新课标高中数学人教A版必修一全册教案1

2.3曷函数

(-)教学目标

1.知识与技能

(1)理解基函数的概念，会画基函数尸X,产乙产/，y=x「15的图象.

(2)结合这儿个幕函数的图象，理解幕函数图象的变化情况和性质.

2.过程与方法

(1)通过观察、总结事函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力.

(2)使学生进一步体会数形结合的思想.

3.情感、态度、价值观

(1)通过生活实例引出事函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发

学生的学习兴趣.

(2)利用计算机，了解幕函数图象的变化规律，使学生认识到现代技术在数学认知过

程中的作用，从而激发学生的学习欲望.

(-)教学重点、难点

重点：常见基函数的概念、图象和性质.

难点：幕函数的单调性及比较两个辱值的大小.

(三)教学方法

采用师生互动的方式，由学生自我探索、自我分析，合作学习，充分发挥学生的枳极性

与主动性.

利用实物投影仪及计算机辅助教学.

(四)教学过程

教学教学内容师生互动设计

意图

环节

复习（多媒体显示以下5个问题，同时附学生阅读、思考、交流、口答，教培养

注相关图象，每个问题的结论由学生说出，师板演.学生

引入然后再在多面体屏幕上弹出）师：观察上述例子中函数模型，这的观

问题1：如果张纤.购买了每千克1元的几个函数表达式有什么共同特征？察、

蔬菜w千克，那么她需要付的钱数p=w元，生：解析式的右边都是指数式，且归

这里p是w的函数.底数都是变量.变量在底数位置，解析纳、

问题2：如果正方形的边长为a,那么式右边又都是幕的形式，我们把这种函概括

正方形的面积S=J,这里S是“的函数.数叫做幕函数.能

问题3：如果正方体的边长为。，那么（引入新课，书写课题）力，

正方体的体积V=a\这里夕是“的函数.

问题4：如果正方形场地的面积为S,

1

那么正方形的边长片S2,这里。是S的函

数.

问题5：如果某人ts内骑车行进了1

km,那么他骑车的平均速度尸尸km/s,这

里V是/的函数.

形成幕函数的定义师：请同学们举出几个具体的理

一般地，形如歹=x。（xeR）的函数幕函数.解累

称为藉函数，其中x是自变量，a是常数.

概念生：如y=犬/=炉/=x4等都函数

的定

是募函数，基函数与指数函数，对数

义.

函数一样，都是基本初等函数.

深化1.研究幕函数的图像引导学生用列表描点法，应用函数

(1)y=x的性质，如奇偶性，定义域等，画

概念出函数图像，最后，教师利用电脑

(2)y=x^

软件画出以上五个数数的图像.

(3)y=x2

(4)尸厂1X

.2

(5)y=d

^=x3

y=-1

2.通过观察图像，填P86探究中的表格X

探究

y=xy=x2

幕函

定义域RR

让学生通过观察图1家，分组讨论，数的

奇偶性奇奇

探究帮函数的性质和图像的变化性质

在第I象在第I象在第I象

规律，教师注意引导学生用类比研和图

限单调增限单调递限单调递

究指数函数，对函数的方法研究事像的

减性增增

函数的性质.变化

定点(1,1)(1,1)

规

律，

2

歹=1y=x^

{x|x>0}{x|xwO}

R

奇非奇非偶奇

在第I象在第I象在第I象

限单调递限单调递限单调递

增增减

(1,1)(1,1)(1,1)

3.基函数性质

（1）所有的幕函数在（0,+8）都有

定义，并且图象都过点（1,1）（原因：

1、=1）；

（2）x>0时，基函数的图象都通过

原点，并且在［0,+8］上，是增函数（从左

往右看，函数图象逐渐上升）.

特别地，当x>l,x>l时，xe（0,

1）,y=—的图象都在y=x图象的下方，

形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能

找出原因吗？）

当0va<l时，xe（0,1）,y=x"的

图象都在y=x的图象上方，形状向上凸，

a越小，上凸的程度越大（你能说出原因

吗？）

（3）a<0时，塞函数的图象在区间（0,

+00）上是减函数.

在第一家限内，当X向原点靠近时，图

象在y轴的右方无限逼近歹轴正半轴，当X

慢慢地变大时，图象在X轴上方并无限逼近

X轴的正半轴.

应用例1求下列基函数的定义域，并指例1分析：解决有关函数求定义域掌握

出其奇偶性、单调性.的问题时，可以从以下几个方面来考累函

举例2_3虑，列出相应不等式（组），解不等式数知

(1)1G；(2)尸一4；⑶尸-2

（组）即可得到所求函数的定义域.识的

①若函数解析式中含有分母，分母应用.

