第5章 二次函数（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练（解析版）

第5章二次函数（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·江苏·海安市曲塘中学附属初级中学九年级阶段练习）二次函数的顶点坐标是（）A．（-1，2） B．（1，2） C．（1，0） D．（-1，0）【答案】D【分析】由抛物线的顶点式可求得答案．【详解】解：∵二次函数，∴顶点坐标为（-1，0），故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，0）．2．（2022·江苏·苏州市胥江实验中学校九年级期中）抛物线与x轴交点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】将二次函数解析式化为顶点式求解或根据判别式的符号求解．【详解】解：，，抛物线与轴有1个交点．故选：B．【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．3．（2021·江苏·九年级专题练习）如图是一个不倒翁的部分剖面图，可看做一个抛物线，若肚子最大的宽度，，按图示位置建立的平面直角坐标系可知，抛物线表达式为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设抛物线的表达式为y=ax2，再代入（5，15），求得结果．【详解】解：∵AB=10cm，OD=15cm，∴点B的坐标为（5，15），设抛物线的表达式为y=ax2，代入（5，15），得：15=a52，解得：a=，∴抛物线的表达式为y=x2．故选：A．【点睛】本题是二次函数的应用，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式．4．（2022·江苏·兴化市教师发展中心九年级阶段练习）下列各式中，y是x的二次函数的是（

）A．y=3x B．y=x²+（3-x）xC．y=（x-1）² D．y=ax²+bx+c【答案】C【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．【详解】A．，是一次函数，故该选项不正确，不符合题意；B．，是一次函数，故该选项不正确，不符合题意；C．，是二次函数，故该选项正确，符合题意；D．，当时，是一次函数，故该选项不正确，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．5．（2022·江苏连云港·九年级期末）在平面直角坐标系中，下列二次函数的图象开口向上的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上；②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，据此判断即可．【详解】解：A．∵a＝＞0，∴y＝x2的图象开口向上，故本选项符合题意；B．∵a＝﹣1＜0，∴y＝﹣x2+2x+1的图象开口向下，故本选项不符合题意；C．∵a＝﹣2＜0，∴y＝﹣2x2+x的图象开口向下，故本选项不符合题意；D．∵a＝﹣0.5＜0，∴y＝﹣0.5x2+x的图象开口向下，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．6．（2012·江苏淮安·一模）在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图像大致为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】当，，图像过第一、二、四象限，二次函数的开口向下，与轴交点在正半轴上，由此即可求出答案．【详解】解：选项，图像过第一、二、三象限，则，；的开口向下，与轴交点在正半轴上，则，，矛盾，不符合题意；选项，图像过第一、二、四象限，则，；的开口向上，与轴交点在负半轴上，则，，矛盾，不符合题意；选项，图像过第二、三、四象限，则，；的开口向上，与轴交点在负半轴上，则，，矛盾，不符合题意；选项，图像过第一、二、四象限，则，；的开口向下，与轴交点在正半轴上，则，，符合题意．故选：．【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的系数大小与图像的变化趋势，理解和掌握一次函数和二次函数系数与图像的变化趋势是解题的关键．7．（2022·江苏·九年级专题练习）将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数图象平移规律左加右减，上加下减，得出平移后解析式即可．【详解】解：将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为：，故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键．8．（2022·江苏·九年级专题练习）正方形的面积s和边长a之间的关系可以表示s=a2，则s与a之间的函数关系是（

）A．一次函数 B．正比例函数 C．二次函数 D．以上都不对【答案】C【分析】根据二次函数的定义，即可求解．【详解】解：∵正方形的面积s和边长a之间的关系可以表示s=a2，∴s与a之间的函数关系是二次函数．故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（其中a，b，c是常数）的函数关系叫做y是x的二次函数是解题的关键．9．（2022·江苏·九年级专题练习）如图所示，在中，，且，设直线截此三角形所得的阴影部分的面积为，则与之间的函数关系式为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】中，，且，可得；再由平行线的性质得出，即，进而证明，最后根据三角形的面积公式，求出与之间的函数关系式．【详解】解：如图所示，∵中，，且，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即：．故选：B．【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法，考查了等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形的面积等知识点．解题的关键是能够找到题目中的有关面积的等量关系．10．（2022·江苏·九年级专题练习）函数y＝x＋2与y＝的图象交点横坐标可由方程x＋2＝求得，由此推断：方程m3＋2m＋4＝0中m的大致范围是（

）A．－2＜m＜－1 B．－1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．1＜m＜2【答案】A【分析】由m3＋2m＋4＝0可变形为，因此作函数y=x2+2与函数y=-图象，观察交点横坐标即可得答案．【详解】解：由m3＋2m＋4＝0可变形为：，作函数y=x2+1与函数y=-图象如下：根据图象可得：两函数图象交点M横坐标满足-2<xM<-1，即m2+2=−中m的大致范围是-2<m<-1，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了二次函数和反比例函数图象，解决本题的关键是准确画出图象，数形结合解决问题．11．（2022·江苏·连云港市新海实验中学二模）二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①3a－b＝0；②；③；④，其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】①对称轴为，得；②函数图象与x轴有两个不同的交点，得；③当时，，当时，，得；④由对称性可知时，对应的y值与时对应的y值相等，当时＜0，．【详解】解：由图象可知a＜0，c＞0，对称轴为，∴，∴，①正确；∵函数图象与x轴有两个不同的交点，∴，②正确；当时，，当时，，∴，∴，③正确；由对称性可知时对应的y值与时对应的y值相等，∴当时，，∵，∴，∴，④错误；故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握从函数图象获取信息，将信息与函数解析式相结合解题是关键．12．（2022·江苏·射阳县实验初级中学九年级阶段练习）如图，点A，B的坐标分别为（2，5）和（5，5），抛物线的顶点在线段AB上运动（抛物线随顶点一起平移），与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为（）A．2 B．10 C．5 D．9【答案】B【分析】根据二次函数图像的对称性求解即可．【详解】解：当顶点运动到A点时C的横坐标最小，此时C点离对称轴的水平距离为5，∴根据二次函数的对称性，，∴当顶点运动到B点时D点的横坐标为：10．