2017-2021年广东中考数学真题分类汇编之图形的旋转和相似

2017-2021年广东中考数学真题分类汇编之图形的旋转和相似

一.选择题（共10小题）

1.（2018•广东）在△ABC中，点£＞、E分别为边AB、AC的中点，则与△ABC的面

3.（2019•广东）下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

A©A

4.（2020•黔南州）观察下列图形，是中心对称c图形的是（）D

6.（2017•广州）如图，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到的

7.（2018•广东）下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

A.圆B.菱形C.平行四边形D.等腰三角形

8.（2021•广州）如图，在中，ZC=90°,AC=6,BC=8,将△ABC绕点A逆

时针旋转得到aAB'C,使点C'落在AB边上，连结8B',则sin/88'C的值为

A.3B.AC.在D.2潟

5555

9.（2017•深圳）如图，正方形ABC。的边长是3,BP=CQ,连接AQ,DP交于点O,并

分别与边CD,BC交于点、F,E,连接AE,下列结论：®AQLDP；®OA2=OE'OP；③

S&wo=S四边形OECF；④当3尸=1时，tanNOAE=2l,其中正确结论的个数是（）

C.3D.4

10.（2019•广东）如图，正方形ABCO的边长为4,延长CB至E使EB=2,以EB为边在

上方作正方形EFG8,延长FG交。C于M,连接AM,AF,H为AO的中点，连接尸H

分别与AB,AM交于点N、K：则下列结论：

①△ANH/AGNF；

②NAFN=NHFG；

③FN=2NK；

A.1个B.2个C.3个D.4个

二.填空题（共5小题）

11.（2019•广州）一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转a（0°<a<90°）,

使得三角板AQE的一边所在的直线与BC垂直，则a的度数为.

12.（2018•广州）如图，CE是nABCZ）的边AB的垂直平分线，垂足为点O,CE与D4的

延长线交于点E.连接AC,BE,DO,。。与AC交于点凡则下列结论:

①四边形ACBE是菱形；

®AF：BE=2：3；

④S四边彩AFOE：5ACOD=2:3.

其中正确的结论有.（填写所有正确结论的序号）

13.（2017•深圳）如图，在RtAABC中，/ABC=90°,AB=3,BC=4,Rl/\MPN,Z

MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E,PN交BC于点F,当PE=2P尸时，AP

14.（2020•广州）如图，正方形ABC。中，△ABC绕点A逆时针旋转到AB,,AC

分别交对角线于点E,F,若AE=4,则的值为

15.（2018•深圳）在RtZXABC中，ZC=90°,4。平分NCA8,BE平分/ABC,AD,BE

相交于点尸，且AB=4,EF=则AC=

三.解答题（共5小题）

16.（2021•深圳）在正方形A8C。中，等腰直角NAFE=90°,连接CE,H为CE

中点，连接BH、BF、HF,发现题和NHBF为定值.

BH

⑴①电=；

BH

②NHBF=；

③小明为了证明①②，连接4c交80于0,连接0H,证明了旦旦和递的关系，请你按

AFB0

他的思路证明①②.

（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2,毁上2=&,NBDA

ADFA

=/EAF=。（00<0<90°）.

求①上D=；（用&的代数式表示）

HD

②型=.（用公。的代数式表示）

HD

图1图2

17.（2020•深圳）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放

（点E、A、。在同一条直线上），发现8E=QG且BE_L£>G.

小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：

（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1）,还能得到BE=3G吗？若能,

请给出证明；若不能，请说明理由；

（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD,将菱形AEFG绕点A按顺时

针方向旋转（如图2）,试问当/E4G与的大小满足怎样的关系时，背景中的结论

8E=OG仍成立？请说明理由；

（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD且迪遮_上，A£=4,

AGAD3

AB=8,将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3）,连接OE,8G.小组发现：

在旋转过程中，。炉+3G2的值是定值，请求出这个定值.

