福建省福州第十一中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题【含答案】

福州十一中八年级数学学科暑期检测卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列二次根式中是最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据最简二次根式的定义即可求解．【详解】A.=，故不是最简二次根式；B.是最简二次根式；C.=2，故不是最简二次根式；D.=，故不是最简二次根式；故选B．【点睛】此题主要考查最简二次根式的判断，解题的关键是熟知最简二次根式的定义．2.如图，在中，点D，E分别为的中点，若，则的长度为（）A1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：∵D、E分别为边的中点，

∴，

故选D．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．3.用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】故选：D．4.在方差计算公式：s2=［(x1-15)2+(x2-15)2+…+(x10-15)2］中，10，15分别表示()A.数据的个数和方差 B.平均数和数据的个数C.数据的个数和平均数 D.数据的方差和平均数【答案】C【解析】【分析】根据方差定义，判断出数字10和15表示的意义各是什么即可．【详解】在方差的计算公式s2=［(x1-15)2+(x2-15)2+…+(x10-15)2］中，

数字10表示数据的个数，数字15表示数据的平均数．

故选C．【点睛】此题考查方差的定义，解题关键在于掌握它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．5.下面哪个点不在函数y=-2x+3的图象上（）A.（-5，13） B.（0.5，2） C.（0，3） D.（1，-1）【答案】D【解析】【分析】把每个选项中点的横坐标代入函数解析式，判断纵坐标是否相符．【详解】解：A、当x=-5时，y=-2x+3=13，点在函数图象上，不符合题意；

