第7讲循环群和置换群

Lagrange定理Lagrange定理：|G|=|H|[G:H]证明：令G的不同的陪集为Ha1,Ha2,…,Har,|G|=|Ha1|+|Ha2|+…+|Har|=|H|r=|H|[G:H]2024/5/71Lagrange定理推论推论(1)群的元素的阶是群的阶的因子.证明：构造子群<a>，|<a>|=|a|.(2)素数阶群一定是交换群（实际上是循环群）.证明：|G|=p,p>1,存在非单位元a,|a|的阶是p的因子，只能是|a|=p.故G=<a>.2024/5/72循环群定义10.7:设G是群，若在G中存在一个元素a,使得G中的任意元素都是a的幂，则称该群为循环群，元素a为循环群G的生成元。记G=<a>.2024/5/732024/5/74例10.14(1-3)(1)<Z,+>整数加群,1,-1都是生成元(2)<Zp,+p>模p整数加群除0外，每个元都是生成元(3)<Zn,+n>模n整数加群与n互素的元都是生成元

生成元不唯一2024/5/742024/5/75例10.14(4-6)(4)<Mn(R),+>n阶实矩阵加群(5)<Mn(R),

>n阶实可逆矩阵乘法群；(6)集合A={1,2,3}上所有的双射函数关于映射复合构成群S3={f1,f2,f3,f4,f5,f6}，H1={f1,f2}H2={f1,f5,f6}f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>}f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>}f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>}f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>}f6={<1,3>,<3,2>,<2,1>}2024/5/75循环群必是阿贝尔群性质:任何一个循环群必为阿贝尔群。

证：设G为一个循环群，其生成元为a,则x,y∈G，必r,s∈Z,s.t.x=ar,y=as

而且，x*y=ar*as=ar+s=as+r=as+ar=y*x

因此，G为一阿贝尔群2024/5/76阶数有限群G的阶数——集合G的元素个数.群G的阶数记作|G|=n

元素a的阶数——r是使ar=e成立的最小正整数,此时称r为元素a的阶.2024/5/77循环群分类生成元的阶无限，则G为无限循环群生成元a为n阶元，则G={e,a,a2,⋯,an−1}为n阶循环群，循环群的阶和生成元的阶相等。实例<Z,+>为无限循环群<Zn,+n>为n阶循环群2024/5/78循环群的生成元定理10.11G=<a>是循环群(1)若G是无限循环群，则G的生成元是a和a−1;(2)若G是n阶循环群，则G有

(n)个生成元，当n=1时G=<e>的生成元为e；当n>1时,∀r(r∈Z+∧r<n),ar

是G的生成元⇔(n,r)=1.2024/5/79Euler函数Eulerφ函数φ(n)：当n＝1时，φ(1)＝1；当n>1时，它的值φ(n)等于比n小而与n互素的正整数的个数。考虑群(Zn*,×)，Zn*

是Zn中所有可逆元组成的集合，则|Zn*|=φ(n)2024/5/7102024/5/711例10.14(1-3)(1)<Z,+>整数加群,1,-1都是生成元(2)<Zp,+p>模p整数加群除0外，每个元都是生成元(3)<Zn,+n>模n整数加群与n互素的元都是生成元

生成元不唯一2024/5/711证明思路：(1)证明a−1

是生成元证明若存在生成元b，则b=a或a−1.(2)只需证明(r,n)=1,则ar

是生成元反之，若ar

是生成元，则(r,n)=1.2024/5/712证明2024/5/713循环群的子群定理10.12

G=<a>是循环群，那么(1)G的子群也是循环群(2)若G是无限阶，则G的子群除{e}外也是无限阶(3)若G是n阶的，则对于n的每个正因子d,在G中有且仅有一个d阶子群.2024/5/714证明思路：(1)子群H中最小正方幂元am

为H的生成元(2)若子群H=<am>有限，a≠e,则推出|a|有限.(3)<an/d>是d阶子群，然后证明唯一性.2024/5/715证明2024/5/716证明(续)2024/5/717例10.16G=<a>为r阶循环群，证明|at|=r/(t,r)证：令|at|=s,(t,r)=d⇒t=dp,r=dq⇒r/(t,r)=r/d=q只要证s=q(at)q

