广西壮族自治区梧州市高级中学高三数学理模拟试题含解析

广西壮族自治区梧州市高级中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）（2013?成都一模）定义在（﹣1，1）上的函数；当x∈（﹣1，0）时，f（x）＞0，若，，则P，Q，R的大小关系为（）A．R＞Q＞PB．R＞P＞QC．P＞R＞QD．Q＞P＞R参考答案：B取x=y=0，则f（0）﹣f（0）=f（0），所以，f（0）=0，设x＜y，则，所以所以f（x）＞f（y），所以函数f（x）在（﹣1，1）上为减函数，由，得：取y=，，则x=，所以，因为0＜，所以所以R＞P＞Q．故选B．2.已知非零向量满足

（）·=0

且

·=.

则△ABC为

（A）等边三角形

（B）直角三角形

（C）等腰非等边三角形

（D）三边均不相等的三角形参考答案：D3.是等比数列,其中是关于的方程的两根,且,则锐角的值为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C4.在△ABC中，已知，则∠C=(

) A．30° B．150° C．45° D．135°参考答案：C考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，即可确定出C的度数．解答： 解：∵a2+b2=c2+ba，即a2+b2﹣c2=ab，∴由余弦定理得：cosC==，∴∠C=45°．故选：C．点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5.已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则(

).

A.

B.C.

D.参考答案：D6.设直线与直线A的交点为A；P，Q分别为上任意两点，点M为PQ的中点，若，则m的值为（

）A.2 B.－2 C.3 D.－3参考答案：A根据题意画出图形，如图所示；

直线与直线的交点为；为的中点，

若，则

即解得．

故选A．7.设，则a，b，c大小关系正确的是

（

）

A．B．C．D．参考答案：B略8.已知集合，为虚数单位，，若，则复数在复平面上所对应的点在A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D9.不等式组表示的点集记为A，不等式组表示的点集记为B，在A中任取一点P，则P∈B的概率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；几何概型．【专题】概率与统计．【分析】分别画出点集对应的区域，求出面积，利用几何概型的公式解答．【解答】解：分别画出点集A，B如图，A对应的区域面积为4×4=16，B对应的区域面积如图阴影部分面积为=（）|=，由几何概型公式得，在A中任取一点P，则P∈B的概率为；故选A．【点评】本题考查了几何概型的公式的运用；关键是画出区域，求出区域面积，利用几何概型公式求值．10.函数

（

）

A．是奇函数，且在（-∞，+∞）上是减函数

B．是奇函数，且在（-∞，+∞）上是增函数

C．是偶函数，且在（-∞，+∞）上是减函数

D．是偶函数，且在（-∞，+∞）上是增函数

参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=，若关于P的方程f[f（x）]+m=0恰有两个不等实根x1、x2，则x1+x2的最小值为．参考答案：1﹣ln2【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】可判断f（x）＜0恒成立；从而化简方程为f（x）=﹣lnm，从而作图辅助，可知存在实数a（a≤﹣1），使﹣2x1=a=﹣，从而可得x1+x2=﹣﹣ln（﹣a），再构造函数，求导，从而确定最值．【解答】解：∵f（x）=，∴f（x）＜0恒成立；∴f[f（x）]=﹣e﹣f（x），∵f[f（x）]+m=0，∴﹣e﹣f（x）+m=0，即f（x）=﹣lnm；作函数f（x）=，y=﹣lnm的图象如下，，结合图象可知，存在实数a（a≤﹣1），使﹣2x1=a=﹣，故x1+x2=﹣﹣ln（﹣a），令g（a）=﹣﹣ln（﹣a），则g′（a）=﹣，故当a=﹣2时，x1+x2有最大值1﹣ln2；故答案为：1﹣ln2．12.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1棱长为1，则A到平面的距离为

，若P为线段上一个动点,则

参考答案：,13.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体内切球的体积为

.参考答案：14.已知向量，，若，则实数m=______.参考答案：-2【分析】根据向量坐标运算可求得，根据平行关系可构造方程求得结果.【详解】由题意得：

，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查向量的坐标运算，关键是能够利用平行关系构造出方程.15.在区间上随机取一个数，使得函数有意义的概率为_______________.参考答案：略16.函数f（x）=sinxcosx的最小正周期是．参考答案：π考点：二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据二倍角的正弦公式，化简可得f（x）=sin2x，再由三角函数的周期公式即可算出函数f（x）的最小正周期．解答：解：∵sin2x=2sinxcosx∴f（x）=sinxcosx=sin2x，因此，函数f（x）的最小正周期T==π故答案为：π点评：本题给出三角函数式，求函数的周期，着重考查了二倍角的三角函数公式、三角函数的图象与性质和三角函数周期的求法等知识，属于基础题．17.在中，分别为角的对边，若，且,则边等于

