福建省漳州市后时中学高三数学理摸底试卷含解析

福建省漳州市后时中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（）

A．

B．

C．2

D．1参考答案：【知识点】导数的几何意义.B11

【答案解析】C

解析：因为，所以，则，故选C.【思路点拨】先对原函数求导，再利用导数的几何意义求出斜率即可.2.若一个三棱柱的底面是正三角形，其正（主）视图如图所示，则它的体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：3.设是偶函数，是奇函数，那么的值为（

）A．1

B．

C．D．参考答案：D4.执行如图所示的程序框图，若输出，则判断框中应填入的条件是

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略5.如图所示，网格纸上小正方形的边长为I，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，结合几何体的体积公式，求解几何体的体积即可.【详解】由三视图可知，该几何体是在一个底面边长为，高为4的四棱锥中挖掉个半径为的球，故该几何体的体积为，故选A.【点睛】该题考查的是有关几何体的体积的问题，涉及到的知识点有利用三视图还原几何体，求有关几何体的体积，属于中档题目.

6.已知等差数列{an}的公差为2，若，，成等比数列，则的值为（

）A．－6

B．－8

C．－10

D．－12参考答案：C7.现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖栗都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为A. B.

C.

D.参考答案：C8.下列选项中与点位于直线的同一侧的是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D9.在数列中，（为非零常数），前n项和为，则实数为：A．0

B．1

C．

D．2

参考答案：C略10.已知k∈Z，关于x的不等式k（x+1）＞在（0，+∞）上恒成立，则k的最小值为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】问题转化为k＞?e﹣x对x＞0恒成立，令f（x）=e﹣x?，（x＞0），根据函数的单调性求出f（x）的最大值，求出k的最小值即可．【解答】解：k（x+1）＞在（0，+∞）上恒成立，即k＞?e﹣x对x＞0恒成立，令f（x）=e﹣x?，（x＞0），f′（x）=，∴f′（x）＞0?x2+x﹣1＜0?0＜x＜，f′（x）＜0?x＞，则f（x）max=f（）=，而0＜＜，又k∈Z，故k的最小值是1，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设,且满足,则的最大值为________参考答案：

12.由曲线与在区间上所围成的图形面积为

．参考答案：略13.对于任意的平面向量，定义新运算：．若为平面向量，，则下列运算性质一定成立的所有序号是

．（写出所有正确命题的编号）①；

②；③；

④．参考答案：①③14.已知等差数列{an}满足：，且它的前n项和Sn有最大值，则当Sn取到最小正值时，n=．参考答案：19【考点】等差数列的性质；数列的函数特性．【分析】根据题意判断出d＜0、a10＞0＞a11、a10+a11＜0，利用前n项和公式和性质判断出S20＜0、S19＞0，再利用数列的单调性判断出当Sn取的最小正值时n的值．【解答】解：由题意知，Sn有最大值，所以d＜0，由，所以a10＞0＞a11，且a10+a11＜0，所以S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）＜0，则S19=19a10＞0，又a1＞a2＞…＞a10＞0＞a11＞a12所以S10＞S9＞…＞S2＞S1＞0，S10＞S11＞…＞S19＞0＞S20＞S21又S19﹣S1=a2+a3+…+a19=9（a10+a11）＜0，所以S19为最小正值．故答案为：19．【点评】本题考查了等差数列的性质、前n项和公式以及Sn最值问题，要求Sn取得最小正值时n的值，关键是要找出什么时候an+1小于0且an大于0．15.如图，在平面斜坐标系中，。斜坐标定义：如果，（其中分别是轴，轴的单位向量），则叫做P的斜坐标。（1）已知P的斜坐标为，则

。（2）在此坐标系内，已知，动点P满足，则P的轨迹方程是

。参考答案：

本题是新信息题，读懂信息，斜坐标系是一个两坐标轴夹角为的坐标系。这是区别于以前学习过的坐标系的地方。（1），（2）设，由得，整理得：。本题给出一个新情景，考查学生运用新情景的能力，只要明白了本题的本质是向量一个变形应用，问题即可解决。16.设a，b∈R，c∈[0，2π），若对任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点横坐标为d，则满足条件的有序实数组（a，b，c，d）的组数为．参考答案：28【考点】排列、组合的实际应用．【分析】首先由已知等式求得a值，然后利用三角恒等变换sin2x=cosx求出所有根的个数，最后利用排列组合的思想求得满足条件的有序实数组．【解答】解：∵对任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），∴|a|=2，若a=2，则方程等价于sin（3x﹣）=sin（bx+c），则函数的周期相同，若b=3，此时c=；若b=﹣3，此时c=；若a=﹣2，则方程等价于sin（3x﹣）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c），若b=﹣3，此时c=；若b=3，此时c=．综上，满足条件的数组（a，b，c，）为（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，）共4组．而当sin2x=cosx时，2sinxcosx=cosx，得cosx=0或sinx=，∴x=+kπ或x=+2kπ，k∈Z又∵x∈[0，3π]，∴x=．∴满足条件的有序数组（a，b，c，d）共有4×7=28．故答案为28．17.现有5双不同号码的鞋，从中任意取出4只，则恰好只能配出一双的概率为

．参考答案：考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：由题意可得总的基本事件数为=210，恰有两只成双的取法是???=120，由概率公式可得．解答： 解：总的基本事件数为=210，恰有两只成双的取法是???=120∴从中任意取出4只，则恰好只能配出一双的概率P==故答案为：点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及排列组合的知识，属基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面为菱形，且，.