B、当x=0.5时，y=-2x+3=2，点在函数图象上，不符合题意；

C、当x=0时，y=-2x+3=3，点在函数图象上，不符合题意；

D、当x=1时，y=-2x+3=1，点不在函数图象上，符合题意；

故选：D．【点睛】本题考查了点的坐标与函数解析式的关系，当点的横纵坐标满足函数解析式时，点在函数图象上．6.某校在“学习二十大精神”演讲比赛活动中，7位评委给某位选手的评分各不相同，去掉1个最高分和1个最低分，剩下的5个评分与原始的7个评分相比一定不发生变化的是（）A.平均数 B.中位数 C.方差 D.众数【答案】B【解析】【分析】根据平均数、中位数、方差、众数的意义即可求解．【详解】解：根据题意，从7个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到5个有效评分，5个有效评分与7个原始评分相比，中位数一定不发生变化．故选：B．【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．7.如图，的中线、交于点O，连接，点G、F分别为、的中点，，，则四边形的周长为()A.6 B.7 C.8 D.12【答案】B【解析】【分析】利用三角形中位线的性质定理可得：，，从而得解．【详解】解：∵，是的中线，∴，∵是的中点，是的中点，∴，∴，同理，∴四边形的周长为．故选B．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．三角形中位线的性质定理，为证明线段相等和平行提供了依据．8.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为C（1，k），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（不包含端点），则k的取值范围是（）A.2＜k＜3 B.＜k＜4 C.＜k＜4 D.3＜k＜4【答案】C【解析】【分析】首先把顶点坐标代入函数解析式得到k=a+b+c=，利用c的取值范围即可求出k的取值.【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为x=1，∴另一交点为（3，0）∴-1×3=-3∴则a=-∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（不包含端点），∴2＜c＜3，∴-1＜-＜，∴b=-2a=∴k=a+b+c=∵2＜c＜3，∴＜＜4，即＜k＜4故选C.【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是找到抛物线与坐标轴的交点.9.小带和小路两个人开车从城出发匀速行驶至城．整个行驶过程中，小带和小路两人的车离开城的距离（千米）与行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，有下列结论：①、两城相距千米；②小路的车比小带的车晚出发小时，却早到小时；③小路的车出发后小时追上小带的车；④当时，小带和小路的车相距千米．其中正确的结论有（）A.①②③④ B.①②④ C.②③④ D.①②【答案】B【解析】【分析】观察图象可判断，由图象所给数据可求得小带、小路两车离开城的距离与时间的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断，再令两函数解析式的差为，可求得，可判断，可得出答案．【详解】解：由图象可知、两城市之间的距离为千米，小带行驶的时间为小时，而小路是在甲出发小时后出发的，且用时小时，即早到小时，都正确；设小带车离开城的距离与的关系式为，把代入可求得，，设小路车离开城的距离与的关系式为，把和代入可得，解得：，，令，可得：，解得：，即小带、小路两直线的交点横坐标为，此时小路出发时间为小时，即小路车出发小时后追上小带车，不正确；令，可得，即，当时，可解得，当时，可解得，又当时，，此时小路还没出发，当时，小路到达城，；综上可知当的值为或或或时，两车相距千米，正确；故选：B．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意是甲车所用的时间．10.已知、是一元二次方程的两个不相等的实数根，、是一元二次方程的两个不相等的实数根，其中．若，则的值为（）A.8 B.9 C.12 D.18【答案】D【解析】【分析】根据抛物线表达式以及分析出抛物线图像的大致情况，得到，再根据抛物线对称轴得到，从而推出，即点C坐标，代入抛物线表达式中，即可求出n．【详解】解：由题意画图可得：抛物线与x轴交于A，C，抛物线与x轴交于B，D，∵，∴，∵两个抛物线与y轴都交于，∴，∵抛物线的对称轴为直线，物线的对称轴为直线，∴，∴，即，代入中，得：，故选D．【点睛】本题考查了二次函数的综合性质，解题的关键是要读懂题意，通过对图像的分析将转化为．二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.已知m是方程的一个根，则______．【答案】【解析】【分析】直接把代入方程中即可得到答案．【详解】解：∵m是方程的一个根，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．12.如图，已知在△ABC中，AB＝5cm，BC＝12cm，AC＝13cm，那么AC边上的中线BD的长为______．【答案】【解析】【分析】先根据勾股定理的逆定理判断形状，即可得到结果．【详解】解：∵，∴△ABC是直角三角形，∴AC边上的中线BD的长为cm，故答案为：．【点睛】解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：两边的平方和等于第三边的平方，那么这样的三角形是直角三角形．同时熟记直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．13.若函数是正比例函数，则的值为_____．【答案】【解析】【分析】一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数，由此即可求解．【详解】解：是正比例函数，且，，故答案为：．【点睛】本题考查正比例函数，关键是掌握正比例函数的定义．14.若直线和直线的交点坐标为，则_____．【答案】【解析】【分析】根据两直线相交的问题，把分别代入两函数解析式得到，，然后把两个等式相加即可得到的值．【详解】解：直线和直线的交点坐标为，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了两条直线相交或平行，掌握两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解是解题的关键．15.在学校的卫生检查中，规定各班的教室卫生成绩占30%，环境卫生成绩占40%，个人卫生成绩占30%．八年级一班这三项成绩分别为85分，90分和95分，求该班卫生检查的总成绩_____．【答案】90分．【解析】【详解】试题分析：根据加权平均数的计算公式求解即可．解：该班卫生检查的总成绩=85×30%+90×40%+95×30%=90（分）．故答案为90分．