故选：B．【点睛】本题主要考查二次函数图像对称性的运用，熟练计算对称轴与对称点之间的水平距离时是解题关键．二、填空题13．（2022·江苏·苏州市平江中学校九年级阶段练习）二次函数的顶点坐标为________．【答案】【分析】直接根据二次函数的顶点式即可求得顶点坐标．【详解】解：二次函数，抛物线的顶点坐标为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，找出函数图象的顶点坐标是解题的关键．14．（2022·江苏徐州·九年级期中）若二次函数的图像顶点在轴上，则_________．【答案】2【分析】先把解析式化为顶点式可得到顶点坐标为，即可求解．【详解】解：∵，∴二次函数的图像顶点为，∵二次函数的图像顶点在轴上，∴，∴．故答案为：2【点睛】本题主要考查了二次函数一般式的顶点坐标，掌握二次函数一般式的顶点坐标公式是解题关键．15．（2022·江苏徐州·九年级期中）二次函数的顶点坐标是_________．【答案】【分析】二次函数的解析式的表示形式是顶点式，由此即可求解．【详解】解：∵二次函数的表达形式是顶点式，∴顶点坐标为，故答案是：．【点睛】本题主要考查二次函数解析式的表达形式，理解二次函数的顶点式表达形式是解题的关键．16．（2022·江苏·通州湾三余初级中学九年级阶段练习）抛物线开口方向是_____．【答案】向下【分析】根据题目中的抛物线解析式，可以直接写出该抛物线的开口方向．【详解】解：∵抛物线，a＝﹣3＜0，∴该抛物线的开口向下，故答案为：向下．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．17．（2022·江苏·九年级专题练习）抛物线的图象上有两点，则b的值为____________．【答案】【分析】根据二次函数的图象与性质和二次函数的对称性可知，A、B两点纵坐标相等，则A和B关于对称轴对称．二次函数的对称轴为，所以，最后解出答案即可．【详解】A和B都在二次函数y=的图象上，且纵坐标相等，点A和B关于对称轴对称，，解得．故答案为-6．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质与二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．18．（2022·江苏·无锡市羊尖中学九年级阶段练习）若代数式有最小值3，则___________【答案】【分析】设,再把函数化为顶点式,即可得到答案.【详解】解：设,由所以有最小值，而当时，的最小值是3，故答案为：2【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握把二次函数化为顶点式是解本题的关键.19．（2022·江苏·丰县欢口镇欢口初级中学九年级阶段练习）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点，则抛物线的表达式为______．【答案】【分析】根据题意设抛物线解析式为，将已知点坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式．【详解】解：根据题意设抛物线解析式为，将代入得：，则抛物线解析式为．故答案为：．【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．三、解答题20．（2021·江苏·滨海县第一初级中学九年级阶段练习）用描点法画出的图像（1）根据对称性列表：…-3-2-101………（2）在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：（3）观察图像：①抛物线与轴交点坐标是；②抛物线与轴交点坐标是；③当x满足时，y＜0；④它的对称轴是；⑤当时，随的增大而减小【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①（0，-3）；②（-3，0），（1，0）；③-3<x<1④直线x=-1；⑤x<-1【分析】（1）把对应的x值代入求出对应的y值填表即可；（2）根据表中的数值描点、连线即可；（3）根据画的图象回答问题即可．【详解】解：（1）根据对称性列表：…-3-2-101……0-3-4-30…（2）描点、连线，函数图像如图所示：（3）观察图像：①抛物线与轴交点坐标是（0，-3）；②抛物线与轴交点坐标是（-3，0），（1，0）；③当-3<x<1时，y＜0；④它的对称轴是直线x=-1；⑤当x<-1时，随的增大而减小．故答案为：①（0，-3）；②（-3，0），（1，0）；③-3<x<1④直线x=-1；⑤x<-1．【点睛】本题考查了二次函数的图象的画法和二次函数图象的性质，解题关键是正确画出函数图象，利用数形结合思想准确解题．21．（2022·江苏·通州湾三余初级中学九年级阶段练习）已知y＝（a﹣3）﹣2是二次函数，求a．【答案】a＝﹣1【分析】由二次函数的定义可得a2﹣2a﹣1＝2，且a﹣3≠0，解得即可．【详解】解：∵y＝（a﹣3）﹣2是二次函数，则a2﹣2a﹣1＝2，解得a＝3或a＝﹣1，又∵a﹣3≠0，∴a≠3，∴a＝﹣1．【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数．22．（2021·江苏扬州·九年级阶段练习）如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求点A，点B和点C的坐标；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标．【答案】（1）A（﹣2，0），B（1，0），C（0，﹣2）．（2）P（，）【分析】（1）利用二次函数图像与x轴交点时，y=0，代入式子即可求出x值，即可求出A、B两点坐标，图像与y轴相交，x=0，带入可以求出y值，即可求出C点坐标；（2）有题可知本问考查的是“两定一动”，故需要利用“将军饮马”的方法进行解题，B点关于对称轴的对称点为A点，连接AC，AC与对称轴的交点即为P点，求出AC所在直线解析式，之后求出与对称轴交点即为P点坐标．【详解】解：（1）由y＝0，得x2+x-2＝0解得x＝-2，x＝1，∴A（-2，0），B（1，0），由x＝0，得y＝-2，∴C（0，-2）．（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．设直线AC为y＝kx+b，则﹣2k+b＝0，b＝﹣2：得k＝﹣1，y＝﹣x﹣2．对称轴为x＝，当x＝时，y＝-2＝，∴P（，）．【点睛】本题主要考查二次函数图像的基本性质，以及“两定一动”的动点问题，熟练掌握二次函数中的综合运用是解题的关键．23．（2022·江苏·海安市紫石中学九年级阶段练习）定义：若一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图像的“等值点”．例如，点是函数的图像的“等值点”．(1)判断函数的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；(2)求函数的图像的“等值点”坐标；(3)若函数的图像记为，将其沿直线翻折后的图像记为．当，两部分组成的图像上恰有3个“等值点”时，求出m的值．【答案】(1)不存在“等值点”，理由见解析(2)或(3)【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；（2）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；（3）根据（2）中求出的的图像上有两个“等值点”或，再利用翻折的性质分类讨论即可．【详解】（1）不存在，理由如下：解：在中，令，得不成立，∴函数的图像上不存在“等值点”；（2）解：令，解得：，，∴函数的图像上有两个“等值点”或；（3）解：①当m＜﹣1时，，两部分组成的图像上必有2个“等值点”或，：，：，令，整理得：，∵的图像上不存在“等值点”，∴，∴，∴，②当时，有3个“等值点”、、，③当时，，两部分组成的图像上恰有2个“等值点”，④当时，，两部分组成的图像上恰有1个“等值点”，⑤当时，，两部分组成的图像上没有“等值点”，综上所述，当，两部分组成的图像上恰有3个“等值点”时，．【点睛】本题考查了一次函数，二次函数与新定义“等值点”综合运用，一元二次方程根的判别式，翻折的性质等，综合性较强，解题关键是理解并运用新定义，运用分类讨论思想解决问题．【典型】一、单选题1．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线（a，b，c为常数，）经过点，，其对称轴在y轴左侧．有下列结论：①；②抛物线经过点；③方程有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据抛物线的对称轴及与y轴的交点坐标，可判断①错误；根据抛物线的对称性可以判断②错误，根据条件得抛物线开口向下，可判断③正确；根据抛物线与x轴的交点及对称轴的位置，可判断④正确，故可得解．