广东省深圳市2021年中考数学真题卷（含答案与解析）

深圳市2021年初中毕业生学业考试

数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题

卡指定位置。

2.答题时，选择题答案，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答案，用0.5

毫米黑色墨水签字笔，直接写在答题卡上对应的答题区域内。答案答在试题卷上无效。

3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题3分，共30分）

1.如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，和“建”字所在面相对的面上的字是（）

C.走D.年

1

2.的相反数（)

2021

11

A.2021B.-------C.-2021D.

20212021

3.不等式x—1>2的解集在数轴上表示为（）

4.《你好,李焕英》的票房数据是：109,133,120,118,124,那么这组数据的中位数是（)

A.124B,120C.118D.109

5.下列运算中，正确的是（）

A.2a2-a=2a3B.=a5C./+/=:/D.。6+/=族3

6.计算|1—tan60。|的值为（）

A.1-V3B.0C.y/3—1D.1

3

7.《九章算术》中有问题：1亩好田是300元，7亩坏田是500元，一人买了好田坏田一共是100亩，花费了

10000元，问他买了多少亩好田和坏田？设一亩好田为x元，一亩坏田为y元，根据题意列方程组得（）

x+y=100x+y=100

A.<7B.《

300x+——>=10000300x+—y=10000

I500-7-

x+y=100x+y=100

C.\7

D.《^x+300y=10000

——x+300〉=10000

500

8.如图，在点F处，看建筑物顶端。的仰角为32。，向前走了15米到达点E即石尸=15米，在点E处看点

。的仰角为64。，则CO的长用三角函数表示为（）

A.15sin32°B.15tan64°C.15sin64°D.15tan32°

9.二次函数^=必2+法+1的图象与一次函数y=2奴+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

10.在矩形ABC。中，45=2,点E是BC边的中点，连接OE,延长EC至点F,使得石尸=。£,过点

尸作FGLDE,分别交CO、A3于MG两点，连接CM、EG、EN,下列正确的是（)

D

BE

①tan/GFB=；；②MN=NC；③整=；；④S四边形材=^^-

2EG22

A.4B.3C.2D.1

二、填空题(每题3分，共15分)

11.因式分解：7a2-28=.

12.已知方程f+mx一3=0的一个根是1,则,w的值为

13.如图，已知ABAC=60°,A。是角平分线且AZ)=10,作A£)的垂直平分线交AC于点F,作DE1AC,

则ADEF周长为.

14.如图，已知反比例函数过A,3两点，A点坐标(2,3),直线AB经过原点，将线段AB绕点3顺时针旋

转90。得到线段BC,则C点坐标为.

15.如图，在△ABC中，D,E分别为BC,AC上的点，将△口?£沿。E折叠，得到△FDE,连接6尸,

CF,ZBFC=90°,若EFHAB,AB=46,EF=10,则AE的长为.

E

三、解答题（共55分）

1)丫2IAyIQ

[-T+其中—

（1）过直线〃？作四边形ABCD的对称图形;

（2）求四边形ABCO的面积.

18.（8分）随机调查某城市30天空气质量指数（A。/）,绘制成如下扇形统计图.

空气质量指数

空气质量等级频数

CAQI）

优AQ1„50m

良50<AQI„1000015

中\00<AQI„1509

差AQI>150n

（1）m=,n=

（2）求良的占比；

（3）求差的圆心角；

（4）折线图是一个月内的空气污染指数统计，然后根据这个一个月内的统计进行估测一年的空气污染指数为

中的天数，从折线图可以得到空气污染指数为中的有9天.

根据折线统计图，一个月（30天）中有天AQI为中，估测该城市一年（以365天计）中大约有天

AQ/为中.

19.（8分）如图，AB为00的弦，D,C为的三等分点，AC//BE.

（1）求证：Z4=ZE；

（2）若3C=3,BE=5,求CE的长.

20.（8分）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关

系如下表所示：

X（万元）10121416

y（件）40302010

（1）求y与x的函数关系式；

（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？

21.（9分）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、［倍、A倍.

2

（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍?

（填“存在”或“不存在”）.