考点：加权平均数．16.已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线，开口向上，根据已知条件得出点在对称轴的右侧，且，进而得出不等式，解不等式即可求解．【详解】解：∵，∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，∵分别位于抛物线对称轴的两侧，假设点在对称轴的右侧，则，解得，∴∴点在点的右侧，与假设矛盾，则点在对称轴的右侧，∴解得：又∵，∴∴解得：∴，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.解方程：．【答案】．【解析】【详解】试题分析：利用公式法解方程即可.试题解析：．．=12．．．．∴方程的解为．四、解答题（本大题共8小题，共80.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.已知：关于x的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程两个根均为整数，且k为正整数，求k的值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）求出，由即可得到结论；（2）利用公式法求出，根据方程两个根均为整数，且k为正整数，即可得到答案．【小问1详解】解：关于x的一元二次方程，，∵，∴，∴一元二次方程总有两个实数根；【小问2详解】，∵，∴，，∵方程两个根均为整数，且k为正整数，∴．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和解法，求出是解题的关键．19.已知一次函数的图象过点与．（1）求这个一次函数的解析式；（2）直接写出这个一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）设出一次函数的解析式是，然后把经过的点的坐标代入，求解得到、的值即可得解；（2）根据一次函数的解析式即可求出图象与两坐标轴的交点坐标．【小问1详解】设一次函数，一次函数的图象过点与，，解得，所求的解析式为．【小问2详解】令，则，令，则，解得，这个一次函数的图象与两坐标轴的交点为，．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特点，待定系数法是求函数解析式常用的方法之一，需要熟练掌握．20.列方程或方程组解应用题：如图，将一块正方形空地划出部分区城进行绿化，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余一块面积为的矩形空地用（空白处），求原正方形空地的边长．【答案】【解析】【分析】设正方形边长为x，根据剩余一块面积为的矩形列式求解即可得到答案；【详解】解：设正方形边长为x，由题意可得，，解得：，（不符合题意舍去），答：原正方形空地的边长；【点睛】本题考查一元二次方程实际应用，解题的关键是根据题意得到等量关系式．21.如图，在ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F．（1）求证：四边形ADEC是矩形；（2）在ABCD中，取AB的中点M，连接CM，若CM=5，且AC=8，求四边形ADEC的面积．【答案】(1)见解析；（2）48.【解析】【详解】试题分析：(1)先根据两组对边平行的四边形是平行四边形证明四边形ACED是平行边形，再证明∠DAC＝90o即可；(2)在Rt△ABC中求得AB、BC的长度，再由平行四边形的性质可得DE＝AC、AD＝BC求得DE、AD的长度，再计算机四边形ADEC的面积.试题解析：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．又∵DE∥AC，∴四边形ADEC是平行四边形．又∵AC⊥BC，∴∠ACE＝90º．∴四边形ADEC是矩形．（2）∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90º．∵M是AB的中点，∴AB=2CM=10．∵AC=8，∴．又∵四边形ABCD平行四边形，∴BC=AD．又∵四边形ADEC是矩形，∴EC=AD．∴EC=BC=6．∴矩形ADEC的面积=．【点睛】本题主要考查矩形的判定和性质，掌握矩形的对角线相等及勾股定理的应用是解题的关键．22.2017年3月在北京市召开的第十二届全国人民代表大会第五次会议上，环境问题再次成为大家讨论的重点内容之一．2017年6月5日是世界环境日，为纪念第46个世界环境日，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩（成绩取正整数，满分为100分）进行统计分析，经分组整理后绘制成频数分布表和频数分布直方图．频数分布表频数分布直方图分组/分频数频率50～6040.0860～70a01670～80100.2080～90160.3290～100bc合计501（1）请你根据图表提供的信息，解答下列问题：a=______，b=_____，c=_______；（2）请补全频数分布直方图；（3）若成绩在90分以上（含90分）为优秀，则该校成绩优秀的约为___________人.【答案】【答题空1】(1)8120.24;(2)见解析；（3）216.【解析】【分析】（1）a＝500.16；c=1-(0.08+0.16+0.2+0.32),b=50c;(2)根据a的值，补全频数分布直方图即可;(3)根据样本的情况估算总体情况.【详解】（1）a=500.16=8;c=1-(0.08+0.16+0.2+0.32)=0.24;b=500.24=12；（2）如图所示：（3）．23.在矩形中，E是边上一点．（1）求作点F，使得D，F关于直线AE对称（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）平移线段，使点E与点F重合，点D的对应点为G，求证点G落在线段上．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）如图：以D为圆心，以合适长为半径画弧交于M、N；分别以M、N为圆心，以大于为半径画弧，交于G、H两点，过G、H作直线交于O；以O为圆心，为半径画弧交直线于F，点F即为所求；（2）先说明是的垂直平分线，再证明四边形是菱形可得，即点G在直线的垂直平分线上即可证明结论．【小问1详解】解：如图：【小问2详解】解：∵D，F关于直线AE对称，∴是的垂直平分线，∴，∵平移线段，使点E与点F重合，点D的对应点为G，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形，∴，∴点G在直线的垂直平分线上，∴点G在直线上．【点睛】本题主要考查了尺规作图、菱形的判定与性质、平移的性质、垂直平分线的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解答本题的关键．24.已知正方形，E，F为平面内两点．【建模探究】（1）如图1，当点E在边上时，，且B，C，F三点共线，求证：；【类比应用】（2）如图2，当点E在正方形外部时，，，且E，C，F三点共线，求证