【详解】∵对称轴在y轴左侧∴−＜0∴a、b同号，即ab＞0∵y=ax2+bx+c经过点(0,3)∴c=3＞0∴abc＞0，故①错误；∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点(1,0)，其对称轴在y轴左侧，故抛物线不能经过点(,0)，因此②错误；抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点(1,0)，(0,3)，其对称轴在y轴左侧，可知抛物线开口向下，即a＜0，与直线y=2有两个交点，因此方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根，故③正确；∵对称轴在y轴左侧，∴−＜0∵a＜0∴b＜0∵y=ax2+bx+c经过点(1,0)∴a＋b+c=0∵y=ax2+bx+c经过点(0,3)∴c=3∴a＋b=-3∴b=-a-3，a=-b-3∴-3<a<0．故④正确．故选C．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，不等式的性质等知识，难度适中．2．（2022·湖北省直辖县级单位·九年级阶段练习）在同一直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】二次函数图象与y轴交点的位置可确定k的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数y=-kx+1经过的象限，对比后即可得出结论．【详解】解:由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝﹣kx+1的图象经过经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象以及一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象找出每个选项中k的正负是解题的关键．3．（2022·山东淄博·二模）如图，在平画直角坐标系中，抛物线经过点A(－2，0)和B(4，0)，点C为抛物线的顶点，则下列结论：①abc＞0；②关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为－2＜x＜4；③3a＋c＜0；④若是直角三角形，则点C的坐标为(1，－3)；⑤若m为任意实数，则其中结论正确的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根据抛物线过点A、B，可得抛物线的解析式为，由抛物线的开口方向知，a>0，所以b=-2a<0，c=-8a<0，因此可分别对①③作出判断；观察图象，即可对②作出判断；，所以点C到x轴的距离为9a，因AB=6，若是直角三角形，根据抛物线的对称性，即可满足条件，此时点C的坐标为(1,-3)，因而可判断④正确；由可得：，由此可对⑤作出判断．【详解】由图象知，抛物线的开口向上，故a>0由题意得：∴b=-2a<0，c=-8a<0∴abc>0，3a+c=3a-8a=-5a<0即①③正确观察图象知，当－2＜x＜4时，函数的图象位于x轴下方，即ax2＋bx＋c＜0，故②正确若是直角三角形，根据抛物线的对称性，则此三角形必是等腰直角三角形，由AB=6，则点C到x轴的距离为3∵∴9a=3即抛物线的顶点C的坐标为(1,-3)故④正确由可得：而当x=1时，函数的函数值为a+b+c，且也是函数的最小值∵对任意实数m，函数的函数值不小于其最小值即则am2+bm≥a+b故⑤错误所以正确结论的个数有4个故选：C．【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质，涉及函数表达式的三种形式，抛物线的对称性，最值，函数与不等式的关系等知识，还涉及数形结合的思想，是一道全面考查二次函数图象与性质的好题，因此全面掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．4．（2022·山西·一模）要得到抛物线，可以将抛物线（）A．向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度B．向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度C．向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度D．向左平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度【答案】B【分析】根据平移的口诀：上加下减，左加右减，即可得到结论；【详解】解：∵平移后的抛物线解析式为，∴根据平移口诀可以知道平移后的抛物线是由原抛物线向右平移了6个单位，又向上平移了3个单位得到的；故选：B【点睛】本题考查二次函数平移问题，熟记平移口诀是关键：左加右减自变量，上加下减常数项．5．（2022·内蒙古·准格尔旗第八中学九年级阶段练习）函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac－b2＜0；②3b＋2c＜0；③4a＋c＜2b；④m（am＋b）＋b＜a（m≠－1）．其中结论正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0，可判断①；根据对称轴是x＝﹣1，可得x＝﹣2、0时，y的值相等，所以4a﹣2b+c＞0，可判断③；根据1，得出b＝2a，再根据a+b+c＜0，可得b+b+c＜0，所以3b+2c＜0，可判断②；x＝﹣1时该二次函数取得最大值，据此可判断④．【详解】解：∵图象与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，①正确；∵1，∴b＝2a，∵a+b+c＜0，∴b+b+c＜0，，3b+2c＜0，∴②是正确；∵当x＝﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，③错误；∵由图象可知x＝﹣1时该二次函数取得最大值，∴a﹣b+c＞am2+bm+c（m≠﹣1）．∴m（am+b）＜a﹣b．故④正确∴正确的有①②④三个，故选：C．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，看懂图象，利用数形结合解题是关键．二、填空题6．（2021·山东临沂·九年级期中）如图，已知抛物线与x轴交于，两点，且，，则下列结论：①；②若点，是该抛物线上的点，则；③（t为任意数）；④．其中正确的有______．【答案】①②③④【分析】根据抛物线与x轴有两个交点可得，故①正确，先求出对称轴，然后根据抛物线对称轴右侧的递减性比较两个数的大小，故②正确，将转化为的形式，而当，y取最大值，即（t为任意数），故③正确，先求出，根据抛物线对称轴右侧的递减性，即可得当时，，故④正确．【详解】解：抛物线与x轴交于，两点方程有两个不相等的解即，故①正确．抛物线的对称轴为当时，函数值为当，y随x的增大而减小，且故②正确．由可得当，y取最大值（t为任意数）故③正确．，当时，故④正确．故答案为：①②③④．【点睛】此题考查了抛物线的问题，解题的关键是掌握抛物线的解析式和性质．7．（2022·全国·九年级）如图，平行四边形ABCD中，，点的坐标是，以点为顶点的抛物线经过轴上的点A，B，则此抛物线的解析式为__________________．【答案】【分析】根据平行四边形的性质得到CD=AB=4，即C点坐标为，进而得到A点坐标为，B点坐标为，利用待定系数法即可求得函数解析式．【详解】∵四边形ABCD为平行四边形∴CD=AB=4∴C点坐标为∴A点坐标为，B点坐标为设函数解析式为，代入C点坐标有解得∴函数解析式为，即故答案为．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，和待定系数法求二次函数解析式，问题的关键是求出A点或B点的坐标．8．（2022·全国·九年级）已知抛物线(m为常数），则其图象与y轴交点的最小纵坐标是_________【答案】－1【分析】抛物线与y轴交点坐标为（0，），因此根据二次函数的性质判断的最小值即可求解．【详解】当x=0时，对于，开口朝上，最小值为－1，即原抛物线图象与y轴交点的最小纵坐标是－1故答案为－1．【点睛】本题考查了二次函数的性质，和最值问题，讨论二次函数最值问题时，一定要求出抛物线的顶点坐标，然后在分段讨论．9．（2022·全国·九年级）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=

x2–2mx–2m–2与直线y=-x-2

