2024年上海嘉定区二模高考数学模拟试卷试题（答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2023学年高三年级第二次质量调研数学试卷（考试时间120分钟，满分150分）一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分．1．设集合，，则．2．抛物线的准线方程为.3．已知圆锥的母线长为2，高为1，则其体积为．4．的展开式中项的系数为．5．已知是虚数单位．则．6．函数的值域为．7．数据1、2、3、4、5的方差为，数据3、6、9、12、15的方差为，则．8．已知曲线上有一点，则过点的切线的斜率为．9．小张、小王两家计划假期来嘉定游玩，他们分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，记事件表示“两家至少有一家选择古猗园”，事件表示“两家选择景点不同”，则概率．10．已知，，则函数的最小值为．11．在平面直角坐标系中，点在圆上运动，定点、满足且，若恒成立，则实数的取值范围为．12．若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是．二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分．13．双曲线和双曲线具有相同的（

）A．焦点 B．顶点 C．渐近线 D．离心率14．已知，，且、不共线，则的面积为（

）A． B．C． D．15．嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为120°，墙的高度均为3米．在时刻，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻最可能为（

）太阳高度角时间太阳高度角时间43.13°08:3068.53°10:3049.53°09:0074.49°11:0055.93°09:3079.60°11:3062.29°10:0082.00°12:00A． B． C． D．16．已知函数的最小正周期是，函数的最小正周期是，且，对于命题甲：函数可能不是周期函数；命题乙：若函数的最小正周期是，则．下列选项正确的是（

