高中数学第1章常用逻辑用语1.1.2充分条件和必要条件第二课时充要条件省公开课一等奖新名师获奖

第1章1.1.2充分条件和必要条件第2课时充要条件1/291.了解充要条件意义.2.会判断、证实充要条件.3.经过学习，使学生明白对充要条件判定应该归结为判断命题真假.学习目标2/29知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠栏目索引3/29知识梳理自主学习知识点一充要条件答案普通地，假如现有p⇒q，又有q⇒p

就记作_______.此时，我们说，p是q

，简称

.显然，假如p是q充要条件，那么q也是p充要条件.概括地说，假如p⇔q，那么p与q

.充分必要条件互为充要条件p⇔q充要条件4/29答案答案①p是q充要条件说明p是条件，q是结论.②p充要条件是q说明q是条件，p是结论.思索(1)若p是q充要条件，则命题p和q是两个相互等价命题.这种说法对吗？答案正确.若p是q充要条件，则p⇔q，即p等价于q，故此说法正确.(2)“p是q充要条件”与“p充要条件是q”区分在哪里？5/29知识点二常见四种条件与命题真假关系假如原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，那么p与q关系有以下四种情形：6/29原命题逆命题p与q关系真真p是q充要条件q是p充要条件真假p是q充分无须要条件q是p必要不充分条件假真p是q必要不充分条件q是p充分无须要条件假假p是q既不充分也无须要条件q是p既不充分也无须要条件7/29知识点三从集合角度判断充分条件、必要条件和充要条件返回若A⊆B，则p是q充分条件，若AB，则p是q充分无须要条件若B⊆A，则p是q必要条件，若BA，则p是q必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若AB且BA，则p既不是q充分条件，也不是q必要条件其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}.8/29例1

(1)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”________条件.题型探究重点突破题型一充要条件判断解析解x2－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”充要条件.解析答案充要9/29反思与感悟(2)判断以下各题中，p是否为q充要条件？①在△ABC中，p：∠A>∠B，q：sinA>sinB；②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；③p：|x|>3，q：x2>9.解析答案10/29反思与感悟解①在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔sinA>sinB，所以p是q充要条件.②若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q，所以p是q充要条件.③因为p：|x|>3⇔q：x2>9，所以p是q充要条件.11/29判断p是q充要条件两种思绪(1)命题角度：判断p是q充要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立.若p⇒q成立，则p是q充分条件，同时q是p必要条件；若q⇒p成立，则p是q必要条件，同时q是p充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件.(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不轻易判断p⇒q及q⇒p真假时，也能够从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”关系来了解，这对处理与逻辑相关问题是大有益处.反思与感悟12/29跟踪训练1

(1)a，b中最少有一个不为零充要条件是________.①ab＝0 ②ab>0③a2＋b2＝0 ④a2＋b2>0解析答案解析a2＋b2>0，则a、b不一样时为零；a，b中最少有一个不为零，则a2＋b2>0.④13/29(2)“函数y＝x2－2x－a没有零点”充要条件是________.解析函数没有零点，即方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根，即函数没有零点.故“函数y＝x2－2x－a没有零点”充要条件是a<－1.a<－1解析答案14/29例2

求证：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0两个根均大于1充要条件是k<－2.题型二充要条件证实解析答案反思与感悟15/29证实①必要性：若方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1根，不妨设两个根为x1，x2，解得k<－2.解析答案16/29②充分性：当k<－2时，Δ＝(2k－1)2－4k2＝1－4k>0.设方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0两个根为x1，x2.则(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝k2＋2k－1＋1＝k(k＋2)>0.又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2＝－(2k－1)－2＝－2k－1>0，∴x1－1>0，x2－1>0.∴x1>1，x2>1.综上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1根充要条件为k<－2.反思与感悟17/29普通地，证实“p成立充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证实“结论”，即q⇒p；证实必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证实“结论”，即p⇒q.反思与感悟18/29跟踪训练2

求证：一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数充要条件是b＝0.解析答案证实①充分性：假如b＝0，那么f(x)＝kx，因为f(－x)＝k(－x)＝－kx，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数.②必要性：因为f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)对任意x均成立，即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，所以b＝0.综上，一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数充要条件是b＝0.19/29例3

已知关于x方程x2－mx＋2m－3＝0，求使方程有两个大于1实根充要条件.题型三充要条件应用解析答案反思与感悟20/29解设方程x2－mx＋2m－3＝0两根分别为x1，x2，由题意知反思与感悟即使方程有两个大于1实根充要条件为m≥6.21/29求充要条件惯用以下两种方法：(1)先由结论寻找使之成立必要条件，再验证它也是使结论成立充分条件，即确保充分性和必要性都成立.(2)变换结论为等价命题，使每一步都可逆，直接得到使命题成立充要条件.反思与感悟22/29跟踪训练3

求不等式ax2＋2x＋1>0恒成立充要条件.解析答案解当a＝0时，2x＋1>0不恒成立.当a≠0时，ax2＋2x＋1>0恒成立.所以不等式ax2＋2x＋1>0恒成立充要条件是a>1.返回23/29当堂检测123451.对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”______________条件.解析答案解析当a＋b＝0时，得a＝－b，所以a∥b，但若a∥b，不一定有a＋b＝0.充分无须要24/29123452.已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”_____________.解析a＝3时，A＝{1,3}，A⊆B，当A⊆B时，a＝2或3.充分无须要解析答案25/29123453.已知α：“a＝±2”；β：“直线x－y＝0与圆x2＋(y－a)2＝2相切”，则α是β________条件.解析答案充要解析a＝±2时，直线x－y＝0与圆x2＋(y±2)2＝2相切；∴a＝±2.∴α是β充要条件.当直线x－y＝0与圆x2＋(y－a)2＝2相切时，26/29123454.已知直线l1：x＋ay＋6＝0和直线l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2充要条件是a＝________.解析由1×3－a×(a－2)＝0得a＝3或－1，又a×2a－3×6≠0，所以a≠3，所以a＝－1.－1解析答案27/2912345解析答案充要所以p是q充要条