不能为0：

②若函数解析式中含有根号，要注

意偶次根号下非负；

③0的0次暴没有意义；

④若函数解析式中含有对数式，要

注意对数的真数大于0.

2

解：（1）函数尸工5,即产〃

其定义域为R,是偶函数，它在［0,+oo）

上单调递增,在（—00,0］上单调递减.

—1

（2）函数尸：4,即产、=,其

定义域为（0,+00）,它既不是奇函数，

也不是偶函数，它在（0,+oo）上单调

递减.

（3）函数1-2,即产与，其定

X2

义域为(-co,0)U(0,+oo),是偶

函数.它在区间（-8,0）和（0,+00）

例2证明寝函数/(x)=4在[0,+00)上都单调递减.

上是增函数.

请同学们回顾一下如何证明一个函数例2证明：设0匆<小，

是增函数，然后请一个学生作答，师板书.则/(修)—f(x2)

=向一历

_(匹一后)(历+历)

向+向

Jx]+Jx2

因为X1—%2<0>

+>0'

所以/(X1)</(必)，

即基函数/(x)=&在

[0,+00)上是增函数.

小结：以上是用作差法证明函数的

单调性，还可以用作商法证明函数的单

调性，作简要分析，提出注意点：在证

得生12VI后，要比较y(X|)与/(乃)

fg)

合作探究：

的大小，要注意分母的符号.

【例3】比较下列各组数的大小：

例3分析：比较两个或多个数值的

(1)1.5"1.7"1；

大小，一般情况下是将所要比较的两个

72--10---

(2)(--)3,(-—)3,1.13；

27或多个数值转化为比较某一函数的不

同函数值的大小问题，进而根据所确定

3

~32的函数的单调性，比较自变量的大小即

(3)3.8,3.95,(-1.8)5；

(4)314,51-5.可.若所给的数值不能转化为比较同一

函数的不同函数值的大小问题，可以找

出中间量来作为桥梁间接地进行比较，

确定出它们的大小关系，一般情况下是

根据具体情况选择常数力”"一1"或"0"

这些数作为中间量来进行比较.

解：(1)•.•所给的三个数之中1.5§

1

和1.73的指数相同，且1的任何次嘉都

是1,因此，比较霜1.5§、1.7§、1的

大小就是比较1.5。1.73、尸的大小，

I

也就是比较函数尸尸中，当自变量分别

取1.5、1.7和1时对应函数值的大小关

系，因为自变量的值的大小关系容易确

1

定，只需确定函数尸§的单调性即可，

।

又函数产在(0,+oo)上单调递增，

且所以1.75>1.55>1.

(2)(--)3=(也)£

22

(-1-0)3-=(，7)3--,

710

4_2-1

1.「3=[(1.1)2]^=1.21.

_2

'・•幕函数y=x在（0,+8）上单

调递减，且工<巫<1.21,

102

22

...」厂>（旦~

102

_2

~3

>1.21,

2~

即（-12）5>（一巫r）3

72

4

>1.1^.

（3）利用幕函数和指数函数的单

_22

调性可以发现0<3.83<1,3.95>1,

3

（-1.8）?<0,从而可以比较出它们

的大小.

（4）它们的底和指数也都不同，

而且都大于1,我们插入一个中间数

31-5,利用黑函数和指数函数的单调性可

以发现3"<3”<5吗

小结：（1）当底数相异，指数相同

的数比较大小，可以转化为比较同一哥

函数的不同函数值的大小问题，根据函

数的单调性，只要比较自变量的大小就

可以了.

（2）当底和指数都不同，插入一

个中间数，综合利用幕函数和指数函数

课堂练习的单调性来比较.

1下.列函数中，是黑函数的是课堂练习答案：

1.C2.D

A.y=­x2B.y=3x2

3.D4.。=1,m=1,3,5,7.

1

C.y=­D.尸2r

X

2.下列结论正确的是

A.塞函数的图象一定过(0,0)和

(1,1)

B.当。<0时，塞函数1”是减函数

C.当a>0时，骞函数尸〃是增函数

D.函数12既是二次函数，也是金函数

3

3.函数产户的图象大致是

平斗;

AB

#生

CD

4某.函数/G)="『-即〃(/?7ez)的图

象与x轴和y轴均无交点，并且图象关于原

点对称，求。和利

归纳1.嘉函数的概念以及它和指数函数表学生先自回顾反思，教师点评完善.形成

达式的区别.知识

总结2.常见嘉函数的图象和性质.体系.

3.募值的大小比较方法.

课后作业：2.3第一课时习案学生独立完成巩固

新知

作业