图1图2图3

18.(2017•广东)如图，A8是的直径，AB=4b，点E为线段08上一点(不与。，

8重合)，作CELOB,交。0于点C,垂足为点E,作直径C£>,过点C的切线交的

延长线于点P,AFLPC于点尸，连接CB.

(1)求证：CB是NECP的平分线；

(2)求证：CF=CE；

(3)当”=3时，求劣弧前的长度(结果保留TT)

CP4

19.(2017•广东)如图，在平面直角坐标系中，。为原点，四边形A8CO是矩形，点A,C

的坐标分别是A(0,2)和C(2^,0),点。是对角线AC上一动点(不与4,C重合)，

连接8D,作。交x轴于点E,以线段OE,为邻边作矩形8CEE

(1)填空：点B的坐标为；

(2)是否存在这样的点£>,使得△£)以7是等腰三角形？若存在，请求出AO的长度；若

不存在，请说明理由；

(3)①求证：返；

DB3

②设AO=x,矩形BOE尸的面积为y,求y关于x的函数关系式(可利用①的结论)，并

求出y的最小值.

20.(2018•广东)已知RtZ\OAB,/。48=90°,NABO=30°,斜边08=4,将RtZ\0A8

绕点。顺时针旋转60°,如图1,连接BC.

(1)填空：Z0BC=°；

(2)如图1,连接AC,作OP_LAC,垂足为P,求。尸的长度；

(3)如图2,点M,N同时从点0出发，在AOCB边上运动，M沿0-CfB路径匀速

运动，N沿O-B-C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点例的运动速度为

1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△0MN的面积为y,求

当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？

图1图2备用图

2017-2021年广东中考数学真题分类汇编之图形的旋转和相似

参考答案与试题解析

选择题（共10小题）

1.（2018•广东）在△ABC中，点。、E分别为边A8、AC的中点，则AAOE与△ABC的面

积之比为（）

A.AB.AC.AD.A

2346

【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理.

【专题】图形的相似.

【分析】由点£＞、E分别为边AB、AC的中点，可得出。E为△ABC的中位线，进而可

得出OE〃8c及△AOESZXABC,再利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的

面积之比.

【解答】解：•••点。、E分别为边A3、AC的中点，

二。£为△ABC的中位线，

：.DE//BC,

：./\ADE^/\ABC,

S

.AADE_〈DE）2=2

2AABCBC4

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，利用三角形的中

位线定理找出CE〃BC是解题的关键.

2.（2020•深圳）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

隽

【考点】中心对称图形；轴对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

以既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

。、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意.

故选：B.

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称

轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度

后与原图重合.

3.（2019•广东）下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

A©©A

【考点】中心对称图形B；轴对称图形.D

【专题】平移、旋转与对称.

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

8、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；

。、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误.

故选：C.

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称

轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分

重合.

4.（2020•黔南州）观察下列图形，是中心对称图形的是（)

【考点】中心对称图形.

【专题】图表型.

【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误.

8、不是中心对称图形，故本选项错误.

C、不是中心对称图形，故本选项错误.

。、是中心对称图形，故本选项正确.

故选：D.

【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180

度后与自身重合.

5.（2017•深圳）观察下列图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（）

【考点】中心对称图形；轴对称图形.

【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图

形，以及轴对称图形的定义即可判断出.

【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，选项不符合题意;

3、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项不符合题意；

C、不是中心对称图形，不是轴对称图形，选项不符合题意；

D,是中心对称图形，也是轴对称图形，选项符合题意.

故选：D.

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决

问题的关键.

6.（2017•广州）如图，将正方形ABC。中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90。后，得到的

图形为（）

【考点】旋转的性质；正方形的性质.

【分析】根据旋转的性质即可得到结论.

【解答】解：由旋转的性质得，将正方形ABCO中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°

后，得到的图形为A,

故选：A.

【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键.

7.（2018•广东）下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

A.圆B.菱形C.平行四边形D.等腰三角形

【考点】中心对称图形；轴对称图形.

【专题】常规题型.

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；

3、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

。、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确.

故选：D.

