重庆市西南大学附属中学2023-2024学年九年级上学期数学开学考试试题【含答案】

重庆市西南大学附属中学2023－2024学年九年级上学期数学开学考试同步练习（满分150分，考试120分钟）一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1.下列各图是选自历届世界大运会的会徽图案，其中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁部分重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，故本选项符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不合题意；故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴两侧部分能重合．2.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA：OD=1：3，且△ABC的周长为4，则△DEF的周长为（）A.8 B.12 C.16 D.36【答案】B【解析】【分析】根据OA：OD=1：3可得相似比为1：3，即可求解．【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，OA：OD=1：3，∴△ABC与△DEF位似比为1：3，∴△ABC与△DEF相似比为1：3，∴△ABC与△DEF周长比为1：3，∴△DEF的周长为12，故选：B．【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似的两个三角形是相似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．3.对于二次函数，其图象的顶点坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二次函数顶点式，直接可得顶点坐标．【详解】解：二次函数，其图象的顶点坐标为．故选：D．【点睛】本题考查了通过二次函数顶点式写出顶点坐标，熟练掌握二次函数顶点式是解题的关键．4.估计的运算结果在哪两个整数之间（）A.3和4 B.4和5 C.5和6 D.6和7【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的运算可进行求解．【详解】解：，∵，∴，∴的运算结果在4和5之间；故选B．【点睛】本题主要考查二次根式的运算及无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．5.如图，是由一些小棒搭成的图案，按照这种方式摆下去，摆第9个图案所用小棒的数量为（）A.33 B.36 C.37 D.41【答案】C【解析】【分析】根据题目中的图形，可以发现火柴根数的变化规律，从而可以得到摆第9个图案用多少根火柴棒．【详解】解：由图可得，图①中火柴的根数为：，图②中火柴的根数为：，图③中火柴的根数为：，，则摆第9个图案中火柴的根数为：，故选C．【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中火柴根数的变化规律，利用数形结合的思想解答．6.我市某家快递公司，今年8月份与10月份完成投递的快递总件数分别为2万件和2.88万件．若设该快递公司由8月份到10月份投递总件数的月平均增长率为x，则以下所列方程正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意列出等量关系：10月份投递总件数=8月份投递总件数月平均增长率月平均增长率，即可解出此题．【详解】解：根据10月份投递总件数=8月份投递总件数月平均增长率月平均增长率，可得方程：故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解题的关键．7.如图，在中，，，，垂足为，的平分线交于点，若，则的长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据已知条件得出，根据含度角的直角三角形的性质得出，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理即可求解．【详解】解：∵，，∴，∵是的平分线，∴，∴，，∴∴∴,∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求得是解题的关键．8.二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④不等式的解集是；⑤若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为，上述结论中正确结论的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D【解析】【分析】由已知条件得出：，，利用上述条件进行适当变形，再结合二次函数图象的性质对每个结论进行逐一分析，得出正确选项．