交于C，D两点，将抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，则m的取值范围为______．【答案】－2≤m<或<m≤1【分析】先联立解方程将C、D点的横坐标解出来，再根据抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，得出在C、D之间恰有两个整数解，进行分类讨论即可．【详解】解：∵在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2–2mx–2m–2与直线y=-x-2交于C，D两点，联立解方程：解得：∴抛物线与直线交点的横坐标为：又∵抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数∴得出在C、D之间恰有两个整数解当即时得出：解得：当即时得出：解得：故答案为：或【点睛】本题考查抛物线与直线交点以及图象的特点，联立解方程求出交点的横坐标是解题关键，注意分类讨论．10．（2022·全国·九年级）在平面直角坐标系中,抛物线y=a(x−2)经过原点O,与x轴的另一个交点为A．将抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方,将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G,过点B(0,1)作直线l平行于x轴，当图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时，x的取值范围是____.【答案】1<x<2或x>2+.【分析】先写出沿x轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象计算可得对应取值范围.【详解】由题意可得抛物线：y=(x−2)，对称轴是：直线x=2,由对称性得：A(4,0),沿x轴折叠后所得抛物线为：y=−(x−2)；如图，由题意得：当y=1时,(x−2)=1，解得：x=2+,x=2−，∴C(2−,1),F(2+,1)，当y=1时,−(x−2)=1，解得：x=3,x=1，∴D(1,1),E(3,1)，由图象得：图象G在直线l上方的部分,当1<x<2或x>2+时，函数y随x增大而增大；故答案为1<x<2或x>2+.【点睛】此题考查二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于结合函数图象进行解答.11．（2022·江苏·九年级专题练习）飞行中的炮弹经秒后的高度为米，且高度与时间的关系为，若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，则炮弹在最高处的时间是第________秒．【答案】10【分析】本题需先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时x的值．【详解】∵此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，∴抛物线的对称轴是：x==10，∴炮弹所在高度最高时：时间是第10秒．故答案为10．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的关键．12．（2022·湖北省直辖县级单位·九年级阶段练习）已知二次函数的图象经过点，顶点为将该图象向右平移，当它再次经过点时，所得抛物线的函数表达式为__．【答案】．【分析】设原来的抛物线解析式为：．利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点的坐标代入即可．【详解】设原来的抛物线解析式为：，把代入，得，解得，故原来的抛物线解析式是：，设平移后的抛物线解析式为：，把代入，得，解得(舍去)或，所以平移后抛物线的解析式是：，故答案是：．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．利用待定系数法确定原来函数关系式是解题的关键．13．（2022·北京·九年级专题练习）抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是___________【答案】，.【分析】由题意可得关于a、b、c的方程组，解方程组用含a的式子表示出b、c，然后把b、c代入到一元二次方程组进行求解即可得.【详解】依题意，得：，解得：，所以，关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx为：，即：，化为：，解得：，，故答案为，.【点睛】本题考查了抛物线上点的坐标特征，解方程组，解一元二次方程等，综合性较强，正确把握抛物线上的点的坐标一定满足抛物线的解析式，得到用含a的式子表示出b和c是解题的关键.14．（2022·全国·九年级）如图（1），菱形ABCD中，∠B＝60°，动点P以1厘米秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止，若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，且S与t之间的函数关系的图象如图（2）所示，则图象中a的值为_____．【答案】【分析】应根据0≤t＜2和2≤t＜4两种情况进行讨论．把t当作已知数值，就可以求出S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解．【详解】解：当0≤t＜2时，；当2≤t＜4时，；当t＝3时，，故答案为．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意数形结合是解决本题的关键．三、解答题15．（2022·湖北·英山县实验中学九年级期中）如图，抛物线与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中，．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；(3)在（2）中△PBC面积取最大值的条件下，点M是抛物线的对称轴上一点，在抛物线上确定一点N，使得以A、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．【答案】(1)(2)3，(3)，，【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）过点P作轴，交CB于点H，过点C作，得，从而得到，根据为等腰直角三角形，再结合二次函数的解析式，将换算为，最后结合二次函数的图形性质即可得到△PBC面积的最大值；（3）根据不同的情况展开讨论，通过全等三角形的性质计算出点N的横坐标，再根据二次函数的解析式计算出纵坐标即可．【详解】（1）解：∵过点，，∴，解方程组得，∴该抛物线的函数表达式为：；（2）解：如下图所示，过点P作轴，交CB于点H，过点C作，垂足为E，∵，，，∴∵，∴,∴为等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴当时，最大，且最大值为；（3）解：∵当时，，∴点，∵，∴抛物线的对称轴为，当时，，解得，∴点，∴，如下图所示，当四边形AMPN为平行四边形时，作PF垂直对称轴，垂足为F，过点N作轴，垂足为E，由题意得，∵，∴NF、AM、MF、NP构成的四边形为平行四边形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，设点，∴，，∴点；如下图所示，当四边形AMNP为平行四边形时，作NE垂直对称轴，垂足为E，过点P作轴，垂足为F，∵，∴，∴，∵，∴，∴，设点，∴，，∴点；如下图所示，当四边形ANMP为平行四边形时，作PF垂直对称轴，垂足为F，过点N作轴，垂足为E，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，设点，∴，，∴点；故符合条件的点N的坐标为：，，．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是通过待定系数法求出二次函数的解析式，灵活运用二次函数的顶点式，掌握将三角形面积的最值转换成二次函数最值的方法，根据平行四边形的多种情况展开讨论，此题属于典型题．16．（2022·山东德州·九年级期末）某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．相关物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，经过调查，每天销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，其部分对应数据如表．