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称

轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度

后与原图重合.

8.（2021•广州）如图，在Rt&LBC中,NC=90°，AC=6,BC=8,将△ABC绕点A逆

时针旋转得到△AB'C,使点C'落在A8边上，连结8B',则sin/BB'C'的值为

A.3B.AC.立D.

5555

【考点】旋转的性质；解直角三角形.

【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力.

【分析】在RtaABC中，利用勾股定理可求48,由旋转的性质可得AC=AC=6,BC=

B'C=8,ZC=ZACB'=90°,在RtZ\B8C中，由勾股定理可求BB'的长，即可求解.

【解答】解：；NC=90°,AC=6,BC=8,

•••AB=NA《2+BC2=<36+64=10,

•.,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C,

：.AC=AC=6,BC=B'C=8,NC=N4CB，=90°,

：.BC=4,

B'B=yc，~2+BC，~'=416+64=4A/^,

J.sinZBB'C=里一=匕=返,

BB7蚯5

故选：C.

【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用勾股定理求出

88长是解题的关键.

9.（2017•深圳）如图，正方形ABCO的边长是3,BP=CQ,连接AQ,QP交于点O,并

分别与边CO,BC交于点、F,E,连接AE,下列结论：®AQLDP；©O^^OE'OP,③

S^AOD=S^OECF^④当8P=1时，tanNOAE=1l,其中正确结论的个数是（）

0

A.1B.2C.3D.4

【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；全等三角形的判定与性质；正方形

的性质.

【分析】由四边形4B8是正方形，得到AO=8C,/D4B=/A8C=90°,根据全等

三角形的性质得到NP=NQ,根据余角的性质得到AQJ_3P;故①正确；根据相似三角

形的性质得到AO2=OZ）・OP,由。£>#OE,得至IJOA2WOE・OP；故②错误；根据全等三

角形的性质得到CF=BE,DF=CE,于是得到SAW-SADFO=SMCE-SMOF，即S^OD

=S四边形OECF；故③正确；根据相似三角形的性质得到BE=S,求得QE=H,。。=区,

445

OE=31,由三角函数的定义即可得到结论.

20

【解答】解：•.•四边形ABC。是正方形，

：.AD=BC,ZDAB=ZABC=9O°,

；BP=CQ,

：.AP=BQ,

'AD=AB

在尸与△AB。中，<ZDAP=ZABQ-

AP=BQ

.♦.△DAP丝ZXABQ,

：.ZP=ZQ,

'：ZQ+ZQAB^90°,

二NP+NQA8=90°,

ZAOP=90°,

：.AQ±DP；

故①正确；

；NOOA=NAOP=90°,ZADO+ZP=ZAD0+ZDA0=9Qa,

：.4DA0=NP,

...△QAOSZ\AP。，

•••-A--O-~OP■9

ODOA

:.AO2=OD^OP,

'：AE>AB,

：.AE>AD,

J.OD^OE,

J.OA^^OE-OP-,故②错误；

2FCQ=NEBP

在△CQF与△BPE中，ZQ=ZP，

CQ=BP

：.l\CQF迫丛BPE,

：.CF=BE,

：.DF=CE,

'AD=CD

在与△QCE中，，ZADC=ZDCE-

DF=CE

:.缸ADF9XDCE,

S^ADF-S&DFO=SADCE-S&DOF，

即S&4OD=S四边形OECF；故③正确；

：BP=1,AB=3,

：.AP=4,

■:△PBESXPAD,

•PB_PA_4,

**EB=DA=S"

44

,.♦△QOEs△出/),

13

•QOOEQEV

"PA"ADW'V

.•.QO=旦OE=也，

520

，A0=5-。。=孕

二tanNOAE=8%=^^,故④正确,

0A16

故选：C.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性

质，三角函数的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.

