2，3.6 B．57.2，56.4 C．62.8，63.6 D．62.8，3.6参考答案：D考点：极差、方差与标准差．专题：计算题．分析：首先写出原来数据的平均数表示式和方差的表示式，把数据都加上60以后，再表示出新数据的平均数和方差的表示式，两部分进行比较，得到结果．解答： 解：设这组数据分别为x1，x2，xn，则=（x1+x2+…+xn），方差为s2=，每一组数据都加60后，′=（x1+x2+…+xn+60n）=+60=2.8+60=62.8，方差s′2=+…+（xn+60﹣62.8）2]=s2=3.6．故选D点评：本题考查平均数和方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．10.（5分）（2015?杨浦区二模）“a≤﹣2”是“函数f（x）=x2+ax+1（x∈R）只有一个零点”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件参考答案：D【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】：根据充分条件和必要条件的定义结合一元二次函数的性质进行判断即可．解：若函数f（x）=x2+ax+1（x∈R）只有一个零点，则判别式△=a2﹣4=0，解得a=2或a=﹣2，则“a≤﹣2”是“函数f（x）=x2+ax+1（x∈R）只有一个零点”的既非充分又非必要条件，故选：D．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知A，B，C为圆O上的三点，若，则与的夹角为_______．参考答案：90°【分析】根据条件,可知BC为圆O的直径,因而由直径所对圆心角为可知,.【详解】由，故三点共线，且是线段中点，故是圆的直径，从而，因此与的夹角为90°所以答案为90°12.已知函数，则当时其导函数的值为

参考答案：2略13.函数的定义域为

.参考答案：14.已知双曲线的离心率为，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为_______.参考答案：

;

15.已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是

参考答案：略16.设，则的值为

。参考答案：217.若对任意的，均有，则a的取值范围是________。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）直线l的参数方程化为极坐标方程；（2）求直线l与曲线C交点的极坐标．参考答案：(1)(2)【分析】（1）消去参数t，求出直线l的普通方程，由此能求出直线l的极坐标方程．（2）联立直线的极坐标方程及曲线C的极坐标方程，解得和，由此能求出交点的极坐标．【详解】（1）由直线的参数方程得，直线方程为：，∴极坐标方程为.（2）联立，又，解得或，所以直线与圆交点的极坐标为【点睛】本题考查直线的极坐标方程的求法，考查直线与曲线交点的极坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标互化公式的合理运用．19.（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）设是函数的极值点，求的值并讨论的单调性；（Ⅱ）当时，证明：＞．参考答案：综上，当时，．…………14分

20.（12分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R（1）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（2）若x∈[，]，求函数f（x）的值域．参考答案：【考点】：三角函数中的恒等变换应用；函数的值域．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）sin（2x）﹣1，由周期公式即可解得T，由2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z可解得函数f（x）的单调增区间．（2）由x∈[，]，可得2x∈[，]，从而可解得f（x）=sin（2x）﹣1的值域．解：（1）∵，…2分∴由周期公式可得：T=π，…4分∴由2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z可解得函数f（x）的单调增区间是：…6分（2）∵x∈[，]，∴2x∈[，]∴sin（2x）﹣1∈…8分【点评】：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象和性质，属于基本知识的考查．21.在△ABC中，分别为角的对边，已知向量与向量

的夹角为，求：（I）角B的大小；

（Ⅱ）的取值范围.参考答案：解：（I）

,

∴∵

∴.…………