销售单价x（元/件）…203040…每天销售量（y件）…500400300…(1)把表中x、y的各组对应值作为点的坐标，求出函数关系式；(2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润为8000元？(3)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是多少？【答案】(1)y＝﹣10x+700(2)当售价为30元时，利润为8000元(3)当销售单价为35元时利润最大，最大利润为8750元【分析】（1）根据题意，设这个一次函数的解析式为y＝kx+b，代入表格中的两组数据求解即可；（2）根据“利润=（单价-成本）×销量”列方程求解即可，注意解方程得结果要符合题意；（3）设总利润为w元，根据“利润=（单价-成本）×销量”列出函数关系式，再根据二次函数的图象与性质求出函数最大值即可．(1)解：设这个一次函数的解析式为y＝kx+b，∵这个一次函数的图象经过（20，500）、（30，400）这两点，∴，解得，∴函数关系式是y＝﹣10x+700．(2)解：依题意得：（x﹣10）（﹣10x+700）＝8000，解得：x1＝30，x2＝50（舍），所以当售价为30元时，利润为8000元．(3)解：设总利润为w元，则w=（x﹣10）（﹣10x+700）=-10x2+800x-7000（10≤x≤35）．∵函数图象开口向下，对称轴为直线x=40，∴当10≤x≤35时，w随x的增大而增大，∴当x=35时，y最大=8750．∴当销售单价为35元时利润最大，最大利润为8750元．【点睛】本题考查了二次函数的实际问题、二次函数的图象和性质以及待定系数法求一次函数解析式等知识，根据“利润=（单价-成本）×销量”列方程或列出函数解析式是解答本题的关键．17．（2021·广西梧州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B(3，0)，C(0，－3)，连接BC，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点．(1)求该抛物线的解析式；(2)若PAB的面积为8，求点P的坐标；(3)若点P在直线BC的下方，当点P到直线BC的距离最大时，在抛物线上是否存在点Q，使得以点P，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)或或．(3)或或【分析】(1)利用待定系数法将B(3，0)，C(0，－3)代入求解析式即可；(2)设点P(p，p2-2p-3)，选择AB为△PAB的底，P点纵坐标为△PAB的高，再由三角形的面积公式可求解；(3)过P作PE⊥x轴，当△PBC面积最大时，P到直线BC的距离最大，利用二次函数的性质先求点P坐标，再对以点P，C，N，Q为顶点的四边形按对角线分三种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解．(1)解：∵抛物线y=x2+bx+c经过点B(3，0)，C(0，-3)，∴，解出，∴二次函数的解析式为：．(2)解：∵二次函数的解析式与x轴交于A，B两点，∴0=x2-2x-3，∴x1=-1，x2=3，∴点A(-1，0)，∴AB=4，设点P(p，p2-2p-3)，∵△PAB的面积为8，选择AB为底，P点的纵坐标的绝对值为高，∴，∴或，解得，，，∴或或．(3)解：如图1，过点P作PE∥y轴，交BC于E，∵点B(3，0)，C(0，-3)，∴直线BC的解析式为y=x-3，设点P(a，a2-2a-3)，则点E(a，a-3)，∴PE=a-3-(a2-2a-3)=-a2+3a，∴，当时，S△BCP有最大值，又BC的长度固定，当选择BC为△BCP的底，△BCP面积最大时，即点P到直线BC的距离最大，此时点，设点N(1，n)，点Q(m，m2-2m-3)，情况一：若CP为边，CN为边时，则CQ与NP互相平分，∴，∴，此时点；情况二：若CP为边，CQ为边时，则CN与PQ互相平分，∴，∴，此时点；情况三：若CP为对角线，则CP与NQ互相平分，∴，∴，此时点；综上所述：点的坐标为：或或．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，三角形的面积公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．18．（2021·河北保定·九年级期中）抛物线与x轴交于，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点．(1)当时，求点B的坐标；(2)已知该抛物线的对称轴为直线．①求p，a所满足的数量关系式；②如图5，若，Q（点Q的横坐标大于3）为抛物线上一点，连接．若直线把四边形的面积分为两部分，求点Q的坐标．【答案】(1)点B的坐标为(2)①；②或【分析】（1）将点，点代入，得到，令，得，解方程即可得到点B的坐标；（2）①由抛物线的对称轴是x=1得到，得出，所以，最后得出；②先求出点B的坐标为，再由得到，从而求得函数关系式是抛物线的解析式为，再用面积法求得点E的坐标，从而求出直线PQ的函数关系式，再与二次函数联立方程组，求得点Q的坐标.（1）解：∵点，点在抛物线上，∴，∴．∵，∴，∴抛物线解析式为，令，得，解得，∴点B的坐标为；（2）解：①由（1）知．∵抛物线的对称轴为直线，∴，∴，∴，∴；②∵抛物线的对称轴为直线，∴点B的坐标为．又∵，∴，又由（2）知，∴，∴抛物线的解析式为．如图，设直线交x轴于点E，直线把四边形的面积分为两部分．又∵，则或，则或1.5，即或．设解析式为，将点E的坐标代入直线的解析式，解得：，故直线的解析式为：或，联立方程组或解得或8（不合题意值已舍去），故或．【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法，面积问题，二次函数与一次函数交点问题等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，．19．（2021·湖南·长沙市南雅中学九年级阶段练习）已知：抛物线与x轴相交于A、B（A点在B点的左边），与y轴相交于点C，若点B的坐标为（2，0），⊙M经过A、B、C三点．(1)求c的值；(2)求⊙M的半径；(3)过C点作直线交x轴于D，当直线CD与抛物线只有一个交点时，直线CD是否与⊙M相切？如果相切，请证明之；如果相交，请求出直线CD与圆的另外一个交点的坐标；(4)点E、F分别为⊙M与抛物线上的动点，当点O、C、E、F四点构成的四边形为以OC为边的平行四边形时，请直接写出点E的坐标．【答案】(1)4(2)5(3)相交，(4)E（﹣3﹣，2）或（﹣3+，2）【分析】(1)利用待定系数法即可求得答案；(2)在中，令y＝0，求得A(﹣8，0)，可得⊙M的直径AB＝2-(-8)＝10，即可得出答案；(3)求出CD解析式为y＝kx+4，根据直线CD与抛物线只有一个交点，可得方程有两个相等的实数根，从而可得Δ＝(4k+6)2﹣4×1×0＝0，得到，即直线CD解析式为，设直线CD与⊙M的另外一个交点的坐标为，根据⊙M的半径为5，建立方程求解即可；(4)设E，根据平行四边形性质可得：EF＝OC＝4，EF∥OC，可得F，再根据ME＝MF＝5，建立方程求解即可．(1)解：∵抛物线经过点B（2，0），∴，解得：c＝4．(2)解：在中，令y＝0，得：，解得：x1＝﹣8，x2＝2，∴A(﹣8，0)，∴AB＝2-(-8)＝10，∴⊙M的半径为5；(3)解：直线CD与⊙M相交，理由如下：在中，令x＝0，得y＝4，∴C（0，4），设直线CD解析式为y＝kx+b，将点C（0，4）代入，得：b＝4，∴直线CD解析式为y＝kx+4，∵直线CD与抛物线只有一个交点，∴方程有两个相等的实数根，整理，得：x2+（4k+6）x＝0，∴Δ＝(4k+6)2﹣4×1×0＝0，解得：，∴直线CD解析式为，设直线CD与⊙M的另外一个交点的坐标为，∵M（﹣3，0），⊙M的半径为5，则(x+3)2+＝52，解得：x＝0（舍去）或x＝，∴直线CD与⊙M的另外一个交点的坐标为(，)；(4)解：E，∵点O、C、E、F四点构成的四边形为以OC为边的平行四边形，∴EF＝OC＝4，EF∥OC，∴F，∵ME＝MF＝5，∴，且，∴解得：，∴E或．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图形及性质，直线与圆的位置关系，平行四边形的性质等相关知识点，本题综合性较强，熟练掌握二次函数及圆的性质是解题的关键．20．（2022·河南郑州·一模）抛物线y＝x2﹣2ax﹣a﹣3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D（4，﹣a﹣3）在抛物线的图象上．（1）求抛物线的解析式；（2）现规定平面直角坐标系中横纵坐标相等的点为“不动点”．已知点N（xN，yN），Q（xQ，yQ）是抛物线y＝x2﹣2ax﹣a﹣3图象上的“不动点”，点H是点N，Q之间抛物线上一点（不与点N，Q重合），求点H的纵坐标的取值范围．