10.（2019•广东）如图，正方形A8CD的边长为4,延长CB至E使E8=2,以EB为边在

上方作正方形EFG8,延长尸G交。C于M,连接AM,AF,，为的中点，连接尸”

分别与AB,AM交于点MK：则下列结论:

①4AN啥/XGNF；

②NAFN=NHFG；

③FN=2NK；

④SAAFN：SA^DM=1：4.其中正确的结论有（）

D.4个

【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质.

【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；图形的相似.

【分析】由正方形的性质得到FG=BE=2,ZFGB=90°,AD=4,AH=2,NBAD=

90°,求得NHAN=NFGN,AH=FG,根据全等三角形的定理定理得到

（AAS）,故①正确；根据全等三角形的性质得到/A”N=/HFG,推出NA尸，WNAHF,

得到NAFNWNHFG,故②错误；根据全等三角形的性质得到AN=L1G=1,根据相似

2

三角形的性质得到NAHN=/AMG,根据平行线的性质得到/HAK=/AMG,根据直角

三角形的性质得到FN=2NK；故③正确；根据矩形的性质得到DM=AG=2,根据三角

形的面积公式即可得到结论.

【解答】解：•••四边形EFG8是正方形，EB=2,

:.FG=BE=2,ZFGB=90°,

•.•四边形ABC。是正方形，H为的中点,

AAD=4,AH=29

ZBAD=90°,

:・/HAN=/FGN,AH=FG,

,?4ANH=4GNF,

:.△ANH会/XGNF(AAS),故①正确；

NAHN=ZHFG,

；AG=FG=2=AH,

:.AF=&FG=4^H,

：.ZAFH^ZAHF,

：.4AFN丰4HFG,故②错误；

:△AN晔4GNF,

；.AN=1AG=\,

2

：GM=8C=4,

•MI=GM=2

"ANAG'

,：ZHAN=ZAGM=90°,

XAHNsXGMA,

：./AHN=ZAMG,

,:AD〃GM,

：.ZHAK=ZAMG,

：.ZAHK=ZHAK,

：.AK=HK,

:.AK=HK=NK,

'：FN=HN,

：.FN=2NK；故③正确；

方法二：可得N也是中点，结合已知H是中点，连接GO交AM于点P,则根据勾股定

理GD=2娓,

•.•点P为对称中心，

AGP=V5>

又；NK也是aAGP的中位线，

：.NK=J^-,

2

在RtZiFGN中，FN=遥，

:.FN=2NK,故③正确.

延长FG交DC于M,

二四边形4OMG是矩形，

：.DM=AG=2,

'：S^FN^—AN-FG=1.x2X1=1,SAAOM=L/>Z)M=_1X4X2=4,

2222

S^AFN：S^ADM=1：4故④正确，

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性

质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键.

二.填空题（共5小题）

11.（2019•广州）一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转a（00<a<90°）,

使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则a的度数为1板或60°.

【专题】线段、角、相交线与平行线.

【分析】分情况讨论：®DE±BC；②AQLBC.

【解答】解：分情况讨论：

①当DE_LBC时，ZBAD=180°-60°-45°=75°,；.a=90°-ZBAD=150；

②当AOJ_BC时，a=90°-ZC=90°-30°=60°.

故答案为：15°或60°

【点评】本题主要考查了旋转的定义、旋转角的求法以及一副三角板的各个角的度数，

理清定义是解答本题的关键.

12.（2018•广州）如图，CE是QA8C。的边AB的垂直平分线，垂足为点O,CE与D4的

延长线交于点£连接AC,BE,DO,DO与AC交于点F,则下列结论：

①四边形AC8E是菱形；

②NACQ=NBAE；

③A凡BE=2：3；

④S四边形AFOE：SACOD=2:3.

其中正确的结论有①②④.（填写所有正确结论的序号）

【考点】相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；菱形

的判定与性质.

【专题】多边形与平行四边形.

