专题04 运算思维之平方差公式重点专练（解析版）-【考点培优尖子生专用】2021-2022学年七年级数学下册专题训练（浙教版）

专题04运算思维之平方差公式重点专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．（2021·浙江吴兴·七年级期中）要使等式(x-2y)2+A=(x+2y)2成立，代数式A应是(

)A．4xy B．-4xy C．8xy D．-8xy【标准答案】C【思路指引】根据已知等式表示出A，利用平方差公式计算即可得到结果．【详解详析】解：∵（x－2y）2＋A＝（x＋2y）2，∴A＝（x＋2y）2－（x－2y）2＝（x＋2y＋x－2y）（x＋2y－x＋2y）＝8xy．故选C．【名师指路】此题考查了平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．2．下列多项式乘法，能用平方差公式计算的是

(

)A． B． C． D．【标准答案】B【思路指引】根据平方差公式的特点，两个数的和乘以这两个数的差，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解详析】A、原式可化为-(3x+2)(3x+2)，不能用平方差公式计算，故本选项错误；B、原式可化为-(a+b)(a-b)，能用平方差公式计算，故本选项正确；C、原式可化为(2-3x)(2-3x)，不能用平方差公式计算，故本选项错误；D、不符合两个数的和与这两个数的差相乘，不能用平方差公式计算，故本选项错误，故选B．【名师指路】本题考查了平方差公式，熟记公式结构特征是解题的关键．3．从图1到图2的变化过程可以发现的代数结论是(

)A．(a+b)(a-b)= B．=(a+b)(a-b)C． D．【标准答案】A【思路指引】图①的面积为(a＋b)(a－b)，图②的面积为a2－b2，由此即可解答.【详解详析】∵图①的面积为(a＋b)(a－b)，图②的面积为a2－b2，∴(a＋b)(a－b)＝a2－b2.故选:A【名师指路】本题考查了平方差公式的几何表示法，根据两个图形的面积相等列出等式是解决问题的关键.4．下列整式的运算可以运用平方差公式计算的有（

）①；②；③；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【标准答案】B【思路指引】根据组成平方差公式的前提是两式必须一项相同，另一项互为相反数，即可得出答案．【详解详析】①一个数相同，一个数相反，可以运用平方差公式运算，②两个数相反，不可以运用平方差公式运算，③两个数相反，不可以运用平方差公式运算，④一个数相同，一个数相反，可以运用平方差公式运算．所以可以运用平方差公式计算的有2个，故选：B．【名师指路】此题考查平方差公式,完全平方公式，根据组成平方差公式的前提是两式必须一项相同，另一项互为相反数是解题的关键．5．（2021·浙江·七年级月考）计算的结果是（