【答案】（1）y＝x2﹣4x-5；（2）-9＜y＜．【分析】（1）把点D坐标代入抛物线解析式求出a，问题得解；（2）先根据“不动点”的定义求出N、Q的坐标，再根据抛物线性质确定对称轴、开口方向，得到点N、Q位于对称轴两侧，求出抛物线图象最低点坐标，进而即可确定点H取值范围．【详解】解：（1）∵点D（4，﹣a﹣3）在抛物线y＝x2﹣2ax﹣a﹣3的图象上，∴16-8a-a-3=-a-3解得a=2，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x-5；（2）∵点N（xN，yN），Q（xQ，yQ）是抛物线y＝x2﹣4x-5图象上的“不动点”，∴x2﹣4x-5=x，即x2﹣5x-5=0，解得，∴点N、Q的坐标分别为、，由抛物线y＝x2﹣4x-5得对称轴为x=2，开口向上；∴N、Q位于对称轴两侧，图象有最低点，坐标为（2，-9），∴点H的纵坐标的取值范围为-9＜y＜．【点睛】本题考查了抛物线点的坐标特点，抛物线的性质等知识，理解“不动点”的定义，构造方程求出点N、Q坐标是解题关键．21．（2022·新疆·乌鲁木齐市第九中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t，（1）AP＝，BP＝，BQ＝；（2）t为何值△时△PBQ的面积为32cm2？（3）t为何值时△PBQ的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）2tcm，（12﹣2t）cm，4tcm；（2）当t＝2秒或4秒时，△PBQ的面积是32cm2；（3）当t为3时△PBQ的面积最大，最大面积是36cm2【分析】（1）根据路程=速度×时间以及题中给出的数量关系，即可得出结论；（2）根据三角形的面积公式，列出方程即可求出结论；（3）先列出△PBQ面积的函数解析式，再化成顶点式，找到最大值即可得出结论．【详解】解：（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，所以BP＝（12﹣2t）cm，故答案为：2tcm，（12﹣2t）cm，4tcm；（2）△PBQ的面积S＝＝（12﹣2t）×4t＝﹣4t2+24t＝32，解得：t＝2或4，即当t＝2秒或4秒时，△PBQ的面积是32cm2；（3）S＝﹣4t2+24t＝﹣4（t﹣3）2+36，所以当t为3时△PBQ的面积最大，最大面积是36cm2．【点睛】本题考查三角形的面积，二次函数最值等知识点，能根据题意列出函数关系式是解题的关键．【易错】一．选择题（共1小题）1．（2022春•沭阳县月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴的正半轴交于点C，且OB＝2OC，则下列结论：①＜0；②4ac+2b＝﹣1；③a＝﹣；④当b＞1时，在x轴上方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点M在点N左边），使得AN⊥BM．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】首先根据函数图象可判断a，b，c的符号，a＜0，b＞0，c＞0，从而可判断①正确；由OB＝2OC可推出点B（2c，0）代入解析式化简即可判断②正确；由抛物线与x轴的交点A（﹣2，0）和点B（2c，0），再结合韦达定理可得x1•x2＝＝（﹣2）×（2c）＝﹣4c，可得a＝﹣，即可判断③正确；根据a＝﹣，2b+4ac＝﹣1，可得c＝2b+1，从而可得抛物线解析式为y＝﹣x2+bx+（2b+1），顶点坐标为（2b，b2+2b+1），所以对称轴为直线x＝2b．要使AN⊥BM，由对称性可知，∠APB＝90°，且点P一定在对称轴上，则△APB为等腰直角三角形，PQ＝AB＝2+2b，得P（2b，2b+2），且2b+2＜b2+2b+1，解得b＞1或b＜﹣1，故可判断④正确．【解答】解：∵A（﹣2，0），OB＝2OC，∴C（0，c），B（2c，0）．由图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，①∵a＜0，b＞0，∴a﹣b＜0，∴＜0．故①正确；②把B（2c，0）代入解析式，得：4ac2+2bc+c＝0，又c≠0，∴4ac+2b+1＝0，即2b+4ac＝﹣1，故②正确；③∵抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（2c，0），∴x1＝﹣2和x2＝2c为相应的一元二次方程的两个根，由韦达定理可得：x1•x2＝＝（﹣2）×（2c）＝﹣4c，∴a＝﹣．故③正确；④∵a＝﹣，2b+4ac＝﹣1，∴c＝2b+1．故原抛物线解析式为y＝﹣x2+bx+（2b+1），顶点坐标为（2b，b2+2b+1）．∴对称轴为直线x＝2b．要使AN⊥BM，由对称性可知，∠APB＝90°，且点P一定在对称轴上，∵△APB为等腰直角三角形，Q是AB中点，∴PQ＝AB＝[4b+2﹣（﹣2）]＝2b+2，∴P（2b，2b+2），且有2b+2＜b2+2b+1，整理得：b2＞1，解得：b＞1或b＜﹣1，故④正确．综上所述，正确的有4个，故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与x轴的交点与相应的一元二次方程的根的关系，解此题的关键在于根据函数图象判断出a、b、c的符号，其中第④问有一定的难度．二．填空题（共2小题）2．（2022秋•工业园区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）和B（m，0）．其中2＜m＜4．与y轴交于正半轴上一点．下列结论：①a＜0；②4c＜；③若点C（0，y1），D（l，y2），E（4，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y3＜y2；④c+4a＜0．其中一定正确的结论的序号是①②④．【分析】根据与坐标轴的交点判断出①a＜0；根据图象与x轴交于两点判断②；根据对称轴和开口方向，综合增减性即可判断③；根据当x＝4时，y＜0，当x＝﹣1时，y＝0可以判断．【解答】解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（m，0），与y轴交于正半轴，∴a＜0，故①正确；∵图象与x轴交于两点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∵a＜0，∴4c＜，故②正确；∵图象与x轴交于A（﹣1，0）和B（m，0），其中2＜m＜4，∴＜﹣＜，∴＜﹣＜，∵点C（0，y1），D（l，y2），E（4，y3）均在二次函数图象上，∴y3＜y1＜y2，故③错误；∵抛物线与x轴的交点有一个为（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴b＝a+c∵当x＝4时，y＜0，∴16a+4b+c＜0，∴16a+4a+4c+c＜0，∴c+4a＜0，故④正确，综上所述，正确的结论有①②④．故答案为：①②④．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根据图象与坐标轴的交点坐标判断出a是负数是解题的关键，结论④的判断有点难度，先根据与x轴的交点坐标求出b＝a+c是关键．3．（2022•姑苏区校级二模）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＜n的解集是﹣3＜x＜1．【分析】根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，∴﹣m+n＝p，3m+n＝q，∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（1，p），Q（﹣3，q）两点，观察函数图象可知：当﹣3＜x＜1时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的上方，∴不等式ax2+mx+c＜n的解集是﹣3＜x＜1．故答案为﹣3＜x＜1．【点评】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，解决本题的关键是利用图象解决问题．三．解答题（共12小题）4．（2022秋•海安市校级月考）某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元，经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x＞50）元/件的关系如表：销售单价x（元/件）…55607075…一周的销售量y（件）…450400300250…（1）试销过程发现，一周销量y（万件）与销售单价x（元/件）之间关系可以近似地看作一次函数，求出y与x的函数关系式；（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润不低于8000元？