【分析】根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质

一一判断即可；

【解答】解：•••四边形ABC。是平行四边形，

：.AB//CD,AB=CD,

；EC垂直平分AB,

AOA=OB=1AB=^DC,CDLCE,

22

'：OA//DC,

•EA_E0_0A_1

EDECCD2

：.AE=ADfOE=OC,

*：OA=OB,OE=OC,

・・・四边形AC8E是平行四边形，

・.,A8_LEC,

・・・四边形AC3E是菱形，故①正确,

•：NDCE=90°,DA=AE,

：.AC=^AD=AE,

：./AC£>=ZADC=ZBAE,故②正确，

\'OA//CD,

•^=0A=2

"CFCD~2

.•.处=空=工，故③错误，

ACBE3

设△40月的面积为“，则△0FC的面积为2“，△C。尸的面积为4a,△AOC的面积=△

AOE的面积=3”，

四边形AFOE的面积为4小△OOC的面积为6a

四边形AFOE：SdC0D=2:3.故④正确，

故答案为①②④.

【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、

等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，

属于中考常考题型.

13.（2017•深圳）如图，在RtAABC中，/A8C=90°,AB=3,BC=4,Rl/XMPN,Z

MPN=90°,点尸在AC上，PM交AB于点E,PN交BC于点F,当尸E=2PF时，AP

=3.

【考点】相似三角形的判定与性质.

【分析】如图作PQ_L4B于Q,PRLBC于R.由AQPEsARPF,推出品=祭=2,

可得PQ=2PR=2BQ,由PQ//BC,可得AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5,设

PQ=4xf则AQ=3x,AP=5x,BQ=2x,可得2x+3x=3,求出x即可解决问题.

【解答】解：如图作PQ_LAB于Q,PRLBC于R.

・•・四边形PQBR是矩形，

：.ZQPR=90°=NMPN,

:・/QPE=NRPF,

：./\QPE^/\RPFf

世=患=2,

PRPF

:.PQ=2PR=2BQ,

'JPQ//BC,

：.AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5,设PQ=4x,则AQ=3x,4P=5x,BQ=2x,

2x+3x=3,

・r=3

5

；.AP=5x=3.

故答案为3.

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解

题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

14.（2020•广州）如图，正方形ABC。中，AABC绕点A逆时针旋转到△ABC,AB,,AC

分别交对角线8。于点E,F,若AE=4,则EQE£＞的值为16.

【考点】旋转的性质；相似三角形的判定与性质；正方形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力.

【分析】根据正方形的性质得到N84C=NAD8=45°,根据旋转的性质得到N

BAC=45°,根据相似三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：：四边形ABC。是正方形，

.•./BAC=/4D8=45°,

•.,把△ABC绕点4逆时针旋转到△A8C',

：.ZEAF=ZBAC=45°,

'：ZAEF=ZDEA,

：./\AEF^>/^DEA,

•AE-EF

••f

DEAE

：.EF-ED=AE-,

VAE=4,

ED的值为16,

故答案为：16.

【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，找出相关

的相似三角形是解题的关键.

15.（2018•深圳）在RtZXABC中，ZC=90°,平分NCAB,8E平分/ABC,AD.BE

相交于点F,且4尸=4,EF=®则AC=_色醇

【考点】相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值；角平分线的定义；勾股定理.

【专题】计算题.

【分析】先求出NEFG=45°,进而利用勾股定理即可得出FG=EG=1,进而求出AE,

最后判断出/\AEF^/XAFC,即可得出结论.

【解答】解：如图，过点E作EGL4。于G,连接CF,

,：AD,BE是分别是NBAC和乙4BC的平分线，

ZCAD=ABAD,4CBE=NABE,

VZACB=90°,

：.2(/BAD+NABE)=90°,

：.ZBAD+ZABE=45°,

NEFG=ZBAD+ZAB£=45°,

在RtZ\E『G中，EF=®,

:.FG=EG=\,

"：AF=4,

.•.AG=AF-FG=3,根据勾股定理得，AE=iyAG2+EG2=A/10,

平分NCAB,BE平分NABC,

；.CF是/ACB的平分线，

AZACF=45Q-ZAFE,

,：ZCAF=ZFAE,

：./\AEF^/\AFC,

•••A'E'A'F一，

AFAC

2

>,4r=AF=16=8Vw

AEV105

故答案为一8H

【点评】此题主要考查了角平分线定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求出AE

是解本题的关键.