【详解】解：∵图象开口向下，∴，∵对称轴为直线，∴，∴，∵图象与y轴的交点在x轴的上方，∴，∴，故①正确；由图象可知，当时，，∴，故②正确；∵对称轴为直线，∴，即，故③正确；∵抛物线经过点，其对称轴为直线，∴抛物线与x轴另一交点为，∴不等式的解集是，故④正确；∵抛物线经过点，∴是的一个根，∵对称轴是直线，∴另一个根为，故⑤错误∴正确的有①②③④，共4个，故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与各系数之间的关系．9.如图，在矩形ABCD中，，，连接BD，将绕点D顺时针旋转，得到，连接，，延长交于点N，连接，当时，则的面积为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先证明∽，求得，过点D作DG⊥B′A并交B′A的延长线于点G，先后求得GD、AG、B′G和B′A的长，再利用三角形面积公式即可求解．【详解】解：∵矩形ABCD中，∠ABD=60°，BC=4，∴∠CBD=∠ADB=30°，∴BD=2CD，由勾股定理得：CD=4，BD=8，根据旋转的性质知B′D=BD，C′D=CD，，∴，∴∽，∴，∴，过点D作DG⊥B′A并交B′A延长线于点G，又∵，，，∴∠GAD=30°，∴GD=AD=2，AG=6，B′G=2，∴B′A=2-6，∵∠B′AB=∠ABD=60°，∴B′A∥BD，∴．故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．10.已知，（为正整数），下列说法：①；②；③；④若，则的最小值为3．其中正确选项的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】根据新定义得出，，进而判断①②；根据新定义得出，进而根据分式的性质化简判断③，根据已知条件化简，得出，根据二次函数的性质即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，故①正确；∵，∴∴，故②不正确；∵，∴，故③不正确；若即∴的最大值为，没有最小值，故④不正确，故选：B．【点睛】本题考查了新定义运算，分式的混合运算，二次函数的性质求最值，熟练掌握分式的化简求值，理解新定义是解题的关键．二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11.计算：_______．【答案】【解析】【分析】先计算零指数幂、负整数指数幂，再作加减法，即可求解．【详解】解：，故答案为：．【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确零指数幂和负指数幂的运算法则．12.有四张正面写有数字，，，卡片，卡片除数字外其余完全相同，将其背面向上并洗匀，随机抽取张后，不放回，再随机抽取张，那么两张卡片的数字之和为偶数的概率是______．【答案】【解析】【分析】根据列表法求概率即可求解．【详解】解：列表如图，共有12种等可能结果，其中符合题意的有4种，∴两张卡片的数字之和为偶数的概率是．故答案为：．【点睛】本题考查的是根据概率公式求概率，用列表法求概率．解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13.小颖在地面E处放一面镜子，当他垂直于地面AC站立于点C处时，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，FE⊥AC，根据光的反射定律有∠FEB=∠FED，此时EA=20米，CE=2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC=1.6米，则教学楼的高度为_____________米．【答案】12.8【解析】【分析】根据反射角等于入射角可得∠AEB=∠CED，则可判断Rt△AEB∽Rt△CED，根据相似三角形的性质，即可求出AB．【详解】解：根据题意得∠AEB=∠CED，∠BAE=∠DCE=90°，∴△AEB∽△CED，∴，即，解得：AB=12.8（米）．答：教学楼AB的高度为12.8米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，利用入射与反射构造相似三角形是解决问题的关键．14.已知实数m，n满足等式m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，那么求的值是_____．【答案】2或﹣6【解析】【分析】分两种情况讨论：①当m≠n时，根据根与系数的关系即可求出答案；②当m=n时，直接得出答案．【详解】由题意可知：m、n是方程x2+2x﹣1=0的两根，分两种情况讨论：①当m≠n时，由根与系数的关系得：m+n=﹣2，mn=﹣1，∴原式6，②当m=n时，原式=1+1=2．综上所述：的值是2或﹣6．故答案为：2或﹣6．【点睛】本题考查了构造一元二次方程求代数式的值，解答本题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于中等题型．15.如图，在中，，点D是边的中点，连接，将沿直线翻折得到，连接．若，则线段的长为_______．【答案】####【解析】【分析】连接，延长交与点H，作，垂足为F．