）A．甲和乙均为真命题 B．甲和乙均为假命题C．甲为真命题且乙为假命题 D．甲为假命题且乙为真命题三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，．(1)求证：平面；(2)求直线与的所成角的大小．18．在中，角、、的对边分别为、、，．(1)求角，并计算的值；(2)若，且是锐角三角形，求的最大值．19．据文化和旅游部发布的数据显示，2023年国内出游人次达48.91亿次，总花费4.91万亿元．人们选择的出游方式不尽相同，有自由行，也有跟团游．为了了解年龄因素是否影响出游方式的选择，我们按年龄将成年人群分为青壮年组（大于等于14岁，小于40岁）和中老年组（大于等于40岁）．现在S市随机抽取170名成年市民进行调查，得到如下表的数据：青壮年中老年合计自由行6040跟团游2050合计(1)请补充列联表，并判断能否有的把握认为年龄与出游方式的选择有关；(2)用分层抽样的方式从跟团游中抽取14个人，再从14个人中随机抽取7个人，用随机变量表示这7个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求的分布和数学期望．0.100.050.0252.7063.8415.02420．如图：已知三点、、都在椭圆上．(1)若点、、都是椭圆的顶点，求的面积；(2)若直线的斜率为1，求弦中点的轨迹方程；(3)若直线的斜率为2，设直线的斜率为，直线的斜率为，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在，说明理由．21．已知常数，设，(1)若，求函数的最小值；(2)是否存在，且，，依次成等比数列，使得、、依次成等差数列？请说明理由．(3)求证：“”是“对任意，，都有”的充要条件．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．【分析】由并集的运算可得.【详解】因为集合，，所以，故答案为：.2．【分析】抛物线的准线方程为，由此得到题目所求准线方程.【详解】抛物线的准线方程是.故答案为：.3．【分析】由题意，根据勾股定理求出底面圆的半径，结合圆锥的体积公式计算即可求解.【详解】由题意知，设圆锥的母线为l，高为h，底面圆半径为r，则，所以该圆锥的体积为.故答案为：4．【详解】的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系数为，故答案为10.5．1【分析】根据复数的乘、除法以及乘法运算可得，结合复数的几何意义计算即可求解.【详解】,所以.故答案为：16．【分析】利用绝对值的定义化简函数解析式，结合不等式的性质，可得答案.【详解】由函数，当时，；当时，.综上所述，函数的值域为.故答案为：.7．9【分析】由两组数据满足的一次函数关系，得方差间的关系，即可得结果.【详解】数据1、2、3、4、5依次记为，数据3、6、9、12、15依次记为，则有，所以，即.故答案为：98．4【分析】根据导数的几何意义直接求解即可.【详解】设，则，所以，即过点P的切线的斜率为4.故答案为：49．##【分析】根据题意，由古典概型公式求出、，进而计算可得答案.【详解】根据题意，“两家分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩”，有种情况，事件A：两家至少有一家选择古猗园，有种情况，故，若两家选择景点不同且至少有一家选择古猗园，有种情况，即.所以.故答案为：10．【分析】令，可求t的范围，利用同角的基本关系对已知函数化简计算，结合函数的单调性即可求解.【详解】由题意知，，令，由，得，所以，则.由，得，所以，则原函数可化为，又函数在上单调递增，所以在上单调递增，故当时，取得最大值，此时取得最小值.故答案为：11．【分析】根据题意可得向量、是夹角等于的单位向量，因此给出点、的坐标，设，将表示为关于的三角函数表达式，利用辅助角与正弦函数的图象与性质，算出的最大值，进而求出实数的取值范围．【详解】由，则，以为原点建立坐标系，可设、，由点在圆上运动，设，则，，可得，由三角函数的定义与性质可知：当时，与均为正数，此时存在最大值，因为，当时，的最大值为，即有最大值，因为恒成立，所以，即实数的取值范围为．故答案为：．12．【分析】正确理解的含义，时，即要先求出满足的，即的第211个子集应含有的元素，计算出，再要求满足的，即的第211个子集应含有的元素，如此类推即得.【详解】因，则的第211个子集必包含7，此时；又因则的第211个子集必包含6，此时；又则的第211个子集必包含4，此时；又则的第211个子集必包含1；而.综上所述，的第211个子集是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于仔细阅读题目所提供的信息，正确理解集合的新定义的含义，将文字语言转化为数学语言.13．D【分析】分别计算出两双曲线的焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程与离心率即可得.【详解】双曲线的焦点坐标为、左右顶点坐标为、渐近线方程为、离心率为；双曲线的焦点坐标为、上下顶点坐标为、渐近线方程为、离心率为；故其离心率相同.故选：D.14．B【分析】利用向量的数量积写出其夹角的表达式，结合同角三角函数的平方式以及三角形的面积公式，可得答案.【详解】设与的夹角为，由，则，由，则.故选：B.15．B【分析】作出示意图形，在四边形中利用正弦定理与余弦定理，算出四边形的外接圆直径大小，然后在中利用锐角三角函数定义，算出的大小，即可得到本题的答案.【详解】如图所示，设两竖直墙面的交线为，点被太阳光照射在地面上的影子为点，点分别是点在两条墙脚线上的射影，连接，，，由题意可知就是太阳高度角.∵四边形中，，，∴，∴中，，可得，∵四边形是圆内接四边形，是其外接圆直径，∴设的外接圆半径为，则，在中，，所以，对照题中表格，可知时刻时，太阳高度角为，与最接近.故选：B.16．C【分析】利用三角函数的周期性，选用特殊函数验证两个命题.【详解】函数的最小正周期是，函数的最小正周期是，且，当时，，时，，满足条件，但函数就不是周期函数，命题甲正确；当时，，时，，满足条件，函数，，有，命题乙错误.故选：C17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接交于点，连接，由中位线得到，利用线面平行的判定定理证明即可；（2）利用几何关系求出再找到异面直线所成的角，最后求出正弦值即可求出角的大小.【详解】（1）证明：连接交于点，连接，为的中位线，故，平面，不在平面内，所以平面.（2）因为平面，是的中点，，，所以，为直角三角形，所以，因为平面，平面，所以，所以，，在中，直线与所成的角即为，，所以直线与的所成角的大小为.18．(1)或；当时，；当时，(2)【分析】（1）由题意，根据同角的平方关系可得，求出B，进而求出即可；（2）由题意可得，求出C的范围，根据正弦定理可得，利用三角恒等变换化简计算得（），结合的范围和正弦函数的性质即可求解.【详解】（1）由，得，则，又，所以或.当时，；当时，.（2）若为锐角三角形，则，有，解得.由正弦定理，得，则，所以，其中，又，所以，则，故当时，取到最大值1，所以的最大值为.19．(1)答案见解析，能；(2)分布列见解析，【分析】（1）由卡方公式计算再比较即可；（2）先用分层抽样确定青壮年和中老年人数，再用古典概率计算出相应的概率，最后利用数学期望公式求出期望即可.【详解】（1）补充列联表如下：青壮年中老年合计自由行6040100跟团游205070合计8090170，所以能有的把握认为年龄与出游方式的选择有关.（2）用分层抽样的方式从跟团游中抽取14个人，所以青壮年有人，中老年有人，随机变量的可能取值有，，，，，分布列为：1357数学期望.20．(1)(2)，(3)或【分析】（1）根据点、、都是椭圆的顶点，计算的面积即可得；（2）设，，直线的方程为，与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系得出，根据中点坐标公式，求解即可得；（3）设，，，根据，得出，用与表示直线与椭圆的方程，求解即可得出和的值，从而求出点的坐标．【详解】（1）因为点、、都是椭圆的顶点，所以的面积为；（2）设，，因为直线的斜率为，所以可设直线的方程为，由，消去，整理得，，即，，，设弦中点，则，，消去，得，所以，所以点的轨迹方程为，；（3）设，，，则，因为直线的斜率为，设直线的方程为，其中，且不过，椭圆的方程可化为，即，所以，即，所以，所以，所以，，解得，代入，解得，所以，所以存在点或，使得恒成立．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．(1)(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）求导分析的符号，的单调性，最值，即可得出答案．（2）根据题意可得，，则，分两种情况：当时，当时，讨论是否满足条件，即可得出答案．（3）由，借助换元法，令，可得，分别证