）A． B． C． D．【标准答案】B【思路指引】先乘以2−1，再依次根据平方差公式进行计算即可．【详解详析】＝（2−1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）…（22018＋1）＝（22−1）（22＋1）（24＋1）…（22018＋1）＝（24−1）（24＋1）…（22018＋1）＝（22018-1）（22018＋1）＝，故选：B．【名师指路】本题考查了平方差公式的应用，主要考查学生运用公式进行计算的能力，注意：（a＋b）（a−b）＝a2−b2，难度适中．6．（2020·浙江杭州·中考真题）（1+y）（1﹣y）＝（）A．1+y2 B．﹣1﹣y2 C．1﹣y2 D．﹣1+y2【标准答案】C【思路指引】直接利用平方差公式计算得出答案．【详解详析】（1+y）（1﹣y）＝1﹣y2．故选：C．【名师指路】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握公式的结构特征是解答此题的关键．7．（2020·湖南郴州·中考真题）如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（）A． B． C． D．【标准答案】B【思路指引】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．【详解详析】第一个图形空白部分的面积是x2-1，第二个图形的面积是（x+1）（x-1）．则x2-1=（x+1）（x-1）．故选：B．【名师指路】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示空白部分的面积是解决问题的关键．8．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【标准答案】C【思路指引】根据同类项合并方程可判定A，根据积的乘方与幂的乘方法则可判定B，利用平方差公式可判定C，利用完全平方公式可判定D即可．【详解详析】解：A、，故选项A错误；B、，故选项B错误；C、，故选项C正确；D、，故选项D错误．故选：C．【名师指路】本题考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，平方差公式与完全平方公式，掌握合并同类项，幂的乘方与积的乘方，平方差公式与完全平方公式是解题关键．9．（2021·浙江西湖·七年级期末）如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后得到的图形，小佳将阴影部分通过剪拼，拼成了图①、图②、图③三种新的图形，其中能够验证平方差公式的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【标准答案】D【思路指引】按照不同的裁剪方式，拼接成不同的图形，用不同的方法表示拼接前、后阴影部分的面积，即可得出答案．【详解详析】解：（1）如图①，左图的阴影部分的面积为a2-b2，裁剪后拼接成右图的长为（a+b），宽为（a-b）的长方形，因此面积为（a+b）（a-b），因此有a2-b2=（a+b）（a-b），所以①符合题意；（2）如图②，左图的阴影部分的面积为a2-b2，裁剪后拼接成右图的底为（a+b），高为（a-b）的平行四边形，因此面积为（a+b）（a-b），因此有a2-b2=（a+b）（a-b），所以②符合题意；（3）如图③，左图的阴影部分的面积为a2-b2，裁剪后拼接成右图的上底为2b，下底为2a，，高为（a-b）的梯形，因此面积为（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b），因此有a2-b2=（a+b）（a-b），所以③符合题意；综上所述，①②③都符合题意，故选：D．【名师指路】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示拼接前、后阴影部分的面积是得出正确答案的关键．10．（2021·浙江嵊州·七年级期末）对于1到9的四个整数a，b，c，n（四个数中n最大），我们规定符号（）n的意义是：（）n＝a•n2+b•n+c•n0．例如：（）7＝2×72+4×7+5×70＝131，（）6＝2×62+4×6+5×60＝101．（）b+1﹣（）b﹣1＝70，则（）b的值为（）A．45 B．48 C．153 D．156【标准答案】D【思路指引】根据题中的新定义列出方程，求得，再求解即可．【详解详析】解：∵()b+1，()b-1，∴()b+1﹣()b-1，∵()b+1﹣()b-1=70，∴，即，∴()b()8．故选：D．【名师指路】本题考查了新定义的应用，整式的运算，解一元一次方程，根据新定义的意义找出方程是解题的关键．二、填空题11．已知x2+2x＝3，则代数式（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）+x2的值为_____．【标准答案】8【思路指引】利用完全平方公式及平方差公式把原式第一项和第二项展开，去括号合并同类项得到最简结果，把x2+2x＝3代入即可得答案.【详解详析】原式=x2+2x+1-(x2-4)+x2=x2+2x+1-x2+4+x2=x2+2x+5.∵x2+2x＝3，∴原式=3+5=8.故答案为8【名师指路】此题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．12．计算：__________．【标准答案】1【思路指引】首先把2019×2021化成（2020-1）×（2020+1），然后运用平方差公式计算即可.【详解详析】，===1.故答案为：1.【名师指路】此题主要考查了平方差公式的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确两个数的和与两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.13．（2021·浙江萧山·七年级期中）如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是_____．【标准答案】30【思路指引】直接利用正方形的性质结合三角形面积求法，利用平方差公式即可得出答案．【详解详析】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，故阴影部分的面积是：AE•BC+AE•BD＝AE（BC+BD）＝（AB﹣BE）（BC+BD）＝（a﹣b）（a+b）＝（a2﹣b2）＝×60＝30．故答案为：30．【名师指路】本题主要考查平方差公式与几何图形和三角形的面积公式，用代数式表示阴影部分的面积，是解题的关键．14．（2021·浙江杭州·七年级期中）已知，则_____________．【标准答案】2【思路指引】根据偶数次幂和绝对值的非负性，可得，再利用平方差公式，即可求解．【详解详析】∵，∴且，即，∴=1×(-3)+5=2，故答案是：2．【名师指路】本题主要考查求代数式的值，掌握偶数次幂和绝对值的非负性和平方差公式，是解题的关键．15．（2021·浙江越城·七年级期末）观察下列各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；……根据这一规律计算：22020+22019+22018+…+22+2+1的结果是___________________．【标准答案】22021﹣1【思路指引】观察一系列等式得到一般性规律，利用得出的规律（x﹣1）（xn+xn-1+…+x+1）=xn+1﹣1，把x=2，n=2020代入计算即可，【详解详析】解：根据题意得：（x﹣1）（xn+xn-1+…+x+1）=xn+1﹣1，把x=2，n=2020代入得，22020+22019+22018+…+22+2+1=（2﹣1）（22020+22019+22018+…+22+2+1），=22021﹣1．故答案为：22021﹣1．【名师指路】本题考查了平方差公式和多项式乘法公式在计算中的应用，熟练掌握相关计算法则是解题的关键．三、解答题16．边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是_________（请选择正确的一个）；A．