首先证明垂直平分线段，是直角三角形，利用三角形的面积求出，得到的长，在中，利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：如图，连接，延长交与点H，作，垂足为F．∵在中，，点D是边的中点，，∴．∵，∴．∵，∴，解得．∵将沿直线翻折得到，∴，∴．∵，∴为直角三角形，，∴，∴，∵，∴．∴．∵，∴．故答案为．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法求高．16.若关于x的一元一次不等式组无解，且使关于y的分式方程有整数解，则所有符合题意的整数a的值之和是______．【答案】【解析】【分析】不等式组变形后，根据无解确定出的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有非负整数解，确定出满足条件的值，进而求出之和．【详解】解∶解不等式得：，解不等式得，∵一元一次不等式组无解，∴，解得，解分式方程，得，∵关于的分式方程有整数解，∴或∴或或或，时，，原分式方程无解，故将舍去，∴符合条件的所有整数的和是，故答案为【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键．17.如图，平行四边形ABCD的BC边过原点O，顶点D在x轴上，反比例函数的图象过AD边上的A，E两点，已知平行四边形ABCD的面积为8，，则k的值为______．【答案】2【解析】【分析】根据反比例函数图象上点的特征，利用平行线分线段成比例，及三角形的面积列出方程求解．【详解】解：过点A作AF⊥x轴于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，则AFEH，则：，△DEH∽△DAF，∴，设A（x，y），则E（3x，y），则AF＝y，OF＝x，OH＝3x，EH＝y，∴FH＝2x，DH＝x，OD＝4x，∵平行四边形ABCD的面积为8m，则△AOD的面积是4，则△ODE的面积是，∴×y×4x＝，∴xy＝2，∴k＝xy＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查看反比例函数的k的意义，结合平行线分线段成比例列方程是解题的关键．18.对任意一个四位数m，如果m各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位上的数字的和等于十位与百位上的数字和，那么称这个数为“同和数”，将一个“同和数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数，记．若s，t都是“同和数”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整数，规定：，用含“x，f”的代数式表示______，当能被20整除时，k的所有取值之积为______．【答案】①②.【解析】【分析】由题意可知，，求得，，，由，，可知，根据能被20整除，可得，可得，，当，6，7，8时：，，，，即可求出k的所有取值之积．【详解】解：∵若s，t都是“同和数”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整数，∴，，∴，，∴，∵，，∴，∵能被20整除，∴，则，即：∴，，∵各个数位上的数字都不为零且互不相同，∴，∴当，6，7，8时：，，，，∴k的所有取值之积为：，故答案为：，．【点睛】本题考查了因式分解的应用，阅读理解题目是本题的关键．三．解答题（共8小题，满分78分）19.解方程：（1）（x+3）2＝9；（2）2x2﹣4x+1＝0【答案】（1）x＝0或x＝﹣6；（2）x＝1±.【解析】【分析】（1）用直接开平方法求解即可；（2）用配方法求解即可.【详解】解：（1）∵（x+3）2＝9，∴x+3＝±3，∴x＝0或x＝﹣6；（2）∵2x2﹣4x+1＝0，∴x2﹣2x＝，∴x2﹣2x+1＝，∴（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝±，∴x＝1±；【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.20.如图，是平行四边形的对角线，平分，交于点E．（1）请用尺规作的角平分线，交于点F（只保留作图痕迹，不写作法）；（2）根据图形证明四边形为平行四边形．请完成下面的填空．证明：∵四边形是平行四边形．∴∴．（两直线平行，内错角相等）．又∵平分，平分，∴，．∴．∴．又∵四边形是平行四边形．∴．∴四边形为平行四边形（）（填推理的依据）．【答案】（1）见解析（2）；，，．，两组对边平行的四边形为平行四边形．【解析】【分析】（1）利用基本作图，作的平分线即可；

（2）先根据平行四边形的性质得到，，则根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，，所以．于是可判断．然后利用可判断四边形为平行四边形．【小问1详解】如图，为所作；