（I）求证：；（II）若，求二面角的余弦值。参考答案：(Ⅰ)证明：取的中点，连接．∵，四边形为菱形，且，∴和为两个全等的等边三角形，则∴平面，又平面，∴；(Ⅱ).试题分析：（1）首先作出辅助线即取的中点，连接，然后由已知条件易得和为两个全等的等边三角形，于是有，进而由线面垂直的判定定理可知所证结论成立；(Ⅱ)建立适当的直角坐标系，并求出每个点的空间坐标，然后分别求出平面、平面的法向量，再运用公式即可求出二面角的平面角的余弦值，最后判断其大小为钝角还是锐角即可.试题解析：(Ⅰ)证明：取的中点，连接．∵，四边形为菱形，且，∴和为两个全等的等边三角形，则∴平面，又平面，∴；(Ⅱ)解：在中，由已知得，，，则，∴，即，又，∴平面；以点E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则E(0,0,0)，C(－2,,0)，D(－1,0,0)，P(0,0,)，则＝(1,0,)，＝(－1,,0)，由题意可设平面的一个法向量为；设平面的一个法向量为，由已知得：令y＝1，则，z＝－1，∴；则，所以，由题意知二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为.考点：1、直线平面垂直的判定定理；2、空间向量法求空间二面角的大小；19.某流感病研究中心对温差与甲型H1N1病毒感染数之间的相关关系进行研究，他们每天将实验室放入数量相同的甲型H1N1病毒和100只白鼠，然后分别记录了4月1日至4月5日每天昼夜温差与实验室里100只白鼠的感染数，得到如下资料：日

期4月1日4月2日4月3日4月4日4月5日温

差101311127感染数2332242917（1）求这5天的平均感染数；（2）从4月1日至4月5日中任取2天，记感染数分别为x，y用（x，y）的形式列出所有的基本事件，其中（x，y）和（y，x）视为同一事件，并求|x﹣y|≤3或|x﹣y|≥9的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）由已知利用平均数公式能求出这5天的平均感染数．（2）利用列举法求出基本事件总数n=10，设满足|x﹣y|≥9的事件为A，设满足|x﹣y|≤3的事件为B，利用列举法能求出|x﹣y|≤3或|x﹣y|≥9的概率．【解答】解：（1）由题意这5天的平均感染数为：．（2）（x，y）的取值情况有：（23，32），（23，24），（23，29），（23，17），（32，24），（32，29），（32，17），（24，29），（24，17），（29，17），基本事件总数n=10，设满足|x﹣y|≥9的事件为A，则事件A包含的基本事件为：（23，32），（32，17），（29，17），共有m=3个，∴P（A）=，设满足|x﹣y|≤3的事件为B，由事件B包含的基本事件为（23，24），（32，29），共有m′=2个，∴P（B）=，∴|x﹣y|≤3或|x﹣y|≥9的概率P=P（A）+P（B）=．【点评】本题考查平均数和概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．20.(本小题满分12分)为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了人，回答问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组[15，25)a0.5第2组[25，35)18x第3组[35，45)b0.9第4组[45，55)90.36第5组[55，65]3y

(Ⅰ)分别求出a，b，x，y的值；(Ⅱ)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？(Ⅲ)在(Ⅱ)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率参考答案：（Ⅰ）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，再结合频率分布直方图可知n=,∴a=100×0.01×10×0.5=5，b=100×0.03×10×0.9=27，

…4分

（Ⅱ）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人；第3组：人；第4组：人

…8分（Ⅲ）设第2组2人为：A1，A2；第3组3人为：B1，B2，B3；第4组1人为：C1.则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A1,C1)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(A2,C1)，(B1,B2)，(B1,B3)，(B1,C1)，(B2,B3)，(B2,C1)，(B3,C1)共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，

…….…10分

∴所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：.

…….…12分21.已知实数x，y，z满足．证明：．参考答案：见详解.【分析】设a＝x2+2y2，b＝y2+3z2，c＝z2，由题意可得4a+b+9c＝12，再根据柯西不等式即可证明．【详解】设a＝x2+2y2，b＝y2+3z2，c＝z2，∴4（a﹣2b+6c）+9（b﹣3c）+12c＝12，即4a+b+9c＝12，∴故原不等式成立．【点睛】本题考查了不等式的证明，柯西不等式的应用，考查了转化与化归思想，推理论证能力，属于中档题22.（本小题14分）已知函数在处的切线与直线垂直，函数