（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3,宽为2的矩形的2倍？

同学们有以下思路：

①设新矩形长和宽为x、y,则依题意X+y=10,肛=12,

联立《'得尤2—10X+12=0,再探究根的情况：

xy=12

根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的上倍；

2

12

②如图也可用反比例函数与一次函数证明4：y=-x+10,l2：y=—f那么，

x

a.是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？.

b.请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的,，若存在，用图像表达；

2

c.请直接写出当结论成立时大的取值范围：.

22.在正方形A3CZ）中，等腰直角ZAFE=90°,连接CE,H为CE中点、,连接8”、BF、HF,

发现竺和/为定值.

BH

③小明为了证明①②，连接AC交3。于。，连接。H,证明了J和——的关系，请你按他的思路证明①

AFB0

②.

BDFA

（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2,—=—=k,NBDA=NEAF=e

ADFA

（00<^<90°）

求①上2=（用k的代数式表示）

HD

…FH

②——=（用火、。的代数式表示）

HD

参考答案

一、选择题（每题3分，共30分）

1.【解答】B2.【解答】B3.【解答】D4.【解答】B

5•【解答】A6.【解答】C7.【解答】B8.【解答】C

9.【解答】A

EC1

10.【解答】①tanNGEB=tanNEDC='=—,①正确;

CD2

②,/4DMN=4NCF=90°,ZMND=乙CNF,

：.4MDN=4CFN,

•:NECD=NEMF,EF=ED,AMDN=NCFN,

：.丛DECQ4FEM(SAS),Z.EM=EC,：.DM=FC,

•:ZMDN=4CFN,NMND=4CNF,DM=FC,

:.△DMNQAFCN(AAS),：.MN=NC,故②正确；

③,：BE=EC,ME=EC,：.BE=ME,

,:在RtAGBE和RtAGME中:BE=ME,GE=GE,

：.RtAGBEQRtLGME(HL),AZBEG=ZMEG,

VME=EC,:.NEMC=NECM,

又々EMC+NECM=/BEG+ZMEG,

CMCF

：.ZGEB=ZMCE,：.MCIIGE,：.——=——，

EGEF

"：EF=DE=y]EC2+CD2=y[5,CF=EF—EC=布-1,

.CM_CF_y[5-l5-45

故③错误;

"~EG~~EF~V5-5

④由上述可知：BE=EC=1,CF=A/5-1,ABF=V5+1,

..."./口八厂GB1.1逐+1

・tanZ-F-tanZ.EDC=---=—,..GrB=—Br=--------,

BF222

**,^ihK.GBEM=2s&GBE=BE-BG=~,故④正确•

故选B.

二、填空题(每题3分，共15分)

11•【解答】70+2)3—2)

12.【解答】将x=1代入得：1+机—3=0,解得机=2.

13•【解答】DF=AF（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）

CLAsnDFLFr=DE+EF+AF=AE+DE

V=60°,4。是角平分线

ZZME=30°

•••AD=10

:.DE=5,AE=50

•*C&DEF=5+5"\/3

k

14•【解答】设AB：y=k'x,反比例：y=-

x

将点A代入可得：

36

y=qx；y=一

2x

联立可得：8(—2,-3)

过点8作y轴的平行线/

过点A,点C作/的垂线，分别交于。，E两点

则。(一2,3)

利用“一线三垂直”易证△A8D四△6EC

BE=AD=4,CE=BD=6

C(4,-7).

15.【解答】

解法1：如图，延长ED,交CF1于点G,

由折叠，可知DG_LC尸，

BFYCF,：.ED//BF,

延长。E,BA,交于点M,

ED//BF,且BA//EF,

四边形BFEM为平行四边形，

BM=EF=EC=1Q,

又易证NM=NA£M,

AE-AM,

；AM=BM-AB=lQ-4y/3,

：.AE=10-4百.

解法2：如图，延长ED,交CF于点G,

由折叠，可知。G_LC尸，

BFA.CF,

ED//BF,

4FED=NBFE=a,

延长E4,FB,交于点M,

•；AB//EF,

ZBAC=ZFEC=2a,ZABM=ZBFE=a,

：.ZM=ZBAC-ZABM=tz,

'：ZM=ABFE=a,ZM=ZABM=a,

:.EM=EF=14,AM=AB=4y/3,

：,AE=EM-AM=lQ-4y/3.