【小问2详解】证明：∵四边形是平行四边形．∴∴．（两直线平行，内错角相等）．又∵平分，平分，∴，．∴．∴．又∵四边形是平行四边形．∴．∴四边形为平行四边形（两组对边平行的四边形为平行四边形）．故答案为：；，，．，两组对边平行四边形为平行四边形.【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形的判定与性质．21.4月，某校初2021级800名学生进行了一次政治测试（满分：50分）．测试完成后，在甲乙两班各抽取了20名学生的测试成绩，对数据进行整理分析，并给出了下列信息：甲班20名同学的测试成绩统计如下：41，47，43，45，50，49，48，50，50，49，48，47，44，50，43，50，50，50，49，47．乙班20名同学的测试成绩统计如下：组别频数1169其中，乙班20名同学的测试成绩高于46，但不超过48分的成绩如下：47，48，48，47，48，48．甲乙两班抽取的学生的测试成绩的平均数、中位数、众数如表所示：班级平均数中位数众数甲班47.548.5乙班47.549（1）根据以上信息可以求出：_____，_____，_____；（2）你认为甲乙两个班哪个班的学生政治测试成绩较好，请说明理由（理由写出一条即可）；（3）若规定49分及以上为优秀，请估计该校初2021级参加此次测试的学生中优秀的学生有多少人？【答案】（1）3，48，50（2）甲班的成绩较好，理由：甲乙两班的平均数相等、甲班的中位数、众数都比乙班的大（3）估计该校初2021级参加此次测试的学生中优秀的学生有380人【解析】【分析】（1）根据题中数据和中位数、众数的定义求解即可；（2）根据甲乙两班的平均数、中位数和众数分析决策即可；（3）用总人数乘以样本中优秀人数所占的比例求解即可．【小问1详解】解：；乙班成绩第10、11个数为成绩高于46，但不超过48分的成绩的较大的两个，为48，48．∴；将甲班20名同学的测试成绩按从小到大的顺序排列：41，43，43，44，45，47，47，47，48，48，49，49，49，50，50，50，50，50，50，50，甲班的测试成绩出现次数最多的是50，因此众数是50，∴c＝50，故答案为：3，48，50；【小问2详解】解：甲班成绩较好，理由：甲乙两班的平均数相等、甲班的中位数、众数都比乙班的大；【小问3详解】解：（人），答：估计该校初2021级参加此次测试的学生中优秀的学生有380人．【点睛】本题考查频数分布表、中位数、众数、用样本估计总体，理解中位数和众数的定义，并会利用这些统计量作决策是解答的关键．22.如图所示，在长方形中，，的平分线交边于点E，于点H，连接并延长交边于点F，连接交于点O．（1）求证：；（2）试探究与的数量关系，并说明理由；（3）若，求的面积．【答案】（1）证明见解析（2），证明见解析（3）【解析】【分析】（1）由平分知．依据得，据此知．再证即可得．（2）由，知，据此得从而得出答案；（3）先证，从而求得，证知两三角形面积相等，再进一步求的面积即可．【小问1详解】解：在矩形中，，，．∵平分，∴．∵，∴．而，∴，∴．又∵，在和中，∵，，∴．∴．【小问2详解】；理由是：∵，，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴；【小问3详解】∵，，∴，又∵，∴．∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，在和中，∵，，，∴．如图，过点H作于点G，∴为等腰直角三角形，而，，∴，∴．【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，二次根式的混合运算等知识点，掌握以上知识点是解本题的关键．23.某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程,甲工程队30天完成的工程与甲、乙两工程队10天完成的工程相等．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？（2）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？【答案】（1）甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天和30天；（2）甲工程队至少单独施工36天.【解析】【分析】（1）设乙工程队单独完成此项工程各需要的天数为x，则甲单独完成需要（x+30）天，根据题意即可列出分式方程进行求解；（2）设甲单独施工y天，根据题意列出不等式进行求解.【详解】（1）设乙工程队单独完成此项工程各需要的天数为x，则甲单独完成需要（x+30）天，根据题意得，解得x=30，经检验，x=30是原方程的解，故甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天和30天；（2）设甲单独施工y天，根据题意得解得y≥36，故甲工程队至少单独施工36天.【点睛】此题主要考查分式方程与不等式的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系或不等关系进行求解.24.如图，在中，，，，，点E在BD上且，动点P从点B出发，沿B→A→C运动，到达点C时停止．设点P运动路程为x，的面积为．（1）求关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）在坐标系中画出的函数图象；（3）观察函数图象，请写出一条该函数的性质____________________；（4）在坐标系中画出的函数图象，并结合图象直接写出时x的取值范围．