（3）在雅安地震发生时，商家已将商品一周的销售利润全部寄往灾区，已知商家购进该商品的货款不超过10000元，请你分析该商家当时最大捐款数额是多少元？【分析】（1）设y＝kx+b，把点的坐标代入解析式，求出k、b的值，即可得出函数解析式；（2）根据利润＝（售价﹣进价）×销售量，列出函数关系式，继再利用销售利润为8000，进而得出销售单价的范围；（3）根据购进该商品的贷款不超过10000元，求出进货量，然后求最大销售额即可．【解答】解：（1）设y＝kx+b，由题意得，，解得：，则函数关系式为：y＝﹣10x+1000（x≥50）；（2）由题意得，S＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000，当S＝8000时，8000＝﹣10（x﹣70）2+9000，解得：x1＝60，x2＝80，∵﹣10＜0，∴函数图象开口向下，对称轴为直线x＝70，∴当60＜x＜80时，销售利润一周的销售利润不低于8000元；（3）∵由40（﹣10x+1000）≤10000解得：x≥75，又由于最大进货量为：y＝10000÷40＝250，由题意可知，当x＝75时，可以销售250件商品，结合图形，故此时利润最大．S＝250×（75﹣40）＝8750（元），∴该商家在10000元内的进货条件下，最大捐款为8750元．【点评】本题考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．5．（2022•宜兴市校级二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝﹣x2+bx+c（b＞0，c＞0）图象的顶点是点A，对称轴为直线l，图象与y轴交于点C．点D在l右侧的函数图象上，点B在DC延长线上，且四边形ABOD是平行四边形．（1）如图2，若CD∥x轴．①求证：b2＝4c；②若▱ABOD是矩形，求二次函数的解析式；（2）当b＝2时，▱ABOD能否成为正方形，请通过计算说明理由．【分析】（1）①连接OA，交BD于点P，如图1，由平行四边形的性质可得PA＝PO，进而得出P（，+），由CD∥x轴，可得+＝c，即可证得结论；②如图1，设抛物线对称轴交x轴于点E，则E（，0），由矩形性质可得OA＝BD，建立方程求解即可得出答案；（2）如图2，连接OA，交BD于点G，连接AC，当b＝2时，y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+c+1，可得抛物线顶点A（1，c+1），若四边形ABOD是正方形，则GA＝GO，OA⊥BD，即BD是OA的垂直平分线，可得出c＝，y＝﹣x2+2x+，运用待定系数法求得直线CG的解析式为y＝（1﹣）x+，进而得出点D（1+，﹣1），利用两点间距离公式求得：DG2＝（1+﹣）2+（﹣1﹣）2＝5﹣，OA2＝1+（+1）2＝4+2，比较得出OA≠2DG，故当b＝2时，▱ABOD不可能是正方形．【解答】解：（1）①∵y＝﹣x2+bx+c＝﹣（x﹣）++c，∴顶点A（，+c），C（0，c），连接OA，交BD于点P，如图1，∵四边形ABOD是平行四边形，∴PA＝PO，∴P（，+），∵CD∥x轴，∴+＝c，∴b2＝4c；②如图1，设抛物线对称轴交x轴于点E，则E（，0），∴OE＝，AE＝+c＝+＝b2，∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝，∴D（b，c），∴PD＝b﹣＝b，∴BD＝2PD＝b，∵▱ABOD是矩形，∴OA＝BD，∴OA2＝BD2，∴OE2+AE2＝BD2，∴（）2+（b2）2＝（b）2，∴+＝b2，即b2（b﹣2）（b+2）＝0，∵b＞0，∴b＝2，∴c＝2，∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+2；（2）当b＝2时，▱ABOD不可能是正方形．理由如下：如图2，连接OA，交BD于点G，连接AC，当b＝2时，y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+c+1，∴抛物线顶点A（1，c+1），若四边形ABOD是正方形，则GA＝GO，OA⊥BD，即BD是OA的垂直平分线，∴AC＝OC，∴AC2＝OC2，∴（1﹣0）2+（c+1﹣c）2＝c2，∵c＞0，∴c＝，∴y＝﹣x2+2x+，∴A（1，+1），G（，），C（0，），设直线CG的解析式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线CG的解析式为y＝（1﹣）x+，令（1﹣）x+＝﹣x2+2x+，解得：x＝0（舍去）或x＝1+，∴D（1+，﹣1），∴DG2＝（1+﹣）2+（﹣1﹣）2＝5﹣，OA2＝1+（+1）2＝4+2，若四边形ABOD是正方形，则OA＝2DG，即OA2＝4DG2，但4DG2＝4×（5﹣）＝20﹣2≠4+2＝OA2，即OA≠2DG，故当b＝2时，▱ABOD不可能是正方形．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，正方形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，两点间距离公式，线段垂直平分线的性质及判定，熟练掌握二次函数的图象和性质、正方形的判定和性质等相关知识是解题关键．6．（2022•玄武区一模）已知二次函数y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2）（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）二次函数的图象与x轴交于点M，N，与y轴交于点P，若△MNP是等腰直角三角形，则m的值为﹣1；（3）点A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数的图象上，当y1•y2•y3＜0时，结合函数图象，直接写出m的取值范围．【分析】（1）令y＝0，可得出x的两个解，且两个解不相等即可得出结论；（2）利用△MNP是等腰直角三角形，可得出m2+2m＝﹣1，求出m的值即可；（3）分别求出y1，y2，y3，利用y1•y2•y3＜0，得出关于m的不等式，求出m的值即可．【解答】（1）证明：令y＝0，则（x﹣m）（x﹣m﹣2）＝0．∴x1＝m，x2＝m+2．∵m≠m+2，∴该方程有两个不相等的实数根．∴不论m为何值，该函数图像与x轴有两个不同的公共点．（2）由（1）知M（m+2，0），N（m+2，0），令x＝0，得y＝m2+2m，∴P（0，m2+2m）．由题意得，△MNP是等腰直角三角形，∴m2+2m＝﹣1，解得m＝﹣1．故答案为：﹣1；（3）法一：根据题意可知，需要分三种情况：①当有1个点在x轴下方时，有m＜1＜m+2＜2＜3或1＜2＜m＜3＜m+3，解得﹣1＜m＜0或2＜m＜3；②当有3个点在x轴下方时，∵m+2﹣m＝2＜3，∴此种情况不存在；综上可知，m的取值范围为：﹣1＜m＜0或2＜m＜3．法二：由题意可知，y1＝（1﹣m）（1﹣m﹣2）＝（m﹣1）（m+1），y2＝（2﹣m）（2﹣m﹣2）＝m（m﹣2），y3＝（3﹣m）（3﹣m﹣2）＝（m﹣1）（m﹣3），∵y1•y2•y3＜0，∴（m﹣1）（m+1）•m•（m﹣2）•（m﹣1）（m﹣3）＜0，即m（m+1）（m﹣2）（m﹣3）（m﹣1）2＜0，∵（m﹣1）2≥0，∴m，（m+1），（m﹣2），（m﹣3）的负数有奇数个，且m+1＞m＞m﹣2＞m﹣3，当负数有1个时，m﹣3＜0且m﹣2＞0，∴2＜m＜3；当负数有3个时，m+1＞0且m＜0，∴﹣1＜m＜0，∴m的取值范围为：﹣1＜m＜0或2＜m＜3．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．7．（2022春•靖江市月考）小雨、小华、小星暑假到某超市参加社会实践活动，在活动中他们参加了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克．他们通过市场调查发现：当销售单价为10元时，那么每天可售出300千克；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少50千克．（1）求该超市销售这种水果，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（x＞10）之间的函数关系式，该超市销售这种水果每天获取的利润w（元）最大是多少？（2）为响应政府号召，该超市决定在暑假期间每销售1千克这种水果就捐赠a元利润（a≤2.5）给希望工程．公司通过销售记录发现，当销售单价不超过13元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价x（元/千克）的增大而增大，求a的取值范围．