解法3：由题意易证点。为8C的中点，

如图，取AC的中点M,连接DM,

DM//AB,DM==AB=26,

2

,/AB//EF,DM//AB,

DM//EF,

4FED=4MDE=a,

•••4FED=NMED=a,

：.ZMED=ZMDE,

：.EM=MD=20

•••EC=10,

：.MC=10-2百，

VAM=MC=1Q-2yf3,且EM=2百，

AE=AM-EM=W-2y/3-2y/3=W-4y/3.

解法4：由折叠，易证七Z），CE,

...BF//ED,/LBFE=FED=a,

过点/作EW//AE,交AB延长线于点M,

四边形AA"E为平行四边形，

/MFE=4FEC=2cc,

ZMFB=ZMFE-ZBFE=a,

又,：ABHEF,

：.NMBF=NBFE=cc,

:.ZMFB=ZMBF,：,MB=MF,

•；四边形为平行四边形，

：.AM=EF=EC=W,AE=MF=MB，

：.MB=AM-AB=10-443,

Z.AE=10-4G.

解法5：如图过点2作技0〃AC,交EF于点M,

：.四边形ABME为平行四边形,

且NBME=ZFEC=2a,

由折叠，可知ED_LFC,

•••BFA.FC,

BFHED,

4BFM=4FED=a,

AFBM=ZBME-ZMBF=tz,

Z.NFBM=ZBFM,

MB=MF,

•/四边形ABME为平行四边形，

:.AE=MB=MF,EM=AB=46，

•：MF=EF-EM=EC-EM=10-46，

AE=10—4后.

解法6：

延长ED至点M,使得DM=ED,连接

N

易证ABDM名ACDE,BMHEC,

；.BM=EC=10,ZM=DEC=a,

：ABHEF,

ZN=NFED=a,

：.ZN=ZM,

：.BN=BM=10,

•••ZAEN=ZDEC=a,

/.ZAEN=NN,

AE=AN=BN—AB=\U—4^.

三、解答题（共55分）

1x+2x+3_x+31_1

16.【解答】原式=----------1----------

x+2x+2(x+3)~x+2x+3x+2

当x=-l时，原式=----1.

-1+2

17.【解答】(1)如图所示:

18.【解答】(1)4,2；(2)50%：(3)24°；(4)9,100.

19.【解答】(1)连接AO,D、C、8四点共圆

，ZBAD+ZBCD=18O°

又NBCD+NBCE=18O。

：.ZBAD=ZBCE

又NBAD=ZABC

：.ZABC=NBCE

：.AB//CE，又AC//BE

：.四边形ACEB为平行四边形

...ZA=AE

(2):BD=CD,:.CD=BD=3

又•：CD//AB,：.BC=AD=BE=5

又•.•/包=£即。

BCCE5CE

16

CE=—：.DE

33

20.【解答】(1)y=-5x+90；

(2)y=-5x2+130x+720=-5(x-13)2+125.

21•【解答】⑴不存在；

(2)①存在；

•.•/一10工+12=0的判别式△>(),方程有两组正数解，故存在;

从图像来看，I、：y=—x+10,/,：y=—在第一象限有两个交点，故存在；

x

f_5

②设新矩形长和宽为x、y,则依题意x+y=*,肛=3,联立<“+'V=5得_?一*%+3=0,

孙=3

因为A<0,此方程无解，故这样的新矩形不存在；

12

从图像来看，小y=-x+\O,/：y=—在第一象限无交点，故不存在；

2X

,24

(3)k,..—；

25

设新矩形长和宽为x和y,则由题意x+y=5k,xy=6k9

x+y=5左124

联立《得f9—5米+6攵=0,A=25^2-24^.0,故k..—.

xy=6k25

22.【考点】几何探究型问题

【邦德解析】

(1)72；②45°

③证明：如图所示:

8A

40-

由正方形性质得：——=V2,。为AC的中点

B0

又•••，为CE的中点，则0H=-AE

2

八4所是等腰直角三角形

AE=6AF

,三必丝

OHB0

•••OHHAE

：.4COH=NC4E,又VZC4E=NDAF

：.ZCOH^ZDAF

又NBOC=NBAD=90。

A.pADL

ZBOH=ZBAF,又：——=——=V2

OHBO

：./XBOH^ABAF

BF/-

•••——=J2,NHBO=NFBA

BH

：.ZHBF=NHBO+4DBF=ZFBA+ZDBF=/DBA=45°

,、^242-4-cos6+4

(2)①一----------------

kk

理由如下：

①如图，连接AC,与80交于。点，连接O4

由（1）的第③问同理可证：XDOHs4DAF

.FDAD2

②方法1：

由①△DO〃s2\n4/得:

ZHDO=ZFDA,则NWDb=N3r)A=e

FD2

在/中，ZHDF=0,——=-

HDk

不妨令£>b=2f,DH=kt,如图作LOE

则：HM=DHsin0=ktsin0,DM=ktcos0

则MF=DF-DM=(2-kcos0)t

由勾股定理”尸2="”2+腕2解得：

=4kcos6+4

.FH"2一4立05。+4

••-----=----------------------.

DHk

方法2：

由方法①得：

FD2

在ZV/DF中，4HDF=®,——=-

HDk

不妨令DF=2f,DH=kt,作FN上DH,垂足为N

在中，/W=£>Esin8=2rsin，，DN=2tcos®

则HN=DN-DH=(2cos6—Qf

在RtAHNF中由勾股定理解得：

HF=rJ12—4左cos4+4,

.FH_J)--4-COS6+4

"~DH~~

EC1

10.【解答】①tanNGf^ntanNEOCn——=-,①正确；

CD2

②ZDMN=NNCF=90°,ZMND=4CNF,

：.ZMDN=4CFN,

,：ZECD=ZEMF,EF=ED,4MDN=NCFN,

:.△DEgAFEM(SAS),J.EM^EC,：.DMFC,

■:4MDN=4CFN,AMND=NCNF,DM=FC,

:.△DMNW4FCN(AAS),：.MN^NC,故②正确；

③•：BE=EC,ME=EC,:,BE=ME,

•；在RfAGBE和RtAGME中:BE=ME,GE=GE,

:.RtLGBEQRtAGME(HL),:.NBEG=ZMEG,

,:ME=EC,：.NEMC=NECM,

又NEMC+NECM=/BEG+ZMEG,

：.ZGEB=ZMCE,：.MCIIGE,：.^=—,

EGEF

•；EF=DE7EC?+CZ)2=6CF=EF-EC=y/5-I,

CM_CF_逐-I_5-布

故③错误;

'~EG=~EF=~4r=~T~

④由上述可知：BE=EC=1,CF=V5-1,，BF=y/5+1,

,/tanZF=tanZEDC=—=1,:.GB，BF=^^,

BF222

S四边形GBEM=2S^GBE=2,a，BE.BG=---.故④IE确，

故选B.

二、填空题(每题3分，共15分)

11•【解答】7(a+2)(a-2)

12.【解答】将x=l代入得：1+加一3=0,解得m=2.

13•【解答】DF=AF(垂直平分线上的点到线段两端点距离相等)

CLAhDuFt,rF=DE+EF+AF=AE+DE

VABAC=60°,AZ)是角平分线

ZZME=30°

AD=10

ADE=5,AE=5百

•'C^DEF=5+5-\/3

k

14•【解答】设AB：y=k'x,反比例：）=一

x

将点A代入可得：

36

y=qx；y=_

2x

联立可得：B（-2,-3）

过点8作y轴的平行线/

过点4,点C作/的垂线，分别交于。，E两点

则。（一2,3）

利用“一线三垂直”易证AABO电/kBEC

BE=AD=4,CE=BD=6

：.C(4,-7).