B．

C．（2）若，求的值；（3）计算：【标准答案】（1）B；（2）3；（3）【思路指引】（1）结合图1和图2阴影部分面积相等建立等式即可．（2）利用平方差公式计算即可．（3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值．【详解详析】解：（1）边长为的正方形面积是，边长为的正方形面积是，剩余部分面积为；图（2）长方形面积为；验证的等式是，故答案为：B．（2），且，；（3）【名师指路】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键．17．先化简再求值：当时，求代数式的值．【标准答案】12【思路指引】根据平方差公式、完全平方公式把原式化简，把a、b的值代入计算即可．【详解详析】解：原式=[2b+（a+1）][（2b-（a+1）]+（a-1）2=4b2-（a+1）2+a2-2a+1=4b2-a2-2a-1+a2-2a+1=4b2-4a，当a=1，b=-2时，原式=4×（-2）2-4×1=12．【名师指路】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式是混合运算法则是解题的关键．18．（2021·浙江镇海·七年级期中）先化简再求值：，其中．【标准答案】，6【思路指引】根据完全平方公式以及平方差公式，单项式乘以多项式进行化简，再将字母的值代入求解即可．【详解详析】原式．当时，原式．【名师指路】本题考查了完全平方公式以及平方差公式，单项式乘以多项式，整式的化简求值，掌握乘法公式是解题的关键．19．（2021·浙江·杭州绿城育华学校七年级月考）阅读下文，寻找规律：已知：x≠1，观察下列各式：（x﹣1）（x＋1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2＋x＋1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3＋x2＋x＋1）＝x4﹣1；…（1）分解因式：x5﹣1＝；（2）根据规律可得（x﹣1）（xn﹣1＋⋯＋x＋1）＝；（其中n为正整数）（3）计算2×（399＋398＋397⋯＋32＋3＋1）＝．【标准答案】（1）（x-1）（x4+x3+x2+x+1）；（2）xn-1；（3）3100-1【思路指引】（1）观察可得规律，直接写出答案；（2）观察可知：右边项的最大指数等于左边项最大指数，左边的项是对右边项的因式分解，依此规律分别求解．（3）依据所得规律计算即可．【详解详析】解：（1）∵（x-1）（x+1）=x2-1，（x-1）（x2+x+1）=x3-1，（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1；∴x5-1=（x-1）（x4+x3+x2+x+1），故答案为：（x-1）（x4+x3+x2+x+1）；（2）（x-1）（xn-1+…+x+1）=xn-1+1-1=xn-1，故答案为：xn-1；（3）2×（399+398+397+…+32+3+1）=（3-1）（399+398+397+…+32+3+1）=399+1-1=3100-1，故答案为：3100-1．【名师指路】本题主要考查了平方差公式及数字的变化，体现了由一般到特殊的应用，解题的关键是探索出规律，根据规律答题．20．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）七年级期中）先化简，再求值