【分析】（1）依据题意易得出每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式y＝﹣50x+800；根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．（2）设扣除捐赠后的日销售利润为S元，则得S＝（x﹣8﹣a）（﹣50x+800），利用对称轴的位置即可求a的取值范围．【解答】解：（1）由题意，可得y＝﹣50x+800，∴w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣50x+800）＝﹣50x2+1200x﹣6400＝﹣50（x﹣12）2+800．∵﹣50＜0，∴当x≤12时，w随x的增大而增大，∴当x＝12时，w最大值＝800，∴y与x的函数关系式为：y＝﹣50x+800，当售价为12元/千克时，该超市销售这种水果每天获取的利润w最大为800元．（3）设扣除捐赠后的日销售利润为S元，∴S＝（x﹣8﹣a）（﹣50x+800）＝﹣50x2+（1200+50a）x﹣6400﹣800a，∵当x≤13时，S随x的增大而增大，∴﹣≥13，∴a≥2，∴2≤a≤2.5．即a的取值范围为2≤a≤2.5．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．8．（2022春•邗江区校级月考）某书店以每本30元的价格购进一批图书进行销售，物价局根据市场行情规定这种图书的销售单价不低于42元且不高于62元．在销售中发现，该种图书每天的销售数量y（本）与销售单价x（元）之间存在某种函数关系，对应如下表：销售单价x（元）43454749…销售数量y（本）54504642…（1）用你所学过的函数知识，求出y与x之间的函数关系式；（2）请问该种图书每天的销售利润w（元）的最大值是多少？（3）如果该种图书每天的销售利润必须不少于600元，试确定该种图书销售单价x的范围．【分析】（1）由表格可知y与x之间存在一次函数关系再用待定系数法求解即可；（2）先根据利润＝（销售单价﹣进价）×销售数量得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可；（3）先根据（2）中的函数关系式，求得当w＝600时的x值，再根据二次函数和一次函数的性质求解即可．【解答】解：（1）由表格可知，当销售单价每提高2元，则销售数量减少4件，故y与x之间存在一次函数关系，设其解析式为y＝kx+b（k≠0），把x＝43，y＝54；x＝45，y＝50分别代入得：，解得：．∴y＝﹣2x+140（42≤x≤62）；（2）根据题意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+140）＝﹣2x2+200x﹣4200＝﹣2（x﹣50）2+800，∵a＝﹣2＜0，∴当x＝50时，w有最大值，最大值为800元，∴该科普书每天利润w（元）的最大值是800元；（3）当w＝600时，600＝﹣2（x﹣50）2+800，解得：x1＝40（舍），x2＝60，∴当42≤x≤60时，每天的利润不少于600元．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数与二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握相关函数性质是解题的关键．9．（2022春•锡山区校级期中）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件30元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：x（元/件）405060y（件）1000095009000（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于150元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（10≤m≤60），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请求出m的取值范围．【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式便可；（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”列出x的不等式组，求得x的取值范围，再设利润为w元，由w＝（x﹣30）y，列出w关于x的二次函数，再根据二次函数的性质求出利润的最大值和售价；（3）根据题意列出利润w关于售价x的函数解析式，再根据函数的性质，列出m的不等式进行解答便可．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），把x＝40，y＝10000和x＝50，y＝9500代入得，，解得，，∴y＝﹣50x+12000；（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，，解得，30≤x≤120，设利润为w元，根据题意得，w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣50x+12000）＝﹣50x2+13500x﹣360000＝﹣50（x﹣135）2+551250，∵﹣50＜0，∴当x＜135时，w随x的增大而增大，∵30≤x≤120，且x为正整数，∴当x＝120时，w取最大值为：﹣50×（120﹣135）2+551250＝540000，答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为540000元，售价为120元；（3）根据题意得，w＝（x﹣30﹣m）（﹣50x+12000）＝﹣50x2+（13500+50m）x﹣360000﹣12000m，∴对称轴为直线x＝135+0.5m，∵﹣50＜0，∴当x＜135+0.5m时，w随x的增大而增大，∵该商场这种商品售价不大于150元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．对称轴x＝135+0.5m，m大于等于10，则对称轴大于等于149，由于x取整数，实际上x是二次函数的离散整数点，x取30，31，...149时利润一直增大，只需保证x＝150时利润大于x＝149时即可满足要求，所以对称轴要大于149就可以了，∴135+0.5m＞149.5，解得m＞29，∵29＜m≤60，∴29＜m≤60．【点评】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，二次函数的性质，待定系数法，关键是读懂题意，正确列出函数解析式和不等式组．10．（2022秋•姑苏区校级月考）已知如图1，二次函数y＝﹣x2+bx+c经过矩形AOCD的顶点A（﹣4，0）和C（0，2），与x轴另一交点为B，点P、Q分别是矩形两边AO和CD上的动点（不与点A、O、C、D重合）．（1）试求二次函数的解析式；（2）连接AQ，过P作PM∥OQ，如图2，设△PMQ的面积为S．①当P的坐标为（﹣2，0）时，无论Q在何处，S＝1；②在点P、Q运动过程中，点M的纵坐标与AP的数量关系有何关联．（3）连接BC，如图3，过点Q作EN∥BC交抛物线于点E，交x轴与点N，试求线段EN的最大值．【分析】（1）运用待定系数法把A（﹣4，0）和C（0，2）分别代入y＝﹣x2+bx+c，即可求得答案；（2）①利用三角形面积公式可得S△APQ＝×2×2＝2，再证得点M是AQ的中点，即可得出答案；②过点M作MK⊥x轴于点K，过点Q作QT⊥x轴于点T，由MK∥QT，PM∥OQ，可得出△AMK∽△AQT，△APM∽△AOQ，进而推出MK＝AP，即点M的纵坐标等于AP；（3）利用待定系数法可得直线BC的解析式为y＝﹣2x+2，设E（t，﹣t2﹣t+2），可得出EN＝（﹣t2﹣t+2）＝﹣t2﹣t+＝﹣（t+）2+，利用二次函数的性质即可求得答案．【解答】解：（1）把A（﹣4，0）和C（0，2）分别代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；（2）①如图，∵P（﹣2，0），A（﹣4，0），C（0，2），O（0，0），∴OP＝AP＝2，∴S△APQ＝×2×2＝2，∵PM∥OQ，∴＝＝1，∴点M是AQ的中点，∴S△PMQ＝S△APQ＝×2＝1，故答案为：1；②如图，过点M作MK⊥x轴于点K，过点Q作QT⊥x轴于点T，则MK∥QT，∴△AMK∽△AQT，∴＝，∵PM∥OQ，∴△APM∽△AOQ，∴＝，∴＝，即＝，∴MK＝AP，即点M的纵坐标等于AP；（3）∵y＝﹣x2﹣x+2＝（x+）2+，∴抛物线的顶点F（﹣，），∵A（﹣4，0），抛物线对称轴为直线x＝﹣，∴B（1，0），∵C（0