三.解答题（共5小题）

16.（2021•深圳）在正方形ABC。中，等腰直角△?!£•/,ZAFE=90°,连接CE,H为CE

中点，连接BH、BF、HF,发现型和为定值.

BH

②NHBF=45°；

③小明为了证明①②，连接AC交B力于O,连接O”，证明了©旦和毁的关系，请你按

AFB0

他的思路证明①②.

（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2,世型=&,NBDA

ADFA

=NEAF=6（0°<0<90"）.

求①FD=1；（用女的代数式表示）

HD—L

②里1=Yk24kqgs8+4.（用鼠。的代数式表示）

HD-k-

图1图2

【考点】相似形综合题.

【专题】图形的相似；推理能力.

【分析】（1）由AAEF和aABO都是等腰直角三角形可证从而得到对

应边成比例，对应角相等，进行转化即可；

（2）将等腰直角三角形换成两个相似三角形，任然有从而得出①，作

HMLDF于M,由①得TL上，设/£>=2f,HD=kt,通过勾股定理表示出HM、MF、

HDk

”尸的长即可得出②.

【解答】解：①②45°；

③由正方形的性质得:。为AC的中点,

B0

又为CE的中点，

.'.OH//AE,0//=/研，

•••△AEF是等腰直角三角形，

，AE=&AF,

.•"A而F矩r-右AB’

*：OH//AE,

：.ZCOH=ZCAE9

：.ZBOH=ZBAFf

:.△BOHs^BAF,

•历，NHBO=/FBA，

BH1

NHBF=NHBO+NDBF=ZDBA=45°；

(2)①如图2,连接4c交8。于点O,连接OH,

图1图2

由(1)中③问同理可证：△DOHsXDAF,

••-F-D-=-A--D,2

HDDOk

②由①知：△DOHS/\DAF,

：.ZHDO=ZFDA,

：./HDF=NBDA=d

在△〃£)尸中，一^5■上，

HDk

设。尸=2f,HD=kt,

作HM工DF于M,

：.HM=DHXsinQ=ktsinQ,DM=ktcosO,

：.MF=DF-DM=(2-fcosQ)t,

在中，由勾股定理得:

“JWk2-4kcos©+4）

・FHVk2-4kcos0+4

••—二，.

DHk

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，关键是模型的应用，由共顶点的两

个相似三角形产生的第二对相似，能够准确地从复杂图形中找到基本图形是解题的关键.

17.（2020•深圳）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放

（点E、A、。在同一条直线上），发现8E=QG且BE_L£>G.

小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：

（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1）,还能得到BE=3G吗？若能,

请给出证明；若不能，请说明理由；

（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD,将菱形AEFG绕点A按顺时

针方向旋转（如图2）,试问当/E4G与的大小满足怎样的关系时，背景中的结论

8E=OG仍成立？请说明理由；

（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形4BC。，且迪3=2,AE=4,

AGAD3

AB=8,将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3）,连接QE,BG.小组发现：

在旋转过程中，OE2+BG2的值是定值，请求出这个定值.

【考点】相似形综合题.

【专题】几何综合题；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；运算能力;

推理能力.

【分析】(1)由正方形的性质得出AE=AF,Z£AG=90°,AB=AD,NBA£>=90°,

得出/E4B=NGA£>,证明△AEB部△AG。(SAS),则可得出结论；

(2)由菱形的性质得出AE=4G,AB=AD,证明aAEB四△AG。(SAS),由全等三角

形的性质可得出结论；

(3)方法一：过点E作EMLD4,交。A的延长线于点M,过点G作GNLAB交AB于

点N,求出4G=6,A£>=12,证明△AMEs/\ANG,设EM=2a,AM=2b,则GN=3m

AN=3b,则BN=8-34可得出答案；

方法二：证明△EABsaGAD,得出NBE4=NAGO,贝I]A,E,G,Q四点共圆，得出

NGQP=NR1E=9O°,连接EG,BD,由勾股定理可求出答案.