=(at)r/d

=(ar)t/d=ep

=e

s|q(at)s=e⇒ats=e⇒r|ts⇒q|ps

q|s（p,q互素）2024/5/718实例(1)<Z12,⊕>,求生成元、子群.生成元为与12互质的数：1,5,7,1112的正因子为1,2,3,4,6,12，子群：<0>,<1>,<2>,<3>,<4>,<6>(2)G=<a2>为12阶群，求生成元和子群.生成元为a2,a10,a14,a22G的子群：<e>,<a2>,<a4>,<a6>,<a8>,<a12>2024/5/719实例(3)<a>为无限循环群，求生成元和子群.生成元为a,a−1；子群为<ai>，i=0,1,2,…；(4)G=<Z,+>，求生成元和子群.生成元：1,−1;子群nZ,n=0,1,…,2024/5/720置换定义：设A是一个非空有限集合，从集合A到A的一个双射称为A的一个置换A上的n元置换：|A|=n时A上的一一变换置换的表示法：令A={1,2,…,n},2024/5/7212024/5/7例10.14(6)(6)集合A={1,2,3}上所有的双射函数关于映射复合构成群S3={f1,f2,f3,f4,f5,f6}，f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>}f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>}f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>}f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>}f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>}f6={<1,3>,<3,2>,<2,1>}2024/5/722置换举例eg:A={1,2,3,4}

f:A

A

1

2

23

34

41

则f1,f2,f3,

f4

2024/5/723置换的表示法2-k阶轮换轮换:(i1

i2…ik)不交轮换的分解式：σ

=τ1τ2…τt,其中τ1,τ2,…,τt,为不交轮换(1234),(13)(24),(1432),(1)2024/5/724置换的表示法2(132)(5648)2024/5/725n元置换的轮换表示性质：

任何n元置换都可以表成不交的轮换之积，并且表法是唯一的.

=

1

2…

t

=

1

2…

l

{

1,

2,…,

t}={

1,

2,…,

l}2024/5/726置换的表示法3对换分解式：对换(ij)=(ji)(i1

i2…ik)=(i1

i2)…(i1

ik-1)(i1

ik)(12)(13)(14),(13)(24),(14)(13)(12),(1)2024/5/727置换的表示法3(132)(5648)=(13)(12)(56)(54)(58)2024/5/728n元置换的对换表示任意轮换都可以表成对换之积对换可以有交表法不唯一，但是对换个数的奇偶性不变2024/5/729奇置换、偶置换奇置换：表成奇数个对换之积偶置换：表成偶数个对换之积奇置换与偶置换之间存在一一对应，因此各有n!/2个

2024/5/730置换的乘法与求逆置换的乘法：函数的复合例如：8元置换

=(132)(5648)，

=(18246573),则

=(15728)(3)(4)(6)=(15728)置换求逆：求反函数

=(132)(5648)，

-1=(8465)(231),

2024/5/731对称群、置换群、交错群令Sn为{1,2,…,n}上所有n元置换的集合.Sn关于置换乘法构成群，称为n元对称群.Sn的子群称为n元置换群.所以偶置换的集合做成Sn的子群称为n元交错群An.

例3元对称群S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}3元交错群A3={(1),(123),(132)}2024/5/732置换群举例eg:A={1,2,3,4}

f:A

A

1

2

23

34

41

则f1,f2,f3,

f4

对f复合做成一个置换群.(1234),(13)(24),(1432),(1)2024/5/733置换群中元素的阶元素的阶k阶轮换(i1

i2…ik)的阶为kσ=τ1τ2…τl

是不交轮换的分解式，则|σ|=[|τ1|,|τ2|,…,|τl|]2024/5/734置换群子群{(1)},Sn，n元交错群An2元子群,……2024/5/735置换群子群S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}子群6个<(1)>,S3,<(12)>,<(13)>,<(23)>,A3=<(123)>2024/5/736置换群子群S4={(1),(12),(13),(14),(23)