.参考答案：4由及正、余弦定理知：，整理得，由联立解得：.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知中心在坐标原点焦点在轴上的椭圆C，其长轴长等于4，离心率为。（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点（0，1），问是否存在直线与椭圆交于两点，且？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由。参考答案：解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为。则由长轴长等于4，即2a=4，所以a=2。又，所以。又由于。所求椭圆C的标准方程为。（2）假设存在这样的直线，设，的中点为，因为所以所以………①（i）其中若时，则，显然直线符合题意;（ii）下面仅考虑情形：由，得，,得……②

则。代入①式得，即，解得。代入②式得，得。综上（i）（ii）可知，存在这样的直线，其斜率的取值范围是。19.已知数列满足：对任意的，若，则，且，设集合，集合A中元素最小值记为，集合A中元素最大值记为．（1）对于数列：，写出集合A及；（2）求证：不可能为18；（3）求的最大值以及的最小值．参考答案：（1），，；（2）详见解析；（3）的最大值为17，的最小值为16．【分析】（1）由题意易得，，．

（2）利用反证法，假设，可推出，这一集合元素互异性的矛盾；（3）首先求，由（2）知，而是可能的；再证明：的最小值为16．【详解】（1）由题意易得，，.（2）证明：假设，设，则=，即，因为，所以，同理，设，可以推出，中有两个元素为1，与题设矛盾，故假设不成立，不可能为18．

（3）的最大值为17，的最小值为16．①首先求，由（2）知，而是可能的．当时，

设则=即，

又得，即．同理可得：．

对于数列：此时，，满足题意．所以的最大值为17；

②现证明：的最小值为16．先证明为不可能的，假设．

设，可得，即，元素最大值为10，所以．又，同理可以推出，矛盾，假设不成立，所以．数列为：时，，，中元素的最大值为16．所以的最小值为16．【点睛】本题考查集合的新定义和反证法的运用，考查反证法的证明，考查逻辑推理能力、运算求解能力，属于难题.20.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知关于x的不等式|x－3|＋|x－5|≤m的解集不是空集，记m的最小值为t．

（Ⅰ）求t；

（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c＝max{，}，求证：c≥1．

注：maxA表示数集A中的最大数．参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.试题分析：（Ⅰ）根据绝对值公式可求得的最小值,原不等式解集不是空集,即大于等于此最小值.（Ⅱ）由题意可知同时,将两式相乘,再运用基本不等式即可证得.试题解析：解：（Ⅰ）因为，当时取等号，故，即．

…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知．则，等号当且仅当，即时成立．因为，所以． …10分考点：1绝对值不等式;2基本不等式.21.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性.

参考答案：解：（1）当时，，此时，

………………2分，又，所以切线方程为：，整理得：；

…………分（2），

……6分当时，，此时，在,单调递减，在,单调递增； ……………8分当时，，当即时在恒成立，所以在单调递减；

…………………10分当时，，此时在,单调递减，在单调递增；

………………12分综上所述：当时，在单调递减，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增；当时在单调递减.

……13分22.已知函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对定义域内的任意x，y都有f（x﹣y）=成立，且f（1）=1，当0＜x＜2时，f（x）＞0．（1）证明：函数f（x）是奇函数；（2）试求f（2），f（3）的值，并求出函数f（x）在[2，3]上的最值．参考答案：【考点】抽象函数及其应用；函数的最值及其几何意义．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义以及抽象函数之间的关系即可证明函数f（x）是奇函数；（2）利用赋值法进行求解，先判断函数的周期性，利用单调性的定义证明函数在[2，3]上的单调性进行求解即可．【解答】（1）证明：函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称．又f（x﹣y）=，所以f（﹣x）=f[（1﹣x）﹣1]======，故函数f（x）奇函数．（2）令x=1，y=﹣1，则f（2）=f[1﹣（﹣1）]==，令x=1，y=﹣2，则f（3）=f[1﹣（﹣2）]===，∵f（x﹣2）==，∴f（x﹣4）=，则函数的