【解答】(1)证明：•.•四边形AEFG为正方形，

：.AE=AG,NEAG=90°,

又；四边形ABC。为正方形，

：.AB=AD,ZBAD=90°,

：.ZEAB=ZGAD,

丝△AGO(SAS),

:.BE=DG；

(2)当NE4G=NBA。时，BE=DG,

理由如下：

"：ZEAG^ZBAD,

：.ZEAB=ZGAD,

又,:四边形AEFG和四边形ABCD为菱形，

：.AE=AG,AB=AD,

：./\AEB^/\AGD(SAS),

:.BE=DG；

(3)解：方法一：过点E作EM_LD4,交D4的延长线于点M,

图1

过点G作GN±AB交A8于点N,

由题意知，AE=4,AB—S,

..AE_AB_2

*AG"AD3"

：.AG=6,AD=\2,

■:NEMA=NANG,ZMAE=ZGAN,

：./\AME<^/\ANG,

设EM=2a,AM=2b,则GN=3a,AN=3b,贝UBN=8-3b,

：.ED2=(267)2+(12+26)2=4/+144+48匕+4/，

Gl^=(3a)2+(8-36)2=9/+64-4汕+9射，

：.ED2+GB2^13(«2+ft2)+208=13X4+208=260.

方法二：如图2,设BE与。G交于。，8E与AG交于点P,

上，AE=4,A8=8

AGAD3

：.AG=6,40=12.

四边形AEFG和四边形ABCD为矩形,

：.NEAG=NBAD,

：.ZEAB=ZGAD,

..EA.AB

,AG'AD"

：./\EAB^AGAD,

.ZBEA^ZAGD,

E,G,Q四点共圆，

：.ZGQP=ZPAE=90°,

：.GDLEB,

连接EG,BD,

22

：.ED+GB=EQ2+Q£>2+GQ2+QB2=EG2+BD2,

，EG^BD2=42+62+82+122=260.

【点评】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，全等

三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行

四边形的性质是解题的关键.

18.(2017•广东)如图，AB是00的直径，AB=4«,点E为线段上一点(不与O,

B重合)，作CELO8,交。。于点C,垂足为点E,作直径CQ,过点C的切线交。3的

延长线于点尸，AELPC于点尸，连接C8.

(1)求证：CB是NECP的平分线；

(2)求证：CF=CE；

(3)当里=3时，求劣弧标的长度(结果保留n)

【考点】相似三角形的判定与性质；垂径定理；切线的性质；弧长的计算.

【分析】(1)根据等角的余角相等证明即可；

(2)欲证明CF=CE,只要证明aAC广名ZX4CE即可；

(3)作8Ml_尸尸于M.则CE=CM=C尸，设CE=CM=C尸=3a,PC=4a,PM=a,利

用相似三角形的性质求出BM,求出tan/8cM的值即可解决问题：

【解答】(1)证明：：OC=O8,

：.NOCB=NOBC,

,.♦「广是。。的切线，CELAB,

：.NOCP=NCEB=90°,

AZPCB+ZOCB=90°,NBCE+NOBC=90°,

：.ZBCE=ZBCP,

.♦.BC平分/PCE.

(2)证明:连接AC.

'.,AB是直径，

AZACB=90°,

：.ZBCP+ZACF=90a,ZACE+ZBC£=90°,

,/NBCP=ABCE,

ZACF=ZACE,

•.•/F=/AEC=90°,AC=AC,

二AACF^AACE,

：.CF=CE.

解法二：证明：连接AC.

'：OA=OC

：./BAC=NACO,

...CO平行AF,

：.ZFAC=ZACD,

：.ZFAC=ZCAO,\'CF±AF,CE±AB,

：.CF=CE.