【答案】（1）；（2）如图所示：；（3）当时，随的增大而增大；（4）如图所示：．【解析】【分析】（1）分两种情况进行讨论，当点P在AB边上时，作，此时；当点P在AC边上时，作，此时；分别用含x的代数式表示线段长度，计算得出答案；（2）根据第1问求出的函数解析式，在平面直角坐标系中描点绘制函数图象；（3）直接观察函数图象可得；（4）在平面直角坐标系中描点绘制函数图象，观察函数图象可知有两个交点，计算求出交点横坐标，当时，图象在图象上方，得到x的取值范围．【小问1详解】动点P从点B出发，沿B→A→C运动，当点P在AB边上时，如图所示：作，垂足为点M，，，，，；当点P在AC边上时，如图所示：作，垂足为点N，，，，，,，，，，，，；综上，，故答案是．【小问2详解】由（1）得，，在平面直角坐标系中描出相应的点，画出的函数图象，故答案如图所示：【小问3详解】由图可得，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；故答案是：当时，随的增大而增大．【小问4详解】在平面直角坐标系中描点画出的函数图象，如图所示：当时，令，解得，当时，令，解得或（不符合题意舍），时，，故答案是．【点睛】本题考查了一次函数图象、反比例函数图象，数形结合思想是解题的关键．25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求线段的长度；（2）点P为直线下方抛物线上的一动点，且点P在抛物线对称轴左侧，过点P作轴，交于点D，作轴，交抛物线于点E．求的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿着射线方向平移个单位长度，得到一条新抛物线，M为射线上的动点，过点M作轴交新抛物线的对称轴于点F，点N为直角坐标系内一点，请直接写出所有使得以点P，F，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．【答案】（1）（2）最大值6，P的坐标为（3）N的坐标为或或或【解析】【分析】（1）在中，得，即可得线段的长度为；（2）由，得抛物线的对称轴是直线，设，可得，故，根据二次函数性质可得答案；（3）将抛物线沿着射线方向平移个单位长度相当于先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，故新抛物线解析式为，新抛物线的对称轴为直线；设，，分三种情况：①若为对角线，则的中点重合，且，②若为对角线，则的中点重合，且，③若为对角线，则的中点重合，且，分别列方程组即可解得答案．【小问1详解】在中，令，得；∴；令得：，解得，或，∴，∴，∴线段的长度为；【小问2详解】∵，∴抛物线的对称轴是直线，设，设直线的解析式为，把代入，得：，解得，∴直线的解析式为，∵轴，∴，∴,∵关于直线对称，∴,∴，∵，∴当时，取最大值6，此时P的坐标为；【小问3详解】∵，∴将抛物线沿着射线方向平移个单位长度相当于先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，∴新抛物线解析式为，∴新抛物线的对称轴为直线；设，则，而，①若为对角线，则的中点重合，且，∴，解得：或（此时M不在射线上，舍去）；∴；②若为对角线，则的中点重合，且，∴，解得：（此时N，P重合，舍去）或，∴；③若为对角线，则的中点重合，且，∴，解得：或，∴或；综上所述，N的坐标为或或或．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及二次函数图象上点坐标的特征，菱形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．26.在△ABC中，90°＜∠BAC＜120°，将线段AB绕点A逆时针旋转120°得到线段AD，连接CD．（1）如图1，若AB＝8，∠ABC＝45°，BA⊥CD，延长BA，CD交于点K，求四边形ABCD的面积；（2）如图2，点E是CA延长线上一点，点G是AE的中点，连接BE，BG，点F在线段AC上，点H在线段BG上，连接HF，若BG＝GF，HF＝BE，GA＝GH，2∠ACB＝∠EBG+∠ABC，求证：BC+CD＝AC；（3）如图3，在（1）的条件下，点P是线段BC上的一个动点，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转45°得到线段DP'，连接AP'，BP'，点M是△ABP'内任意一点，点P在运动过程中，AM+BM+P'M是否存在最小值；若存在，请直接写出：AM+BM+P'M的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）S四边形ABCD＝72﹣8（2）证明见解析（3）AM+BM+P'M的最小值为：8+6﹣2【解析】【分析】（1）解直角三角形ADK，求得AK和DK，进一步求得结果；（2）证明△BGE≌△FGH，从而得出GH⊥AE，进而得出AB＝BE，从而得出∠ABG＝∠EBG，进而得出∠ACB＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转120°至△ADC′，连接CC′，作AN⊥