15.【解答】

解法1：如图，延长EO,交CF于点G,

由折叠，可知DG_LCF,

BFLCF,：.EDHBF,

延长DE,BA,交于点M,

-：ED//BF,且BA//EF,

：.四边形BFEM为平行四边形,

BM=EF=EC=IO,

又易证NM=NA£M,

AE=AM,

•••AM=BM-AB=10-4y/3,

：,AE=10-4G.

解法2：如图，延长ED,交CF于点G,

由折叠，可知DG_LCF,

BFrCF,

：.EDUBF,

4FED=NBFE=a,

延长E4,FB,交于点M,

•••AB//EF,

；.NBAC=NFEC=2a,ZABM=ZBFE=a,

：.ZM=ZBAC-ZABM=a,

•；ZM=NBFE=ct,ZM=ZABM^a,

:.EM=EF=1G,AM=A8=4G，

AE=EM—AM=10-4G.

解法3：由题意易证点。为8C的中点，

如图，取AC的中点M,连接ZW,

DM//AB,DM=LAB=2。

2

ABHEF,DM//AB,

/.DM//EF,

：.NFED=NMDE=a,

•/4FED=NMED=a,

ZMED=ZMDE,

EM=MD=2B

'：EC=10,

MC=10-25/3,

•••AM=MC=10-26,且EM=2G

AE=A"-EM=10-2G-2G=10-4g.

解法4：由折叠，易证ED_LCE,

BF//ED,，NBFE=FED=a，

过点尸作EW〃AE,交AB延长线于点M,

...四边形为平行四边形，

ZMFE=NFEC=2a,

NMFB=ZMFE-ABFE=a，

又,：ABHEF,

：.NMBF=NBFE=a,

:.ZMFB=ZMBF,：,MB=MF,

•••四边形AMFE为平行四边形，

：.AM=EF-EC^\0,AE=MF=MB,

：.MB=AM-AB=\0-4y/3,

AE=10-45/3.

解法5：如图过点3作的0〃AC,交EF于点M,

四边形ABME为平行四边形，

且NBME=ZFEC=2a,

由折叠，可知

BF上FC,

：.BF//ED,

/BFM=4FED=a,

NFBM=NBME-NMBF=a,

/FBM=/BFM,

：.MB=MF,

•••四边形ABME为平行四边形，

：.AE=MB=MF,EM=AB=46

•••MF=EF-EM=EC-EM=10-45

：.AE=10-4>/3.

解法6：

延长瓦）至点M,使得。M=矶），连接BM,

易证ABDM迫ACDE,BMHEC,

:.BM=EC=10,NM=DEC=a,

•••AB//EF,

NN=4FED=a,

:.ZN=NM,

：.BN=BM=10,

,/ZAEN=/DEC=a,

：.ZAEN=ZN,

：.AE=AN=BN-AB=lQ-4y[3.

三、解答题（共55分）

1x+2x+3x+311

16.【解答】原式二一十----------------=----------------=—

x+2x+2（九+3）2x+2x+3x+2

当x=-1时7原式=­--=1.

-1+2

17.【解答】（1）如图所示:

Ill

18.【解答】(1)4,2；(2)50%；(3)24°；(4)9,100.

19.【解答】(1)连接AD,D、C、8四点共圆

ZBAD+ZBCD=1SO°

又ZBCD+NBCE=180°

ZBAD=ZBCE

又4BAD=NABC

ZABC=NBCE

：.AB//CE,又ACHBE

：.四边形ACEB为平行四边形

(2)-：BD=CD,：.CD=BD=3

又CD//AB，:.BC=AD=BE=5

/生=些，即三亘

又,；

BCCE5CE

2516

：.CEDE

TT

20.【解答】(1)y=-5x+90；

(2)y=-5x2+130x+720=-5(x-13)2+125.

21.【解答】(1)不存在；

(2)①存在；

•••尤2-10X+12=0的判别式A〉0,方程有两组正数解，故存在；

从图像来看，4：y=-x+10,l2：y="在第一象限有两个交点，故存在;

X

5「

②设新矩形长和宽为X、y,则依题意x+y=g,肛=3,联立

_2得f-x+3=0,

［初=3-

因为△<(),此方程无解，故这样的新矩形不存在;