(3)解：作产于M.贝UCE=CM=CF,设CE=CyW=C~=3“，PC=4a,PM=a,

•.,/MCB+NP=90°,NP+NPBM=90°,

/MCB=ZPBM,

；8是直径，BMVPC,

：.ZCMB=ZBMP=90a,

:ABMCS/\PMB,

.BM=CM

"PMBM,

；.tanNBCM=M=返,

CM3

：.ZBCM=30°,

AZOCB=ZOBC=ZBOC=60°,

【点评】本题考查切线的性质、角平分线的判定、全等三角形的判定和性质、相似三角

形的判定和性质、锐角三角函数、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解

决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.

19.（2017•广东）如图，在平面直角坐标系中，。为原点，四边形A8C0是矩形，点A,C

的坐标分别是A（0,2）和C（2j§,0）,点。是对角线4c上一动点（不与A,C重合），

连接80,作£>E_L£>8,交x轴于点E,以线段。E,为邻边作矩形8OE凡

（1）填空：点B的坐标为（2\云，2）；

（2）是否存在这样的点。，使得是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若

不存在，请说明理由；

（3）①求证：些=返；

DB3

②设AO=x,矩形8OE尸的面积为y,求），关于x的函数关系式（可利用①的结论），并

求出），的最小值.

【专题】综合题.

【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题;

（2）存在.先推出NACO=30°,ZACD=60°由△£>£（：是等腰三角形，观察图象可知，

只有ED=EC,ZDCE=ZEDC=30°,推出NOBC=NBC£）=60°,可得△£>BC是等

边三角形，推出。C=BC=2,由此即可解决问题；

（3）①先表示出。N,BM,再判断出△BMQs△£>%£：,即可得出结论；

②作于H.想办法用x表示B。、OE的长，构建二次函数即可解决问题；

【解答】解：（1）•••四边形AOCB是矩形，

：.BC=0A=2,0C=AB=2«,NBCO=NBAO=90°,

：.B（2«,2）.

故答案为（2«,2）.

（2）存在.理由如下：

'：OA=2,06=273-

,：tanZAC0=^-=J^-,

OC3

...N4CO=30°,ZACB=60°

①如图1中，当E在线段C。上时，△£>£（?是等腰三角形，观察图象可知，只有E£）=

EC,

：.ZDCE^ZEDC=30°,

；.NBDC=NBCD=60°,

.•.△OBC是等边三角形，

：.DC=BC=2,

在RtAAOC中，：/ACO=30°,0A=2,

：.AC=2AO=4,

：.AD=AC-CD=4-2=2.

...当A£>=2时，△£>r7是等腰三角形.

②如图2中，当E在0C的延长线上时，△OCE是等腰三角形，只有CD=CE,ZDBC

=NDEC=NCDE=T5°,

:./ABD=NADB=15",

：.AB=AD=2^>

综上所述，满足条件的A。的值为2或2加.

(3)①如图1,

过点D作MNLAB交AB于M,交0C于N,

VA(0,2)和C(2夷，0),

直线AC的解析式为y=-1r+2,

_3

设。(“，-YLZ+2),

3

：.DN=-退什2,BM=243-a

3

；NBDE=90°,

AZBDM+ZNDE=90°,ZBDM+ZDBM=90°,

:.NDBM=NEDN,,:/BMD=NDNE=90°,

：.2BMDs丛DNE,

a+2

•DE^DN^~^-=V3

"BD"BM2V3-aV

在RtZ\4O”中，•；AD=x,/a4H=/ACO=30°,

.\DH=XAD^XX,AH={AD2-DH

:.BH=2M-'&C,

2

=退(%2-6x+12),

二矩形BDEF的面积为y=

3

即尸返^2-2«r+4«,

3

，产返(X-3)2+A/3>

_3

•.,返〉0,

3

；.x=3时，y有最小值

【点评】本题考查相似形综合题、四点共圆、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、

勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，学会构建二次函数

解决问题，属于中考压轴题.

20.(2018•广东)已知RtZXOAB,NOA8=90°,ZABO=30°,斜边08=4,将

绕点。