新人教版高中数学必修第一册课时跟踪检测（九） 基本不等式

课时跟踪检测（九）基本不等式

A级——学考合格性考试达标练

1.下列不等式中，正确的是（）

4

A.。+-24B,a2+b2^4ab

a

D.x2+^2^2yf3

4

22

解析：选Da<0,则Q+,24不成立，故A错；a=l9b=l,a+b<4ab9故B错，

a=4,b=16,则故C错；由基本不等式可知D项正确.

2.若”>。>0,则下列不等式成立的是（）

A.a>b>—^>yfabB.a>—^->y]ab>b

abi—/—ci-1-b

C.a>>b>y[abD.a>y[ab>>b

解析：选Ba=生智>色誓>标>4丽=心因此B项正确.

3.已知x<0,则*+：—2有（）

A.最大值为0B.最小值为0

C.最大值为一4D.最小值为一4

解析：选CVx<0,

1「，、，1口

.•.x+嚏-2=一（_x）+（_「）—2^—2—2=—4,

当且仅当一即x=-1时取等号.

4.3好+喜的最小值是（）

A.3^2-3B.3

C.6^2D.6^2-3

解析：选D3（x2+l）+^q-j—3^2^J3（x2+l）3=2718-3=6^2-3,当

且仅当*2=g一1时等号成立，故选D.

2Q

5.若x>0,y>0,且;：+：=L则”有（）

A.最大值64B.最小值0

04

C.最小值5D.最小值64

解析：选D由题意孙孙■"或=8^再，.,.■\/E28,即孙有最

小值64,等号成立的条件是x=4,j=16.

6.要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每

平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______元.

解析：设底面矩形的一边长为x,由容器的容积为4m3,

4

高为1m,得另一边长为(m.

记容器的总造价为y元，则

j=4X20+2(x+^JxIX10=80+20^r+^80+20X2yjx•^=160,

4

当且仅当尤=7即x=2时，等号成立.

因此当x=2时，y取得最小值160,

即容器的最低总造价为160元.

答案：160

7.AJ(3—a)~(a+6)(—6WaW3)的最大值为.

解析：因为一6/。/3,所以3—〃20,a+620,则由基本不等式可知，

7(3-a)~(〃+6)~?(。+6),=[,当且仅当〃=一号时等号成立.

答案：2

8.已知x>0,j>0,2x+3y=6,则xy的最大值为

解析：因为x>0,j>0,2x+3y=6,

所以XJ=1(2X-3J)^1•

⑥3

-

22

3

即X=-・3

当且仅当2x=3j,2y=l时等号成立，孙取到最大值方.

答案：?

9.设a,b,c都是正数，试证明不等式：与上+审+审》6.

证明：因为a>0,Z»0,c>0,

“、.b,c,c.b、c

所以方声2,-+-^2,计/2,

所以（知）+（、2+（计展6,

「c八、,bacacb

当且仅当一=工，T=~,

ahachc9

即〃=〃=c时，等号成立.

所以26.

10.（1）已知x<3,求y=&+x的最大值;

（2）已知x,y是正实数，且x+y=4,求^1十三3的最小值.

**y

解：⑴,.”<3,

Ax—3<0,

44

•\j=T+X=~+(x-3)+3

」x-3x-3

=—(3-x)+3W-2A(3—x)+3=—1,

4

当且仅当m=3—x,

即x=l时取等号，

•*.j的最大值为一1.

⑵y是正实数,

・••（x+y）（泻）=4+©+字）>4+26.

当且仅当卜书，

1y

即x=2（V§-l）,y=2（3—巾）时取“=”号.

又x+y=4,

4+》+学，

故的最小值为1+率.

B级——面向全国卷高考高分练

1.设。，。为正数，且Q+方W4,则下列各式中正确的一个是（）

A.-4-T<1B.

abab

C.-+1<2D.，+袅2

abah

解析：选B因为〈傍=4,所以>+[22\^22\^1=1,当且“=》=

2时等号成立.

2.若Oag,则用1—的最大值为()

A.1B-2

1

8

解析：选C因为0aV；,所以1—4%2>0,所以4/1-4/=：X24/1—

4*2i—4*2i_______、

-------2-------=不当且仅当2x=dl—4旦,即时等号成立，故选C.

_.、5„,x2-4x+5.

3.已知x25，则21_4有()

A.最大值&B.最小值3

C.最大值1D.最小值1

x2~4x+5(x-2)2+1

解析：选D2x-4=2(x-2)

因为七*，所以x—2>0,

所以茎(x-2)+=国«2个(x-2).==1.

当且仅当、-2=占，即x=3时取等号.

故原式有最小值为1.

4.已知不等式(*+月(鸿)》9对任意正实数恒成立，则正实数a的最小值为()

A.2B.4

C.6D.8

解析：选B不等式(*+7)@+泉》9对任意正实数x,y恒成立，则(x+y)G+?》(l

+3)229,.../22,即a24,故正实数a的最小值为4.

5.若a>0,b>0,a+h=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是(写

出所有正确命题的序号).

@ab^l；@a2+b2^2；@a3+Z>3^3；@^+春》2.

解析：因为a>0,b>0,a+b=2,所以aZ(/佟誓)=1,所以①恒成立；

3+后W24(电)向通所以②不恒成立；

a2+b2，一一=2,所以③恒成立；

当a=b=l时，a3+Z>3=2<3,所以④不恒成立；

。+德+()4(2+肝?》2,所以⑤恒成立.

答案：①③⑤

6.若对任意x>0,其念不jW”恒成立，则a的取值范围是.

解析：因为x>0,所以x+：22.当且仅当％=1时取等号，

所以有正品1=大《专4

%+一+

x3

Y11

即.+t+1的最大值为J故a关

答案:卜|。*}

7.已知a,b为正实数，且1+1=2啦.

(1)求。2+"的最小值；

(2)若(a—b)2=4(ab)3,求a)的值.

解：(1)因为a,》为正实数，且泊=2巾,所以!+3=2g》2\^,即功23(当且

仅当a=b时等号成立).

因为。2+/>222az>22x[=l(当且仅当a=b时等号成立)，

所以苏+"的最小值为1.

(2)因为1+：=2g,所以a+Z»=2\/ia瓦因为(a—b)2=4(a)"，所以(a+B)?—4aB=4(a)

即(2啦而户-4而=4(而产,即(ab)2—2aZ>+l=0,(必-1产=0.因为a,方为正实数，所以而

=1.

C级——拓展探索性题目应用练

某厂家拟在2019年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年

产量)x(单位：万件)与年促销费用皿,〃，0)(单位：万元)满足x=3一盖j优为常数)，如果

不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件.已知2019年生产该产品的固定投入为8万

元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的